人教版九年级下册28.1 锐角三角函数测试题

这是一份人教版九年级下册28.1 锐角三角函数测试题，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2022秋·黑龙江大庆·九年级统考期末）已知中，，，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·黑龙江绥化·九年级统考期末）的值等于（ ）
A．B．C．D．1
3．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）的倒数是（ ）
A．B．C．2D．
4．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）如图，A，B，C，三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022秋·黑龙江绥化·九年级统考期末）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠CDB＝30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则sinE的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝3，则BC的长为（ ）
A．3sin35°B．C．3cs35°D．3tan35°
7．（2022秋·黑龙江大庆·九年级统考期末）如图，⊙O是ΔABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC=2，则sinB的值是
A．B．C．D．
8．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级鸡西市第一中学校期末）如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为( )
A．B．C．D．
二、填空题
9．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）若，则 ．
10．（2022秋·黑龙江绥化·九年级统考期末）如图，在2×6的网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，网格中小正方形的顶点叫格点，点A，B，C在格点上，连接AB，BC，则 ．
11．（2022秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期末）在△ABC中，∠A，∠C都是锐角，csA＝，sinC＝，则∠B＝ ．
12．（2022秋·黑龙江绥化·九年级统考期末）若点在反比例函数的图象上，则的值为 ．
13．（2022秋·黑龙江七台河·九年级统考期末）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则图中阴影部分面积为 ．
14．（2022秋·黑龙江大庆·九年级统考期末）计算： ．
三、解答题
15．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）化简，再求值：，其中．
16．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限内，点在x轴上，连接、，，，反比例函数的图象经过A点．
(1)求k的值；
(2)以为直角边作等腰直角，过点C作轴交反比例函数的图象于点E，求E点坐标．
17．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）如图，在中，，点是边上一点，以为直径的与交于点，连接并延长交的延长线于点，且．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的半径的长．
18．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）（1）计算：
（2）解方程：
19．（2022秋·黑龙江绥化·九年级期末）如图，△ABC内接于⊙O，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，∠DCB＝∠OAC．过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半径及tan∠OCB的值．
20．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图1，抛物线交轴于、两点（左右），交轴于，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，P为第一象限抛物线上一点，连接PA交y轴于点D，设点P的横坐标为m，△PCD的面积为S，求S与m的函数关系式；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接BC交PA于点E，过点O作//，交BC于点F，若PE＝PF，求点P的坐标．
21．（2022秋·黑龙江绥化·九年级统考期末）已知，，，．求∠A的余弦值和正切值
22．（2022秋·黑龙江大庆·九年级期末）计算：
23．（2022秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，经过点A的直线（不与BD垂直）与对角线BD所在直线交于点E，过点B，D分别作直线BD的垂线交直线AE于点F，H．
（1）当点E在如图①位置时，求证：BF﹣DH＝BD；（提示：延长DA交BF于G）
（2）当点E在图②、图③的位置时，直接写出线段BF，DH，BD之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）、（2）的条件下，若DH＝1，BD＝4，则tan∠DHE＝ ．
24．（2022秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期末）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝2tan60°．
25．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级期末）化简求值：，其中a，b满足
26．（2022秋·黑龙江绥化·九年级统考期末）如图，内接于是的直径的延长线上一点，．过圆心作的平行线交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径及的值；
27．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）先化简，再求值：÷（x+2﹣），其中x＝2cs45°﹣tan60°．
参考答案：
1．B
【分析】根据锐角三角函数的定义求解即可．
【详解】解：∵Rt△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，
∴sinB=．
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定定理及锐角三角函数的定义，由勾股定理得到直角三角形是解题关键．
2．B
【分析】利用特殊角锐角三角函数值，即可求解．
【详解】解：．
故选：B
【点睛】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键．
3．C
【分析】根据cs60°＝进行结合倒数回答即可．
【详解】解：由特殊角的三角函数值可知，cs60°＝，
的倒数是，
故：的倒数是2．
故选C．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值和倒数，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答此类问题的关键.
4．B
【分析】过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．
【详解】过C点作，垂足为D
则根据旋转性质可知，
在中，
所以
故选B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．
5．B
【分析】首先连接OC，由CE是切线，可得，由圆周角定理，可得，继而求得的度数，则可求得的值．
【详解】解：连接OC，
是切线，
，
即，
，、分别是所对的圆心角、圆周角,
，
，
．
故选：B.
【点睛】此题考查了切线的性质、圆周角定理以及特殊角的三角函数值．根据切线的性质连半径是解题的关键．
6．C
【分析】根据余弦定义求解即可．
【详解】解：如图，∵∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝3，cs35°＝，∴BC＝3cs35°．
故选：C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数，属于基础题型，熟练掌握余弦的定义是解此题的关键．
7．D
【详解】如图，连接DC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∵⊙O的半径为，
∴AD=3，
∴sin∠ADC=，
又∵∠B=∠ADC，
∴sinB=.
故选D.
8．C
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，
由题意得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，
∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°
∴∠DCF=∠AFE
∴在Rt△DCF中，CF=5，CD=4
∴DF=3
∴tan∠AFE=tan∠DCF=
故选：C.
