人教B版（2019）选择性必修一 第一章 空间向量与立体几何 章节测试题(含答案)

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人教B版（2019）选择性必修一 第一章 空间向量与立体几何 章节测试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知直线l经过点,且是l的方向向量,则点到l的距离为( )A. B. C. D.2．在正方体中,点E为上底面的中心,若,则x,y的值是( )A., B., C., D.,3．如图,在三棱柱中,P,Q分别是CF,AB的中点,,则( )A.1 B.-1 C.0.5 D.-24．已知正四棱柱中,,则CD与平面所成角的正弦值等于( )A. B. C. D.5．在空间直角坐标系中,已知,,,则点O到平面ABC的距离是( )A. B. C. D.6．如图,在平行六面体中,( )A. B. C. D.7．在三棱锥中,,AB,AC,AD两两垂直,E为AB的中点,F为AD上一点,且,O为的重心,则O到直线EF的距离为( )A.2 B.1 C. D.8．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G为上的一个动点，则下列选项中错误的是( )A.三棱锥的体积为定值B.存在点G，使平面EFGC.存在点G，使平面平面D.设直线FG与平面所成角为，则的最大值为二、多项选择题9．点M在z轴上,它与经过坐标原点且方向向量为的直线l的距离为,则点M的坐标是( )A. B. C. D.10．若与的夹角为钝角,则x的取值可能为( )A.1 B.2 C.3 D.411．在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，则( )A.平面的一个法向量为 B.平面的一个法向量为C.平面的一个法向量为 D.平面的一个法向量为12．已知平面的一个法向量为,点在内,则下列点也在内的是( )A. B. C. D.三、填空题13．已知空间向量,,则___________.14．如图,正四棱柱中,设,,点P在线段上,且,则直线与平面PBD所成角的正弦值是________.15．如图,在三棱锥中,D是BC的中点,若,,,则等于____________.16．如图,在长方体中,E,F分别为,的中点,G是线段EF上一点,满足,若,则________.四、解答题17．如图,四棱锥的底面为正方形,底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：平面PDC;（2）已知,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．18．如图,在四棱锥中,平面平面ABCD,E为AD的中点,,,,,.（1）求点A到平面PCD的距离;（2）求直线PE与平面PBC所成角的余弦值;（3）在线段PE上是否存在点M,使得平面PBC?若存在,求出点M的位置;若不存在,说明理由.19．如图,在四棱锥中,平面平面ABCD,底面ABCD是矩形,O,E分别是BC,PA的中点,平面经过点O,D,E与棱PB交于点F．（1）试用所学知识确定F在棱PB上的位置;（2）若,求EF与平面PCD所成角的正弦值．20．如图，已知空间四边形，E，H分别是边，的中点，F，G分别是边，上的点，且，.用向量法证明：四边形是梯形.21．如图，四棱柱中，侧棱底面ABCD，，，，，E为棱的中点.（1）证明；（2）求二面角的正弦值.（3）设点M在线段上，且直线AM与平面所成角的正弦值为，求线段AM的长.22．如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面ABCD，点P，Q分别在棱，上.（1）若P是的中点，证明：；（2）若平面，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积.参考答案1．答案：C解析：由题设,则,所以,而,故P到l的距离为.故选:C2．答案：A解析：根据题意,结合正方体的性质,可知,所以有,,故选：A．3．答案：B解析：如图,连接CQ.因为P,Q分别是CF,AB的中点,,所以,,,则.故选：B.4．答案：A解析：建立如图所示空间直角坐标系,不妨设,则,,设平面的法向量为,则,令,则,所以.设CD与平面所成角为,则.故选：A.5．答案：B解析：依题意可得,,,设平面ABC的一个法向量为,则,令,则可得,,即,所以点O到平面ABC的距离是.故选:B6．答案：B解析：连接,可得,又,所以.故选:B.7．答案：C解析：以A为原点,AB, AC, AD所任的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空问直角坐标系,则,,,,得 ,取,则,所以点D到直线AB的距离为.故选：C.8．答案：C解析：对于A，平面平面，所以G到平面的距离为定值，又为定值，所以为定值，故A正确.对于B，以D为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设，则，所以，设平面EFG的法向量为，则取，得，若平面EFG，则，即，解得，所以当G为线段上靠近D的四等分点时，平面EFG，故B正确.对于C，，，则，，设平面的法向量为，则取，得，若平面平面，则，即，解得，又，不合题意，故C错误.对于D，，平面的一个法向量为，，则，所以的最大值为，故D正确.故选C.9．答案：AB解析：设,则,又直线l的方向向量为,所以点M直线l的距离,所以,则或.故选：AB.10．