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人教版七年级下册6.3 实数精品精练
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这是一份人教版七年级下册6.3 实数精品精练，文件包含专题63实数97题50页-七年级数学下册同步精品讲义教师版人教版docx、专题63实数97题50页-七年级数学下册同步精品讲义学生版人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共69页， 欢迎下载使用。
1.有理数和无理数统称为实数
2.实数的相关概念：
（1）在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义 ，和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
（2）有理数的运算及运算律对实数仍然适用.
（3）实数与数轴上的点的对应关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。
考点精讲
考点1：实数概念的理解
典例：（2022·云南昭通·七年级期中）把下列各数填入相应的大括号中：
0.3，，，，0，，3.14，，，，，0.125，，
负数集合{ …}；
整数集合{ …}；
有理数集合{ …}；
无理数集合{ …}．
方法或规律点拨
本题主要考查了实数的分类，熟记整数和分数统称为有理数，无限不循环小数叫做无理数，是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·河南三门峡·七年级期中）下列说法中，错误的是（ ）
A．是整数B．的平方根是
C．是分数D．是有理数
2．（2022·湖北孝感·七年级期中）在，，，是圆周率），，，中，负有理数共有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
3．（2022·广东·海丰县教研室七年级期末）实数中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2022·山东德州·七年级期末）下列说法中错误的是（ ）
A．是整数B．是有理数
C．是分数D．的立方根是无理数
5．（2022·河北保定·七年级期末）下列命题中是真命题的是（ ）
A．实数由有理数和无理数组成B．实数分为正实数和负实数
C．若，则a=bD．是个分数
6．（2022·海南省直辖县级单位·七年级期末）在下列各实数中，属于无理数的是（ ）
A．2022B．C．D．
7．（2022·贵州铜仁·八年级期末）下列四个实数中，是无理数的为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·青海西宁·中考真题）下列各数是负数的是（ ）
A．0B．C．D．
9．（2022·湖南长沙·七年级期中）实数（相邻两个3之间依次多一个1）中，无理数的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
10．（2022·陕西渭南·七年级期末）已知实数，3.14，，，其中为无理数的是______．
考点2：实数的性质
典例：（1）（2022·四川绵阳·中考真题）的绝对值是（ ）
A．B．C．D．
（2）（2022·河北保定·七年级期末）实数的相反数是（ ）
A．B．C．D．
方法或规律点拨
本题主要考查了实数的绝对值和相反数的性质，掌握掌握相关性质是解答本题的关键．
巩固练习
1．（2022·河南洛阳·七年级期中）计算（ ）
A．B．C．5D．
3．（2021·广东·雷州市第三中学七年级期中）下列说法正确的是（ ）
①最大的负整数是﹣1；
②数轴上表示数3和﹣3的点到原点的距离相等；
③当a≤0时，|a|＝﹣a成立；
④a＋5一定比a大；
⑤（﹣2）3和﹣23相等．
A．2个B．3个C．4个D．5个
4．（2022·河南·潢川县中小学教研室七年级期中）下列各数中，它的相反数与它的绝对值不相等的是（ ）
A．0B．C．D．
5．（2022·浙江·三模）若一个实数的相反数为，则这个实数为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·四川广元·中考真题）若实数a的相反数是-3，则a等于（ ）
A．-3B．0C．D．3
7．（2022·河南安阳·一模）在，，，6这四个数中，绝对值小于2的数是（ ）
A．B．C．D．6
8．（2022·重庆巴蜀中学七年级期末）若有理数a、b满足a2+b＝9+4（a＞0）．则a﹣b的值为 _____．
9．（2022·黑龙江·哈尔滨市双城区教师进修学校七年级期末）的相反数是_________．
10．（2022·北京师大附中七年级期中）______．
11．（2022·四川自贡·七年级期末）实数﹣的相反数是 _____．
12．（2022·湖北恩施·七年级期末）的绝对值的相反数是_________．
考点3：实数与数轴
典例：（2022·河南许昌·七年级期中）阅读下列材料，完成相应的任务．
下框中是小云同学的作业．
请把实数0，，，，2表示在数轴上，并比较它们的大小（用<号连接）
解：
老师看了后，找来小云．
问道：“小云同学，你标在数轴上的两个点对应题中两个无理数，是吗？”
小云点点头．
老师又说：“你这两个无理数对应的点找得非常准确，遗憾的是没有完成全部解答．”
任务：请你帮小云同学将上面的作业做完．
方法或规律点拨
