三年辽宁中考数学模拟题分类汇总之圆

这是一份三年辽宁中考数学模拟题分类汇总之圆，共31页。


A．π4B．π3C．2π3D．π
2．（2023•西丰县一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝40°，连接OB，则∠ABO的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．80°
3．（2023•锦州一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，AD＝4，BD＝BC＝2，在过A，D，C三点的⊙O上取点E，连接AE，CE，则tanE的值为（ ）
A．2B．32C．3D．2
4．（2023•鞍山二模）如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，OP与⊙O相交于点C，若∠P＝40°，则∠ABC的度数是（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
5．（2022•营口一模）如图，⊙O中，AB=AC，连接AB，AC，BC，OB，OC，若∠ACB＝65°，则∠BOC的度数为（ ）
A．130°B．115°C．100°D．150°
6．（2022•丹东模拟）在平行四边形ABCD中，∠B＝70°，BC＝4，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则DE的长是（ ）
A．13πB．23πC．76πD．49π
7．（2022•皇姑区校级模拟）如图，BD是⊙O的直径，弦AC交BD于点G．连接OC，若∠COD＝126°，AB=AD，则∠AGB的度数为（ ）
A．98°B．103°C．108°D．113°
8．（2022•大连二模）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠A＝50°，则∠BCD的度数为（ ）
A．50°B．80°C．100°D．130°
9．（2021•鞍山模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为半圆的中点，D为⊙O上的一点，且C、D两点分别在AB的异侧，则∠D的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
10．（2021•顺城区二模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E都在⊙O上．若∠1＝55°，则∠2的大小为（ ）
A．55°B．45°C．35°D．25°
二．填空题（共6小题）
11．（2023•和平区校级三模）扇形的半径为6cm，面积为12π cm2，则该扇形的圆心角为 ．
12．（2023•兴隆台区二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M．连接OC，DB，如果OC∥DB，OC＝23，那么图中阴影部分的面积是 ．
13．（2023•西丰县一模）如图，用一个半径为8cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了150°，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 cm（结果保留π）．
14．（2022•龙港区二模）一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为216°、半径为15cm的扇形，这个圆锥的底面圆半径为 cm．
15．（2022•大连模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB＝4，分别以点B，D为圆心，AO长为半径画弧，与该矩形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
16．（2021•盘锦二模）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是 .（结果保留π）
三．解答题（共6小题）
17．（2023•皇姑区模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AD＝8，AC=45，求线段BE的长．
18．（2023•锦州二模）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC与⊙O相交于点D，E为⊙O上的一点，分别连接AE，DE．
（1）求证：∠AED＝∠ACB；
（2）若tan∠BAC=34，BC=154，AE=52，求⊙O的半径和DE的长．
​
19．（2023•兴隆台区二模）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，D为BE的中点，连接AE，BD并延长交于点C．连接OD，在OD的延长线上取一点F，连接BF，使∠CBF=12∠BAC
（1）求证：BF为⊙O的切线；
（2）若AE＝4，OF=92，求⊙O的直径．
20．（2023•鞍山二模）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O，⊙O恰好经过点C，点D为半圆AB中点，连接CD，过D作 DE∥AB交AC延长线于点E．
​（1）求证：DE为⊙O切线：
（2）若AC＝4，CD=2，求⊙O的半径长．
21．（2022•建昌县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，∠ACB的平分线交AD于点F，以CE为直径的⊙O经过点F，交BC于另一点G．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若BC＝4，CF＝2DF，求阴影部分的面积．
22．（2021•中山区一模）如图，以AB为直径作⊙O，过点A作⊙O的切线AC，连接BC，交⊙O于点D，点E是BC边的中点，连接AE．
