2023届高考一轮复习讲义（理科）第二章　函数概念与基本初等函数 第3讲　函数的奇偶性及周期性学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（理科）第二章　函数概念与基本初等函数 第3讲　函数的奇偶性及周期性学案，共18页。


一、知识梳理
1．函数的奇偶性
2.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
常用结论
1．函数奇偶性的常用结论
(1)奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．
(2)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
(3)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(5)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝eq \f(1,f（x）)，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－eq \f(1,f（x）)，则T＝2a(a>0)．
二、习题改编
1．(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是( )
A．y＝x2sin x B．y＝x2cs x
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
解析：选B.根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数．故选B.
2．(必修1P45B组T6改编)已知函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](a解析：法一：根据题意作出y＝f(x)的简图，由图知函数f(x)在[－b，－a]上的值域为[－4，3]．
法二：当x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]，
由题意得f(b)≤f(－x)≤f(a)，
即－3≤－f(x)≤4，
所以－4≤f(x)≤3，
即在区间[－b，－a]上的值域为[－4，3]．
答案：[－4，3]
3．(必修1P45B组T4改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－4x2＋2，－1≤x<0，,x，0≤x<1，))则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝________．
解析：feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋2＝1.
答案：1
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.( )
(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )
(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．( )
(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( )
(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．( )
(6)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)(a>0)，则f(x)是周期为2a的周期函数．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√ (6)√
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(Ｋ))(1)利用奇偶性求解析式时忽视定义域；
(2)忽视奇函数的对称性；
(3)忽视定义域的对称性．
1．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋4x－3，则函数f(x)的解析式为f(x)＝________．
解析：设x<0，则－x>0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋4(－x)－3]＝－x2＋4x＋3，由奇函数的定义可知f(0)＝0，所以f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋4x－3，x>0，,0，x＝0，,－x2＋4x＋3，x<0.))
答案：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋4x－3，x>0，,0，x＝0，,－x2＋4x＋3，x<0))
2．设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为________．
解析：由题图可知，当00；当20.综上，f(x)<0的解集为(－2，0)∪(2，5]．
答案：(－2，0)∪(2，5]
3．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．
解析：因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，
所以a－1＋2a＝0，
所以a＝eq \f(1,3).
又f(－x)＝f(x)，
所以b＝0，所以a＋b＝eq \f(1,3).
答案：eq \f(1,3)
[学生用书P17]
函数的奇偶性(多维探究)
角度一 判断函数的奇偶性
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝eq \f(\r(36－x2),|x＋3|－3)；
(2)f(x)＝eq \r(1－x2)＋eq \r(x2－1)；
(3)f(x)＝eq \f(lg2（1－x2）,|x－2|－2)；
(4)f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋x，x<0，,x2－x，x>0.))
【解】 (1)由f(x)＝eq \f(\r(36－x2),|x＋3|－3)，可知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(36－x2≥0，,|x＋3|－3≠0))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－6≤x≤6，,x≠0且x≠－6，))故函数f(x)的定义域为(－6，0)∪(0，6]，定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数．
(2)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－x2≥0，,x2－1≥0))⇒x2＝1⇒x＝±1，故函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)＝－f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－x2>0，,|x－2|－2≠0))⇒－1定义域关于原点对称．
此时f(x)＝eq \f(lg2（1－x2）,|x－2|－2)＝eq \f(lg2（1－x2）,2－x－2)
＝－eq \f(lg2（1－x2）,x)，
故有f(－x)＝－eq \f(lg2[1－（－x）2],－x)＝eq \f(lg2（1－x2）,x)
＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
(4)
法一：图象法
画出函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋x，x<0，,x2－x，x>0))的图象如图所示，图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．
法二：定义法
易知函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
当x>0时，f(x)＝x2－x，则当x<0时，－x>0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)；当x<0时，f(x)＝x2＋x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)，故原函数是偶函数．
法三：f(x)还可以写成f(x)＝x2－|x|(x≠0)，故f(x)为偶函数．
角度二 函数奇偶性的应用
(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax，若f(ln 2)＝8，则a＝________．
(2)函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝________．
(3)(2020·湖南永州质检)已知函数f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)＝________．
【解析】 (1)当x>0时，－x<0，f(－x)＝－e－ax.因为函数f(x)为奇函数，所以当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝e－ax，所以f(ln 2)＝e－aln 2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(a)＝8，
所以a＝－3.
