还剩4页未读，
继续阅读
数学北师大版1 锐角三角函数教案
展开
这是一份数学北师大版1 锐角三角函数教案，共7页。教案主要包含了教材分析，学情分析，教学目标分析，教学重点和难点分析，教法分析，学法分析，教学准备，教学过程等内容，欢迎下载使用。
一、教材分析
这节课的内容是：义务教育课程标准实验教科书（北师大版）九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》中《锐角三角函数》的第一节，是属于数学新知识教学。学生已经学过有关直角三角形的知识，但对于直角三角形了解只能停留在边与边之间的关系（勾股定理）和角与角之间的关系（直角三角形两锐角互余）。那么，是否有某种介质能把直角三角形的边与角之间联系在一起呢？这对具有一定数学能力的九年级学生来说，是有挑战性，因为他们是不同类的两个事物（一个是角度的大小，另一个是线段的长度）。因此，本节课从农村生活中常见的实物——梯子出发，让学生观察多种梯子倾斜的情况。而对于梯子的倾斜问题学生在生活中也有一定的生活经验，可以通过观察分析出简单的梯子倾斜情况，但对于倾斜角度非常接近的情况，就需要通过本节课的学习，利用直角三角形边和角的关系来判断。
锐角三角函数是在现实生活中有着重要的的作用。如在测量、建筑、交通运输、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度、方位的计算问题，这些问题最终归结于直角三角形的边角关系。但相比之下，在实际生活中“正切”是最常用，如物体的倾斜程度，高山的坡度等都往往用正切，后面要学的正弦、余弦的定义也能由正切的定义类比得到。因此本节的内容在教材中的作用非常大。
二、学情分析
九年级的学生具有一定的数学基础知识和基本技能，拥有一些数学思想和数学模型，因此他们思维敏捷，自我意识强。经历观察、质疑、猜想、交流、合作、归纳等过程，利用数形结合，从特殊到一般，能认识事物的一般规律。但对于农村初中的学生来说，他们的视野范围窄、思维局限、抽象能力不强，特别是自主学习、自主探究的能力差。
三、教学目标分析
知识与技能
1.了解正切的产生背景，并理解它的概念，会用它表示生活中物体的倾斜程度、坡度等。
2.能够用tanA表示直角三角形中两直角边的比，用正切进行简单的计算。
数学思考
体验数与形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想进行自主探究。
问题解决
培养质疑、观察、独立思考、猜测、合作交流、归纳、验证等方面的能力，以容易、简单、特殊的事物为突破口，寻找事物的一般规律。
情感态度
1.养成积极参与数学活动和对数学产生好奇心、求知欲的习惯。
2.形成实事求是的科学态度以及独立思考的习惯.
四、教学重点和难点分析
1.教学重点：理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.
2.教学难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比.
五、教法分析
《数学课程标准》提出要在课堂上充分发挥学生的主体作用，而教师应成为学生学习活动的组织者、引导者、合作者。通过农村生活中常见的楼梯来创设情景，设置引入——探究——应用——巩固四个环节的教学模式，旨在培养学生的自主探究能力、合作交流能力，把课堂还给学生，达到“教”是为了“不教”的目的，并能让学生在实践应用中提高自己的综合能力。
主要运用了以下几种教学方法：
1、情境激智法：创设学习情境，产生质疑，激发学生参与思考的兴趣；
2、问题探究法：以教师设问，层层递进，由特殊到一般引领学生深入探究发现新知识；
3、以用促学法：通过设计实际应用事例，促进学生对知识的理解掌握
六、学法分析
《数学课程标准》提出有效的数学学习过程不能依赖死记硬背，应通过探索活动使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。因此，就重视学生的合作交流、自主探究和实践应用活动。在具体活动中，让学生通过对情景问题的讨论产生困惑，引出新的概念，再引导学生与老师共同探究梯子的倾斜程度与直角三角形边的比之间的关系。通过这种合作交流、自主探索、动手实践的学习方式，培养了学生的探究能力，激发了学生的学习潜能。
七、教学准备
1．多媒体课件
2．三角板
八、教学过程
第一环节：问题情景引入，建立数学模型。
我们今天学习的内容，就是从梯子的倾斜程度谈起.（出示标题幻灯片1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起）
设计意图：引入生活问题情境，使学生对 “梯子的倾斜程度”有初步的了解。激发学生的求知欲望，调动学生的积极性，把生活中的问题转化为数学问题。
第二环节：动脑探索，引发质疑。
图（1）中，在两上梯子AB、BC中，哪个梯子更陡？你是怎么判断？