本题考查实数的大小比较，数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，解题关键是正确估算已知两点表示的数，和由这两点确定原点位置．
巩固练习
1．（2022·湖北武汉·七年级期中）如图，在数轴上以单位长度为边长画一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴交于点A，则点A表示的数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·河南许昌·八年级期中）如图，点O为数轴的原点，点A和B分别对应的实数是-1和1．过点B作，以点B为圆心，OB长为半径画弧，交BC于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交数轴的正半轴于点E，则点E对应的实数是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·山东济宁·七年级期中）如图，被阴影覆盖的数可能是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·广西河池·七年级期中）如图，数轴上有A，B，C，D四点，根据各点的位置，所表示的数与最接近的点是（ ）
A．AB．BC．CD．D
5．（2022·山东济南·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·湖北·嘉鱼县教学研究室七年级期末）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，则数轴上A，B两点之间表示整数的点共有（ ）个
A．5B．6C．7D．8
7．（2022·山东菏泽·八年级期中）如图，已知正方形ABCD的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为1．现以A为圆心，AB为半径画圆，和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为______．
8．（2022·河南许昌·七年级期中）老师在讲“实数”这节时，画了图（如图），即以数轴的单位长的线段为边作一个正方形，然后以原点O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交x轴于点A，作这样的图是用来说明_______．
9．（2022·广西贺州·七年级期中）（1）在数轴上表示下列各数：－3，，，．
（2）并将原数按从小到大的顺序用“”连接起来．
10．（2022·湖北孝感·七年级期中）如图，a，b，c是数轴上三个点A，B，C所对应的实数．试化简：
考点4：实数比较大小
典例：（2022·河南许昌·七年级期末）在比较与13的大小关系中，我们可以把它们分别平方，，．依据正数越大，算术平方根越大，得到．请利用上面的方法完成下面的问题：比较大小______（填＞，＜或＝）．
方法或规律点拨
本题考查了实数的大小比较，掌握实数大小比较的方法是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·河北·丰宁满族自治县教育和体育局教研室七年级期末）在下列给出的四个实数中，最小的实数是（ ）
A．0B．C．D．2
2．（2022·江西·石城县教育局教研室七年级期末）在实数，，，中，最小的实数是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·四川广安·七年级期末）在实数，－3，，中，最小的数是（ ）
A．B．－3C．D．
4．（2022·陕西渭南·七年级期末）在实数，，，2中，最大的数是（ ）
A．B．C．D．2
5．（2022·河北保定·七年级期末）下列式子的结果为正数的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·河北邯郸·八年级期末）面积为8的正方形边长为，下列叙述错误的是（ ）
A．B．在数轴上可以找到表示数的点
C．D．
7．（2022·广东广州·七年级期末）下列判断实数1与的大小关系，正确的是（ ）
A．B．C．D．无法确定
8．（2022·云南昭通·七年级期中）已知，则，，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2022·山东潍坊·八年级期中）比较大小：_____．
10．（2022·广东·海丰县教研室七年级期末）比较大小：_________（填“>”“<”或“=”）．
11．（2021·湖北孝感·七年级期中）比较大小：_____（填“＜”，“＝”，“＞”）．
12．（2022·安徽芜湖·八年级期末）比较大小：________．（填“＞”或“＜”）
考点5：与实数有关的混合运算
典例：（2022·山东济宁·七年级期中）计算：
(1)；
(2)．
方法或规律点拨
本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握绝对值的意义、算术平方根定义、立方根的定义、乘方运算法则，是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·湖北武汉·七年级期中）计算：______．
2．（2022·山西·古县教育局教学研究室八年级期末）计算：的结果是_________．
3．（2022·甘肃陇南·七年级期末）计算：．
4．（2022·湖北孝感·七年级期中）计算：
(1)
(2)
5．（2022·湖北孝感·七年级期中）计算：
(1)
(2)