(2)因为f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x＋1，
所以当x<0时，－x>0，
f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)，
即x<0时，f(x)＝－(－x＋1)＝x－1.
(3)设F(x)＝f(x)－1＝x3＋sin x，显然F(x)为奇函数．又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，从而f(－a)＝0.
【答案】 (1)－3 (2)x－1 (3)0
eq \a\vs4\al()
(1)判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
②判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．
(2)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．
1．设函数f(x)＝eq \f(ex－e－x,2)，则下列结论错误的是( )
A．|f(x)|是偶函数
B．－f(x)是奇函数
C．f(x)|f(x)|是奇函数
D．f(|x|)f(x)是偶函数
解析：选D.因为f(x)＝eq \f(ex－e－x,2)，
则f(－x)＝eq \f(e－x－ex,2)＝－f(x)．
所以f(x)是奇函数．
因为f(|－x|)＝f(|x|)，
所以f(|x|)是偶函数，所以f(|x|)f(x)是奇函数．
2．(2020·贵阳检测)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝lg2(x＋2)－1，则f(－6)＝( )
A．2 B．4
C．－2 D．－4
解析：选C.根据题意得f(－6)＝－f(6)＝1－lg2(6＋2)＝1－3＝－2.
3．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于________．
解析：f(－1)＋g(1)＝2，即－f(1)＋g(1)＝2①，
f(1)＋g(－1)＝4，即f(1)＋g(1)＝4②，
由①②得，2g(1)＝6，即g(1)＝3.
答案：3
函数的周期性(师生共研)
(1)(2020·江西临川第一中学期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0，2)时，f(x)＝－x2，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,2)))＝( )
A．－eq \f(9,4) B．－eq \f(1,4)
C.eq \f(1,4) D．eq \f(9,4)
(2)(2020·开封模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2（1－x），0≤x≤1，,x－1，1A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 (1)因为f(x－2)＝f(x＋2)，所以f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)是周期为4的周期函数，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,2)－8))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))\s\up12(2)))＝eq \f(9,4)，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,2)))＝eq \f(9,4).故选D.
(2)因为f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，所以fn(2)的值具有周期性，且周期为3，所以f2 016(2)＝f3×672(2)＝f3(2)＝2，故选C.
【答案】 (1)D (2)C
eq \a\vs4\al()
函数周期性的判定与应用
(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T.
(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
1．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x＋lg2x，则f(2 019)＝( )
A．5 B．eq \f(1,2)
C．2 D．－2
解析：选D.由f(x)＝－f(x＋2)，得f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－(2＋0)＝－2.
2．函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)．且在区间(－2，2]上，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs \f(πx,2)，0解析：由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，
可知函数f(x)的周期是4，
所以f(15)＝f(－1)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－1＋\f(1,2)))＝eq \f(1,2)，
所以f(f(15))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝cseq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2).
答案：eq \f(\r(2),2)
函数性质的综合问题(多维探究)
角度一 单调性与奇偶性的综合问题
(2019·高考全国卷Ⅲ)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )
A．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg3\f(1,4)))>f(2－eq \s\up5(\f(3,2)))>f(2－eq \s\up5(\f(2,3)))
B．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg3\f(1,4)))>f(2－eq \s\up5(\f(2,3)))>f(2－eq \s\up5(\f(3,2)))
C．f(2－eq \s\up5(\f(3,2)))>f(2－eq \s\up5(\f(2,3)))>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg3\f(1,4)))
D．f(2－eq \s\up5(\f(2,3)))>f(2－eq \s\up5(\f(3,2)))>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg3\f(1,4)))
【解析】 根据函数f(x)为偶函数可知，f(lg3eq \f(1,4))＝f(－lg34)＝f(lg34)，因为0<2－eq \s\up5(\f(3,2))<2－eq \s\up5(\f(2,3))<20f(2－eq \s\up5(\f(2,3)))>f(lg3eq \f(1,4))．
【答案】 C
角度二 周期性与奇偶性的综合问题
(2020·福建龙岩期末)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋1)＝－f(x－1)，若f(－1)>1，f(5)＝a2－2a－4，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，3) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
【解析】 由f(x＋1)＝－f(x－1)，可得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f(x)，故函数f(x)的周期为4，则f(5)＝f(1)＝a2－2a－4，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，f(－1)>1，所以f(1)<－1，所以a2－2a－4<－1，解得－1【答案】 A
角度三 单调性、奇偶性与周期性的综合问题
(1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1，0]上单调递减，则f(x)在[1，3]上是( )
A．增函数 B．减函数
C．先增后减的函数 D．先减后增的函数
(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则( )
A．f(－25)B．f(80)C．f(11)D．f(－25)【解析】 (1)根据题意，因为f(x＋1)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以函数f(x)的周期是2.又因为f(x)在定义域R上是偶函数，在[－1，0]上是减函数，所以函数f(x)在[0，1]上是增函数，所以函数f(x)在[1，2]上是减函数，在[2，3]上是增函数，所以f(x)在[1，3]上是先减后增的函数，故选D.