（1）求证：∠AEB＝2∠C；
（2）若AC＝8，sinB=45，求DE的长．
辽宁三年（2021-2023）中考数学模拟题分类汇总---圆
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2023•站前区校级三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若∠BED＝45°，AB＝2，则阴影部分的面积为（ ）
A．π4B．π3C．2π3D．π
【考点】扇形面积的计算；等腰三角形的性质；圆周角定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到∠AEC＝90°，再根据等腰三角形三线合一得出点E是BC的中点，从而得出OE是△ABC的中位线，于是OE∥AB，根据同底等高得到△AOD和△AED的面积相等，从而阴影部分的面积转化为扇形AOD的面积，根据扇形面积公式计算出扇形AOD的面积即可得出阴影部分的面积．
【解答】解：连接OE，OD，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC＝90°，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
即点E是BC的中点，
∵点O是AC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AB，
∴S△AOD＝S△AED，
∴S阴影＝S扇形OAD，
∵∠AEC＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∵∠BED＝45°，
∴∠AED＝45°，
∴∠AOD＝90°，
∴S扇形OAD=90π×12360=π4，
∴S阴影=π4，
故选：A．
【点评】本题主要考查了扇形的面积，圆周角定理，中位线定理，平行线间的距离相等，等腰三角形的三线合一，不规则图形的面积求法，把不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键．
2．（2023•西丰县一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝40°，连接OB，则∠ABO的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．80°
【考点】三角形的外接圆与外心；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】B
【分析】根据圆周角定理求出∠AOB＝2∠C＝80°，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：连接OA，
∵∠C＝40°，
∴∠AOB＝2∠C＝80°，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠OAB=12×(180°−80°)=50°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
3．（2023•锦州一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，AD＝4，BD＝BC＝2，在过A，D，C三点的⊙O上取点E，连接AE，CE，则tanE的值为（ ）
A．2B．32C．3D．2
【考点】三角形的外接圆与外心；解直角三角形；勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】A
【分析】延长BC交⊙O于点F，连接AF，证出∠BDC＝∠F，∠BCD＝∠BAF，得出∠F＝∠BAF，由等腰三角形的判定得出AB＝BF，求出AC的长，根据锐角三角函数的定义可得出答案．
【解答】解：延长BC交⊙O于点F，连接AF，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACF＝90°，
∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC，
∵四边形ADCF为⊙O的内接四边形，
∴∠BDC＝∠F，∠BCD＝∠BAF，
∴∠F＝∠BAF，
∴AB＝BF，
∵BD＝2，AD＝4，
∴BF＝AB＝6，
∴CF＝BF﹣BC＝6﹣2＝4，AC=AB2−BC2=62−22=42，
∴tanF=ACCF=424=2，
∵∠F＝∠E，
∴tanE=2，
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，圆内接四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
4．（2023•鞍山二模）如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，OP与⊙O相交于点C，若∠P＝40°，则∠ABC的度数是（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【专题】与圆有关的计算．
【答案】B
【分析】根据切线的性质可得∠OAP＝90°，从而得到∠AOC＝50°，再由圆周角定理，即可求解．
【解答】解：∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AP，即∠OAP＝90°，
∵∠P＝40°，
∴∠AOC＝90°﹣40°＝50°，
∵∠AOC＝2∠ABC，
∴∠ABC＝25°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键．
5．（2022•营口一模）如图，⊙O中，AB=AC，连接AB，AC，BC，OB，OC，若∠ACB＝65°，则∠BOC的度数为（ ）
A．130°B．115°C．100°D．150°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】C
