【寒假作业】苏教版2019 高中数学 高一寒假提升训练 专题06+向量坐标表示与应用（10大考点，知识串讲+热考题型+专题训练）-讲义

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知识聚焦
考点聚焦
知识点1 向量的坐标表示
1、向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面内的一个向量，有且只有一对实数、，使，把有序数对叫做向量的坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标.在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.
2、始点为原点的向量坐标与其终点坐标关系：若是坐标原点，设，则向量的坐标就是终点的坐标，即若，则点坐标为，反之亦成立.
3、向量坐标的求法：
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；
②设、，则
4、特殊向量的坐标：．
【注意】
（1）在直角坐标平面内，以原点为起点的向量OA=a，点A的位置被向量a唯一确定，
此时点A的坐标与向量a的坐标统一为(x，y)．
（2）由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，
即a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
（3）平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关；
应把向量坐标与点坐标区别开来，只有起点在原点时，向量坐标才与终点坐标相等．
（4）当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．
知识点2 向量线性运算的坐标表示
1、向量加减法的坐标运算：已知，则，．
结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．
2、向量数乘的坐标运算：若，则；
结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
知识点3 向量数量积的坐标表示
1、数量积坐标表示：若a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a∙b=x1y1+x2y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和。
2、向量垂直的坐标表示：若两个向量垂直，则a⊥b⟺x1y1+x2y2=0
3、用坐标表示模长、距离、夹角
（1）向量的模公式：若a=(x1,y1)，则a=x12+y12
（2）两点间的距离公式：若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB=(x1-x2)2+(y1-y2)2
（3）向量的交角公式：设两个非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，a与b的夹角为θ，
则csθ=a∙bab=x1x2+y1y2x12+y12x22+y22
知识点4 线段的定比分点与λ
设、是直线上的两点，是上不同于、的任一点，则一定存在实数，使，叫做点分所成的比.有三种情况：

(内分) (外分)() (外分) ()
（1）定比分点坐标公式：若点，，为实数，且，
则点坐标为，我们称为点分所成的比.
（2）点的位置与的范围的关系：
①当时，与同向共线，这时称点为的内分点；
②当()时，与反向共线，这时称点为的外分点.
知识点4 向量平行的坐标表示
坐标表示：一般地，设向量，，则
特别的，当且时，有，即两个向量的相应坐标成比例。
【注意事项】
（1）两个向量，平行的条件容易写错，该条件的正确记法为“交叉相乘，差为0”；
（2）当两个非零的共线向量的对应坐标同号或同为零时，同向；当两个非零的共线向量的对应坐标异号或同为零时，反向。
考点剖析
考点1 向量的坐标表示
【例1】（2023·江西·高一校联考期末）若点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，故选:B.
【变式1-1】（2023·高一课时练习）如图所示，为单位正交基，则向量，的坐标分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【解析】根据平面直角坐标系，可知，，
∴，，故选：C.
【变式1-2】（2023·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）若，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，故，而，
故，故，故，故选：A.
【变式1-3】（2023·四川绵阳·高一南山中学实验学校校考期中）已知点，，向量，则向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，则，
故，解得，所以，
又因为，所以.故选：A
【变式1-4】（2023·四川南充·高一统考期末）已知向量，将向量绕原点O沿逆时针方向旋转到的位置，则点的横坐标为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】C
【解析】因为，所以向量与轴正方向的夹角为，
向量绕原点O沿逆时针方向旋转到的位置，则与轴正方向的夹角为，
此时点在轴上，点的横坐标为0，故选：C.
考点2 向量线性运算坐标表示
【例2】（2023·陕西西安·高一阶段练习）已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，所以.故选：D.
【变式2-1】（2023·西藏林芝·高一校考期末）已知向量，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】向量，，则.故选:C
【变式2-2】（2023·河南商丘·高一校考阶段练习）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以.故选：D
【变式2-3】（2023·福建龙岩·高一校联考期中）若向量，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为向量，，所以，故选：C.
【变式2-4】（2023·四川眉山·高一校考期中）已知向量满足，，，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．
【答案】B
【解析】设，，又，，
所以，且，解得，，即，.
所以，
则，解得，故，故选：B.
考点3 向量数量积的坐标表示
【例3】（2023·河北沧州·高一校联考阶段练习）如图所示的图形中，每一个小正方形的边长均为1，则（ ）
A． B． C．0 D．4
【答案】D
【解析】如图，建立平面直角坐标系，每一个小正方形的边长均为1，
故，，
则.故选:D.