(2)因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，
所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．
由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．
因为f(x)在区间[0，2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，
所以f(x)在区间[－2，2]上是增函数，
所以f(－1)【答案】 (1)D (2)D
eq \a\vs4\al()
函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略
(1)函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．
1．已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(1)＝2，则不等式f(lg2x)>2的解集为( )
A．(2，＋∞) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))∪(eq \r(2)，＋∞) D．(eq \r(2)，＋∞)
解析：选B.f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，因为f(1)＝2，所以f(－1)＝2，所以f(lg2x)>2⇔f(|lg2x|)>f(1)⇔|lg2x|>1⇔lg2 x>1或lg2x<－1⇔x>2或02．已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝________．
解析：法一：因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．因为f(x)是奇函数，所以函数f(x)的图象关于坐标原点(0，0)中心对称．数形结合可知函数f(x)是以4为周期的周期函数．因为f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，所以f(0)＝0.因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以当x＝1时，f(2)＝f(0)＝0；当x＝2时，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2；当x＝3时，f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0.综上，可得f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.
法二：取一个符合题意的函数f(x)＝2sin eq \f(πx,2)，则结合该函数的图象易知数列{f(n)}(n∈N*)是以4为周期的周期数列．故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.
答案：2
[学生用书P19]
奇偶函数的二次结论及应用
结论一：
若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(－x)＋g(x)＝2c.
[结论简证]
由于函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以g(－x)＋g(x)＝f(－x)＋c＋f(x)＋c＝2c.
对于函数f(x)＝asin x＋bx＋c(其中a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是( )
A．4和6 B．3和1
C．2和4 D．1和2
【解析】 设g(x)＝asin x＋bx，则f(x)＝g(x)＋c，且函数g(x)为奇函数．注意到c∈Z，所以f(1)＋f(－1)＝2c为偶数．故选D.
【答案】 D
eq \a\vs4\al()
由上述例题可知，这类问题的求解关键在于观察函数的结构，构造出一个奇函数．有些问题是直观型的，直接应用即可，但有些问题是复杂型的，需要变形才能成功．
结论二：
若函数f(x)是奇函数，则函数g(x)＝f(x－a)＋h的图象关于点(a，h)对称．
[结论简证]
函数g(x)＝f(x－a)＋h的图象可由f(x)的图象平移得到，不难知结论成立．
函数f(x)＝eq \f(x,x＋1)＋eq \f(x＋1,x＋2)＋eq \f(x＋2,x＋3)的图象的对称中心为 ( )
A．(－4，6) B．(－2，3)
C．(－4，3) D．(－2，6)
【解析】 设g(x)＝－eq \f(1,x－1)－eq \f(1,x)－eq \f(1,x＋1)，则g(－x)＝－eq \f(1,－x－1)－eq \f(1,－x)－eq \f(1,－x＋1)＝eq \f(1,x－1)＋eq \f(1,x)＋eq \f(1,x＋1)＝－g(x)，故g(x)为奇函数．易知f(x)＝3－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x＋1)＋\f(1,x＋2)＋\f(1,x＋3)))＝g(x＋2)＋3，所以函数f(x)的图象的对称中心为(－2，3)．故选B.
【答案】 B
eq \a\vs4\al()
此类问题求解的关键是从所给函数式中分离(或变形)出奇函数，进而得出图象的对称中心，然后利用图象的对称性实现问题的求解．
结论三：
若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)．
[结论简证]
当x≥0时，|x|＝x，所以f(|x|)＝f(x)；
当x<0时，f(|x|)＝f(－x)，由于函数f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，故f(|x|)＝f(x)．
综上，若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)．
(1)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－eq \f(1,1＋x2)，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是________；
(2)若偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则f(x－2)>0的条件为________．
【解析】 (1)易知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为偶函数．当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－eq \f(1,1＋x2)，易知此时f(x)单调递增．所以f(x)>f(2x－1)⇒f(|x|)>f(|2x－1|)，所以|x|>|2x－1|，解得eq \f(1,3)(2)由f(x)＝x3－8(x≥0)，知f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0.所以，由已知条件可知f(x－2)>0⇒f(|x－2|)>f(2)．所以|x－2|>2，解得x<0或x>4.
