三年辽宁中考数学模拟题分类汇总之尺规作图

这是一份三年辽宁中考数学模拟题分类汇总之尺规作图，共34页。


A．4B．83C．43D．2
2．（2021•海城市模拟）如图，在菱形ABCD中，按如下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧交于点M、N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，若AD＝6，则BE的长为（ ）
A．37B．33C．4D．25
3．（2021•沈河区二模）按以下步骤进行尺规作图：（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，交∠AOB的两边OA、OB于D、E两点；（2）分别以点D、E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点C；（3）作射线OC，并连接CD、CE．下列结论不正确的是（ ）
A．OC垂直平分DEB．CE＝OE
C．∠DCO＝∠ECOD．∠1＝∠2
4．（2021•葫芦岛模拟）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P为CD的中点，按以下步骤作图：①以点P为圆心，PD长为半径作弧，交AD于点E；②再分别以点D和点E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧相交于点Q；③作直线PQ，交AD于点O，则线段OP的长为（ ）
A．3B．2C．7D．3
5．（2021•本溪二模）如图，在平行四边形ABCD中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB，BC于点F，G，再分别以点F，G为圆心，大于12FG长为半径作弧，两弧交于点H，作射线BH交AD于点E，连接CE，若AB＝10，BC＝16，CE＝8，则BE的长为（ ）
A．45B．85C．241D．402
6．（2021•东港市校级一模）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝80°，观察图中尺规作图的痕迹，则∠DCE的度数为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
7．（2022•沈河区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交BD，BC于M，N两点；再分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交CD于点F；再以B为圆心，BD的长为半径画弧，交射线BP于点E，则EF的长为（ ）
A．35B．45C．10−35D．10−45
8．（2022•普兰店区二模）如图，在直角坐标系的x轴负半轴和y轴正半轴上分别截取OA，OB，使OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于12AB长为半径作弧，两弧交于第二象限的点N，若点N的坐标为（2﹣n，2n﹣6），则n的值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．（2023•兴隆台区二模）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°．下列尺规作图痕迹中，不能将△ABC的面积平分的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023•灯塔市一模）如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（ ）
A．10B．8C．6D．4
11．（2023•顺城区三模）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A，D为圆心，大于12AD的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AC，AB于点E，F，则AE的长度为（ ）
A．52B．3C．22D．103
12．（2023•丹东一模）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝7，以B为圆心，以小于AB长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于12EF长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AD于点G，连接CG，则△CDG的周长为（ ）
A．10B．11C．12D．13
二．填空题（共5小题）
13．（2021•绥中县一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D，连接CD；再分别以点B和点D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，若AF＝12，则线段CD的长为 ．
14．（2021•阜新县模拟）如图，在∠ABC中，利用尺规在射线BC，射线BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF，在射线BF上取一点G，过点G作GH⊥射线BA，若GH＝1，P为射线BC上一动点，则GP的最小值为 ．
15．（2021•连山区一模）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于D，交BC于E；②分别以D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点F；③作射线BF交AC于G．如果AB＝8，BC＝10，△ABG的面积为16，则△CBG的面积为 ．
