【寒假作业】苏教版2019 高中数学 高一寒假提升训练 专题11+余弦定理（6大考点，知识串讲+热考题型+专题训练）-讲义

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知识聚焦
考点聚焦
知识点1 余弦定理
1、公式表达：a2＝b2＋c2－2bccs A，b2＝a2＋c2－2accsB，c2＝a2＋b2－2abcsC
2、语言叙述：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍
【注意】余弦定理的特点
（1）适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．
（2）揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量．
3、余弦定理推论：cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
4、余弦定理的推导示例：在∆ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c
如图，因为AC=AB+BC，
∴AC2=AB+BC2，
即AC2=AB2+BC2+2AB∙BC=AB2+BC2+2AB∙BCcs180°-B
从而b2=a2+c2-2accsB
同理，根据AB=AC+CB，BC=BA+AC，
可以得到c2=a2+b2-2abcsC，a2=b2+c2-2bccsA
知识点2 解三角形
1、解三角形定义：一般地，三角形的三个角A，B，C和她们的对边a，b，c叫做三角形的元素.
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
2、余弦定理在解三角形中的应用
（1）类型1：已知两边及一角，解三角形
方法概要：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：
一是利用余弦定理的推论求出其余角；
二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解；
（2）类型2：已知三边解三角形
法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一
法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解
3、判断三角形形状时常用到的结论
（1）为直角三角形或或
（2）为锐角三角形，且，且
（3）为钝角三角形，且，且
（4）若，则或
考点剖析
考点1 已知两边及一角解三角形
【例1】（2023·陕西西安·高一阶段练习）在中，角的对边分别是，已知，，，则等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【解析】由余弦定理，
将，，，代入得，
则有，且，解得.故选：B.
【变式1-1】（2023·江西萍乡·高一统考期中）设内角，，所对的边分别为，，，若，，，则边（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．
【答案】C
【解析】在中，由余弦定理得：
整理得，，解得：或.
检验或满足题意，故选：C.
【变式1-2】（2023·宁夏固原·高一校考期中）在中， ，则（ ）
A．9 B． C． D．3
【答案】D
【解析】由题意知中，，
故，故，故选：D
【变式1-3】（2023·山东青岛·高一校联考期中）在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，，
由余弦定理得，，
所以，故选：D
考点2 已知三边解三角形
【例2】（2023·河北邢台·高一统考期中）在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由余弦定理得．故选：A
【变式2-1】（2023·吉林通化·高一校考阶段练习）在中，已知，则角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由及余弦定理的推论，得，
因为，所以，故选：B.
【变式2-2】（2023·江西·高一校联考期末）已知中角所对的边分别为，若，则 .
【答案】
【解析】设，则，
三式联立解得，
由余弦定理得，
因为，所以，.
【变式2-3】（2023·海南·高一校考阶段练习）在中，，，，则最大角的余弦值为 .
【答案】
【解析】因为，所以中角A最大，
由余弦定理可得.
考点3 求边或角的取值范围
【例3】（2023·四川成都·高一树德中学校考期末）已知钝角的角，，所对的边分别为，，，，，则最大边的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因是钝角三角形，，，且是最大边，
则由余弦定理得：，
于是得，，解得，
又有，即，
所以最大边的取值范围是：.故选：C
【变式3-1】（2023·全国·高一随堂练习）在钝角中，角所对的边分别为，若，则最大边的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为是钝角三角形，，且是最大边，
由余弦定理可得，于是可得，且，解得，
又，所以边的取值范围是，故选：D
【变式3-2】（2023·吉林通化·高一校考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则角B的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题知，，
在中，，
当且仅当时取等号，
又不是三角形的最大边，所以为锐角，所以的取值范围是.故选：B.
【变式3-3】（2023·安徽滁州·高一校考阶段练习）若钝角的内角，，满足，且最大边长与最小边长的比值为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设三角形的三边从小到大依次为，，，
因为，则，故可得，
根据余弦定理得：，于是，
因为为钝角三角形，故，于是，即，
则，即.故选：B.