【答案】 (1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1)) (2){x|x<0或x>4}
[学生用书P335(单独成册)]
[基础题组练]
1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝eq \f(1,x) B．y＝|x|－1
C．y＝lg x D．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(|x|)
解析：选B.y＝eq \f(1,x)为奇函数；y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，不具备奇偶性；y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(|x|)在(0，＋∞)上为减函数；y＝|x|－1在(0，＋∞)上为增函数，且在定义域上为偶函数．
2．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x－7x＋2b(b为常数)，则f(－2)＝( )
A．6 B．－6
C．4 D．－4
解析：选A.因为f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝3x－7x＋2b，
所以f(0)＝1＋2b＝0，
所以b＝－eq \f(1,2).
所以f(x)＝3x－7x－1，
所以f(－2)＝－f(2)＝－(32－7×2－1)＝6.选A.
3．已知函数y＝f(x)，满足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数，且f(1)＝eq \f(π,3)，设F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(3)＝( )
A.eq \f(π,3) B．eq \f(2π,3)
C．π D．eq \f(4π,3)
解析：选B.由y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数知，f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(－x＋2)＝f(x－2)，故f(x)＝f(x＋4)，则F(3)＝f(3)＋f(－3)＝2f(3)＝2f(－1)＝2f(1)＝eq \f(2π,3)，故选B.
4．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
解析：选D.因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是定义在R上的以3为周期的周期函数，所以f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又因为函数f(x)是偶函数，
所以f(－2)＝f(2)，所以f(7)＝f(2)>1，
所以a>1，即a∈(1，＋∞)．故选D.
5．(2020·湖南郴州质量检测)已知f(x)是定义在[2b，1－b]上的偶函数，且在[2b，0]上为增函数，则f(x－1)≤f(2x)的解集为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(2,3))) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,3)))
C．[－1，1] D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))
解析：选B.因为f(x)是定义在[2b，1－b]上的偶函数，所以2b＋1－b＝0，所以b＝－1，
因为f(x)在[2b，0]上为增函数，即函数f(x)在[－2，0]上为增函数，故函数f(x)在(0，2]上为减函数，则由f(x－1)≤f(2x)，可得|x－1|≥|2x|，即(x－1)2≥4x2，
解得－1≤x≤eq \f(1,3).又因为定义域为[－2，2]，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2≤x－1≤2，,－2≤2x≤2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1≤x≤3，,－1≤x≤1.))
综上，所求不等式的解集为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,3))).故选B.
6．若函数f(x)＝xln(x＋eq \r(a＋x2))为偶函数，则a＝________．
解析：因为 f(x)为偶函数，所以f(－x)－f(x)＝0恒成立，所以－xln(－x＋eq \r(a＋x2))－xln(x＋eq \r(a＋x2))＝0恒成立，所以xln a＝0恒成立，所以ln a＝0，即a＝1.
答案：1
7．(2020·四川乐山模拟)已知函数f(x)满足：f(－x)＋f(x)＝0，且当x≥0时，f(x)＝eq \f(2＋m,2x)－1，则f(－1)＝____________．
解析：因为f(－x)＋f(x)＝0，
所以f(x)为奇函数，
又当x≥0时，f(x)＝eq \f(2＋m,2x)－1，
则f(0)＝eq \f(2＋m,1)－1＝0，所以m＝－1.
所以当x≥0时，f(x)＝eq \f(1,2x)－1，
所以f(－1)＝－f(1)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－1))＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
8．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(2－x)及f(x)＝－f(－x)，且在[0，1]上有f(x)＝x2，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2 019\f(1,2)))＝________．
解析：函数f(x)的定义域是R，f(x)＝－f(－x)，所以函数f(x)是奇函数. 又f(x)＝f(2－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的奇函数，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2 019\f(1,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2 020－\f(1,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))).因为在[0，1]上有f(x)＝x2，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4)，故feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2 019\f(1,2)))＝－eq \f(1,4).
答案：－eq \f(1,4)
9．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2＋2x，x＞0，,0，x＝0，,x2＋mx，x＜0))是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)设x＜0，则－x＞0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
于是x＜0时，
f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)由(1)可画出f(x)的图象，知f(x)在[－1，1]上是增函数，要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增．
结合f(x)的图象知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－2＞－1，,a－2≤1，))
所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1，3]．
10．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积．
解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数．
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)
＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，
得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
从而可知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．
设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×2×1))＝4.
