【中考解析】上海市2017年中考数学真题试题(含解析)

上海市2017年中考数学真题试题

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

1．下列实数中，无理数是（　　）

A．0     B．     C．﹣2     D．

【答案】B

【解析】

试题分析：0，﹣2， 是有理数， 是无理数，

故选B．

考点：无理数的定.

2．下列方程中，没有实数根的是（　　）

A．x2﹣2x=0      B．x2﹣2x﹣1=0     C．x2﹣2x+1=0    D．x2﹣2x+2=0

【答案】D

【解析】

考点：根的判别式

3．如果一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象经过第一、二、四象限，那么k、b应满足的条件是（　　）

A．k＞0，且b＞0     B．k＜0，且b＞0    C．k＞0，且b＜0     D．k＜0，且b＜0

【答案】B

【解析】

试题分析：∵一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象经过第一、二、四象限，

∴k＜0，b＞0，

故选B．

考点：一次函数的性质和图象

4．数据2、5、6、0、6、1、8的中位数和众数分别是（　　）

A．0和6 B．0和8 C．5和6 D．5和8

【答案】C

【解析】

试题分析：将2、5、6、0、6、1、8按照从小到大排列是：0，1，2，5，6，6，8，

位于中间位置的数为5，故中位数为5，

数据6出现了2次，最多，故这组数据的众数是6，中位数是5，

故选C．

考点：1.众数；2.中位数.

5．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（　　）

A．菱形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．等腰梯形

【答案】A

【解析】

考点：中心对称图形与轴对称图形.

6．已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（　　）

A．∠BAC=∠DCA    B．∠BAC=∠DAC   C．∠BAC=∠ABD  D．∠BAC=∠ADB

【答案】C

【解析】

试题分析：A、∠BAC=∠DCA，不能判断四边形ABCD是矩形；

B、∠BAC=∠DAC，能判定四边形ABCD是菱形；不能判断四边形ABCD是矩形；

C、∠BAC=∠ABD，能得出对角线相等，能判断四边形ABCD是矩形；

D、∠BAC=∠ADB，不能判断四边形ABCD是矩形；

故选C．

考点：1.矩形的判定；2.平行四边形的性质；3.菱形的判定.

二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）

7．计算：2a﹒a2=　　．

【答案】2a3

【解析】

试题分析：2a﹒a2=2a3．

考点：单项式的乘法.

8．不等式组 的解集是　　．

【答案】x＞3

【解析】

考点：解一元一次不等式组.

9．方程=1的解是　　．

【答案】x=2

【解析】

试题分析：=1，两边平方得，2x﹣3=1，

解得，x=2；

经检验，x=2是方程的根；

故答案为x=2．

考点：解无理方程.

10．如果反比例函数y=（k是常数，k≠0）的图象经过点（2，3），那么在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而　　．（填“增大”或“减小”）

【答案】减小

【解析】

试题分析：∵反比例函数y=（k是常数，k≠0）的图象经过点（2，3），

∴k=2×3=6＞0，

∴这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小．

考点：反比例函数的性质.

11．某市前年PM2.5的年均浓度为50微克/立方米，去年比前年下降了10%，如果今年PM2.5的年均浓度比去年也下降10%，那么今年PM2.5的年均浓度将是　　微克/立方米．

【答案】40.5

【解析】

考点：有理数的混合运算.

12．不透明的布袋里有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，那么从布袋中任意摸出一球恰好为红球的概率是　　．

【答案】

【解析】

试题分析：∵在不透明的袋中装有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，

∴从这不透明的袋里随机摸出一个球，所摸到的球恰好为红球的概率是：=

考点：概率公式.

13．已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣1 ），那么这个二次函数的解析式可以是　　．

【答案】y=2x2﹣1

【解析】

试题分析：由题意设该抛武线的解析式为y=ax2﹣1，

又∵二次函数的图象开口向上，

∴a＞0，

∴这个二次函数的解析式可以是y=2x2﹣1，

故答案为：y=2x2﹣1．

考点：待定系数法求函数解析式

14．某企业今年第一季度各月份产值占这个季度总产值的百分比如图所示，又知二月份产值是72万元，那么该企业第一季度月产值的平均数是　　万元．

【答案】120

【解析】

考点：扇形统计图

15．如图，已知AB∥CD，CD=2AB，AD、BC相交于点E，设 ，，那么向量 用向量 、 表示为　　．

【答案】

【解析】

试题分析：∵AB∥CD，∴ ∴ED=2AE，

∵，∴，∴= =．

考点：1.平面向量；2.平行线的性质

16．一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C 与F 重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），如果EF∥AB，那么n的值是　　．

【答案】45

【解析】

试题分析：①如图1中，EF∥AB时，∠ACE=∠A=45°，∴旋转角n=45时，EF∥AB．

②如图2中，EF∥AB时，∠ACE+∠A=180°，∴∠ACE=135°∴旋转角n=360°﹣135°=225°，

∵0＜n°＜180，∴此种情形不合题意，

故答案为45

考点：1.旋转变换；2.平行线的性质

17．如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，AC=3，BC=4．分别以点A、B为圆心画圆．如果点C在⊙A内，点B在⊙A外，且⊙B与⊙A内切，那么⊙B的半径长r的取值范围是　  　．

【答案】8＜r＜10

【解析】

试题分析：如图1，当C在⊙A上，⊙B与⊙A内切时，

⊙A的半径为：AC=AD=4，

⊙B的半径为：r=AB+AD=5+3=8；

考点：1.圆与圆的位置关系；2.点与圆的位置关系；3.勾股定理.