考点4 判断三角形形状
【例4】（2023·甘肃定西·高一临洮中学校考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则是（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．等腰不等边三角形 D．直角三角形
【答案】A
【解析】中，，则，
又，则，由，可得，
所以，即，
所以，可得，所以，
则的形状是等边三角形.故选：A
【变式4-1】（2023·重庆长寿·高一统考期末）在已知分别为的三个内角的对边，若，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】C
【解析】由余弦定理可得，则为钝角，即是钝角三角形.故选：C
【变式4-2】（2023·陕西宝鸡·高一统考期末）在中，角的对边分别为，且，则为（ ）
A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】在中，由余弦定理得，，，
因为，所以，
即，即，
又因为，所以，所以为等腰三角形.故选：A
【变式4-3】（2023·河南郑州·高一中牟县第一高级中学校考阶段练习）在中，角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
【答案】A
【解析】由，得，化简得，
所以由余弦定理得，
因为，所以，所以，
令，则，得，得，
所以，所以为直角三角形，故选：A
考点5 余弦定理的实际应用
【例5】（2023·湖北·高一荆州中学校联考期中）宜昌奥林匹克体育中心为了迎接4月12日湖北省第十六届运动会开幕式，将中心内一块平面四边形区域设计灯带．已知灯带米，米， 米，且，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，连接 BD .
在中，由余弦定理有：,①
在 中，由余弦定理有：,②
由①②得：,
又，，
又. 或,
若 ,则 （舍），，故选：A .
【变式5-1】（2023·河南开封·高一统考期中）曲柄连杆结构的示意图如图所示，当曲柄OA在水平位置OB时，连杆端点P在Q的位置，当OA自OB顺时针旋转角时，P和Q之间的距离是cm，若cm，cm，，请写出一个满足题意的角的值 .
【答案】（答案不唯一）
【解析】由题意，cm，cm，
在中，由余弦定理得，即，
，的一个值为（答案不唯一）.
【变式5-2】（2023·江苏镇江·高一江苏省扬中高级中学校联考期中）如图，梯形顶点在以为直径的半圆上，米，若电热丝由三条线段这三部分组成，在上每米可辐射单位热量，在上每米可辐射2单位热量，当电热丝辐射的总热量最大时，的长度为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取中点，连接，连接，
根据圆的对称性知，
设，则有，
由余弦定理得
同理
所以
同理
电热丝辐射的总热量为，
令，
所以，即，
令，则是关于的二次函数，
当电热丝辐射的总热量最大时，，即，
此时.故选：B.
【变式5-3】（2023·江苏南通·高一统考期中）如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形．设．
（1）当为何值时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值；
（2）克罗狄斯托勒密所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求．
【答案】（1），最大面积为；（2）60°
【解析】（1）在中，由余弦定理得，，
四边形的面积
，
当，即时，四边形的面积最大，且最大面积为；
（2），且为等边三角形，，，
，
，即的最大值为3，取等号时，
，
不妨设，
则，解得，
，．
考点6 余弦定理与平面图形相结合
【例6】（2023·宁夏银川·高一校考阶段练习）如图，已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若边上的中线，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
相加得，又，解得，故选：A
【变式6-1】（2023·浙江台州·高一统考期末）如图，在中，D是BC的中点，E是AC上的点，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设在三角形与三角形中，
解得：
作的四等分点，且,由题意知，，
又因为，所以,,
又，所以,
在三角形与三角形中，
化简得: ,代入解得：,
从而解得：故选：D.
【变式6-2】（2023·四川成都·高一石室中学校考期末）在平面四边形中，，，，则的最大值为 .
【答案】
【解析】设，，则，代入数据得，
，，
在中运用余弦定理得，
即
，，
所以当，即时，的最大值为3，则的最大值为.