【分析】利用等弧所对的圆周角相等可得∠ACB＝∠ABC＝65°，从而利用三角形的内角和定理可得∠A＝50°，然后利用圆周角定理进行计算即可解答．
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝65°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝50°，
∴∠BOC＝2∠A＝100°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
6．（2022•丹东模拟）在平行四边形ABCD中，∠B＝70°，BC＝4，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则DE的长是（ ）
A．13πB．23πC．76πD．49π
【考点】弧长的计算；平行四边形的性质．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】D
【分析】连接OE，由平行四边形的性质得出∠D＝∠B＝70°，AD＝BC＝4，得出OA＝OD＝2，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DOE＝40°，再由弧长公式即可得出答案．
【解答】解：连接OE，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝70°，AD＝BC＝4，
∴OA＝OD＝2，
∵OD＝OE，
∴∠OED＝∠D＝70°，
∴∠DOE＝180°﹣2×70°＝40°，
∴DE的长=40π×2180=4π9；
故选：D．
【点评】本题主要考查弧长公式、平行四边形的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，求出∠DOE的度数是解决问题的关键．
7．（2022•皇姑区校级模拟）如图，BD是⊙O的直径，弦AC交BD于点G．连接OC，若∠COD＝126°，AB=AD，则∠AGB的度数为（ ）
A．98°B．103°C．108°D．113°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】C
【分析】根据圆周角定理得到∠BAD＝90°，∠DAC=12∠COD＝63°，再由AB=AD，得到∠B＝∠D＝45°，然后根据三角形外角性质计算∠AGB的度数．
【解答】解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵AB=AD，
∴∠B＝∠D＝45°，
∵∠COD＝126°，
∴∠DAC=12∠COD=12×126°＝63°，
∴∠AGB＝∠DAC+∠D＝63°+45°＝108°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
8．（2022•大连二模）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠A＝50°，则∠BCD的度数为（ ）
A．50°B．80°C．100°D．130°
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】D
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠BCD＝180°，代入求出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠A＝50°，
∴∠BCD＝130°，
故选：D．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质的应用，能根据性质得出∠A+∠BCD＝180°是解此题的关键．
9．（2021•鞍山模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为半圆的中点，D为⊙O上的一点，且C、D两点分别在AB的异侧，则∠D的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【考点】圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】B
【分析】连接BD，由圆周角定理得∠ADB＝90°，再证AC=BC，然后由圆周角定理求解即可．
【解答】解：连接BD，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵C为半圆的中点，
∴AC=BC，
∴∠ADC＝∠BDC=12∠ADB＝45°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
10．（2021•顺城区二模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E都在⊙O上．若∠1＝55°，则∠2的大小为（ ）
A．55°B．45°C．35°D．25°
【考点】圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；应用意识．
【答案】C
【分析】连接OE，如图，先利用圆周角定理得到∠AOE＝2∠1＝110°，则利用邻补角计算出∠BOE＝70°，然后再利用圆周角定理计算∠2的度数．
【解答】解：连接OE，如图，
∵∠AOE＝2∠1＝2×55°＝110°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣110°＝70°，
∵∠BOE＝2∠2，
∴∠2=12×70°＝35°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
二．填空题（共6小题）
11．（2023•和平区校级三模）扇形的半径为6cm，面积为12π cm2，则该扇形的圆心角为 120° ．
【考点】扇形面积的计算．
【专题】与圆有关的计算；几何直观．
【答案】120°．
