中考试题分类（10）——四边形(含解析)

数学中考试题分类（10）——四边形一．选择题（共12小题）1．如图，的对角线，交于点，若，，则的长可能是　　A．10 B．8 C．7 D．62．如图，四边形是平行四边形，点，，，在同一条直线上，请添加一个条件使得，下列不正确的是　　A． B． C． D．3．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴的正半轴上，矩形的另一个顶点在轴的正半轴上，矩形的边，，，则点到轴的距离等于　　A． B． C． D．4．在矩形中，、相交于点，若的面积为2，则矩形的面积为　　A．4 B．6 C．8 D．105．如图，在四边形中，对角线和相交于点，下列条件不能判断四边形是平行四边形的是　　A．， B．， C．， D．，6．若一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数为　　A．6 B．7 C．8 D．97．正多边形的一个外角为，则这个多边形的边数为　　A．5 B．6 C．7 D．88．如图，四边形的对角线相交于点，且点是的中点，若，，，则四边形的面积为　　A．40 B．24 C．20 D．159．下列说法正确的是　　A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等 B．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形 C．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于 D．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度10．顺次连接菱形四边中点得到的四边形是　　A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形11．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知，，，则正方形的边长是　　A． B．2 C． D．412．已知一个多边形的内角和是，则这个多边形是　　A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形二．填空题（共10小题）13．如图，在中，，斜边，过点作，以为边作菱形，若，则的面积为　　．14．如图，正方形的边长为1，将其绕顶点按逆时针方向旋转一定角度到位置，使得点落在对角线上，则阴影部分的面积是　　．15．在平面直角坐标系中，为原点，点，点在轴的正半轴上，，矩形的顶点，，分别在，，上，．将矩形沿轴向右平移，当矩形与重叠部分的面积为时，则矩形向右平移的距离为　　．16．若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是　　．17．已知一个边形的每一个外角都为，则等于　　．18．一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是　　．19．如图，在四边形中，若，则添加一个条件　　，能得到平行四边形．（不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可）20．如图所示，过正五边形的顶点作一条射线与其内角的角平分线相交于点，且，则　　度．21．若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为　　．22．四边形的内角和是　　．三．解答题（共23小题）23．（2020•永州）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形时，求证：四边形是菱形．（3）设平移的距离为，两张纸条重叠部分的面积为．求与的函数关系式，并求的最大值．24．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形中，是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？（2）如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，，点到直线的距离为．①求的长；②若、分别是、边上的动点，求周长的最小值．25．如图，中，，，分别在边、上的点与点关于对称，连接、、、．（1）试判定四边形的形状，并说明理由；（2）求证：．26．已知：如图①，将一块角的直角三角板与正方形的一角重合，连接，，点是的中点，连接．（1）请你猜想与的数量关系是　　．（2）如图②，把正方形绕着点顺时针旋转角．①与的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温馨提示：延长到点，使，连接②求证：；③若旋转角，且，求的值．（可不写过程，直接写出结果）27．如图1，平面直角坐标系中，等腰的底边在轴上，，顶点在的正半轴上，，一动点从出发，以每秒1个单位的速度沿向左运动，到达的中点停止．另一动点从点出发，以相同的速度沿向左运动，到达点停止．已知点、同时出发，以为边作正方形，使正方形和在的同侧，设运动的时间为秒．（1）当点落在边上时，求的值；（2）设正方形与重叠面积为，请问是否存在值，使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取的中点，连结，当点、开始运动时，点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动，到达点停止运动．请问在点的整个运动过程中，点可能在正方形内（含边界）吗？如果可能，求出点在正方形内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．28．