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第15讲 直角三角形（考点定位精讲讲练）-2022学年八年级数学上学期期末考试满分全攻略（沪教版）教师版
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这是一份第15讲 直角三角形（考点定位精讲讲练）-2022学年八年级数学上学期期末考试满分全攻略（沪教版）教师版，共20页。试卷主要包含了直角三角形全等的判定，直角三角形的性质定理及推论，勾股定理，两点的距离公式，，那么PQ＝ ．等内容，欢迎下载使用。
1.直角三角形全等的判定
2.直角三角形的性质定理及推论
3.勾股定理
4.两点的距离公式
①数轴上两点A、B分别表示实数m、n，则AB的距离为.
②如果直角坐标平面内有两点，那么两点间的距离
.
考点一：直角三角形全等的判定与直角三角形的性质
例题1（浦东新区2020期末25）（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：①∠AEB的度数为 ；②线段AD，BE之间的数量关系为 ．
（2）拓展探究 如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
【答案】结论：（1）60；（2）AD=BE；应用：∠AEB＝90°；AE=2CM+BE；
【解析】解：探究：（1）在△CDA≌△CEB中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，∴△CDA≌△CEB，
∴∠CEB=∠CDA=120°，又∠CED=60°，∴∠AEB=120°－ 60°= 60°；（2）∵△CDA≌△CEB，∴AD=BE；
应用：∠AEB＝90°；AE=2CM+BE；理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 90°，
∴AC = BC， CD = CE， ∠ACB =∠DCB =∠DCE－∠DCB， 即∠ACD = ∠BCE，∴△ACD≌△BCE，
∴AD = BE，∠BEC = ∠ADC=135°．∴∠AEB =∠BEC－∠CED =135°－ 45°= 90°．在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM =DM= ME，∴DE = 2CM．∴AE = DE+AD=2CM+BE．
例题2（市西2020期末27）如图，在四边形中，，对角线与相交于点，分别是边、的中点.
（1）求证：；
（2）当时，求的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）2.5
【解析】解:证明：（1）连接BM、DM．∵∠ABC=∠ADC=90°，点M、点N分别是边AC、BD的中点，
∴BM=AC，CM=AC，∴BM＝DM＝AC，∵N是BD的中点，∴MN是BD的垂直平分线，∴MN⊥BD
（2）解：∵∠BCA=15°，BM＝CM＝AC，∴∠BCA=∠CBM=15°，∴∠BMA=30°，∵OB=OM，
∴∠OBM=∠BMA=30°，∵AC=10，BM＝AC，∴BM=5，在Rt△BMN中，∠BNM=90°，∠NBM=30°，
∴MN＝BM＝2.5，答：MN的长是2.5．
考点二：勾股定理与两点的距离公式
例题3（浦东四署2020期末3）在中，BC=6，AC=8，AB=10，则该三角形为（ ）
A.锐角三角形； B.直角三角形； C.钝角三角形； D.等腰直角三角形.
【答案】B；
【解析】 因为易知：，由勾股定理的逆定理得且，故选B.
例题4（浦东四署2020期末23）直角坐标平面内，已知点，在y轴上求一点P，使得是以为直角的直角三角形.
【答案】；
【解析】解：设，由勾股定理得：，，，因为，所以即，解得，所以点P的坐标为
例题5（浦东四署2020期末12）平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离是 .
【答案】；
【解析】根据两点的距离公式得：.
1.（松江区2020期末5）下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两个锐角分别对应相等 B．两条直角边分别对应相等
C．一条直角边和斜边分别对应相等 D．一个锐角和一条斜边分别对应相等
【答案】A；
【解析】解：A、两个锐角对应相等，不能说明两三角形能够完全重合，符合题意；B、可以利用边角边判定两三角形全等，不符合题意；C、可以利用边角边或HL判定两三角形全等，不符合题意；D、可以利用角角边判定两三角形全等，不符合题意．故选：A．
2.（金山2020期末4）下列四组数据表示三角形的三边长,其中不能构成直角三角形的一组数据是( )
A. 1 cm, cm, 4cmB. 5cm, 12cm, 13cm:
C. 3cm, 4cm, 5cm:D. 7cm, 24cm, 25 cm
【答案】A；
【解析】解：A、∵12+()2=9=32≠42，∴不能够成直角三角形，故本选项正确；B、∵52+122=169=132，∴能够成直角三角形，故本选项错误；C、∵32+42=25=52，∴能够成直角三角形，故本选项错误；D、∵72+242=625=22，∴能够成直角三角形，故本选项错误．故选A．
3.（市西2020期末4）式子可以理解为（ ）
A. 两点与间的距离B. 两点与间的距离
C. 两点与间的距离D. 两点与间的鉅离.
【答案】D；
【解析】解：∴式子可以理解为两点与间的距离.故选：D.