【分析】设扇形的圆心角是n°，根据扇形的面积公式即可得到一个关于n的方程，解方程即可求解．
【解答】解：设扇形的圆心角是n°，根据扇形的面积公式得，
12π=nπ×62360，
解得，n＝120．
故答案为：120°．
【点评】本题考查了扇形的面积公式，掌握公式是关键．
12．（2023•兴隆台区二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M．连接OC，DB，如果OC∥DB，OC＝23，那么图中阴影部分的面积是 2π ．
【考点】扇形面积的计算．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】2π．
【分析】连接OD，BC，根据垂径定理和等腰三角形的性质得到DM＝CM，∠COB＝∠BOD，推出△BOD是等边三角形，得到∠BOC＝60°，根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接OD，BC，
∵CD⊥AB，OC＝OD，
∴DM＝CM，∠COB＝∠BOD，
∵OC∥BD，
∴∠COB＝∠OBD，
∴∠BOD＝∠OBD，
∴OD＝DB，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∴∠BOC＝60°，
∵DM＝CM，
∴S△OBC＝S△OBD，
∵OC∥DB，
∴S△OBD＝S△CBD，
∴S△OBC＝S△DBC，
∴图中阴影部分的面积=60⋅π⋅(23)2360=2π，
故答案为2π．
【点评】本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，圆周角定理，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键．
13．（2023•西丰县一模）如图，用一个半径为8cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了150°，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 20π3 cm（结果保留π）．
【考点】弧长的计算；生活中的旋转现象．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】20π3．
【分析】根据弧长的计算方法计算半径为8cm，圆心角为150°的弧长即可．
【解答】解：由题意得，重物上升的距离是半径为8cm，圆心角为150°所对应的弧长，
即150π×8180=20π3（cm），
故答案为：20π3．
【点评】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是正确解答的前提．
14．（2022•龙港区二模）一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为216°、半径为15cm的扇形，这个圆锥的底面圆半径为 9 cm．
【考点】圆锥的计算．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】9．
【分析】设这个圆锥的底面圆半径为rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr=216π×15180，然后解关于r的方程即可．
【解答】解：设这个圆锥的底面圆半径为rcm，
根据题意得2πr=216π×15180，
解得r＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
15．（2022•大连模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB＝4，分别以点B，D为圆心，AO长为半径画弧，与该矩形的边相交，则图中阴影部分的面积为 83π ．（结果保留π）
【考点】扇形面积的计算；等边三角形的性质；矩形的性质．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】83π．
【分析】由图可知，阴影部分的面积是两个扇形面积之和．
【解答】解：∵△OAB是等边三角形，AB＝4，
∴AO＝BO＝AB＝4，∠ABO＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OD＝4，∠CBO＝60°，AB∥CD，
∴∠ADO＝∠CBO＝30°，
∴图中阴影部分的面积为：2×30π×42360=83π，
故答案为：83π．
【点评】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．（2021•盘锦二模）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是 π﹣1 .（结果保留π）
【考点】扇形面积的计算；正方形的性质．
【专题】与圆有关的计算；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】证明阴影部分的面积=14（S圆O﹣S正方形ABCD），可得结论．
【解答】解：延长DC，CB交⊙O于J，K．则⊙O被分成5个部分，其中4个部分是全等图形，
∴图中阴影部分的面积=14（4π﹣4）＝π﹣1．
故答案为：π﹣1．
【点评】本题考查正方形是性质，圆的有关知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用全等图形解决问题．
三．解答题（共6小题）
17．（2023•皇姑区模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AD＝8，AC=45，求线段BE的长．
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析部分；
（2）52．
【分析】（1）根据切线的性质得OC⊥CD，而AD⊥CD，则可判断AD∥OC，根据平行线的性质得∠1＝∠3，加上∠2＝∠3，则∠1＝∠2，即可得到AC平分∠DAB；