【变式3-1】（2023·广东阳江·高一广东两阳中学校考期末）已知，，若，则x等于（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【解析】由题意，，，，，解得：.故选：C.
【变式3-2】（2023·江西宜春·高一校联考阶段练习）已知边长为2的菱形中，，点E是BC上一点，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，设，
则，
因为，
所以，解得，故，
则.故选：B
【变式3-3】（2023·河北石家庄·高一校考期中）等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P为腰AD所在直线上任意一点，则的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】等腰梯形ABCD中，作垂直于于点，作垂直于于点，
又，，，
则，，，，
则建立如图所示平面直角坐标系，
则，，，，
又P为腰AD所在直线上任意一点，
则设，，则点P的坐标为，
所以，，
又关于的二次函数的对称轴为，
则在上单调递减，
所以当，即点P和点D重合时，取得最小值．
故的最小值是．故选：C．
考点4 利用坐标解决向量垂直问题
【例4】（2023·云南昆明·高一校考期中）已知向量，，且，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】因为，所以，解得．故选：C.
【变式4-1】（2023·全国·高一随堂练习）已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】法一：用坐标表示向量
由题意可知，，
由得，，
整理得，，所以．则A对；
法二：因为向量，所以，
又，所以，
所以.故选：A．
【变式4-2】（2023·全国·高一随堂练习）已知，，，若，则 .
【答案】
【解析】由，，得，
又，则，解得.
【变式4-3】（2023·甘肃临夏·高一统考期末）已知点及平面向量，，．
（1）当点P在x轴上时，求实数m的值；
（2）当时，求实数k的值．
【答案】（1）4；（2）
【解析】（1）,
因为点P在x轴上，所以，解得.
（2），，
又因为，
所以，解得.
考点5 利用坐标求向量的模长
【例5】（2023·全国·高一随堂练习）已知向量，则（ ）
A．10 B．5 C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，所以.故选：C
【变式5-1】（2023·北京顺义·高一牛栏山一中校考期中）已知向量，，则向量的模为 .
【答案】5
【解析】因为，，
又，所以，.
【变式5-2】（2023·云南昆明·高一校考阶段练习）设向量，，，则（ ）
A． B． C． D．10
【答案】C
【解析】，故，
又，，
故，解得.故选：C
【变式5-3】（2023·河南周口·高一统考期中）如图．在直角梯形中，，，，点P是腰上的动点，则的最小值为 ．
【答案】4
【解析】由在直角梯形中．，
则，则以A为原点，为轴建立平面直角坐标系，
设，设，则，
故，
所以，故，
当且仅当即时取得等号，即的最小值为4.
考点6 利用坐标求向量的夹角
【例6】（2023·广东佛山·高一校联考阶段练习）已知向量，则与夹角的余弦值为 ．
【答案】
【解析】由题意可得：，，
所以与夹角的余弦值.
【变式6-1】（2023·河北邢台·高一邢台市第二中学校考阶段练习）已知点，，向量，，则与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为点，，向量，，
所以，，
所以与的夹角的余弦值.故选：A
【变式6-2】（2023·贵州毕节·高一统考期末）已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，
又因为，所以，解得，
则，所以，
所以.故选：D
【变式6-3】（2023·上海·高一校考期末）若向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围为
【答案】
【解析】因为向量，，且与的夹角为锐角，所以，且与不共线，
由，得，解得，
若与共线，则，得，所以当时，与不共线，
综上，且，即的取值范围为.
考点7 利用坐标求向量的夹角
【例7】（2023·上海·高一控江中学校考期末）已知直角坐标平面上两点、，若满足，则点的坐标为 .
【答案】
【解析】设点的坐标为，
因为点，，所以，，
因为，所以，解得，
所以点的坐标为
【变式7-1】（2023·广东揭阳·高三统考期中）已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】因为，，可得，
又因为点是线段的三等分点，
则或，
所以或，
即点的坐标为或.故选：C.
【变式7-2】（2023·贵州·高一校联考阶段练习）已知，，点分所成的比为，则与的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，，，∴，，
∵分所成的比为，
∴，即，
∴有，解得.故选：D.