如图，在矩形中，过对角线的中点作的垂线，分别交，于点，．（1）求证：；（2）若，，连接，，求四边形的周长．29．如图1，在等腰直角三角形中，，．点是的中点，以为边作正方形，连接，．将正方形绕点顺时针旋转，旋转角为．（1）如图2，在旋转过程中，①判断与是否全等，并说明理由；②当时，与交于点，求的长．（2）如图3，延长交直线于点．①求证：；②在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．30．如图所示，的顶点在正方形对角线的延长线上，与交于点，连接、，满足．（1）求证：．（2）若正方形的边长为1，，求的值．31．问题背景：如图1，在四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交、于、．探究图中线段，，之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是　　；探究延伸1：如图2，在四边形中，，，，，绕点旋转．它的两边分别交、于、，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立” ，不要说明理由；探究延伸2：如图3，在四边形中，，，，绕点旋转．它的两边分别交、于、．上述结论是否仍然成立？并说明理由；实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心处）北偏西的处．舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以100海里小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达、处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为．试求此时两舰艇之间的距离．32．如图，在菱形中，将对角线分别向两端延长到点和，使得．连接，，，．求证：四边形是菱形．33．如图1，在矩形中，，，动点，分别从点，点同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边，上沿，的方向运动，当点运动到点时，，两点同时停止运动．设点运动的时间为，连接，过点作，与边相交于点，连接．（1）如图2，当时，延长交边于点．求证：；（2）在（1）的条件下，试探究线段，，三者之间的等量关系，并加以证明；（3）如图3，当时，延长交边于点，连接，若平分，求的值．34．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，．（1）求证：；（2）求的度数．35．如图，点，在的边，上，，，连接，．求证：四边形是平行四边形．36．如图一，在射线的一侧以为一条边作矩形，，，点是线段上一动点（不与点重合），连结，过点作的垂线交射线于点，连接．（1）求的大小；（2）问题探究：动点在运动的过程中，①是否能使为等腰三角形，如果能，求出线段的长度；如果不能，请说明理由．②的大小是否改变？若不改变，请求出的大小；若改变，请说明理由．（3）问题解决：如图二，当动点运动到的中点时，与的交点为，的中点为，求线段的长度．37．如图，点、、、分别在矩形的边、、、（不包括端点）上运动，且满足，．（1）求证：；（2）试判断四边形的形状，并说明理由．（3）请探究四边形的周长一半与矩形一条对角线长的大小关系，并说明理由．38．如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．（1）求证：；（2）若，，求四边形的面积．39．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，．若不改变矩形的形状和大小，当矩形顶点在轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点始终在轴的正半轴上随之上下移动．（1）当时，求点的坐标；（2）设的中点为，连接、，当四边形的面积为时，求的长；（3）当点移动到某一位置时，点到点的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时的值．40．如图，中，点是边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，．求证：四边形是平行四边形．41．操作体验：如图，在矩形中，点、分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为直线上一动点（不与、重合），过点分别作直线、的垂线，垂足分别为点和，以、为邻边构造平行四边形．（1）如图1，求证：；（2）特例感知：如图2，若，，当点在线段上运动时，求平行四边形的周长；（3）类比探究：若，．①如图3，当点在线段的延长线上运动时，试用含、的式子表示与之间的数量关系，并证明；②如图4，当点在线段的延长线上运动时，请直接用含、的式子表示与之间的数量关系．（不要求写证明过程）42．如图，在菱形中，点、分别为、边上的点，，求证：．43．已知：如图，在中，，，，分别为垂足．（1）求证：；（2）求证：四边形是矩形．44．如图所示，已知正方形的顶点为正方形对角线、的交点，连接、．（1）求证：；（2）若，正方形的边长为2，线段与线段相交于点，，求正方形的边长．45．如图，在等边中，，动点从点出发以的速度沿匀速运动．动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设运动时间为．过点作于，连接交边于．以、为边作平行四边形．（1）当为何值时，为直角三角形；（2）是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；（3）求的长；（4）取线段的中点，连接，将沿直线翻折，得△，连接，当为何值时，的值最小？并求出最小值．