图（2）中，在两上梯子AB、AC中，哪个梯子更陡？你是怎么判断？
图（3）中，两上梯子AB、BC哪个梯子更陡？你能判断吗？（要求学生自主探索之后进行合作交流）
B
设计意图：图（1）中AB、CB两个梯子的水平距离相等，而竖直高度不同，通过生活体验，用数形结合的思想，学生直观判断出竖直高度大的梯子更陡；图（2）中AB、AC两个梯子的水平距离不同，而竖直高度相等，显然是水平距离小的梯子更陡。而对于图（3）中两个梯子的水平距离不相同（相差不大），竖直高度也不相同（相差也不大）。因此，学生用前面的方法是无法判断，产生了质疑。图（3）中的问题也是学生认知冲突的导火线，点燃挑战自我的激情，大大激发学生的求知欲望。同时，由图（1）、图（2）到图（3），是由易到难，由特殊到一般，层层递进，学生可能会发现并提出问题：梯子的倾斜程度是不是与水平距离和竖直高度有关？这正是为引为正切的定义作铺垫。
教后反思：学生就像服了“兴奋剂”一样，激情迅速燃烧。在经过独立思考之后，进行了交流合作，而老师也参与（主要进行引导），使氛围更加热烈。因此，大部分学生发现梯子的倾斜程度和直角三角形中两边直角边的比值有关系。
第三环节：深入探究，寻找关键。
在小明家的墙角处放有一架较长的梯子，墙很高，又没有足够长的尺子来测量，你有什么巧妙的方法得到梯子的倾斜程度呢？
如图1-3，小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为通过测量B2C2及AC2 ，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度。你同意小亮的看法吗？
（1）Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系？（要求学生独立思考）
（2）和有什么关系？(要求学生独立思考)
（3）如果改变梯子的位置呢？ 由此你得出什么结论？（要求合作交流）
设计意图：问题逐步深入，此时教师可以把课堂的主动权交给学生，让他们自己去逐一识别、摸索规律、得出结论。在生活中，越是容易得到的东西，一般不会去珍惜，容易忘掉，相反来之不易的东西往往会倍加珍惜，记忆时有的甚至终身难忘．这样安排就是给予学生足够的时间和空间，注重知识的获得过程，为探索正切的概念铺平了道路。
教后反思：在学习的过程中，有些活动学生很容易就能得到结论，但要重视亲身经历的作用。鼓励每一位学生亲自试验，要注意克服想当然的习惯、缺乏主动实践探索的意识，鼓励学生验证结果的合理性。
第四环节： 得出新知，引入“正切”的概念。
1.步骤
（1）画出直角三角形（强调直角）
（2）明确各边的名称。（∠A的对边相当于梯子中的竖直高度，∠A的邻边相当于水平距离）
（3）（在Rt △ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA.）
2.学生应注意的问题：
（1）tanA中常省去角的符号“∠”。
（2）tanA没有单位，它表示一个比值。
（3）tanA是一个完整的符号，不表示“tan”乘以“A”。
（4）在初中阶段，tanA中,∠A是一个锐角。
设计意图：经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的概念。
第五环节：探究倾斜角的正切值与梯子陡缓的关系。
B
活动1: 在图（1）中，
比较大小（梯子的倾斜角）：∠ABD ∠CBD
计算： tan∠ABD= ,tan∠CBD= ,
比较正切值的大小tan∠ABD tan∠CBD
观察： 梯子AB和梯子CB哪个更陡？
归纳：由此你得出什么结论？与同伴交流。
活动2: 在图（2）中
比较大小（梯子的倾斜角）：∠ABD ∠ACD
计算： tan∠ABD= ,tan∠ACD= ,
比较正切值的大小tan∠ABD tan∠ACD
观察： 梯子AB和梯子CA哪个更陡？
归纳：由此你又得出什么结论？与同伴交流。
活动3：由活动1和活动2你们发现了什么？在图（3）梯子AB和梯子AC哪一个更陡？你如何解决？与同伴交。（梯子的倾斜角的正切值越大，梯子越陡）
设计意图：首先巩固正切的定义，会计算锐角的正切值；其次是由特殊到一般，经历观察、计算、比较、归纳、合作交流等方式来探究倾斜角的正切值与梯子陡的关系。从而有效地解决第二环节中的问题。
教后反思：学生经历了观察、探索等数学活动过程，发展由特殊到一般的能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点。通过上面的例子体验了数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力。
第六环节：应用新知，解决实际
活动1： 例1 下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?