（2）连接AE，证明△AEB是等腰直角三角形，再证明Rt△ADC～Rt△ACB，利用相似比即可计算出AB的长即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠1＝∠3，
∵OA＝OC，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴AC平分∠DAB；
（2）解：连接AE，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∠AEB＝90°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE＝45°，
∴∠BAE＝∠ABE＝45°，
∴△AEB为等腰直角三角形，
∴BE=22AB，
∵∠D＝∠ACB＝90°，∠DAC＝∠CAB，
∴△ADC∽△ACB，
∴ADAC=ACAB，
∴845=45AB，
∴AB＝10，
∴BE=22×10＝52．
【点评】本题考查了切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径，圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
18．（2023•锦州二模）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC与⊙O相交于点D，E为⊙O上的一点，分别连接AE，DE．
（1）求证：∠AED＝∠ACB；
（2）若tan∠BAC=34，BC=154，AE=52，求⊙O的半径和DE的长．
​
【考点】切线的性质；解直角三角形；垂径定理；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；图形的相似；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）32+23．
【分析】（1）连接BD，根据圆周角的性质和切线的性质得到∠ADB＝90°，∠ABC＝90°，进而得到∠ABD＝∠ACD，由∠AED＝∠ABD即可证得结论；
（2）在Rt△ABC中，根据三角函数的定义求出AB，即可求得⊙O的半径；由三角形面积公式求出BD，过点A作AF⊥DE于F，证得△AEF∽ACB，根据相似三角形的性质求出AF，EF，根据勾股定理求出DF，即可得到DE的长．
【解答】（1）证明：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90﹣∠A，
∵BC与⊙O相切于点B，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠A，
∴∠ABD＝∠ACD，
∴∠AED＝∠ABD，
∴∠AED＝∠ACB；
（2）解：在Rt△ABC中，tan∠BAC=BCAB=34，BC=154，
∴154AB=34，
∴AB＝5，
∴⊙O的半径为52，AC=AB2+BC2=52+(154)2=254；
∵S△ABC=12AB•BC=12AC•BD，
∴5×154=254BD，
∴BD＝3，
∴AD=AB2−BD2=4，
过点A作AF⊥DE于F，
则∠AFE＝∠ABC＝90°，
∵∠AED＝∠ACB，
∴△AEF∽ACB，
∴AEAC=EFBC=AFAB，
∴EF154=AF5=52254=25，
∴AF＝2，EF=32，
∵DF=AD2−AF2=42−22=23，
∴DE＝DF+EF=32+23．
【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
19．（2023•兴隆台区二模）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，D为BE的中点，连接AE，BD并延长交于点C．连接OD，在OD的延长线上取一点F，连接BF，使∠CBF=12∠BAC
（1）求证：BF为⊙O的切线；
（2）若AE＝4，OF=92，求⊙O的直径．
【考点】切线的判定与性质；垂径定理；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】（1）证明见解析部分；
（2）3．
【分析】（1）连接AD，由圆周角定理可得∠ADB＝90°，由等弧对等角可得∠BAD＝∠CAD=12∠BAC，再进行等量代换可得∠ABF＝90°便可证明；
（2）连接BE，由圆周角定理可得∠AEB＝90°，∠BOD＝2∠BAD，于是∠BOD＝∠BAC，由△OBF∽△AEB可得OB：AE＝OF：AB，再代入求值即可．
【解答】（1）证明：如图，连接AD，
AB是圆的直径，则∠ADB＝90°，
D为BE的中点，则∠BAD＝∠CAD=12∠BAC，
∵∠CBF=12∠BAC，
∴∠CBF＝∠BAD，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠ABF＝∠ABD+∠CBF＝90°，
∴AB⊥BF，
∵OB是⊙O的半径，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接BE，
AB是圆的直径，则∠AEB＝90°，
∵∠BOD＝2∠BAD，∠BAC＝2∠BAD，
∴∠BOD＝∠BAC，
又∵∠ABF＝∠AEB＝90°，
∴△OBF∽△AEB，
∴OB：AE＝OF：AB，
∴OB：4=92：2OB，
∴OB2＝9，
∵OB＞0，则OB＝3，
∴⊙O的半径为3．
【点评】本题考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质；正确作出辅助线是解题关键．
20．（2023•鞍山二模）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O，⊙O恰好经过点C，点D为半圆AB中点，连接CD，过D作 DE∥AB交AC延长线于点E．
​（1）求证：DE为⊙O切线：
（2）若AC＝4，CD=2，求⊙O的半径长．