答案：ABC解析：根据题意,若与共线,则有,无解,即两个向量不会共线,若与的夹角为钝角,必有,解可得:,分析选项:,2,3符合,故选:ABC.11．答案：AC解析：由题意，知，，，，，，.，平面，故A正确；，且，不是平面的法向量，故B不正确；，，，，又，是平面的一个法向量，故C正确；，且，不是平面的法向量，故D不正确.12．答案：BC解析：若为内的点且与P不重合,则,又平面的一个法向量为,则,即,显然,不满足,,满足.故选:BC13．答案：解析：因为空间向量,,则,因此,.故答案为：.14．答案：/解析：以D为坐标原点,DA,DC,所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则,,,,设平面PBD的法向量为,则,令,则,故,设直线与平面PBD所成角大小为,则,故答案为:15．答案：解析：由图可得.故答案为：.16．答案：/.解析：建立如图所示空间直角坐标系,设,,,因为E,F分别为,的中点,所以,,所以,又因为,所以,所以,又因为,,,,所以,所以,解得,所以,故答案为:或.17．答案：（1）证明见解析;（2）.解析：（1）证明：在正方形ABCD中,,因为平面PBC,平面PBC,所以平面PBC,又因为平面PAD,平面平面,所以,因为在四棱锥中,底面ABCD是正方形,所以,且平面ABCD,所以,,因为,所以平面．（2）［方法一］【最优解】：通性通法因为DP,DA,DC,两两垂直,建立空间直角坐标系,如图所示：因为,设,,,,设,则有,,设平面QCD的法向量为,则,即,令,则,所以平面QCD的一个法向量为,则根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值,所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值等于,当且仅当时取等号,所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为.［方法二］：定义法如图2,因为平面PBC,,所以平面PBC．在平面PQC中,设．在平面PAD中,过P点作,交于F,连接EF．因为平面平面,所以．又由平面PAD,平面,所以平面．又平面PAD,所以．又由,,平面QOC,平面QDC,所以平面QDC,从而即为PB与平面QCD所成角．设,在中,易求．由与相似,得,可得．所以,当且仅当时等号成立．［方法三］：等体积法如图3,延长CB至G,使得,连接GQ,GD,则,过G点作平面QDC,交平面QDC于M,连接QM,则即为所求．设,在三棱锥中,．在三棱锥中,．由得,解得,当且仅当时等号成立．在中,易求,所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为．18．答案：（1）（2）（3）当点M为PE的中点时,有平面PBC.解析：（1）作平面ABCD,又,所以以,的方向分别为x轴,y轴的正方向,建立如下图所示的空间直角坐标系:因为平面平面ABCD,平面平面,且,平面PAD,所以平面ABCD,又因为E为AD的中点,,且,,,所以由题意有,,,,所以有,,,不妨设平面PCD的法向量为,所以有,即,取,解得,所以点A到平面PCD的距离为.（2）如图所示:由题意有,,,,所以有,,,不妨设平面PBC的法向量为,所以有,即,取,解得,不妨设直线PE与平面PBC所成角为,所以直线PE与平面PBC所成角的正弦值为,所以直线PE与平面PBC所成角的余弦值为.（3）如图所示:由题意有,,,所以,,由题意不妨设,所以,又由（2）可知平面PBC的法向量为,若平面PBC,则,即,解得,所以当点M为PE的中点时,有平面PBC.19．答案：（1）见解析（2）解析：（1）过P作直线l与BC平行,延长DE与l交于点G,连接OG,OG与PB的交点即为点F．因为底面ABCD是矩形,O是BC的中点,所以,且．又,所以,因为E是PA的中点,可得,则,所以．故F在棱PB的靠近B的三等分点处．（2）因为,O是BC的中点,所以,又平面平面ABCD,平面平面,平面PBC,所以平面ABCD．取AD中点Q,连接OQ,易知OQ,OC,OP两两相互垂直,如图,分别以OQ,OC,OP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则,,,,,,,． 设平面PCD的法向量为,则即令,则,所以．．设EF与平面PCD所成角为,则,所以EF与平面PCD所成角的正弦值为．20．答案：证明见解析解析：证明：连接，，H分别是边，的中点，，，且，又F不在上，四边形是梯形.21、（1）答案：见解析解析：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得，，，，，.证明：易得，，于是，.（2）答案：解析：，设平面的法向量，则，即，消去x，得，不妨令，可得一个法向量为.由(1)，，又，可得平面，故为平面的一个法向量.于是，从而，故二面角的正弦值为.（3）答案：解析：，.设，，有.可取为平面的一个法向量.设为直线AM与平面所成的角，则.于是，解得λ＝(舍去)，.22．答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，则.设，，若P是的中点，则，则，于是，所以，即.（2）由（1）知，，设是平面PDQ的法向量，则即取，得是平面PDQ的一个法向量.又平面AQD的一个法向量是，二面角的余弦值为，所以，解得或（舍去），此时.设，则，，因为平面，且平面的一个法向量是，所以，即，解得，从而.将三棱锥看作以为底面的三棱锥，则其高，故三棱锥的体积.