【变式7-3】（2023·山东枣庄·高一统考期末）（多选）已知点是的重心，点，，，点是上靠近点的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】点是的重心，点，，，
设点，，A选项正确；
点是上靠近点的三等分点，则
设则即,解得，B选项正确;
因为，则，
即，C选项错误;
，D选项错误;故选:AB.
考点8 由坐标判断向量是否共线
【例8】（2023·全国·高一课时练习）（多选）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】能作为平面内的基底，则两向量与不平行，
A选项，，∴与不平行；
B选项，，∴与不平行；
C选项，，∴与不平行；
D选项，，∴.故选：ABC.
【变式8-1】（2023·浙江嘉兴·高一校考阶段练习）（多选）下列向量中与共线的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】因为，所以与共线，因此选项A正确；
因为，所以与不共线，因此选项B不正确；
因为，所以与共线，因此选项C正确；
因为零向量与任何向量平行，因此选项D正确，故选：ACD
【变式8-2】（2023·贵州毕节·高一校考期中）已知向量，，则与向量共线的向量的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件求出向量的坐标，再结合向量共线的坐标公式逐项计算判断即可.
对选项A：因为，所以两向量共线，A正确；
对选项B：因为，所以两向量不共线，B错误；
对选项C：因为，所以两向量不共线，C错误；
对选项D：因为，所以两向量不共线，D错误；故选：A.
【变式8-4】（2023·北京平谷·高一统考期末）已知向量，，那么向量可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】向量，，则存在，使得
故只有向量符合，故选：A.
考点9 由向量共线(平行)求参数
【例9】（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期中）已知，，，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】,,
由得，，解得，故选：C.
【变式9-1】（2023·河北邢台·高一邢台市第二中学校考阶段练习）向量，，，，若，则 .
【答案】6或
【解析】因为，所以设，
则，
若不共线，则，则，无实根，不符合题意；
则共线，因为向量，，
所以，解得或.
【变式9-2】（2023·全国·高一随堂练习）已知，，，当时，求实数x，y应满足的关系式．
【答案】
【解析】由已知可得，.
因为，所以，所以有，整理可得，.
【变式9-3】（2023上·湖南长沙·高二校考开学考试）平面给定三个向量，，
（1）若，求的值；
（2）若向量与向量共线，求实数k的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题知，，所以，
又因为，所以，解得，所以.
（2）由题知，，
又因为与共线，所以，解得：.
考点10 由坐标解决三点共线问题
【例10】（2023·贵州安顺·高一统考期末）若三点、、共线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】已知三点、、共线，则，，
由题意可知，所以，，解得.故选：D.
【变式10-1】（2023·江苏无锡·高一天一中学校考期末）已知点，，，若A，B，C三点共线，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知
由于A，B，C三点共线，所以与共线，
所以，所以,故选：D
【变式10-2】（2023·河北邯郸·高一统考期中）已知向量，，，若B，C，D三点共线，则（ ）
A．－16 B．16 C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，，
因为B，C，D三点共线，所以，则，得.故选：A.
【变式10-3】（2023·新疆·高一八一中学校考期末）在平面直角坐标系中，向量，，，若A，B，C三点共线，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为A，B，C三点共线，则，，
即，
则，解得.故选：C
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一、单选题
1．（2023·重庆·高一校考期中）已知，则的中点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设的中点坐标是，
由三点共线可知，即，解得；
所以中点坐标为.故选：B
2．（2023·江苏淮安·高一统考期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】只要两个向量不共线，即可作为基底向量
对于A，因为，，所以，则共线，故A不符合；
对于B，因为，，所以，则共线，故B不符合；
对于C，因为，，所以，则共线，故C不符合；
对于D，因为，，所以，
则不共线，故D符合；故选：D.
3．（2023·甘肃武威·高一天祝藏族自治县第一中学校考阶段练习）已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为向量，，，
所以，即，则.故选:B.
4．（2023·吉林长春·高一长春外国语学校校考阶段练习）已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】向量，且，
故选：C
5．（2023·贵州安顺·高一统考期末）已知向量，则向量在向量上的投影向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，
所以，，
所以向量在向量上的投影向量为.故选：D
6．（2023·河北保定·高一统考期中）已知、、三点共线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为、、，则，，
因为、、三点共线，则，所以，即．故选：C.