[综合题组练]
1．(2020·广东湛江一模)已知函数g(x)＝f(2x)－x2为奇函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选C.因为g(x)为奇函数，且f(2)＝1，所以g(－1)＝－g(1)，所以f(－2)－1＝－f(2)＋1＝－1＋1＝0，所以f(－2)＝1.故选C.
2．函数y＝f(x)在[0，2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )
A．f(1)C．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)))解析：选B.因为函数f(x＋2)是偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，
所以函数f(x)的图象关于x＝2对称，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))).
因为y＝f(x)在[0，2]上单调递增，且eq \f(1,2)<1所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3．(2019·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－eq \f(8,9)，则m的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(9,4))) B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(7,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(5,2))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(8,3)))
解析：选B.当－1f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(…,\f(1,2)（x＋1）x，－14．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x＋2)＝－f(x)且f(x)在[－1，0]上是增函数，给出下列几个命题：
①f(x)是周期函数；
②f(x)的图象关于x＝1对称；
③f(x)在[1，2]上是减函数；
④f(2)＝f(0)，
其中正确命题的序号是________．(请把正确命题的序号全部写出来)
解析：因为f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对任意x，y∈R恒成立．
令x＝y＝0，
所以f(0)＝0.令x＋y＝0，所以y＝－x，
所以f(0)＝f(x)＋f(－x)．
所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
因为f(x)在x∈[－1，0]上为增函数，又f(x)为奇函数，所以f(x)在[0，1]上为增函数．
由f(x＋2)＝－f(x)⇒f(x＋4)＝－f(x＋2)
⇒f(x＋4)＝f(x)，
所以周期T＝4，
即f(x)为周期函数．
f(x＋2)＝－f(x)⇒f(－x＋2)＝－f(－x)．
又因为f(x)为奇函数，
所以f(2－x)＝f(x)，
所以函数关于x＝1对称．
由f(x)在[0，1]上为增函数，
又关于x＝1对称，
所以f(x)在[1，2]上为减函数．
由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)．
答案：①②③④
5．已知函数y＝f(x)在定义域[－1，1]上既是奇函数又是减函数．
(1)求证：对任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0；
(2)若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求实数a的取值范围．
解：(1)证明：若x1＋x2＝0，显然不等式成立．
若x1＋x2＜0，则－1≤x1＜－x2≤1，
因为f(x)在[－1，1]上是减函数且为奇函数，
所以f(x1)＞f(－x2)＝－f(x2)，所以f(x1)＋f(x2)＞0.
所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．
若x1＋x2＞0，则1≥x1＞－x2≥－1，
同理可证f(x1)＋f(x2)＜0.
所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．
综上得证，对任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0恒成立．
(2)因为f(1－a)＋f(1－a2)＜0⇔f(1－a2)＜－f(1－a)＝f(a－1)，所以由f(x)在定义域[－1，1]上是减函数，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1≤1－a2≤1，,－1≤a－1≤1，,1－a2＞a－1，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0≤a2≤2，,0≤a≤2，,a2＋a－2＜0，))解得0≤a＜1.
故所求实数a的取值范围是[0，1)．
6．已知函数f(x)对任意x∈R满足f(x)＋f(－x)＝0，f(x－1)＝f(x＋1)，若当x∈[0，1)时，f(x)＝ax＋b(a＞0且a≠1)，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝eq \f(1,2).
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数g(x)＝f2(x)＋f(x)的值域．
解：(1)因为f(x)＋f(－x)＝0，
所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)是奇函数．
因为f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x＋2)＝f(x)，
即函数f(x)是周期为2的周期函数，
所以f(0)＝0，即b＝－1.
又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝1－eq \r(a)＝eq \f(1,2)，
解得a＝eq \f(1,4).
(2)当x∈[0，1)时，f(x)＝ax＋b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(x)－1∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，0))，
由f(x)为奇函数知，当x∈(－1，0)时，f(x)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)))，
又因为f(x)是周期为2的周期函数，
所以当x∈R时，f(x)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，\f(3,4)))，
设t＝f(x)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，\f(3,4)))，
所以g(x)＝f2(x)＋f(x)＝t2＋t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,4)，
即y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,4)∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，\f(21,16))).
故函数g(x)＝f2(x)＋f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，\f(21,16))).
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称