【点睛】考点：1.翻折变换；2.矩形的性质；3.锐角三角函数的定义.
9．/30度
【分析】由，，可得，即可解得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】此题考查了特殊角的锐角三角函数，熟知是解题的关键．
10．
【分析】连接格点E与A，求出∠FAB=∠EAH=45°，，得到∠BAE=90°，根据公式求出结果．
【详解】解：如图，连接格点E与A，
∵AF=BF=2，AH=EH=1，∠AFB=∠AHE=90°，
∴∠FAB=∠EAH=45°，，
∴∠BAE=90°，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了求角的正切值，求网格中线段的长度，正确引出辅助线得到直角三角形是解题的关键．
11．60°/60度
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值先求解再利用三角形的内角和定理可得答案.
【详解】解： ∠A，∠C都是锐角，csA＝，sinC＝，


故答案为：
【点睛】本题考查的是已知锐角三角函数值求解锐角的大小，掌握“特殊角的锐角三角函数值”是解本题的关键.
12．
【分析】由点P在反比例函数曲线上可知，，故P点坐标为（12，5），故OH=12，PH=5，有勾股定理可求得OP=13，则=．
【详解】∵点P在反比例函数的图象上
∴
故P点坐标为（12，5）
故OH=12，PH=5
在中满足勾股定理
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数及其性质以及求角的余弦值，由反比例函数性质求得P点坐标，进而求得OH，PH的长度是解题的关键．
13．
【分析】设B′C′与CD的交点为E，连接AE，利用“HL”证明Rt△AB′E和Rt△ADE全等，根据全等三角形对应角相等∠DAE=∠B′AE，再根据旋转角求出∠DAB′=60°，然后求出∠DAE=30°，再解直角三角形求出DE，然后根据阴影部分的面积=正方形ABCD的面积-四边形ADEB′的面积，列式计算即可得解．
【详解】解：如图，设与的交点为，连接，
在和中，
，
，
，
∵旋转角为30°，
，
，
，
∴阴影部分的面积=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形，利用全等三角形求出∠DAE=∠B′AE，从而求出∠DAE=30°是解题的关键，也是本题的难点．
14．2
【分析】将特殊角三角函数值代入，并化简零指数幂，然后进行计算．
【详解】解：
故答案为：2．
【点睛】本题考查特殊角三角函数值的运算，熟记特殊角三角函数值正确计算是解题关键．
15．，
【分析】先将分式的分子、分母因式分解，再进行约分，然后进行分式的加减运算，再代值计算．
【详解】解：
，
当时，
原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值．解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．
16．(1)
(2)
【分析】（1）过点A作于H点，根据等腰三角形三线合一的性质求出，利用三角函数求出，再根据勾股定理求出，得到点A的坐标，即可求出k；
（2）过点A作轴，延长交于点G，得到，求出，证明，得到，求出，将代入函数解析式即可得到点E的坐标．
【详解】（1）解：过点A作于H点，
∵点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过A点．
∴；
（2）解：过点A作轴，延长交于点G，
则，
∴四边形是矩形，
∴，
∵等腰直角中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴．
【点睛】此题考查了锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，反比例函数的性质，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，证明，根据，即可证明，即为的切线；
（2）连接，，证明，根据相似三角形的性质得出，进而即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为半径，
∴为的切线；
（2）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的半径．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，已知正切求边长，综合运用以上知识是解题的关键．
18．（1）；（2），
【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入，然后去绝对值符号并进行计算即可；
（2）将方程变形为一般形式，然后用因式分解法求解方程即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）
或
，．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值有关计算，因式分解法解一元二次方程；熟记特殊角三角函数值，正确求解一元二次方程是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)3；2
【分析】（1）由等腰三角形的性质与已知条件得出，∠OCA=∠DCB，由圆周角定理可得∠ACB=90°，进而得到∠OCD=90°，即可得出结论；（2）根据平行线分线段成比例定理得到，设BD=2x,则OB=OC=3x,OD=OB+BD=5x,在Rt△OCD中，根据勾股定理求出x=1，即⊙O的半径为3，由平行线的性质得到∠OCB=∠EOC，在Rt△OCE中，可求得tan∠EOC=2，即tan∠OCB=2．
【详解】（1）证明：∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠DCB＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠DCB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OCA+∠OCB＝90°，
∴∠DCB+∠OCB＝90°，
即∠OCD＝90°，
∴OC⊥DC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵OEBC，
∴，
∵CD＝4，CE＝6，
∴，
设BD＝2x，则OB＝OC＝3x，OD＝OB+BD＝5x，
∵OC⊥DC，
∴△OCD是直角三角形，
在Rt△OCD中，，
∴，解得，x＝1，
∴OC＝3x＝3，即⊙O的半径为3 ，
∵BCOE，
∴∠OCB＝∠EOC，