湖南省2019年、2020年数学中考试题分类（10）——四边形一．选择题（共12小题）1．（2020•益阳）如图，的对角线，交于点，若，，则的长可能是　　A．10 B．8 C．7 D．6【解答】解：四边形是平行四边形，，，在中：，即，的长可能为6．故选：．2．（2020•邵阳）如图，四边形是平行四边形，点，，，在同一条直线上，请添加一个条件使得，下列不正确的是　　A． B． C． D．【解答】解：四边形是平行四边形，，，，，，．若添加，则无法证明，故选项符合题意；．若添加，运用可以证明，故选项不符合题意；．若添加，运用可以证明，故选项不符合题意；．若添加，运用可以证明，故选项不符合题意．故选：．3．（2020•湘西州）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴的正半轴上，矩形的另一个顶点在轴的正半轴上，矩形的边，，，则点到轴的距离等于　　A． B． C． D．【解答】解：作轴于，如图：四边形是矩形，，，，，，，，，，，，，点到轴的距离等于；故选：．4．（2020•怀化）在矩形中，、相交于点，若的面积为2，则矩形的面积为　　A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：四边形是矩形，对角线、相交于点，，且，，矩形的面积为，故选：．5．（2020•衡阳）如图，在四边形中，对角线和相交于点，下列条件不能判断四边形是平行四边形的是　　A．， B．， C．， D．，【解答】解：，，四边形是平行四边形，故选项中条件可以判定四边形是平行四边形；，，四边形是平行四边形，故选项中条件可以判定四边形是平行四边形；，，则无法判断四边形是平行四边形，故选项中的条件，不能判断四边形是平行四边形；，，四边形是平行四边形，故选项中条件可以判定四边形是平行四边形；故选：．6．（2020•怀化）若一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数为　　A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：设这个多边形的边数为，根据题意得：，解得：．故选：．7．（2020•娄底）正多边形的一个外角为，则这个多边形的边数为　　A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：设所求正多边形边数为，则，解得．故正多边形的边数是6．故选：．8．（2019•永州）如图，四边形的对角线相交于点，且点是的中点，若，，，则四边形的面积为　　A．40 B．24 C．20 D．15【解答】解：，点是的中点，，，，，，，，，四边形是菱形，，，，，四边形的面积，故选：．9．（2019•永州）下列说法正确的是　　A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等 B．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形 C．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于 D．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度【解答】解：．有两边和一角分别相等的两个三角形全等；不正确；．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形；不正确；．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于；不正确；．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度；正确；故选：．10．（2019•娄底）顺次连接菱形四边中点得到的四边形是　　A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【解答】解：如图，、分别是、的中点，且，同理，且，且，四边形是平行四边形，四边形是菱形，，又根据三角形的中位线定理，，，，平行四边形是矩形．故选：．11．（2019•郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知，，，则正方形的边长是　　A． B．2 C． D．4【解答】解：设正方形的边长为，由题意得：，，，在中，，即，整理得，，解得：，或（舍去），，即正方形的边长是2；故选：．12．（2019•湘西州）已知一个多边形的内角和是，则这个多边形是　　A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形【解答】解：设所求多边形边数为，则，解得．故选：．二．填空题（共10小题）13．（2020•邵阳）如图，在中，，斜边，过点作，以为边作菱形，若，则的面积为　　．【解答】解：如图，分别过点、作、垂直，垂足为点、，根据题意四边形为菱形，，又在中，，根据题意，，根据平行线间的距离处处相等，，的面积为．故答案为：．14．（2020•张家界）如图，正方形的边长为1，将其绕顶点按逆时针方向旋转一定角度到位置，使得点落在对角线上，则阴影部分的面积是　　．【解答】解：方法一：正方形的边长为1，将其绕顶点按逆时针方向旋转一定角度到位置，使得点落在对角线上，，，，，阴影部分的面积；方法二：过点作交、于、点，设与交于点点，连接，如下图所示，在对角线上，，，为等腰直角三角形，，又，且，和均为直角三角形，，，又，，为等腰直角三角形，设，则，，，解得，，阴影部分的面积．故答案为：．15．（2020•湘西州）在平面直角坐标系中，为原点，点，点在轴的正半轴上，，矩形的顶点，，分别在，，上，．将矩形沿轴向右平移，当矩形与重叠部分的面积为时，则矩形向右平移的距离为　2　．