6．（2022·江苏无锡·七年级期中）计算：
(1)；
(2)
7．（2022·山东德州·七年级期中）计算下列各题：
(1)
(2)
8．（2022·河南许昌·七年级期中）计算：
(1)
(2)
9．（2022·河南许昌·七年级期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，它们面积分别为4和2，求阴影部分的周长和面积．
考点6：与流程图有关的实数运算
典例：（2022·河北衡水·七年级期中）如图为一个数值转换器．
(1)当输入的x值为4时，输出的y值为 ；当输入的x值为16时，输出的y值为 ；
(2)输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为，求输入的x值；
(3)嘉淇发现输入x值后要取其算术平方根，因此他输入的x为非负数．但是当他输入x值后，却始终输不出y值，请你分析，他输入的x值是多少？
方法或规律点拨
此题考查算术平方根概念及无理数，解题关键是正确理解题目中规定的运算．
巩固练习
1．（2022·福建福州·七年级期中）有个数值转换器，程序原理如图．当输入时，输出n的值等于（ ）
A．3B．C．D．
2．（2022·山东聊城·八年级期中）有一个数值转换器原理如图，当输入的x的值为256时，输出的y的值为（ ）
A．B．C．D．16
3．（2022·广西贺州·七年级期中）按下图所示程序框图计算，若输入的值为，则输出结果为（ ）
A．B．C．4D．
4．（2022·重庆南川·七年级期末）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为5的是（ ）
A．、B．、C．、D．、
5．（2022·重庆南川·七年级期中）如图所示是一个数值转换器，若输入某个正整数值后，输出的值为5，则输入的值可能为（ ）
A．1B．6C．7D．19
6．（2021·山西长治·八年级期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的y值是（ ）
A．B．C．5D．
7．（2022·河南洛阳·七年级期中）有一个数值转换器，流程如图．当输入x的值为27时，输出y的值是__________．
8．（2022·河北邢台·七年级期末）按下面程序计算：
（1）当输入时，输出的结果为______
（2）若输入的值为大于1的实数，最后输出的结果为17，则符合条件的的值是______
9．（2022·福建莆田·七年级期末）如图为一个数值转换器．
(1)若输入的x值为3，则输出的y值为________；若输入的x值为9，则输出的y值为________；
(2)若输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为，求输入的x的值．
(3)尚进同学输入非负数x值后，却始终输不出y值．请你分析，他输入的x值是_______．
10．（2022·河南新乡·七年级期末）如图所示的是一个数值转换器．
(1)当输入的x值为9时，输出的y值为________；当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为时，输入的x值为________．
(2)嘉淇发现输入x值后要取其算术平方根，因此他输入的x值应为非负数．但是当他输入x值后，却始终输不出y值，请你分析，他输入的x值是多少？
11．（2020·浙江·七年级期末）有一个数值转换器．原理如图．
（1）当输入的为81时，输出的是多少？
（2）是否存在输入有效的值后，始终输不出值？如果存在．请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由；
（3）小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”，请你推算输入的数据可能是什么情况？
（4）若输出的是，试判断输入的值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个．
12．（2022·北京市师达中学七年级期中）一个数值转换器，如图所示：
(1)当输入的x为81时．输出的y值是_________；
(2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值；
(3)若输出的y是，请写出两个满足要求的x值．
考点7：新定义下的实数运算
典例：（2022·云南师范大学实验中学七年级期中）阅读材料：对实数、，定义的含义为，当时；当时，例如：，；
根据以上材料，回答下列问题：
(1)若，则m=________；
(2)已知，且，求的值．
方法或规律点拨
本题考查的是新定义运算，利用平方根的含义解方程，理解新定义的运算法则是解本题的关键．
巩固练习
1．（2022·福建福州·八年级期中）定义一种新运算：对于任意实数a，b，都有．例如，求的值
2．（2022·江苏无锡·七年级期中）对于a、b两数定义@的一种运算：a@b=(a▪b)a+b（其中等式右边的▪和+是通常意义下的乘法与加法），则下列结论：
①若a=1，b=－2，则a@b=－； ②若（－1）@x=1，则x=1；③a@b=b@a；④当a、b互为相反数时，a@b的值总是等于1．其中正确的是（ ）
A．①②④B．①③C．①③④D．②③
3．（2022·全国·七年级）规定[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.6]＝3，[2]＝2，[﹣2.1]＝﹣3，则下列结论：
①[﹣x]＝﹣[x]；