在Rt△OCE中，tan∠EOC＝＝＝2，
∴tan∠OCB＝tan∠EOC＝2．
【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、三角函数、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握切线的判定与平行线分线段成比例定理是解题的关键．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）令a（x+2）（x-5）=0，解得x=-2或x=5，得到A（-2，0），B（5，0），即OA=2，OB=5，再根据5OA=2OC，解得a=-，从而得出抛物线的解析式；
（2）点的横坐标为，则，过点作轴，垂足为，根据求得，根据即可求解；
（3）设PH交BC于点G，连接GD交OF点N，先推出四边形OHGD为矩形，再证明四边形AOND为平行四边形，从而DN=OA=2，设∠APF=2α，∠PEF=∠PFE=90°-α，再证明△PGF≌△NGF，求得，根据建立方程，求得的值，进而即可求解．
【详解】（1）在中，
当时，，
∴，
∴，
此时，
∵，
∴，
∴或，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为：；
（2）∵点的横坐标为，则．
如图，过点作轴，垂足为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）∵，∴，
如图，设交于点，连接交点，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍），
∴．
【点睛】本题考查二次函数综合题、待定系数法、全等三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会用方程的思想思考问题．
21．csA， tanA；
【分析】根据勾股定理求出AB，根据锐角三角函数的定义解答即可．
【详解】解：∵，，，
∴AB，
则csA，tanA．
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦、锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦、锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切．
22．7
【分析】根据，立方根的求法，特殊三角函数的值，积的乘方，计算即可得答案．
【详解】解：
=
=1-2+6-（-2）
=7
【点睛】本题考查了二次根式、零指数幂、特殊三角函数的值、积的乘方的相关计算，做题的关键是掌握相关法则，特别积的乘方的逆运算，认真计算．
23．（1）见解析；（2）或；（3）或
【分析】（1）延长DA交BF于G，先证明△ABG是等边三角形，得到AG=AB=AD，然后证明△AGF≌△ADH得到DH=GF，再求出即可得到答案；
（2）如图②所示，延长BA交DH于G，同理可证△ABF≌△AGH，，得到，则；延长DA交BF延长线于G，同理可证，AG=AD，然后证明△GAF≌△DAH，得到，则；
（3）如图①所示，先根据结论求出，然后证明△FBE∽△HDE，得到，即，则，；然后对于图②和图③利用类似的方法求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，延长DA交BF于G，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴∠ADC=∠ABC=60°，AD=AB，
∴，
∵BF⊥BD，DH⊥BD，
∴∠FBD=∠HDB=90°，
∴∠BGD=60°，∠ADH=120°，DG=2BG，
∴∠FGA=120°，
∵∠BAG=∠ABD+∠ADB=60°，
∴△ABG是等边三角形，
∴AG=AB=AD，
在△AGF和△ADH中，
，
∴△AGF≌△ADH（ASA），
∴DH=GF，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）如图②所示，延长BA交DH于G，
同理可证△ABF≌△AGH，，
∴，
∴；
如图③所示，延长DA交BF延长线于G，
同理可证，AG=AD，
∵BF⊥BD，DH⊥BD，
∴BG∥DH，
∴∠FGA=∠HAD，
又∵∠GAF=∠DAH，AG=AD，
∴△GAF≌△DAH（AAS），
∴，
∴；
（3）如图①所示，
∵，，，
∴，
∵BF⊥BD，DH⊥BD，
∴BF//DH，
∴△FBE∽△HDE，
∴，即，
∴，
∴；
如图②所示，∵，，，
∴此时不符合题意；
如图③所示，
同理可得，△EHD∽△EFB，
∴，即，
∴，
∴；
故答案为：或
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，求正切值，等边三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够准确作出辅助线构造全等三角形．
24．，
【分析】根据分式的运算法则化简，利用特殊角的三角函数值求出x代入即可求解．
【详解】÷（1﹣）
=
=
=
∵x＝2tan60°=2×=6
∴原式=．
【点睛】此题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟知分式的运算法则及特殊角的三角函数值．
25．，2
【分析】先化简分式，在根据特殊角的三角函数值以及绝对值和算术平方根的非负性求得的值，代入化简结果计算即可
【详解】解：
，
原式
【点睛】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值以及绝对值和算术平方根的非负性，掌握以上知识是解题的关键．
26．（1）见解析；（2）半径为3，
【分析】（1）证明是的半径，即证明，结合直径所对圆周角是、等腰△OAC和已知即可求解；
（2）由（1）中结论和可知，，再由CD、CE和平行线分线段成比例，即可找到BD、OB、BC、OE的关系，最后利用三边的勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：如图，
，
，
，
是的直径，
，
，
，即，
，
又是的半径，
是的切线．
（2）
，即，
∴设，则，
，解得，，
．即的半径为3，
，
在中，，
．
【点睛】本题考查圆切线的证明、平行线分线段成比例、勾股定理和锐角三角函数，属于中档几何综合题，解题的关键在于直径所对圆周角是直角和方程思想．
27．化简得；求值得．
【分析】先化简分式，再求出x的值代入进行计算即可．
【详解】解：原式＝÷
＝
＝，
∵x＝2cs45°﹣tan60°，
∴x＝2×﹣，
当时，原式＝＝．
【点睛】本题是对分式化简求值的考查，熟练掌握分式的化简求值和特殊的三角函数值是解决本题的关键.