5m
┌
13m
β
6m
8m
┐
α
（甲） （乙）
活动2：如图，在△ACB中，∠C = 90°，AC = 6, ，求BC、AB的长。
活动3：如图，在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10,求tanB.
设计意图：让学生运用新知识能解决与直角三角形有关的实际问题，并将进一步感受数形结合的思想，体会数形结合的方法。学生能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，并能够用正切进行简单的计算。
教后反思：以上3个例题都比较基础，并且层层深入，其中第３题，学生需要做辅助线，加深学生对正切的理解，正切必须在一个直角三角形中定义。
第七环节：联系实际，介绍坡度
阅读教材第5页最后一段，感受数学知识来源于生活实际。
第八环节：小结与拓展
活动内容：师生互相交流总结本堂课所学的知识点
设计意图：鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想（学生畅所欲言，教师给予鼓励），让学生能正确阐述对正切、倾斜程度、坡度等数学意义的理解。
教后反思：学生能畅所欲言自己的切身感受与实际收获，对各知识点掌握透彻。
九、作业布置
一、教材分析
这节课的内容是：义务教育课程标准实验教科书（北师大版）九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》中《锐角三角函数》的第一节，是属于数学新知识教学。学生已经学过有关直角三角形的知识，但对于直角三角形了解只能停留在边与边之间的关系（勾股定理）和角与角之间的关系（直角三角形两锐角互余）。那么，是否有某种介质能把直角三角形的边与角之间联系在一起呢？这对具有一定数学能力的九年级学生来说，是有挑战性，因为他们是不同类的两个事物（一个是角度的大小，另一个是线段的长度）。因此，本节课从农村生活中常见的实物——梯子出发，让学生观察多种梯子倾斜的情况。而对于梯子的倾斜问题学生在生活中也有一定的生活经验，可以通过观察分析出简单的梯子倾斜情况，但对于倾斜角度非常接近的情况，就需要通过本节课的学习，利用直角三角形边和角的关系来判断。
锐角三角函数是在现实生活中有着重要的的作用。如在测量、建筑、交通运输、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度、方位的计算问题，这些问题最终归结于直角三角形的边角关系。但相比之下，在实际生活中“正切”是最常用，如物体的倾斜程度，高山的坡度等都往往用正切，后面要学的正弦、余弦的定义也能由正切的定义类比得到。因此本节的内容在教材中的作用非常大。
二、学情分析
九年级的学生具有一定的数学基础知识和基本技能，拥有一些数学思想和数学模型，因此他们思维敏捷，自我意识强。经历观察、质疑、猜想、交流、合作、归纳等过程，利用数形结合，从特殊到一般，能认识事物的一般规律。但对于农村初中的学生来说，他们的视野范围窄、思维局限、抽象能力不强，特别是自主学习、自主探究的能力差。
三、教学目标分析
知识与技能
1.了解正切的产生背景，并理解它的概念，会用它表示生活中物体的倾斜程度、坡度等。
2.能够用tanA表示直角三角形中两直角边的比，用正切进行简单的计算。
数学思考
体验数与形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想进行自主探究。
问题解决
培养质疑、观察、独立思考、猜测、合作交流、归纳、验证等方面的能力，以容易、简单、特殊的事物为突破口，寻找事物的一般规律。
情感态度
1.养成积极参与数学活动和对数学产生好奇心、求知欲的习惯。
2.形成实事求是的科学态度以及独立思考的习惯.