16．（2023•锦州一模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，以点B为圆心，BC长为半径作弧，交BD于点E，再分别以点B，E为圆心，大于12BE长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN分别交AB，BD，BC于点H，G，F，连接AE，EF，则∠AEF＝ ．
17．（2023•振兴区校级一模）如图，在▱ABCD中，尺规作图：以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD于点F，分别以点B，F为圆心，以大于BF的长为半径画弧交于点P，作射线AP交BC与点E，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为 ．
三．解答题（共5小题）
18．（2021•铁岭模拟）在同一平面直角坐标系中有5个点：A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），D（﹣2．﹣2）．
（1）画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P相的位置关系；
（2）E点是y轴上的一点，若直线DE与⊙P相切，求点E的坐标．
19．（2022•铁西区二模）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上一点，且AE＝AB，连接BE．
（1）尺规作图：作∠A的平分线AF交BC于F，交BE于G（不需要写作图过程，保留作图痕迹）；
（2）若BE＝8，AB＝5，求AF的长．
20．（2022•和平区一模）如图，在平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F；再分别以B，F为圆心，大于12BF的长为半径作弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若菱形ABEF的周长为4，AE=3，则请直接写出csC的大小为 ．
21．（2023•大连模拟）如图，星海湾大桥是大连壮观秀丽的景点之一，主桥面（AB）是水平且笔直的，此时一个高1.6m的人（CD）站在C点望该桥的主塔BF，此时测得点D关于点F的俯角为35°，关于点E的俯角为75°，已知主塔AE＝BF＝114.3m，EF为该桥的主缆，与线段DF交于EF的中点G．（参考数据：sin55°≈0.82，cs55°≈0.57，tan55°≈1.43，sin15°≈0.26，cs15°≈0.97，tan15°≈0.27）
（1）请在图中作出关于EF所对应圆的圆心O并补全EF所对应的圆（尺规作图，保留作图痕迹且无需说明作图过程）；
（2）若关于EF所对应圆的半径为R，求EF的长（用含有π，R的代数式表示）；
（3）求星海湾大桥两座主塔之间的距离（结果取整数）．
22．（2023•大连一模）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，CD＝CA，以点C为圆心，CD长为半径画弧，以点B为圆心，BD长为半径画弧，两弧在CB下方相交于点E，连接BE，CE，AE与CD相交于点F．
（1）求证：∠CDB＝∠CEB；
（2）求∠AEB的度数；
（3）如图2，若AD＝3，BD＝2，求AF的长．
辽宁三年（2021-2023）中考数学模拟题分类汇总---尺规作图
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2021•兴城市一模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以A，C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧分别交于点D，E，直线DE交AC于点F，交AB于点G，AC＝4，AB＝3，则CG的长为（ ）
A．4B．83C．43D．2
【考点】作图—基本作图；勾股定理．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】B
【分析】直接利用基本作图方法得出AG＝GC，再利用勾股定理得出答案．
【解答】解：由基本作图方法得出，DG垂直平分AC，
则AG＝GC，
设GC＝x，则BG＝3﹣x，
∵∠B＝90°，AC＝4，AB＝3，
∴BC=42−32=7，
∴BG2+BC2＝CG2，
即（3﹣x）2+（7）2＝x2，
解得：x=83．
故选：B．
【点评】此题主要考查了基本作图以及勾股定理，正确应用勾股定理是解题关键．
2．（2021•海城市模拟）如图，在菱形ABCD中，按如下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧交于点M、N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，若AD＝6，则BE的长为（ ）
A．37B．33C．4D．25
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；菱形的性质．
【专题】作图题；推理能力．
【答案】A
【分析】根据题干的步骤作图即可；由题干的作图步骤可知，此作法为作线段的垂直平分线，可知AE⊥DC，DE＝CE=12DC，即∠AED＝∠BAE＝90°，则可利用勾股定理求得AE，从而求得BE．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，
∵依题意．题中作图为作DC边垂直平分线，
∴DE＝CE＝3，AE⊥DC，
∴在Rt△AED中，由勾股定理得：AE=AD2−DE2=62−32=33，
∵AB∥DC，
∴AE⊥AB，
∴∠BAE＝90°
∴由勾股定理得：
BE=AB2+AE2=62+(33)2=37，
故选：A．
【点评】此题主要考查垂直平分线的作法，菱形的性质，勾股定理解直角三角形，此题的关键在能根据作图步骤知道作图所表示的含义．