18．我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6=　　．

【答案】

【解析】

试题分析：如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接EC．

易知BE是正六边形最长的对角线，EC的正六边形的最短的对角线，

∵△OBC是等边三角形，∴∠OBC=∠OCB=∠BOC=60°，

∵OE=OC，∴∠OEC=∠OCE，

∵∠BOC=∠OEC+∠OCE，∴∠OEC=∠OCE=30°，∴∠BCE=90°，

∴△BEC是直角三角形，∴ =cos30°=，

∴λ6=.

考点：1.正多边形与圆；2.等边三角形的性质；3.锐角三角函数

三、解答题（本大题共7小题，共78分）

19．计算：  +（ ﹣1）2﹣ +（）﹣1．

【答案】+2

【解析】

试题分析：根据负整数指数幂和分数指数幂的意义计算．

试题解析：原式=3+2﹣2+1﹣3+2=+2.

考点：二次根式的混合运算

20．解方程：．

【答案】x=﹣1

【解析】

∴原方程的解为x=﹣1．

考点：解分式方程

21．如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且AD⊥BC．

（1）求sinB的值；

（2）现需要加装支架DE、EF，其中点E在AB上，BE=2AE，且EF⊥BC，垂足为点F，求支架DE的长．

【答案】（1）sinB= ；（2）DE =5．

【解析】

考点：1.解直角三角形的应用；2.平行线分线段成比例定理.

22．甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．

甲公司方案：每月的养护费用y（元）与绿化面积x（平方米）是一次函数关系，如图所示．

乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500 元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元．

（1）求如图所示的y与x的函数解析式：（不要求写出定义域）；

（2）如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．

【答案】（1）y=5x+400；（2）选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少．

【解析】

∴选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少．

考点：一次函数的应用．

23．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）首先证得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性质可得∠ADE=∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE=∠CBD，易得∠CDB=∠CBD，可得BC=CD，易得AD=BC，利用平行线的判定定理可得四边形ABCD为平行四边形，由AD=CD可得四边形ABCD是菱形；

（2）由BE=BC可得△BEC为等腰三角形，可得∠BCE=∠BEC，利用三角形的内角和定理可得∠CBE=180× =45°，易得∠ABE=45°，可得∠ABC=90°，由正方形的判定定理可得四边形ABCD是正方形．

考点：1.正方形的判定与性质；2.菱形的判定及性质.

24．已知在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（2，2），对称轴是直线x=1，顶点为B．

（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；

（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，联结AM，用含m的代数式表示∠AMB的余切值；

（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上．原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP=OQ，求点Q的坐标．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+2．顶点B坐标为（1，3）．

（2）cot∠AMB=m﹣2．

（3）点Q的坐标为（，﹣）或（，﹣）．

【解析】

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+2．

配方得：y=﹣（x﹣1）2+3．∴抛物线的顶点坐标为（1，3）．

（2）如图所示：过点A作AC⊥BM，垂足为C，则AC=1，C（1，2）．

∵M（1，m），C（1，2），∴MC=m﹣2．∴cot∠AMB==m﹣2．

（3）∵抛物线的顶点坐标为（1，3），平移后抛物线的顶点坐标在x轴上，

∴抛物线向下平移了3个单位．

∴平移后抛物线的解析式为y=﹣x2+2x﹣1，PQ=3．

∵OP=OQ，∴点O在PQ的垂直平分线上．

又∵QP∥y轴，∴点Q与点P关于x轴对称．

∴点Q的纵坐标为﹣ ．

将y=﹣代入y=﹣x2+2x﹣1得：﹣x2+2x﹣1=﹣，解得：x= 或x=．

∴点Q的坐标为（，﹣）或（，﹣）．

考点：二次函数的综合应用.

25．如图，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB=AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC．

（1）求证：△OAD∽△ABD；

（2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；

（3）记△AOB、△AOD、△COD 的面积分别为S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OD的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）BC= ．（3）OD=．

【解析】

试题解析：（1）如图1中，

在△AOB和△AOC中，  ，∴△AOB≌△AOC，∴∠C=∠B，

（3）如图3中，作OH⊥AC于H，设OD=x．

∵△DAO∽△DBA，∴ ,∴，∴AD= ，AB= ，

∵S2是S1和S3的比例中项，∴S22=S1S3，

∵S2=ADOH，S1=S△OAC=AC﹒OH，S3=CD﹒OH，∴（AD﹒OH）2=AC﹒OH﹒CD﹒OH，

∴AD2=ACCD，

考点：1.圆综合题；2.全等三角形的判定和性质；3.相似三角形的判定和性质；4.比例中项.