四、教学重点和难点分析
1.教学重点：理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.
2.教学难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比.
五、教法分析
《数学课程标准》提出要在课堂上充分发挥学生的主体作用，而教师应成为学生学习活动的组织者、引导者、合作者。通过农村生活中常见的楼梯来创设情景，设置引入——探究——应用——巩固四个环节的教学模式，旨在培养学生的自主探究能力、合作交流能力，把课堂还给学生，达到“教”是为了“不教”的目的，并能让学生在实践应用中提高自己的综合能力。
主要运用了以下几种教学方法：
1、情境激智法：创设学习情境，产生质疑，激发学生参与思考的兴趣；
2、问题探究法：以教师设问，层层递进，由特殊到一般引领学生深入探究发现新知识；
3、以用促学法：通过设计实际应用事例，促进学生对知识的理解掌握
六、学法分析
《数学课程标准》提出有效的数学学习过程不能依赖死记硬背，应通过探索活动使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。因此，就重视学生的合作交流、自主探究和实践应用活动。在具体活动中，让学生通过对情景问题的讨论产生困惑，引出新的概念，再引导学生与老师共同探究梯子的倾斜程度与直角三角形边的比之间的关系。通过这种合作交流、自主探索、动手实践的学习方式，培养了学生的探究能力，激发了学生的学习潜能。
七、教学准备
1．多媒体课件
2．三角板
八、教学过程
第一环节：问题情景引入，建立数学模型。
我们今天学习的内容，就是从梯子的倾斜程度谈起.（出示标题幻灯片1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起）
设计意图：引入生活问题情境，使学生对 “梯子的倾斜程度”有初步的了解。激发学生的求知欲望，调动学生的积极性，把生活中的问题转化为数学问题。
第二环节：动脑探索，引发质疑。
图（1）中，在两上梯子AB、BC中，哪个梯子更陡？你是怎么判断？
图（2）中，在两上梯子AB、AC中，哪个梯子更陡？你是怎么判断？
图（3）中，两上梯子AB、BC哪个梯子更陡？你能判断吗？（要求学生自主探索之后进行合作交流）
B
设计意图：图（1）中AB、CB两个梯子的水平距离相等，而竖直高度不同，通过生活体验，用数形结合的思想，学生直观判断出竖直高度大的梯子更陡；图（2）中AB、AC两个梯子的水平距离不同，而竖直高度相等，显然是水平距离小的梯子更陡。而对于图（3）中两个梯子的水平距离不相同（相差不大），竖直高度也不相同（相差也不大）。因此，学生用前面的方法是无法判断，产生了质疑。图（3）中的问题也是学生认知冲突的导火线，点燃挑战自我的激情，大大激发学生的求知欲望。同时，由图（1）、图（2）到图（3），是由易到难，由特殊到一般，层层递进，学生可能会发现并提出问题：梯子的倾斜程度是不是与水平距离和竖直高度有关？这正是为引为正切的定义作铺垫。
教后反思：学生就像服了“兴奋剂”一样，激情迅速燃烧。在经过独立思考之后，进行了交流合作，而老师也参与（主要进行引导），使氛围更加热烈。因此，大部分学生发现梯子的倾斜程度和直角三角形中两边直角边的比值有关系。
第三环节：深入探究，寻找关键。
在小明家的墙角处放有一架较长的梯子，墙很高，又没有足够长的尺子来测量，你有什么巧妙的方法得到梯子的倾斜程度呢？
如图1-3，小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为通过测量B2C2及AC2 ，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度。你同意小亮的看法吗？
（1）Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系？（要求学生独立思考）
（2）和有什么关系？(要求学生独立思考)
（3）如果改变梯子的位置呢？ 由此你得出什么结论？（要求合作交流）
设计意图：问题逐步深入，此时教师可以把课堂的主动权交给学生，让他们自己去逐一识别、摸索规律、得出结论。在生活中，越是容易得到的东西，一般不会去珍惜，容易忘掉，相反来之不易的东西往往会倍加珍惜，记忆时有的甚至终身难忘．这样安排就是给予学生足够的时间和空间，注重知识的获得过程，为探索正切的概念铺平了道路。
教后反思：在学习的过程中，有些活动学生很容易就能得到结论，但要重视亲身经历的作用。鼓励每一位学生亲自试验，要注意克服想当然的习惯、缺乏主动实践探索的意识，鼓励学生验证结果的合理性。