【考点】切线的判定与性质；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）答案见解答过程；
（2）5．
【分析】（1）连接OD，过点D作DF⊥AC于点F，根据点D为半圆AB的中点得OD⊥AB，再根据DE∥AB可得出OD⊥DE，据此可得出结论；
（2）由（1）可知OD⊥AB，根据圆周角与圆心角的关系得∠ACD＝1/2∠AOD＝45°，则△DCF为等腰直角三角形，可用勾股定理求出CF＝DF＝1，然后在Rt△ADF中求出AD＝√10，进而在Rt△AOD中求出OA即可．
【解答】（1）证明：连接OD，过点D作DF⊥AC于点F，如图：

∵点D为半圆AB的中点，
∴OD⊥AB，
∵DE∥AB，
∴OD⊥DE，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线；
（2）解：由（1）可知：OD⊥AB，
∴∠AOD＝90°，
∴∠ACD=12∠AOD＝45°，
∵DF⊥AC，
∴△DCF为等腰直角三角形，
∴DF＝CF，
在Rt△DCF中，DF＝CF，CD=2，
由勾股定理得：DF2+CF2＝CD2，
即：2CF2=(2)2，
∴CF＝DF＝1，
∵AC＝4，
∴AF＝AC﹣CF＝4﹣1＝3，
在Rt△ADF中，AF＝3，DF＝1，
由勾股定理得：AD=AF2+CF2=10，
在Rt△AOD中，OA＝OD，AD=10，
由勾股定理得：OA2+OD2＝AD2，
即：2OA2=(10)2，
∴OA=5，
∴⊙O的半径为5．
【点评】此题主要考查了切线的判定，圆周角与圆心角的关系，垂径定理及其推论，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握垂径定理及其推论，理解在同圆（或等圆）中同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半．
21．（2022•建昌县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，∠ACB的平分线交AD于点F，以CE为直径的⊙O经过点F，交BC于另一点G．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若BC＝4，CF＝2DF，求阴影部分的面积．
【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算；等腰三角形的性质；圆周角定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）827π．
【分析】（1）连接OF，根据角平分线的定义得到∠OCF＝∠FCD，根据等腰三角形的性质得到∠OFC＝∠OCF，根据平行线的性质得到∠AFO＝∠ADC，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接OG，FG，根据等腰三角形的性质得到BD=CD=12BC=12×4=2，根据三角函数的定义得到∠DCF＝30°，根据等边三角形 到现在得到∠OGF＝∠OFG＝60°，求得∠DFG＝90°﹣60°＝30°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OF，
∵CF平分∠ACD，
∴∠OCF＝∠FCD，
∵OF＝OC，
∴∠OFC＝∠OCF，
∴∠FCD＝∠OFC，
∴OF∥CD，
∴∠AFO＝∠ADC，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠AFO＝∠ADC＝90°，
∵OF为⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：连接OG，FG，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴BD=CD=12BC=12×4=2，
∵CF＝2DF，
∴sin∠DCF=DFCF=12，
∴∠DCF＝30°，
∴DF＝2tan30°=233，
∵∠DCF＝30°，
∴∠FOG＝60°，
又∵OF＝OG，
∴△OFG是等边三角形，
∴∠OGF＝∠OFG＝60°，
∴∠DFG＝90°﹣60°＝30°，
∵FG=DFcs∠DFG=23332=43，
∴OF＝FG=43，
∵OF∥CD，
∴∠OGC＝∠FOG＝60°，
∵OG＝OC，
∴∠GOC＝60°，
∴∠GOC＝∠FGO，
∴FG∥OC，
∴S△FCD＝S△FOG，
即S阴影＝S扇形FOG=60π×(43)2360=827π．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．
22．（2021•中山区一模）如图，以AB为直径作⊙O，过点A作⊙O的切线AC，连接BC，交⊙O于点D，点E是BC边的中点，连接AE．
（1）求证：∠AEB＝2∠C；
（2）若AC＝8，sinB=45，求DE的长．
【考点】切线的性质；解直角三角形；圆周角定理．
【专题】证明题；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）75．
【分析】（1）根据切线的性质得出∠BAC＝90°，由直角三角形的性质得出结论即可；
（2）连接AD，根据三角函数解答即可．
【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的切线，
∴∠BAC＝90°．
∵点E是BC边的中点，
∴AE＝EC．
∴∠C＝∠EAC，
∵∠AEB＝∠C+∠EAC，
∴∠AEB＝2∠C．
（2）解：在Rt△ABC中，AC＝8，sinB=ACBC=45，
∴BC＝10，AB=BC2−AC2=6，
连接AD．
∵AB为直径作⊙O，
∴∠ADB＝90°．
∴∠B+∠BAD＝∠BAD+∠DAC，
∴∠B＝∠DAC，
∵AC＝8，sinB=sin∠DAC=DCAC=45，
∴DC=325．BD＝BC﹣CD=185，
∵点E是BC边的中点，
∴BE＝5．
∴DE=BE−BD=75．
【点评】此题考查了圆周角定理，切线的性质，关键是根据切线性质和三角函数解答