初中第二十八章 锐角三角函数28.1 锐角三角函数教学设计

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28.1 锐角三角函数
编号
课型
新授课
备课人
上课时间
年 月 日
教学
目标
知识与技能：
1）初步了解锐角三角函数的意义。
2 ）理解正弦、余弦、正切的定义。
3 ）利用特殊角的正弦、余弦、正切值进行相关计算。
过程与方法:
了解锐角三角函数的概念，学会利用三角函数进行简单计算。通过体验三角函数概念的形成过程增进学生数学体验，渗透数形结合的数学思想方法。
情感态度与价值观：
1）培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。
2）激发学生对学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识。
教学
重点
理解正弦、余弦、正切的定义。
教学
难点
利用特殊角的正弦、余弦、正切值进行相关计算。
板书
设计
28.1 锐角三角函数
教学过程
教学
环节
师生互动
设计意图
情景导入
[多媒体展示]
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌。现测得斜坡的仰角为30°
【问题一】为使出水口的高度为35m，需要准备多长的水管？
【问题二】如果出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？ 100m
【问题三】你发现了什么？
师：尝试回答问题。
生1：因为在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一边，所以BCAB= 12，而BC=35 m，则AB=2BC=70 m
生2：100 m
生3：在直角三角形中，如果一个锐角的度数等于30°，那么无论这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于12.
利用数学知识解决实际生活中的问题，引出本节所学内容
导入新课
师：本节课我们学习锐角三角函数的相关知识。
师：纸上任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠B=45°，计算∠A的对边与斜边的比ACAB?
生：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°∴ ∠A=45
∴ Rt△ABC为等腰直角三角形
由勾股定理得 AB2=AC2+ BC2 则AB=2AC ∴ ACAB= 22
师：任意画Rt△ABC和Rt△A’B’C’，使∠C=∠C’=90°,∠A=∠A‘，那么BCAB与B'C'A'B'’有什么关系，你能解释一下吗？
生：∵ ∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'∴ Rt△ABC∽Rt△A'B'C’∴BCB'C' = ABA'B' ∴BCAB = B'C'A'B'
师：由此可知，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，它的对边与斜边的比是一个固定值.
[多媒体展示]
师：利用正弦相关知识尝试求解。
[多媒体展示]
例1 如图（1）（2），在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．
变式1-1在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），那么sinα的值是（ ）
A．35 B．34 C．45 D．43
变式1-2 把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（）
A．不变 B．缩小为原来的13 C．扩大为原来的3倍 D．不能确定
变式1-3 在△ABC中，∠C=90°，如果 sinA = 13 ，AB=9，那么BC=___.
【师生互动】先让学生做题，然后教师通过多媒体展示结果和解题思路，加深理解。
师：在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定，此时其他边之间的比是否也随之确定呢？
师：【探索】任意画Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘，使∠C=∠C’=90°，∠A=∠A‘，那么 ACAB 与 A'C'A'B' 有什么关系．你能解释一下吗？
生：∵ ∠C=∠C’=90°，∠A=∠A’∴ Rt△ABC∽Rt△A’B’C’∴ACA'C' = ABA'B' ∴ACAB = A'C'A'B'
师：在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，它的邻边与斜边的比是一个固定值．
[多媒体展示]
师：利用余弦相关知识尝试求解。
[多媒体展示]
典例2 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若∠A=30°且 BC=2，求csA=?
变式2-1 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若∠A=45°且 BC=2，求csA=?
变式2-2 Rt△ABC中，∠C＝90°，csA＝35，AC＝6cm，那么BC等于_____．
变式2-3 如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，csB=45，则AC=____.
【师生互动】先让学生做题，然后教师通过多媒体展示结果和解题思路，加深理解。
师：任意画Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘，使∠C=∠C’=90°，∠A=∠A'，那么BCAC与B'C'A'C''有什么关系．你能解释一下吗？
生：∵ ∠C=∠C’=90°，∠A=∠A’∴ Rt△ABC∽Rt△A’B’C’∴BCB'C' = ACA'C'
∴ BCAC = B'C'A'C'
师：由此可知，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，它的对边与邻边的比是一个固定值．
[多媒体展示]
师：利用正切相关知识尝试求解。
[多媒体展示]
典例3 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若∠A=30°且 BC=2，求tanA=?