第四环节： 得出新知，引入“正切”的概念。
1.步骤
（1）画出直角三角形（强调直角）
（2）明确各边的名称。（∠A的对边相当于梯子中的竖直高度，∠A的邻边相当于水平距离）
（3）（在Rt △ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA.）
2.学生应注意的问题：
（1）tanA中常省去角的符号“∠”。
（2）tanA没有单位，它表示一个比值。
（3）tanA是一个完整的符号，不表示“tan”乘以“A”。
（4）在初中阶段，tanA中,∠A是一个锐角。
设计意图：经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的概念。
第五环节：探究倾斜角的正切值与梯子陡缓的关系。
B
活动1: 在图（1）中，
比较大小（梯子的倾斜角）：∠ABD ∠CBD
计算： tan∠ABD= ,tan∠CBD= ,
比较正切值的大小tan∠ABD tan∠CBD
观察： 梯子AB和梯子CB哪个更陡？
归纳：由此你得出什么结论？与同伴交流。
活动2: 在图（2）中
比较大小（梯子的倾斜角）：∠ABD ∠ACD
计算： tan∠ABD= ,tan∠ACD= ,
比较正切值的大小tan∠ABD tan∠ACD
观察： 梯子AB和梯子CA哪个更陡？
归纳：由此你又得出什么结论？与同伴交流。
活动3：由活动1和活动2你们发现了什么？在图（3）梯子AB和梯子AC哪一个更陡？你如何解决？与同伴交。（梯子的倾斜角的正切值越大，梯子越陡）
设计意图：首先巩固正切的定义，会计算锐角的正切值；其次是由特殊到一般，经历观察、计算、比较、归纳、合作交流等方式来探究倾斜角的正切值与梯子陡的关系。从而有效地解决第二环节中的问题。
教后反思：学生经历了观察、探索等数学活动过程，发展由特殊到一般的能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点。通过上面的例子体验了数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力。
第六环节：应用新知，解决实际
活动1： 例1 下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?
5m
┌
13m
β
6m
8m
┐
α
（甲） （乙）
活动2：如图，在△ACB中，∠C = 90°，AC = 6, ，求BC、AB的长。
活动3：如图，在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10,求tanB.
设计意图：让学生运用新知识能解决与直角三角形有关的实际问题，并将进一步感受数形结合的思想，体会数形结合的方法。学生能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，并能够用正切进行简单的计算。
教后反思：以上3个例题都比较基础，并且层层深入，其中第３题，学生需要做辅助线，加深学生对正切的理解，正切必须在一个直角三角形中定义。
第七环节：联系实际，介绍坡度
阅读教材第5页最后一段，感受数学知识来源于生活实际。
第八环节：小结与拓展
活动内容：师生互相交流总结本堂课所学的知识点
设计意图：鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想（学生畅所欲言，教师给予鼓励），让学生能正确阐述对正切、倾斜程度、坡度等数学意义的理解。
教后反思：学生能畅所欲言自己的切身感受与实际收获，对各知识点掌握透彻。
九、作业布置
相关教案
初中数学北师大版九年级下册1 锐角三角函数教案： 这是一份初中数学北师大版九年级下册<a href="/sx/tb_c102694_t8/?tag_id=27" target="_blank">1 锐角三角函数教案</a>，共6页。教案主要包含了中考链接，拓展提高等内容，欢迎下载使用。
北师大版九年级下册1 锐角三角函数教案： 这是一份北师大版九年级下册<a href="/sx/tb_c102694_t8/?tag_id=27" target="_blank">1 锐角三角函数教案</a>，共7页。教案主要包含了合作探究，中考链接等内容，欢迎下载使用。
浙教版九年级下册第一章 解直角三角形1.1 锐角三角函数教案设计： 这是一份浙教版九年级下册第一章 解直角三角形1.1 锐角三角函数教案设计，共7页。教案主要包含了学情分析，教学任务分析，教学目标等内容，欢迎下载使用。