【变式6-3】（2023·云南昆明·高一昆明市第一中学西山学校校考阶段练习）在中，内角所对的边分别是，．
（1）求；
（2）若，且的平分线上的点满足，求．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1） ，
，，，则，
又，.
（2）在中，设，则，
由余弦定理得：，；
设，，则，
在中，由余弦定理得：；
在中，由余弦定理得：；
，解得：，，
在中，由余弦定理得：，
又，.
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一、单选题
1．（2023·湖南长沙·高一长沙一中校考期末）在中，，，，则最长边（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【解析】在中，，，，
由余弦定理得，，
化简得，解得或，
因为是最长的边，所以，故选：B
2．（2023·北京大兴·高一统考期中）在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，由余弦定理可得，
又，则，
又因为，所以.故选：A.
3．（2023·辽宁沈阳·高一校联考期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在中，，即，
由余弦定理可得，
由于，故．故选：A．
4．（2023·湖北十堰·高一统考期末）已知，在钝角中，，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，所以.
又，所以最大，
则由余弦定理得，得，
因为，解得，
因为，所以，
所以的取值范围是.故选：B.
5．（2023·四川达州·高一统考期末）在中，若，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．－1
【答案】C
【解析】，
由正弦定理得，根据余弦定理得：
时等号成立，
又因为，所以，
，即的最小值是，故选：C.
6．（2023·江苏宿迁·高一统考期末）在中，角所对的边分别为．若，则为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】由余弦定理可得：，
即，整理得：，得或，
所以为等腰或直角三角形.故选：D
7．（2023·河南周口·高一统考期末）如图，在等腰中，，M为上的动点，，，则y关于x的函数解析式是（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【答案】A
【解析】在等腰中，,
由余弦定理有，则，
在中，，，,
由余弦定理有，
即（）.故选：A.
8．（2023·全国·高一课时练习）世界上最大的球形建筑是位于瑞典斯德哥尔摩的爱立信球形体育馆（瑞典语：），在世界上最大的瑞典太阳系模型中，由该体育馆代表太阳的位置，其外形像一个大高尔夫球，可容纳16000名观众观看表演和演唱会，或14119名观众观看冰上曲棍球比赛．某数学兴趣小组为了测得爱立信体育馆的直径，在体育馆外围测得，，，（其中，，，四点共面），据此可估计该体育馆的直径大约为（ ）（参考数据：，）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接，，在中，
由正弦定理知，即，解得，
在中，由余弦定理得：，
即，
所以．故选：C.
二、多选题
9．（2023·湖北恩施·高一校联考期中）钝角的内角、、的对边分别为、、，若，，且，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】因为，，且，则，
因为为钝角三角形，故为钝角，
且，解得，
由三角形三边关系可得，则，故，故选：BC.
10．（2023·四川达州·高一万源中学校考期中）已知分别是的内角的对边，且，，则（ ）
A． B． C．面积的最大值为 D．面积的最大值为
【答案】AC
【解析】对于AB，由，得，化简得，
所以由余弦定理得，
因为，所以，所以A正确，B错误，
对于CD，由，，得，当且仅当取等号，
所以，当且仅当取等号，
所以，当且仅当取等号，
所以面积的最大值为，所以C正确，D错误，故选：AC
11．（2023·辽宁锦州·高一渤海大学附属高级中学校考阶段练习）中，内角的对边分别为边上的中线，则下列说法正确的有（ ）
A． B． C． D．的最大值为
【答案】ACD
【解析】因为，A正确；
因为，
所以
，故错误；
由余弦定理及基本不等式得（当且仅当时，等号成立），
由选项知，所以，解得，
由于，所以，故C正确；
对于（当且仅当时，等号成立），
因为，所以，
又，所以的最大值，D正确.故选：ACD
12．（2023·广东云浮·高一校考阶段练习）已知中，，，，D在AC上，BD为∠ABC的角平分线，E为BC中点，下列结论正确的是（ ）
A．的面积为 B． C． D．
【答案】BC
【解析】对于A，在中，，，，
则，
因为，所以，
所以，所以A错误，
对于B，因为E为BC中点，所以，
所以，所以，所以B正确，
对于D，因为BD为∠ABC的角平分线，所以，
所以，所以D错误，
对于C，因为，所以，
在中由余弦定理得，
所以，所以C正确，故选：BC
三、填空题
13．（2023·北京朝阳·高一统考期末）在中，，，，则 ； ．
【答案】；
【解析】在中，，，，
由余弦定理可得，
因为，则，故.