②若[x]＝n，则x的取值范围是n≤x＜n＋1；
③当﹣1＜x＜1时，[1＋x]＋[1﹣x]的值为1或2，
其中正确的结论有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
4．（2022·安徽合肥·七年级期中）对任意两个实数a、b定义两种运算：a▲b=，a▼b=并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如（-2）▲3=3、（-2）▼3=-2、（（-2）▲3））▼2=2，那么（▲2）▼等于（ ）
A．B．3C．6D．3
5．（2022·福建·厦门市莲花中学七年级期末）对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，如，，.现对82进行如下操作；，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对260只需进行（ ）次操作后变为1．
A．3B．4C．5D．6
6．（2022·江西·峡江县教学研究室七年级期末）现在规定两种新的运算“﹡”和“◎”：a﹡b=；a◎b=2ab，如（2﹡3）（2◎3）=（22+32）（2×2×3）=156，则[3﹡（－1）]＋[3◎（－1）]=__________．
7．（2022·河南南阳·七年级期末）先阅读，再解答：对于三个数、、中，我们用符号来表示其中最大的数和最小的数，规定表示这三个数中最小的数，表示这三个数中最大的数．例如：，；若，则的值为______．
8．（2022·河北沧州·七年级期末）对定义一种新运算，规定，这里等式右边是通常的四则运算．如．
(1)求的值；
(2)计算；
(3)若，求x的值．
9．（2022·江苏扬州·七年级期末）若新规定这样一种运算法则：a※b＝a2+2ab，例如3※（﹣2）＝32+2×3×（﹣2）＝﹣3．
(1)试求（﹣2）※3的值；
(2)若4※x＝﹣x﹣2，求x的值．
10．（2022·江苏泰州·七年级期中）在有理数范围内定义一种新运算，规定（a为常数），若．
(1)求；
(2)设，试比较M，N的大小；
(3)无论m取何值，都成立，求此时t的值．
能力提升
一、单选题（每题3分）
1．（2022秋·河南洛阳·八年级统考期中）有下列命题，其中是真命题的是（ ）
A．无理数都是无限不循环小数B．数轴上的点和有理数一一对应
C．无限循环小数都是无理数D．两个无理数和还是无理数
2．（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）的绝对值是（ ）
A．B．C．D．
的绝对值等于它的相反数”，熟知求一个实数的绝对值的法则是解题关键．
3．（2022春·江苏南通·七年级如皋市实验初中校考阶段练习）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．2D．
4．（2023春·八年级单元测试）正方形的面积是13，估计它的边长大小在（ ）
A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间
5．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知为实数﹐规定运算：，，，，……，．按上述方法计算：当时，的值等于（ ）
A．B．C．D．
6．（2022秋·浙江·八年级专题练习）规定以下两种变换：①，如；②，如．按照以上变换有：，那么等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每题3分）
7．（2023春·上海·七年级专题练习）在π（圆周率）、、、、五个数中，无理数是________．
8．（2023秋·辽宁丹东·八年级统考期末）比较大小：___________（填“”，“”或“”）
9．（2022秋·浙江金华·七年级统考期中）如图，是一个计算程序，若输入的数为，则输出的结果应为_________．
10．（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）已知，，在数轴上的位置如图所示，计算：______．
11．（2022春·广东梅州·七年级统考期末）如图，四边形均为正方形，其中正方形面积为．图中阴影部分面积为，正方形面积为_________．
12．（2023秋·辽宁丹东·八年级统考期末）已知，为两个连续整数，且，则___________．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．（2021春·云南昆明·七年级校考期中）计算：
14．（2022秋·上海·七年级专题练习）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了．
15．（2022秋·浙江杭州·七年级校联考期中）观察图形，每个小正方形的边长为1．
(1)则图中阴影部分的面积是 ，边长是 ．
(2)已知阴影正方形的边长为x，且，若a和b是相邻的两个整数，那么 ， ．
(3)若设图中阴影正方形的边长为x，请在下面的数轴上准确地作出数x所表示的点，若还有一个点B与它的距离为1，则这个点B在数轴上所表示的数为 ．
1.有理数和无理数统称为实数
2.实数的相关概念：
（1）在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义 ，和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
（2）有理数的运算及运算律对实数仍然适用.