变式3-1 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若AB=10，BC=6，求tanA，sinA，csA的值?
变式3-2 在△ABC中∠C＝90°，tanA＝33，则csB＝_____．
变式3-3 如图，在 Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 6，sinA =35，求 csA、tanB 的值．
【师生互动】先让学生做题，然后教师通过多媒体展示结果和解题思路，加深理解。
师：含30°角的三角板中，30°的正弦、余弦、正切值？
生：设30°角所对的边AC = a，则AB = 2a，由勾股定理得BC=AB2-AC2 = 3 a
sin 30°= ACAB = a2a = 12 cs 30°= BCAB = 3a 2a = 32 tan 30°= ACBC = a3a = 33
师：含60°角的三角板中，60°的正弦、余弦、正切值？
生：sin 60°= BCAB = 3a2a = 32 cs 60°= ACAB = a2a = 12 tan 60°= BCAC = 3aa =3
师：含45°角的三角板中，45°的正弦、余弦、正切值？
生：设45°角(∠B)所对的边AC = a则BC=a，由勾股定理得AB=AC2+BC2= 2 a
sin 45°= ACAB = a2a = 22 cs 45°= BCAB = a2a = 22 tan 45°= ACBC = aa = 1
[多媒体展示]
观察30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值，你发现了什么？
生：尝试归纳总结。
【师生互动】先由学生回答问题，再由教师引导归纳总结。
师：1）对于sinα与tanα，角度越大，函数值越越大；对于csα，角度越大，函数值越越小.
2）互余两角之间的三角函数关系：若∠A+∠B=90°，则sinA = csB，csA = sinB，
tanA·tanB =1 .
3）当A,B均为锐角时，若A≠B，则sinA ≠ sinB，csA ≠ csB，tanA ≠ tanB
师：利用特殊角的三角函数相关知识尝试求解。
[多媒体展示]
典例4 sin60°+tan45°的值等于（ ）
A．2B．3+22C．3D．1
变式4-1 如果α是锐角，sinα=32，那么csα的值是（ ）
A．12 B．22C．32D．33
变式4-2 已知∠A是锐角，且满足3tanA﹣3＝0，则∠A的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．无法确定
变式4-3 三角函数sin30°、cs16°、cs43°之间的大小关系是（ ）
A．cs43°＞cs16°＞sin30° B．cs16°＞sin30°＞cs43°
C．cs16°＞cs43°＞sin30° D．cs43°＞sin30°＞cs16°
变式4-4 求下列各式的值：(1) cs260°+ sin260° (2) cs45°sin45° - tan45°
变式4-5 已知 α 为锐角，且 tanα 是方程 x2 + 2x －3 = 0 的一个根，求 2 sin2α + cs2α － 3 tan (α+15°)的值．
【师生互动】先让学生做题，然后教师通过多媒体展示结果和解题思路，加深理解。
[多媒体展示]
【师生互动】通过课后回顾，加深记忆。
体验探索-猜想-证明的过程，初步了解正弦的概念及表示方法
通过配套例题，举一反三，进而消化本节课所学内容。
体验探索-猜想-证明的过程，初步了解余弦的概念及正弦和余弦的注意事项
通过配套例题，举一反三，进而消化本节课所学内容。
体验探索-猜想-证明的过程，初步了解正切的概念及锐角三角函数的概念
通过配套例题，举一反三，进而消化本节课所学内容。
体验探索-猜想-验证-归纳总结的过程，掌握特殊角的三角函数值
通过配套例题，举一反三，进而消化本节课所学内容。
课后回顾，加深记忆
课程评价及反思
了解锐角三角函数的概念，学会利用三角函数进行简单计算。通过体验三角函数概念的形成过程增进学生数学体验，渗透数形结合的数学思想方法。在教学中应鼓励学生积极思考，归纳总结，允许学生回答的不完整，甚至有错误的见解，培养学生乐于分享、发言的习惯，提高学生学习数学的兴趣。