14．（2023·全国·高一随堂练习）在中，内角的对边分别为，若，则当有唯一解时，的取值范围是 ．
【答案】或
【解析】由余弦定理，得，所以，
当时，，关于的二次方程只有一个正根，所以C有唯一解，
当时，解得，此时有唯一解．
综上所述，当或时，有唯一解．
15．（2023·黑龙江绥化·高一校考阶段练习）如图所示，点A是等边外一点，且，，，则的周长为 ．
【答案】/
【解析】在中，由余弦定理可知，
整理可得，解得，所以，
又是等边三角形，所以，，
由勾股定理可得，，所以的周长为．
16．（2023·江苏南通·高一统考期末）在中，角的对边分别为为的中点，，则的周长为 ．
【答案】
【解析】在中，，由余弦定理得，即，
整理得，在中，，
由余弦定理得，
相加整理得，即，
因此，解得，所以的周长为.
四、解答题
17．（2023·广西河池·高一统考期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
（1）若，，求的值；
（2）若，求角B，C的大小.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据余弦定理，，，，则，解得；
（2）因为，，
因此得到，则，即，
所以，因此三角形为等腰三角形，
又知道，所以.
18．（2023·全国·高一随堂练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）若，求A；
（2）若，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）因为，
所以由余弦定理得，所以，得，
因为，所以，得，
所以由余弦定理得，
因为，所以；
（2）证明：因为，所以，
化简整理得，
，解得或（舍去），
所以由余弦定理得，所以，
因为，
所以由余弦定理得，整理得，
所以，所以，得，所以.
19．（2023·吉林辽源·高一校考阶段练习）在中，内角所对的边分别为，，，已知已知.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的值；
（3）若，判断的形状．
【答案】（1）；（2）；（3）正三角形．
【解析】（1）在中，由及余弦定理得，
而，所以.
（2）由，及，得，所以.
（3）由及，得，
则，由（1）知，所以为正三角形.
20．（2023·浙江台州·高一统考期末）在锐角中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，.
（1）求证：；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）因为
由余弦定理得
，
整理得，即，所以.
（2）由（1）可知：，
由余弦定理可得，
设，则，
因为，且，不妨设，即，可知，
且是锐角三角形，则，得，即，
则，解得，所以，
由对勾函数可知在上单调递增，且，
则，所以，
且，则，
所以的取值范围为.
21．（2023·云南玉溪·高一统考期末）如图，在梯形中，，，．
（1）求CD；
（2）平面内点P在直线CD的上方，且满足，求的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵，，∴，
在中，记，
由余弦定理得，
在中，，
由得，
即，解得或，
∵与梯形矛盾，舍去，又，∴，即．
（2）由（1）知，
故，，
故，
在中，，
∵，（当且仅当时，等号成立）．
∴，
故当时，取得最大值．
22．（2023·河南南阳·高一统考期末）记的内角，，所对的边分别是，，．已知．
（1）求角的大小；
（2）若点在边上，平分，，且，求．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，即
化简可得，由余弦定理可得，
所以，且，则
（2）由（1）知，由余弦定理可得，将代入，化简可得，
又因为平分，
由角平分线定理可得，即，且，
所以，
又因为，则，
结合余弦定理可得，解得，
所以则