【解答】解：点，，，，四边形是矩形，，，在中，，，，点的坐标为，；矩形的面积为，将矩形沿轴向右平移，矩形与重叠部分的面积为矩形与不重叠部分的面积为，如图，设，则，依题意有，解得（负值舍去）．故矩形向右平移的距离为2．故答案为：2．16．（2020•湘西州）若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是　6　．【解答】解：设该多边形的边数为，根据题意，得，，解得：．故这个多边形的边数为6．故答案为：617．已知一个边形的每一个外角都为，则等于　12　．【解答】解：一个边形的每一个外角都为，任意多边形的外角和都是，．故答案为：12．18．（2020•益阳）一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是　5　．【解答】解：设这个多边形的边数是，则，解得，故答案为：5．19．（2019•湘潭）如图，在四边形中，若，则添加一个条件　　，能得到平行四边形．（不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可）【解答】解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：．故答案为：（答案不唯一）．20．（2019•株洲）如图所示，过正五边形的顶点作一条射线与其内角的角平分线相交于点，且，则　66　度．【解答】解：五边形为正五边形，度，是的角平分线，度，，．故答案为：66．21．（2019•岳阳）若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为　4　．【解答】解：设多边形的边数为，则，解得：，故答案为：4．22．（2019•湘潭）四边形的内角和是　　．【解答】解：．故四边形的内角和为．故答案为：．三．解答题（共23小题）23．（2020•永州）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形时，求证：四边形是菱形．（3）设平移的距离为，两张纸条重叠部分的面积为．求与的函数关系式，并求的最大值．【解答】解：（1）在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，梯形，菱形，五边形．如下图所示，（2）分别过，作于点，于点，如图，，两纸条等宽，，，，两纸条都是矩形，，，四边形是平行四边形，又，四边形是菱形；（3）①当时，重叠部分为三角形，如图所求，，，当时，取最大值为；②当时，重叠部分为梯形，如图所求，梯形的下底为，上底为，，当时，取最大值为；③当时，重叠部分为五边形，如图所求，，此时，；④当时，重叠部分为菱形，如图所求，，综上，与函数关系为：当时，；当时，，当时，，当时，．故的最大值为．24．（2020•益阳）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形中，是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？（2）如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，，点到直线的距离为．①求的长；②若、分别是、边上的动点，求周长的最小值．【解答】解：（1）四边形是正方形，，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，，，，，四边形为“直等补”四边形；（2）①过作于点，如图1，则，四边形是“直等补”四边形，，，，，，，，，四边形是矩形，，，，，，，，设，则，，，解得，，或（舍，；②如图2，延长到，使得，延长到，使得，连接，分别与、交于点、，过作，与的延长线交于点．则，，，，，的周长的值最小，四边形是“直等补”四边形，，，，，，，，，，，，，，周长的最小值为．25．（2020•娄底）如图，中，，，分别在边、上的点与点关于对称，连接、、、．（1）试判定四边形的形状，并说明理由；（2）求证：．【解答】（1）解：四边形是菱形，理由如下：四边形是平行四边形，，，点与点关于对称，，，，在和中，，，，，四边形是菱形；（2）证明：，，，，，，，是等边三角形，，，，四边形是平行四边形，，，，又，，，，．26．（2020•邵阳）已知：如图①，将一块角的直角三角板与正方形的一角重合，连接，，点是的中点，连接．（1）请你猜想与的数量关系是　　．（2）如图②，把正方形绕着点顺时针旋转角．①与的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温馨提示：延长到点，使，连接②求证：；③若旋转角，且，求的值．（可不写过程，直接写出结果）【解答】解：（1）猜想与的数量关系是，理由：四边形是正方形，，，在和中，，，，是的中点，，，故答案为：；（2）①仍然成立，理由如下：延长到点，使，连接，是中点，，又，，，，，又，四边形是正方形，，，，，，；②，，，，，；③，，，，过点作的延长线于点，，是等腰直角三角形，设，则，，，，故．27．（2020•衡阳）如图1，平面直角坐标系中，等腰的底边在轴上，，顶点在的正半轴上，，一动点从出发，以每秒1个单位的速度沿向左运动，到达的中点停止．另一动点从点出发，以相同的速度沿向左运动，到达点停止．已知点、同时出发，以为边作正方形，使正方形和在的同侧，设运动的时间为秒．（1）当点落在边上时，求的值；（2）设正方形与重叠面积为，请问是否存在值，使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取的中点，连结，当点、开始运动时，点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动，到达点停止运动．请问在点的整个运动过程中，点可能在正方形内（含边界）吗？如果可能，求出点在正方形内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．