（3）实数与数轴上的点的对应关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。
考点精讲
考点1：实数概念的理解
典例：（2022·云南昭通·七年级期中）把下列各数填入相应的大括号中：
0.3，，，，0，，3.14，，，，，0.125，，
负数集合{ …}；
整数集合{ …}；
有理数集合{ …}；
无理数集合{ …}．
方法或规律点拨
本题主要考查了实数的分类，熟记整数和分数统称为有理数，无限不循环小数叫做无理数，是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·河南三门峡·七年级期中）下列说法中，错误的是（ ）
A．是整数B．的平方根是
C．是分数D．是有理数
2．（2022·湖北孝感·七年级期中）在，，，是圆周率），，，中，负有理数共有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
3．（2022·广东·海丰县教研室七年级期末）实数中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2022·山东德州·七年级期末）下列说法中错误的是（ ）
A．是整数B．是有理数
C．是分数D．的立方根是无理数
5．（2022·河北保定·七年级期末）下列命题中是真命题的是（ ）
A．实数由有理数和无理数组成B．实数分为正实数和负实数
C．若，则a=bD．是个分数
6．（2022·海南省直辖县级单位·七年级期末）在下列各实数中，属于无理数的是（ ）
A．2022B．C．D．
7．（2022·贵州铜仁·八年级期末）下列四个实数中，是无理数的为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·青海西宁·中考真题）下列各数是负数的是（ ）
A．0B．C．D．
9．（2022·湖南长沙·七年级期中）实数（相邻两个3之间依次多一个1）中，无理数的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
10．（2022·陕西渭南·七年级期末）已知实数，3.14，，，其中为无理数的是______．
考点2：实数的性质
典例：（1）（2022·四川绵阳·中考真题）的绝对值是（ ）
A．B．C．D．
（2）（2022·河北保定·七年级期末）实数的相反数是（ ）
A．B．C．D．
方法或规律点拨
本题主要考查了实数的绝对值和相反数的性质，掌握掌握相关性质是解答本题的关键．
巩固练习
1．（2022·河南洛阳·七年级期中）计算（ ）
A．B．C．5D．
3．（2021·广东·雷州市第三中学七年级期中）下列说法正确的是（ ）
①最大的负整数是﹣1；
②数轴上表示数3和﹣3的点到原点的距离相等；
③当a≤0时，|a|＝﹣a成立；
④a＋5一定比a大；
⑤（﹣2）3和﹣23相等．
A．2个B．3个C．4个D．5个
4．（2022·河南·潢川县中小学教研室七年级期中）下列各数中，它的相反数与它的绝对值不相等的是（ ）
A．0B．C．D．
5．（2022·浙江·三模）若一个实数的相反数为，则这个实数为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·四川广元·中考真题）若实数a的相反数是-3，则a等于（ ）
A．-3B．0C．D．3
7．（2022·河南安阳·一模）在，，，6这四个数中，绝对值小于2的数是（ ）
A．B．C．D．6
8．（2022·重庆巴蜀中学七年级期末）若有理数a、b满足a2+b＝9+4（a＞0）．则a﹣b的值为 _____．
9．（2022·黑龙江·哈尔滨市双城区教师进修学校七年级期末）的相反数是_________．
10．（2022·北京师大附中七年级期中）______．
11．（2022·四川自贡·七年级期末）实数﹣的相反数是 _____．
12．（2022·湖北恩施·七年级期末）的绝对值的相反数是_________．
考点3：实数与数轴
典例：（2022·河南许昌·七年级期中）阅读下列材料，完成相应的任务．
下框中是小云同学的作业．
请把实数0，，，，2表示在数轴上，并比较它们的大小（用<号连接）
解：
老师看了后，找来小云．
问道：“小云同学，你标在数轴上的两个点对应题中两个无理数，是吗？”
小云点点头．
老师又说：“你这两个无理数对应的点找得非常准确，遗憾的是没有完成全部解答．”
任务：请你帮小云同学将上面的作业做完．
方法或规律点拨
本题考查实数的大小比较，数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，解题关键是正确估算已知两点表示的数，和由这两点确定原点位置．
巩固练习