3．（2021•沈河区二模）按以下步骤进行尺规作图：（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，交∠AOB的两边OA、OB于D、E两点；（2）分别以点D、E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点C；（3）作射线OC，并连接CD、CE．下列结论不正确的是（ ）
A．OC垂直平分DEB．CE＝OE
C．∠DCO＝∠ECOD．∠1＝∠2
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】B
【分析】利用全等三角形的性质以及线段的垂直平分线的判定解决问题即可．
【解答】解：由作图可知，在△OCD和△OCE中，
OD=OEDC=ECOC=OC，
∴△OCD≌△OCE（SSS），
∴∠DCO＝∠ECO，∠1＝∠2，
∵OD＝OE，CD＝CE，
∴OC垂直平分线段DE，
故A，C，D正确，
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
4．（2021•葫芦岛模拟）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P为CD的中点，按以下步骤作图：①以点P为圆心，PD长为半径作弧，交AD于点E；②再分别以点D和点E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧相交于点Q；③作直线PQ，交AD于点O，则线段OP的长为（ ）
A．3B．2C．7D．3
【考点】作图—基本作图；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．
【专题】作图题；推理能力．
【答案】A
【分析】解直角三角形求出OP即可．
【解答】解：由作图可知，OP⊥AD．
在Rt△OPD中，PD=12CD＝2，∠ADP＝60°，
∴OP＝PD•sin60°=3，
故选：A．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，等边三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5．（2021•本溪二模）如图，在平行四边形ABCD中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB，BC于点F，G，再分别以点F，G为圆心，大于12FG长为半径作弧，两弧交于点H，作射线BH交AD于点E，连接CE，若AB＝10，BC＝16，CE＝8，则BE的长为（ ）
A．45B．85C．241D．402
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；平行四边形的性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】B
【分析】如图，过点A作AJ∥EC交BC于J．证明四边形AJCE是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理证明∠AJB＝90°，推出∠BCE＝90°，利用勾股定理求出BE即可．
【解答】解：如图，过点A作AJ∥EC交BC于J．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵AJ∥EC，AE∥JC，
∴四边形AJCE是平行四边形，
∴AJ＝EC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝10，AJ＝EC＝8，AE＝JC＝10，
∴BJ＝BC﹣JC＝16﹣10＝6，
∴AB2＝BJ2+AJ2，
∴∠AJB＝90°，
∵AJ∥EC，
∴∠BCE＝∠BJA＝90°，
∴BE=BC2+EC2=162+82=85，
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的性质和判定，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是证明∠BCE＝90°，利用勾股定理解决问题．
6．（2021•东港市校级一模）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝80°，观察图中尺规作图的痕迹，则∠DCE的度数为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
【考点】作图—基本作图；等腰三角形的性质．
【专题】作图题；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ACB的度数，观察作图过程可得，进而可得∠DCE的度数．
【解答】解：∵BA＝BC，∠B＝80°，
∴∠A＝∠ACB=12（180°﹣80°）＝50°，
∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝130°，
观察作图过程可知：
CE平分∠ACD，
∴∠DCE=12∠ACD＝65°，
∴∠DCE的度数为65°
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图、等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的性质．
7．（2022•沈河区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交BD，BC于M，N两点；再分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交CD于点F；再以B为圆心，BD的长为半径画弧，交射线BP于点E，则EF的长为（ ）
A．35B．45C．10−35D．10−45
【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质；勾股定理；矩形的性质．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】先利用勾股定理计算出BD＝10，再利用基本作图得BF平分∠CBD，BE＝BD＝10，则根据角平分线的性质得到F点到BC和BD的距离相等，接着利用面积法得到CF：DF＝3：5，所以CF＝3，DF＝5，然后利用勾股定理计算出BF，从而得到EF的长．