【解答】解：（1）如图中，由题意，，，，当点落在上时，，，，，点的运动路程为1，时，点落在上．（2）由题意，在，的运动过程中，开始正方形的边长为1，正方形与重叠面积为，，此时点与重合，已经停止运动，如图中，重叠部分是五边形．由题意：，整理得，解得或（舍弃），满足条件的的值为．（3）如图中，当点第一次落在上时，，，当点第一次落在上时，，，点第一次落在正方形内部（包括边界）的时长，当点第二次落在上时，，，当点第二次落在上时，，，点第二次落在正方形内部（包括边界）的时长，当时，点运动，在点不动，在正方形的边界，点落在正方形内部（包括边界）的总时长．28．（2020•张家界）如图，在矩形中，过对角线的中点作的垂线，分别交，于点，．（1）求证：；（2）若，，连接，，求四边形的周长．【解答】（1）证明：四边形是矩形，，，，又，，在和中，，；（2）解：由（1）可得，，，四边形是平行四边形，，，，四边形是菱形，根据，，设，可得，在中，根据勾股定理可得：，即，解得：，，四边形的周长．29．（2020•郴州）如图1，在等腰直角三角形中，，．点是的中点，以为边作正方形，连接，．将正方形绕点顺时针旋转，旋转角为．（1）如图2，在旋转过程中，①判断与是否全等，并说明理由；②当时，与交于点，求的长．（2）如图3，延长交直线于点．①求证：；②在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）①如图2中，结论：．理由：四边形是正方形，，，，，，，．②如图2中，过点作于．，，，，，，，，，，，，．（2）①如图3中，设交于．，，，，，，．②，是定值，当最小时，的值最大，当时，的值最小，此时的值最大，此时点与重合（如图4中），，，，，，，的最大值为．30．（2020•株洲）如图所示，的顶点在正方形对角线的延长线上，与交于点，连接、，满足．（1）求证：．（2）若正方形的边长为1，，求的值．【解答】（1）证明：，，，，；（2）解：，，，，正方形边长为1，．，．．31．（2020•湘西州）问题背景：如图1，在四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交、于、．探究图中线段，，之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是　　；探究延伸1：如图2，在四边形中，，，，，绕点旋转．它的两边分别交、于、，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立” ，不要说明理由；探究延伸2：如图3，在四边形中，，，，绕点旋转．它的两边分别交、于、．上述结论是否仍然成立？并说明理由；实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心处）北偏西的处．舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以100海里小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达、处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为．试求此时两舰艇之间的距离．【解答】解：问题背景：如图1，延长到，使，连接，先证明，再证明，可得出结论：；故答案为：；探究延伸上述结论仍然成立，即，理由如下：如图2，延长到，使，连接，，，，，，，，，即，，又，，，即，可得出结论：；探究延伸上述结论仍然成立，即，理由：如图3，延长到，使得，连接，，，，，，，，，，又，，，，；实际应用：如图4，连接，延长交的延长线于，因为舰艇甲在指挥中心处）北偏西的处．舰艇乙在指挥中心南偏东的处，所以，因为指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为，所以，所以．依题意得，，，，所以，因此本题的实际的应用可转化为如下的数学问题：在四边形中，，，，的两边分别交，于，，求的长．根据探究延伸2的结论可得：，根据题意得，（海里），（海里），所以（海里）．答：此时两舰艇之间的距离为210海里．32．（2020•郴州）如图，在菱形中，将对角线分别向两端延长到点和，使得．连接，，，．求证：四边形是菱形．【解答】证明：方法一：四边形是菱形，，，，，，，，，，，，，，同理可证：，，四边形是平行四边形，，平行四边形是菱形．方法二：为菱形，，，，所以就能得到四个三角形全等，所以四条边相等，所以四边形为菱形．33．（2020•岳阳）如图1，在矩形中，，，动点，分别从点，点同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边，上沿，的方向运动，当点运动到点时，，两点同时停止运动．设点运动的时间为，连接，过点作，与边相交于点，连接．（1）如图2，当时，延长交边于点．求证：；（2）在（1）的条件下，试探究线段，，三者之间的等量关系，并加以证明；（3）如图3，当时，延长交边于点，连接，若平分，求的值．【解答】解：（1）四边形是矩形，，，在中，，，根据勾股定理得，，由运动知，，，，，，，，；（2）结论：，理由：如图2，连接，由（1）知，，，，，，在中，根据勾股定理得，，；（3）如图3，由运动知，，，，平分，，，，，，，，，，，，，过点作于，，，，，，，，，，在中，，在中，，，，，，，，，．34．（2020•湘西州）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，．（1）求证：；（2）求的度数．【解答】（1）证明：为等边三角形，，，四边形为正方形，，，，在和中，；（2），，，，，．35．（2020•岳阳）如图，点，在的边，上，，，连接，．求证：四边形是平行四边形．【解答】解：四边形是平行四边形，，，，，，，四边形是平行四边形．36．