1．（2022·湖北武汉·七年级期中）如图，在数轴上以单位长度为边长画一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴交于点A，则点A表示的数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·河南许昌·八年级期中）如图，点O为数轴的原点，点A和B分别对应的实数是-1和1．过点B作，以点B为圆心，OB长为半径画弧，交BC于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交数轴的正半轴于点E，则点E对应的实数是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·山东济宁·七年级期中）如图，被阴影覆盖的数可能是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·广西河池·七年级期中）如图，数轴上有A，B，C，D四点，根据各点的位置，所表示的数与最接近的点是（ ）
A．AB．BC．CD．D
5．（2022·山东济南·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·湖北·嘉鱼县教学研究室七年级期末）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，则数轴上A，B两点之间表示整数的点共有（ ）个
A．5B．6C．7D．8
7．（2022·山东菏泽·八年级期中）如图，已知正方形ABCD的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为1．现以A为圆心，AB为半径画圆，和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为______．
8．（2022·河南许昌·七年级期中）老师在讲“实数”这节时，画了图（如图），即以数轴的单位长的线段为边作一个正方形，然后以原点O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交x轴于点A，作这样的图是用来说明_______．
9．（2022·广西贺州·七年级期中）（1）在数轴上表示下列各数：－3，，，．
（2）并将原数按从小到大的顺序用“”连接起来．
10．（2022·湖北孝感·七年级期中）如图，a，b，c是数轴上三个点A，B，C所对应的实数．试化简：
考点4：实数比较大小
典例：（2022·河南许昌·七年级期末）在比较与13的大小关系中，我们可以把它们分别平方，，．依据正数越大，算术平方根越大，得到．请利用上面的方法完成下面的问题：比较大小______（填＞，＜或＝）．
方法或规律点拨
本题考查了实数的大小比较，掌握实数大小比较的方法是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·河北·丰宁满族自治县教育和体育局教研室七年级期末）在下列给出的四个实数中，最小的实数是（ ）
A．0B．C．D．2
2．（2022·江西·石城县教育局教研室七年级期末）在实数，，，中，最小的实数是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·四川广安·七年级期末）在实数，－3，，中，最小的数是（ ）
A．B．－3C．D．
4．（2022·陕西渭南·七年级期末）在实数，，，2中，最大的数是（ ）
A．B．C．D．2
5．（2022·河北保定·七年级期末）下列式子的结果为正数的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·河北邯郸·八年级期末）面积为8的正方形边长为，下列叙述错误的是（ ）
A．B．在数轴上可以找到表示数的点
C．D．
7．（2022·广东广州·七年级期末）下列判断实数1与的大小关系，正确的是（ ）
A．B．C．D．无法确定
8．（2022·云南昭通·七年级期中）已知，则，，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2022·山东潍坊·八年级期中）比较大小：_____．
10．（2022·广东·海丰县教研室七年级期末）比较大小：_________（填“>”“<”或“=”）．
11．（2021·湖北孝感·七年级期中）比较大小：_____（填“＜”，“＝”，“＞”）．
12．（2022·安徽芜湖·八年级期末）比较大小：________．（填“＞”或“＜”）
考点5：与实数有关的混合运算
典例：（2022·山东济宁·七年级期中）计算：
(1)；
(2)．
方法或规律点拨
本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握绝对值的意义、算术平方根定义、立方根的定义、乘方运算法则，是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·湖北武汉·七年级期中）计算：______．
2．（2022·山西·古县教育局教学研究室八年级期末）计算：的结果是_________．
3．（2022·甘肃陇南·七年级期末）计算：．
4．（2022·湖北孝感·七年级期中）计算：
(1)
(2)
5．（2022·湖北孝感·七年级期中）计算：
(1)
(2)
6．（2022·江苏无锡·七年级期中）计算：
(1)；
(2)
7．（2022·山东德州·七年级期中）计算下列各题：
(1)
(2)
8．（2022·河南许昌·七年级期中）计算：
(1)
(2)
9．（2022·河南许昌·七年级期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，它们面积分别为4和2，求阴影部分的周长和面积．