7．（2023·江苏常州·高一校联考期末）已知向量，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，
所以，，，
设与的夹角为，则，
又，所以.故选：A
8．（2023·四川成都·高一树德中学校考期末）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，则，将点绕点沿顺时针方向旋转，
即将点绕点沿逆时针方向旋转，
可得，
化简可得，，
又因为，
所以，解得，所以.故选：D
二、多选题
9．（2023·广西玉林·高一校联考期末）已知是单位向量，且，则（ ）
A．与垂直 B．
C．与的夹角为 D．在上投影向量的坐标为
【答案】AD
【解析】，因为是单位向量，
所以，所以，所以，故A正确；
因为，所以，故B错误；
因为，
设与的夹角为，所以，
所以与的夹角为，故错误；
在上的投影向量坐标为，所以D对.故选：AD.
10．（2023·云南大理·高一统考期末）已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】因为向量，，
则，，
因此，A错误，B正确；
由，知C错误；
，D正确，故选：BD
11．（2023·广东东莞·高一校考阶段练习）（多选）已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则向量在上的投影向量为 D．若，则向量与的夹角为锐角
【答案】AB
【解析】已知平面向量，，，
对于选项A，若，则，即，即选项A正确；
对于选项B，若，则，即，即选项B正确；
对于选项C，若，则，
则向量在上的投影向量为，即选项C错误；
对于选项D，当时，，
则当，向量与的夹角为锐角错误，即选项D错误，故选：AB．
12．（2023·广东中山·高一中山纪念中学校考阶段练习）在边长为2的正中，满足相交于点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量为
【答案】AD
【解析】因为是边长为2的等边三角形，是上的点，且，
以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系如图：
则，
又因为，即为边上的一个靠近的三等分点，于是，
设，则，而，
由三点共线得，解得，即，因此是的中点，
因为，所以，A正确；
因为，，B错误；
显然，，
因此，C错误；
又因为，
所以在方向上的投影向量，D正确.故选：AD
三、填空题
13．（2023·上海闵行·高一校考阶段练习）已知向量，，则向量的单位向量是 .
【答案】
【解析】因为，，
所以，则，
所以向量的单位向量为.
14．（2023·河北石家庄·高一校考期中）已知向量，若与共线，则m的值为 ．
【答案】
【解析】向量，则，
，
由向量与共线，得，解得，所以m的值为.
15．（2023·江苏泰州·高一统考期中）如图，在4×4的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量，，满足，则 ．
【答案】7
【解析】建立如图所示直角坐标系，设小方格的边长为单位长度1，
可得，同理可得，
，
将方程组中两式相加,可得.
16．（2023·湖北黄冈·高一校考阶段练习）设向量，，且，则 ．
【答案】
【解析】由，得，
根据得，解得.
四、解答题
17．（2023·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练习）已知向量，，
（1）分别求，的坐标；
（2）若向量，且与向量平行，求实数k的值．
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）依题意，，
.
（2）由（1）知，而，
由与向量平行，得，解得：，
所以实数k的值是.
18．（2023·云南怒江·高一校考阶段练习）已知，.
（1）已知，，在所给直角坐标系中标出A，B两点的位置；
（2）求；
（3）求.
【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）.
【解析】（1）由，，得，
所以，，在直角坐标系中A，B两点的位置如下：
（2），，，，
.
（3），.
19．（2023·天津武清·高一校考阶段练习）已知向量，
（1）向量在向量上的投影向量的坐标；
（2）求
（3）若与垂直，求实数的值.
【答案】（1）；（2）8；（3）19
【解析】（1）.
（2）因为，所以.
（3），
，
因为与垂直，所以，
得，解得，
即当时，与垂直.
20．（2023·广东佛山·高一校考阶段练习）已知，．
（1）若，，且、、三点共线，求的值
（2）当为何值时，有与垂直
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），，
，，
，，三点共线，与共线，
，解得；
（2），，
与垂直，，解得．
21．（2023·四川成都·高一树德中学校考期末）已知，，，．
（1）为何值时，点在轴上？
（2）若与的夹角是钝角，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意知：，，
所以，．
因为点在轴上，所以，解得．
（2）因为，所以与不共线．
又与的夹角是钝角，所以只需，
即，解得．
22．（2023·高一单元测试）已知坐标平面内三点，，．
（1）若，，，可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标；
（2）若是线段上一动点，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设（），依题意可得，
又，，，
所以，，
所以，解得，即.
（2）设，，则，
所以，则，
所以，
因为，所以当时取最小值，
当时取最大值，
所以的取值范围为.