（2019•湘潭）如图一，在射线的一侧以为一条边作矩形，，，点是线段上一动点（不与点重合），连结，过点作的垂线交射线于点，连接．（1）求的大小；（2）问题探究：动点在运动的过程中，①是否能使为等腰三角形，如果能，求出线段的长度；如果不能，请说明理由．②的大小是否改变？若不改变，请求出的大小；若改变，请说明理由．（3）问题解决：如图二，当动点运动到的中点时，与的交点为，的中点为，求线段的长度．【解答】解：（1）如图一（1）中，四边形是矩形，，，．（2）①如图一（1）中，当时，，，，，，在中，，，，，，是等边三角形，，．如图一（2）中，当时，易证，，，，，，，综上所述，满足条件的的值为5或．②结论：大小不变．理由：如图一（1）中，，，，，四点共圆，．如图一（2）中，，，，，四点共圆，，，，综上所述，．（3）如图二中，，，，，是等边三角形，，，，，，垂直平分线段，，，，，．37．（2019•娄底）如图，点、、、分别在矩形的边、、、（不包括端点）上运动，且满足，．（1）求证：；（2）试判断四边形的形状，并说明理由．（3）请探究四边形的周长一半与矩形一条对角线长的大小关系，并说明理由．【解答】证明：（1）四边形是矩形，．在与中，，；（2）四边形是平行四边形，理由如下：由（1）知，，则，同理证得，则，四边形是平行四边形；（3）四边形的周长一半大于或等于矩形一条对角线长度．理由如下：作关于的对称点，连接，可得的长度就是的最小值．连接，，，四边形为平行四边形，．在中，，四边形的周长一半大于或等于矩形一条对角线长度．38．（2019•湘西州）如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．（1）求证：；（2）若，，求四边形的面积．【解答】解：（1）在和中，；（2）由已知可得正方形面积为16，面积面积．所以四边形的面积为．39．（2019•益阳）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，．若不改变矩形的形状和大小，当矩形顶点在轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点始终在轴的正半轴上随之上下移动．（1）当时，求点的坐标；（2）设的中点为，连接、，当四边形的面积为时，求的长；（3）当点移动到某一位置时，点到点的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时的值．【解答】解：（1）如图1，过点作轴于点，矩形中，，，又，，在中，，，在中，，，点的坐标为；（2）为的中点，，，又，，，设、，则，，，即，将代入得，解得（负值舍去），；（3）的最大值为8，如图2，为的中点，，，，当、、三点在同一直线时，有最大值8，连接，则此时与的交点为，过点作，垂足为，，，，，即，解得，，，在中，，．40．（2019•郴州）如图，中，点是边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，．求证：四边形是平行四边形．【解答】解：四边形是平行四边形，，，是的中点，，又，，，又，四边形是平行四边形．41．（2019•岳阳）操作体验：如图，在矩形中，点、分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为直线上一动点（不与、重合），过点分别作直线、的垂线，垂足分别为点和，以、为邻边构造平行四边形．（1）如图1，求证：；（2）特例感知：如图2，若，，当点在线段上运动时，求平行四边形的周长；（3）类比探究：若，．①如图3，当点在线段的延长线上运动时，试用含、的式子表示与之间的数量关系，并证明；②如图4，当点在线段的延长线上运动时，请直接用含、的式子表示与之间的数量关系．（不要求写证明过程）【解答】（1）证明：如图1中，四边形是矩形，，，由翻折可知：，，．（2）解：如图2中，连接，作于，则四边形是矩形，．，，，，在中，，，，，，，，，，，四边形是平行四边形，四边形的周长．（3）①证明：如图3中，连接，作于．，，，，，，，，，四边形是平行四边形，．②如图4，当点在线段的延长线上运动时，同法可证：．42．（2019•岳阳）如图，在菱形中，点、分别为、边上的点，，求证：．【解答】证明：四边形是菱形，，在和中，，，．43．（2019•怀化）已知：如图，在中，，，，分别为垂足．（1）求证：；（2）求证：四边形是矩形．【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，，，，，，，在和中，，；（2）证明：，，，四边形是矩形．44．（2019•株洲）如图所示，已知正方形的顶点为正方形对角线、的交点，连接、．（1）求证：；（2）若，正方形的边长为2，线段与线段相交于点，，求正方形的边长．【解答】解：（1）正方形与正方形，对角线、，在和中（2）如图，过点作交于点，，在中，由勾股定理得，易证，得则正方形的边长为45．（2019•衡阳）如图，在等边中，，动点从点出发以的速度沿匀速运动．动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设运动时间为．过点作于，连接交边于．以、为边作平行四边形．（1）当为何值时，为直角三角形；（2）是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；（3）求的长；（4）取线段的中点，连接，将沿直线翻折，得△，连接，当为何值时，的值最小？并求出最小值．【解答】解：（1）是等边三角形，，当时，，，，时，是直角三角形．（2）存在．理由：如图1中，连接交于．平分，，，，，，，，解得．（3）如图2中，作交于．是等边三角形，，，，，是等边三角形，，，，，，，，，．（4）如图3中，连接，，，，，，，的最小值为，此时平分，则有（可以用面积法证明）．，解得．（补充方法：此时点在线段上，是角平分线，作，求出即可解决问题）