考点6：与流程图有关的实数运算
典例：（2022·河北衡水·七年级期中）如图为一个数值转换器．
(1)当输入的x值为4时，输出的y值为 ；当输入的x值为16时，输出的y值为 ；
(2)输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为，求输入的x值；
(3)嘉淇发现输入x值后要取其算术平方根，因此他输入的x为非负数．但是当他输入x值后，却始终输不出y值，请你分析，他输入的x值是多少？
方法或规律点拨
此题考查算术平方根概念及无理数，解题关键是正确理解题目中规定的运算．
巩固练习
1．（2022·福建福州·七年级期中）有个数值转换器，程序原理如图．当输入时，输出n的值等于（ ）
A．3B．C．D．
2．（2022·山东聊城·八年级期中）有一个数值转换器原理如图，当输入的x的值为256时，输出的y的值为（ ）
A．B．C．D．16
3．（2022·广西贺州·七年级期中）按下图所示程序框图计算，若输入的值为，则输出结果为（ ）
A．B．C．4D．
4．（2022·重庆南川·七年级期末）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为5的是（ ）
A．、B．、C．、D．、
5．（2022·重庆南川·七年级期中）如图所示是一个数值转换器，若输入某个正整数值后，输出的值为5，则输入的值可能为（ ）
A．1B．6C．7D．19
6．（2021·山西长治·八年级期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的y值是（ ）
A．B．C．5D．
7．（2022·河南洛阳·七年级期中）有一个数值转换器，流程如图．当输入x的值为27时，输出y的值是__________．
8．（2022·河北邢台·七年级期末）按下面程序计算：
（1）当输入时，输出的结果为______
（2）若输入的值为大于1的实数，最后输出的结果为17，则符合条件的的值是______
9．（2022·福建莆田·七年级期末）如图为一个数值转换器．
(1)若输入的x值为3，则输出的y值为________；若输入的x值为9，则输出的y值为________；
(2)若输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为，求输入的x的值．
(3)尚进同学输入非负数x值后，却始终输不出y值．请你分析，他输入的x值是_______．
10．（2022·河南新乡·七年级期末）如图所示的是一个数值转换器．
(1)当输入的x值为9时，输出的y值为________；当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为时，输入的x值为________．
(2)嘉淇发现输入x值后要取其算术平方根，因此他输入的x值应为非负数．但是当他输入x值后，却始终输不出y值，请你分析，他输入的x值是多少？
11．（2020·浙江·七年级期末）有一个数值转换器．原理如图．
（1）当输入的为81时，输出的是多少？
（2）是否存在输入有效的值后，始终输不出值？如果存在．请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由；
（3）小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”，请你推算输入的数据可能是什么情况？
（4）若输出的是，试判断输入的值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个．
12．（2022·北京市师达中学七年级期中）一个数值转换器，如图所示：
(1)当输入的x为81时．输出的y值是_________；
(2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值；
(3)若输出的y是，请写出两个满足要求的x值．
考点7：新定义下的实数运算
典例：（2022·云南师范大学实验中学七年级期中）阅读材料：对实数、，定义的含义为，当时；当时，例如：，；
根据以上材料，回答下列问题：
(1)若，则m=________；
(2)已知，且，求的值．
方法或规律点拨
本题考查的是新定义运算，利用平方根的含义解方程，理解新定义的运算法则是解本题的关键．
巩固练习
1．（2022·福建福州·八年级期中）定义一种新运算：对于任意实数a，b，都有．例如，求的值
2．（2022·江苏无锡·七年级期中）对于a、b两数定义@的一种运算：a@b=(a▪b)a+b（其中等式右边的▪和+是通常意义下的乘法与加法），则下列结论：
①若a=1，b=－2，则a@b=－； ②若（－1）@x=1，则x=1；③a@b=b@a；④当a、b互为相反数时，a@b的值总是等于1．其中正确的是（ ）
A．①②④B．①③C．①③④D．②③
3．（2022·全国·七年级）规定[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.6]＝3，[2]＝2，[﹣2.1]＝﹣3，则下列结论：
①[﹣x]＝﹣[x]；
②若[x]＝n，则x的取值范围是n≤x＜n＋1；