【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，
∴CD＝AB＝8，BD=62+82=10，
由作法得BF平分∠CBD，BE＝BD＝10，
∴F点到BC和BD的距离相等，
∴S△BCF：S△BDF＝BC：BD＝6：10＝3：5，
∴S△BCF：S△BDF＝CF：DF＝3：5，
∴CF＝3，DF＝5，
在Rt△BCF中，BF=32+62=35，
∴EF＝BE﹣BF＝10﹣35．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和矩形的性质．
8．（2022•普兰店区二模）如图，在直角坐标系的x轴负半轴和y轴正半轴上分别截取OA，OB，使OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于12AB长为半径作弧，两弧交于第二象限的点N，若点N的坐标为（2﹣n，2n﹣6），则n的值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【考点】作图—基本作图；坐标与图形性质．
【专题】作图题；平面直角坐标系；几何直观．
【答案】B
【分析】由作图可知，点N在∠AOB的角平分线上，推出点N的横坐标与纵坐标互为相反数，由此即可解决问题．
【解答】解：由作图可知，点N在∠AOB的角平分线上，两弧交于第二象限的点N，
∴点N的横坐标与纵坐标互为相反数，
∴2﹣n+2n﹣6＝0，
∴n＝4，
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9．（2023•兴隆台区二模）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°．下列尺规作图痕迹中，不能将△ABC的面积平分的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】作图—复杂作图；三角形的面积；三角形内角和定理；含30度角的直角三角形．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】D
【分析】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，一一判断可得结论．
【解答】解：选项A中，
∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠B＝60°，
由作图可知CB＝CT，
∴△CBT是等边三角形，
∴CB＝BT，
∵AB＝2BC，
∴BT＝AT，
∴直线CT平分△ABC的面积．
选项B中，由作图可知EF垂直平分线段AC，
∴CD＝AD，
∴中线BD平分△ABC的面积．
选项C中，
由作图可知，∠A＝∠RCA＝30°，
∴CR＝AR，
∴∠CRB＝∠B＝60°，
∴△CBR是等边三角形，
∴CR＝BR，
∴AR＝BR，
∴直线CR平分△ABC的面积．
故选项A，B，C不符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图﹣三角形的面积，三角形的中线的性质等知识，解题的关键是掌握三角形的中线的性质，属于中考常考题型．
10．（2023•灯塔市一模）如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（ ）
A．10B．8C．6D．4
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】B
【分析】连接EF，AE交BF于O点，如图，由作法得AB＝AF，AE平分∠BAD，即∠BAE＝∠DAE，证明四边形ABEF为菱形得到AE⊥BF，BO＝OF＝3，然后利用勾股定理计算出OA，从而得到AE的长．
【解答】解：连接EF，AE交BF于O点，如图，
由作法得AB＝AF，AE平分∠BAD，即∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴BA＝BE，
∴AF＝BE，
∴四边形ABEF为平行四边形，
而AB＝AF，
∴四边形ABEF为菱形，
∴AE⊥BF，BO＝OF＝3，
在Rt△AOB中，OA=52−32=4，
∴AE＝2OA＝8．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的性质．
11．（2023•顺城区三模）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A，D为圆心，大于12AD的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AC，AB于点E，F，则AE的长度为（ ）
A．52B．3C．22D．103
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；勾股定理．
【专题】作图题；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】A
【分析】根据csA=AFAE=ACAB，求出AF，AB，可得结论．
【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB=AC2+CB2=82+62=10，
∵BC＝BD＝6，
∴AD＝AB﹣BD＝10﹣6＝4，
∵EF垂直平分线段AD，
∴∠AFE＝90°，AF＝DF＝2，
∵csA=AFAE=ACAB，
∴2AE=810，
∴AE=52，
故选：A．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