4.（浦东南片2020期末5）下列各组数据是线段长，其中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D；
【解析】解：A. ，此三角形是直角三角形，故不符合题意；B. ，此三角形是直角三角形，故不符合题意；C. ，此三角形是直角三角形，故不符合题意；D. ，此三角形不是直角三角形，故符合题意；故选：D.
5.（徐教院附2019期中6）在锐角△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D、E，AD与BE交于点F，BF＝AC那么∠ABC等于( )
A. 60° B. 50° C. 48° D. 45°
【答案】D；
【解析】解：如图，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠DBF+∠C=∠C+∠CAD，
∴∠DBF=∠DAC，在△BDF和△ADC中，∴△BDF≌△ADC(AAS)，∴BD=AD，
∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°.故选D.
6.（浦东新区2020期末6）如图，在中，，CD是高，BE平分∠ABC交CD于点E，EF∥AC交AB于点F，交BC于点G．在结论：(1) ；(2) ；(3)；(4) 中，一定成立的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B；
【解析】解：∵EF∥AC，∠BCA=90°，∴∠CGE=∠BCA=90°，∴∠BCD+∠CEG=90°，又∵CD是高，
∴∠EFD+∠FED=90°，∵∠CEG=∠FED（对顶角相等），∴∠EFD=∠BCD，故（1）正确；只有∠A=45°，即△ABC是等腰直角三角形时，AD=CD，CG=EG而立，故（2）（3）不一定成立，错误；∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=∠EBF，在△BCE和△BFE中，，∴△BCE≌△BFE（AAS），∴BF=BC，故（4）正确，综上所述，正确的有（1）（4）共2个．故选：B．
7.（2019复附10月考18）如图，在中，，BE平分，交AD于点E，EF//AC，下列结论一定成立的是（ ）
A.AB=BF； B. AE=ED； C. AD=DC； C. .
【答案】A；
【解析】解：易知，又EF//AC，所以，故，又BE平分，所以，又BE=BE，所以，所以AB=BF，故A正确；B、C、D不一定正确，故答案选A.
二、填空题
8.（青浦实验2019期中13）已知直角三角形的一个锐角为36°，则另一个锐角的大小为________________.
【答案】54°；
【解析】解：设另一锐角为x，则，所以，故答案为54°．
9.（徐汇龙华2019期中13）如图，中，已知，DE是AB的垂直平分线，若，那么=_________度.
【答案】54°；
【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴∠B=∠DAB，∵，∴设∠DAC=x，则∠B=∠DAB=2x，∵，∴x+2x+2x=90°，解得：x=18°，∴=3x=54°.故答案为54°.
10.（松江区2020期末13）已知直角坐标平面上点P（3，2）和Q（﹣1，5），那么PQ＝ ．
【答案】5；
【解析】解：∵P（3，2）和Q（﹣1，5），∴PQ＝，故答案为：5
11.（浦东新区2020期末16）如图，一棵大树在离地3米处折断，树顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是_________米.
【答案】8；
【解析】解：根据题意可得树顶端到折断处的长为=5米，则这棵树折断之前的高度是5+3=8米.
12.（2019位育10月考18）在中，，CA=CB，AD是中的平分线，点E在直线AB上，如果DE=2CD，那么= .
【答案】或；
【解析】解：过点D作于点F，则DF=DC； 当点E在线段AB上时，因为DE=2DC=2DF，故，而，所以；当点E在线段AB的延长线上时，同理可得：；故.
13.（市西2020期末14）如图，在四边形ABCD中，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，则∠DAB的度数是______°．
【答案】135°;
【解析】解：∵AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，∴AB=BC，∴∠BAC=∠ACB=45°，
∴设AB＝2x，则BC＝2x，CD=3x，DA=x,∴AC2=AB2+BC2=(2x)2+(2x)2=8x2,又CD2-AD2=(3x)2-x2=8x2,∴AC2= CD2-AD2, ∵AC2+AD2=CD2, ∴ΔACD是直角三角形，∴∠DAC=90°，∴∠DAB=45°+90°=135°．
14.（2019曹杨10月考15）如图，已知，于点D，那么图中与相等的角是 .
【答案】；
【解析】解：因为，所以；又，所以，所以.