③当﹣1＜x＜1时，[1＋x]＋[1﹣x]的值为1或2，
其中正确的结论有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
4．（2022·安徽合肥·七年级期中）对任意两个实数a、b定义两种运算：a▲b=，a▼b=并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如（-2）▲3=3、（-2）▼3=-2、（（-2）▲3））▼2=2，那么（▲2）▼等于（ ）
A．B．3C．6D．3
5．（2022·福建·厦门市莲花中学七年级期末）对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，如，，.现对82进行如下操作；，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对260只需进行（ ）次操作后变为1．
A．3B．4C．5D．6
6．（2022·江西·峡江县教学研究室七年级期末）现在规定两种新的运算“﹡”和“◎”：a﹡b=；a◎b=2ab，如（2﹡3）（2◎3）=（22+32）（2×2×3）=156，则[3﹡（－1）]＋[3◎（－1）]=__________．
7．（2022·河南南阳·七年级期末）先阅读，再解答：对于三个数、、中，我们用符号来表示其中最大的数和最小的数，规定表示这三个数中最小的数，表示这三个数中最大的数．例如：，；若，则的值为______．
8．（2022·河北沧州·七年级期末）对定义一种新运算，规定，这里等式右边是通常的四则运算．如．
(1)求的值；
(2)计算；
(3)若，求x的值．
9．（2022·江苏扬州·七年级期末）若新规定这样一种运算法则：a※b＝a2+2ab，例如3※（﹣2）＝32+2×3×（﹣2）＝﹣3．
(1)试求（﹣2）※3的值；
(2)若4※x＝﹣x﹣2，求x的值．
10．（2022·江苏泰州·七年级期中）在有理数范围内定义一种新运算，规定（a为常数），若．
(1)求；
(2)设，试比较M，N的大小；
(3)无论m取何值，都成立，求此时t的值．
能力提升
一、单选题（每题3分）
1．（2022秋·河南洛阳·八年级统考期中）有下列命题，其中是真命题的是（ ）
A．无理数都是无限不循环小数B．数轴上的点和有理数一一对应
C．无限循环小数都是无理数D．两个无理数和还是无理数
2．（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）的绝对值是（ ）
A．B．C．D．
的绝对值等于它的相反数”，熟知求一个实数的绝对值的法则是解题关键．
3．（2022春·江苏南通·七年级如皋市实验初中校考阶段练习）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．2D．
4．（2023春·八年级单元测试）正方形的面积是13，估计它的边长大小在（ ）
A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间
5．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知为实数﹐规定运算：，，，，……，．按上述方法计算：当时，的值等于（ ）
A．B．C．D．
6．（2022秋·浙江·八年级专题练习）规定以下两种变换：①，如；②，如．按照以上变换有：，那么等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每题3分）
7．（2023春·上海·七年级专题练习）在π（圆周率）、、、、五个数中，无理数是________．
8．（2023秋·辽宁丹东·八年级统考期末）比较大小：___________（填“”，“”或“”）
9．（2022秋·浙江金华·七年级统考期中）如图，是一个计算程序，若输入的数为，则输出的结果应为_________．
10．（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）已知，，在数轴上的位置如图所示，计算：______．
11．（2022春·广东梅州·七年级统考期末）如图，四边形均为正方形，其中正方形面积为．图中阴影部分面积为，正方形面积为_________．
12．（2023秋·辽宁丹东·八年级统考期末）已知，为两个连续整数，且，则___________．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．（2021春·云南昆明·七年级校考期中）计算：
14．（2022秋·上海·七年级专题练习）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了．
15．（2022秋·浙江杭州·七年级校联考期中）观察图形，每个小正方形的边长为1．
(1)则图中阴影部分的面积是 ，边长是 ．
(2)已知阴影正方形的边长为x，且，若a和b是相邻的两个整数，那么 ， ．
(3)若设图中阴影正方形的边长为x，请在下面的数轴上准确地作出数x所表示的点，若还有一个点B与它的距离为1，则这个点B在数轴上所表示的数为 ．
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