12．（2023•丹东一模）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝7，以B为圆心，以小于AB长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于12EF长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AD于点G，连接CG，则△CDG的周长为（ ）
A．10B．11C．12D．13
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．
【专题】尺规作图；推理能力．
【答案】C
【分析】首先根据题意得到BG平分∠ABC，然后利用矩形的性质和平行线的性质得到DG＝AD﹣AG＝3，最后利用勾股定理求解即可．
【解答】解：由题意可得，BG平分∠ABC，
∴∠ABG＝∠CBG，
∵矩形ABCD，AB＝4，BC＝7，
∴CD＝AB＝4，AD∥BC，AD＝BC＝7，
∴∠AGB＝∠CBG，
∴∠ABG＝∠AGB，
∴AB＝AG＝4，
∴DG＝AD﹣AG＝3，
∵∠D＝90°，
∴CG=DG2+CD2=5，
∴△CDG的周长为CD+DG+CG＝4+3+5＝12．
故选：C．
【点评】此题考查了矩形的性质，尺规作角平分线，勾股定理等知识，解题的关键是得到BG平分∠ABC．
二．填空题（共5小题）
13．（2021•绥中县一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D，连接CD；再分别以点B和点D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，若AF＝12，则线段CD的长为 8 ．
【考点】作图—基本作图；含30度角的直角三角形．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】8．
【分析】利用基本作图得到CF垂直平分BD，则CD＝CB，CF⊥AB，再根据含30度角的直角三角形三边的关系在Rt△ACF中求出AC，接着在Rt△ABC中求出BC，从而得到CD的长．
【解答】解：由作法得CF垂直平分BD，
∴CD＝CB，CF⊥AB，
在Rt△ACF中，∵∠A＝30°，
∴CF=33AF=33×12＝43，
∴AC＝2CF＝83，
在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，
∴BC=33AC=33×83=8．
∴CD＝8．
故答案为8．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作已知线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了含30度角的直角三角形三边的关系．
14．（2021•阜新县模拟）如图，在∠ABC中，利用尺规在射线BC，射线BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF，在射线BF上取一点G，过点G作GH⊥射线BA，若GH＝1，P为射线BC上一动点，则GP的最小值为 1 ．
【考点】作图—基本作图；垂线段最短．
【专题】尺规作图；几何直观．
【答案】1．
【分析】如图，过点G作GM⊥BC于M．根据角平分线的性质定理证明GH＝GM＝1，利用垂线段最短即可解决问题．
【解答】解：如图，过点G作GM⊥BC于M．
由作图可知，GB平分∠ABC，
∵GH⊥BA，GM⊥BC，
∴GH＝GM＝1，
根据垂线段最短可知，GP的最小值为1，
故答案为：1．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，垂线段最短，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．（2021•连山区一模）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于D，交BC于E；②分别以D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点F；③作射线BF交AC于G．如果AB＝8，BC＝10，△ABG的面积为16，则△CBG的面积为 20 ．
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】20．
【分析】过G点作GM⊥AB于M，GN⊥BC于N，如图，利用基本作图得BG平分∠ABC，根据角平分线的性质得到GM＝GN，然后利用三角形面积公式计算出GM，从而可计算出S△CBG．
【解答】解：过G点作GM⊥AB于M，GN⊥BC于N，如图，
由作法得BG平分∠ABC，
∴GM＝GN，
∵S△ABG=12AB•GM，
∴GM=16×28=4，
∴GN＝4，
∴S△CBG=12GN•BC=12×4×10＝20．
故答案为20．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角平分线的性质．
16．（2023•锦州一模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，以点B为圆心，BC长为半径作弧，交BD于点E，再分别以点B，E为圆心，大于12BE长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN分别交AB，BD，BC于点H，G，F，连接AE，EF，则∠AEF＝ 110° ．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；菱形的性质．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】110°．
【分析】先根据菱形的性质得到∠ABE＝∠FBE＝40°，BA＝BC，再利用基本作图得到BE＝BC，HF垂直平分BE，则BE＝BA，FB＝FE，接着利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠BEA＝70°，∠FEB＝∠FBE＝40°，然后计算∠AEB+∠FEB即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ABE＝∠FBE=12∠ABC=12×80°＝40°，BA＝BC，
由作法得BE＝BC，HF垂直平分BE，
∴BE＝BA，FB＝FE，
∴∠BEA＝∠BAE=12×（180°﹣40°）＝70°，∠FEB＝∠FBE＝40°，
∴∠AEF＝∠AEB+∠FEB＝70°+40°＝110°．
故答案为：110°．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的性质．
17．（2023•振兴区校级一模）如图，在▱ABCD中，尺规作图：以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD于点F，分别以点B，F为圆心，以大于BF的长为半径画弧交于点P，作射线AP交BC与点E，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为 16 ．
【考点】作图—复杂作图；平行四边形的性质．
【专题】作图题；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】16．
【分析】证明四边形ABEF是菱形，利用勾股定理求出OA即可解决问题．
【解答】解：由题意可知：AB＝AF，AE⊥BF，
∴OB＝OF，∠BAE＝∠EAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE＝AF，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴OA＝OE，OB＝OF=12BF＝6，
在Rt△AOB中，OA=AB2−OB2=102−62=8，
∴AE＝2OA＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是判定四边形ABEF是菱形．
三．解答题（共5小题）
18．（2021•铁岭模拟）在同一平面直角坐标系中有5个点：A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），D（﹣2．﹣2）．
（1）画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P相的位置关系；
（2）E点是y轴上的一点，若直线DE与⊙P相切，求点E的坐标．
【考点】作图—复杂作图；三角形的外接圆与外心；切线的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）在直角坐标系内描出各点，画出△ABC的外接圆，并指出点D与⊙P的位置关系即可；
（2）连接PD，用待定系数法求出直线DE的关系式进而得出E点坐标．
【解答】解：（1）如图所示：
△ABC外接圆的圆心为（﹣1，0），点D在⊙P上；
（2）连接PD，
∵直线DE与⊙P相切，
∴PD⊥PE，
利用网格过点D作直线的DF⊥PD，则F（﹣6，0），
设过点D，E的直线解析式为：y＝kx+b，
∵D（﹣2，﹣2），F（﹣6，0），
∴−2k+b=−2−6k+b=0，
解得：k=−12b=−3，
∴直线DE解析式为：y=−12x﹣3，
∴x＝0时，y＝﹣3，
∴E（0，﹣3）．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
19．（2022•铁西区二模）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上一点，且AE＝AB，连接BE．
（1）尺规作图：作∠A的平分线AF交BC于F，交BE于G（不需要写作图过程，保留作图痕迹）；
（2）若BE＝8，AB＝5，求AF的长．
【考点】作图—基本作图；平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用尺规作出∠BAD的角平分线即可．
（2）利用勾股定理求出AB，证明BA＝BF，AG＝GF即可解决问题．
【解答】解：（1）射线AF如图所示．
（2）∵AE＝AB，AF平分∠BAE，
∴AG⊥BE，
∴EG＝BG＝4，
在Rt△AGB中，∵AB＝5，BG＝4，
∴AG=52−42=3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EFA＝∠BAG＝∠AFB，
∴BA＝BF，
∵BG⊥AF，
∴AG＝GF＝3，
∴AF＝6．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．（2022•和平区一模）如图，在平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F；再分别以B，F为圆心，大于12BF的长为半径作弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若菱形ABEF的周长为4，AE=3，则请直接写出csC的大小为 12 ．
【考点】作图—基本作图；解直角三角形；平行四边形的性质；菱形的判定与性质．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】（1）证明见解析部分；
（2）12．
【分析】（1）由题意∠EAB＝∠EAF，由AD∥BC，推出∠EAF＝∠AEB＝∠EAB，得到BE＝AB＝AF，由此即可证明；
（2）连接BF，交AE于G．根据菱形的性质得出AB＝2，AG=12AE=3，再根据三角函数解答即可；
【解答】解：（1）由题可得，AB＝AF，AE平分∠BAD，
∴∠EAB＝∠EAF，
∵AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AEB＝∠EAB，
∴BE＝AB＝AF．
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝BE，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）如图，连接BF，交AE于G．菁优网
∵菱形ABEF的周长为8，
∴GA=12AE=32，
∵AE⊥BF，AB=14×4
在Rt△AGB中，cs∠BAE=GAAB，
∴∠BAG＝30°，
∴∠BAF＝2∠BAG＝60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠BAF＝60°，
∴csC=12，
故答案为：12
【点评】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的性质、作图﹣基本作图等知识，解题的关键是全等三角形的证明，解直角三角形．
21．（2023•大连模拟）如图，星海湾大桥是大连壮观秀丽的景点之一，主桥面（AB）是水平且笔直的，此时一个高1.6m的人（CD）站在C点望该桥的主塔BF，此时测得点D关于点F的俯角为35°，关于点E的俯角为75°，已知主塔AE＝BF＝114.3m，EF为该桥的主缆，与线段DF交于EF的中点G．（参考数据：sin55°≈0.82，cs55°≈0.57，tan55°≈1.43，sin15°≈0.26，cs15°≈0.97，tan15°≈0.27）
（1）请在图中作出关于EF所对应圆的圆心O并补全EF所对应的圆（尺规作图，保留作图痕迹且无需说明作图过程）；
（2）若关于EF所对应圆的半径为R，求EF的长（用含有π，R的代数式表示）；
（3）求星海湾大桥两座主塔之间的距离（结果取整数）．
【考点】作图—应用与设计作图；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；垂径定理；弧长的计算．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）见解析；
（2）79πR；
（3）星海湾大桥两座主塔之间的距离约为192m．
【分析】（1）作EG，FG的垂直平分线，相交于点O，以O为圆心，OE为半径的⊙O即为所求作；
（2）连接OE，OF，推出直线OG也是EF的中垂线，利用圆周角定理得到∠GOE＝∠GOF＝2×35°＝70°，推出∠EOF＝2×70°＝140°，再根据弧长公式即可求解；
（3）过点D向AE、BF作垂分别交于点M，N．求得EM＝112.7m，在Rt△MDE和Rt△DNF中，利用三角函数的定义分别求得MD、DN的长，据此求解即可．
【解答】解：（1）连接EG，如图⊙O即为所求作；
（2）保留（1）作图，连接OE、OF，
由作图知直线OG也是EF的中垂线，
∴EG＝FG，
∴∠GEF＝∠GFE＝35°，
∴∠GOE＝∠GOF＝2×35°＝70°，
∴∠EOF＝2×70°＝140°，
∴EF的弧长=nπR180=79πR；
（3）过点D向AE、BF作垂线分别交于点M，N，
∴∠AMN＝∠BNM＝90°，
又∠FBA＝90°，
∴四边形MANB为矩形，
∴EM＝FN＝AE﹣AM＝AE﹣CD＝112.7（m），∠EMN＝90°，
在Rt△MDE中，∠AED＝90°﹣75°＝15°，ME＝112.7（m），
∴tan∠AED=tan15°=MDME=0.27，
∴MD＝0.27×112.7＝30.429（m），
在Rt△DNF中，∠DFB＝90°﹣35°＝55°，FN＝112.7（m），
∴tan∠DFB=tan55°=DNFN=1.43，
∴DN＝1.43×112.7＝161.161（m），
∴AB＝DN+MD＝161.161+30.429＝191.59≈192（m），
答：星海湾大桥两座主塔之间的距离约为192m．
【点评】本题考查了确定圆心的位置，解直角三角形的应用，弧长公式的应用，掌握弧长公式以及锐角三角函数的意义是解决问题的关键．
22．（2023•大连一模）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，CD＝CA，以点C为圆心，CD长为半径画弧，以点B为圆心，BD长为半径画弧，两弧在CB下方相交于点E，连接BE，CE，AE与CD相交于点F．
（1）求证：∠CDB＝∠CEB；
（2）求∠AEB的度数；
（3）如图2，若AD＝3，BD＝2，求AF的长．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】作图题；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据三角形全等的性质证明；
（2）设∠DCB＝a，再根据角的和差及外角定理求解；
（3）根据相似三角形的性质求解．
【解答】（1）证明：由作图得：CE＝CD，BE＝BD，
又∵CB＝CB．
∴△CDB≌△CEB（SSS），
∴∠CDB＝∠CEB；
（2）解：设∠DCB＝a，
由（1）知△CDB≌△CEB，
∴∠ECB＝∠DCB＝a，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣a，∠ACE＝90°+a，
∵AC＝CD，AC＝CE，
∴∠CDA=12（180°﹣∠ACD）＝45°+12a，
∠AEC=12（180°﹣∠ACE）＝45°−12a，
∴∠CEB＝∠CDB＝135°−12a，
∴∠AEB＝∠CEB﹣∠AEC＝（135°−12a）﹣（45°−12a）＝90°；
（3）解：如图2，连接DE，DE与BC相交于点G，
∵AB＝AD+BD＝5．BE＝BD＝2．
Rt△ABE中，AEB＝90°，
∴AE=AE2+BE2=21，
∵CE＝CD，BE＝BD，
∴CB是DE的垂直平分线，
∴DG＝EG．∠BGD＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DGB＝∠ACB．
∴DE∥AC，
∴△BDG∽△BAC，
∴DGAC=BDAB=25，
∴DEAC=2DGAC=45，
∵DE∥AC，
∴∠ACF＝∠EDF，∠CAP＝∠DEF，
∴△ACF∽△EDF，
∴EFAF=DEAC=45，
∴AF=59AE=5219．
【点评】本题考查了基本作图，掌握相似三角形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键。