15.（金山2020期末17）已知△ABC中，∠A=90°，角平分线BE、CF交于点O，则∠BOC= ．
【答案】135°
【解析】解：∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∵角平分线BE、CF交于点O，∴∠OBC+∠OCB=45°，
∴∠BOC=180°﹣45°=135°．故答案为135°．
16.（金山2020期末16）已知直角坐标平面内两点和，则、两点间的距离等于______．
【答案】;
【解析】解：∵直角坐标平面内两点 A（−3，1）和B（3，−1），∴A、B两点间的距离等于，故答案为．
17.（2019华理附10月考18）已知：如图，在中，且AB=AC，D是边BC上一点，E是边AC上一点，AD=AE，若为等腰三角形，则的度数为 .
【答案】或；
【解析】解：设，则，又AD=AE，所以.（1）当AB=BD时，，所以，解得；（2）当BD=DA时，，则，解得；故.
18.（青浦实验2019期中14）已知，RtΔABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，BC=3，那么AC=________________．
【答案】；
【解析】解：设AC=x．∵∠C=90°，∠ABC=30°，∴AB=2AC=2x．又∵BC==3，∴x=，∴AC=．故答案为．
19.（松江区2020期末16）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝12cm，AC＝9cm，那么BD的长是 ．
【答案】cm.
【解析】解：作DE⊥AB于E，由勾股定理得，AB＝＝15，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（AAS），∴CD＝ED，AE＝AC＝9，∴BE＝AB﹣AE＝6，在Rt△BED中，BD2＝DE2+BE2，即，解得，BD＝cm．
20.（浦东新区2020期末17）如图，将等腰绕底角顶点A逆时针旋转15°后得到，如果，那么两个三角形的重叠部分面积为____．
【答案】；
【解析】解：设B′C′与AB相交于点D，如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC=45°，∵旋转角为15°，
∴∠CAC′=15°，∴∠C′AD=∠BAC-∠CAC′=45°-15°=30°，∴AD=2C′D，在Rt△AC′D中，根据勾股定理，AC′2+C′D2=AD2，即12+C′D2=4C′D2，解得C′D=，∴重叠部分的面积=．
21.（徐教院附2019期中17）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CF交AB于E，BD⊥CF，AF⊥CF，则下列结论:①∠ACF＝∠CBD②BD＝FC③FC＝FD+AF④AE=DC中，正确的结论是____________(填正确结论的编号)
【答案】①②③;
【解析】解：∵BD⊥CF，AF⊥CF，∴∠BDC=∠AFC=90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACF+∠BCD=
∠CBD+∠BCD=90°，∴∠ACF=∠CBD，故①正确；在△ACF和△CBD中，，∴△ACF≌△CBD，∴BD＝FC，CD=AF，故结论②正确∴FC＝FD+CD=FD+AF，故结论③正确，∵在Rt△AEF中，AE>AF，∴AE>CD，故结论④错误.综上所述，正确的结论是：①②③.
22.（市西2020期末17）如图，在教学楼走廊上有一拖把以的倾斜角斜靠在栏杆上，影响了同学们的行走，小明自觉地将拖把挪动位置，使其倾斜角变为. 如果拖把的长为2米，则行走的通道拓宽了___________米（结果保留根号）.
【答案】;
【解析】解：∵AB=CD=2，∠ABO=45°，∠CDO=60°，∴BO=AB•cs45°= ；DO=CD•cs60°
= ．则BD=BO-DO=．所以小明拓宽了行路通道米．
23.（松江区2020期末17）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AF⊥BC于F，M是CD中点，AM的延长线交BC的延长线于E，AE⊥AB，∠B＝60°，AF＝，则梯形的面积是 ．
【答案】；
【解析】解：设BF＝x，在Rt△ABF中，∠B＝60°，∴∠BAF＝30°，∴AB＝2BF＝2x，由勾股定理得，（2x）2﹣x2＝（）2，解得，x＝2，∴AB＝4，在Rt△ABE中，∠B＝60°，∴∠AEB＝30°，∴BE＝2AB＝8，∵AD∥BC，∴∠DAM＝∠CEM，在△DAM和△CEM中，，∴△DAM≌△CEM（AAS），∴AD＝CE，∴AD+BC＝CE+BC＝BE＝8，∴梯形的面积＝×（AD+BC）×AF＝．
24.（浦东新区2020期末18）正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE=3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF=AE,则BM的长为____．
【答案】或；
【解析】解：如图，当BF如图位置时，∵AB=AB，∠BAF=∠ABE=90°，AE=BF，∴△ABE≌△BAF（HL），
∴∠ABM=∠BAM，∴AM=BM，AF=BE=3，∵AB=4，BE=3，∴AE= ，
过点M作MS⊥AB，由等腰三角形的性质知，点S是AB的中点，BS=2，SM是△ABE的中位线，
∴BM=AE=×5=，当BF为BG位置时，易得Rt△BCG≌Rt△ABE，∴BG=AE=5，∠AEB=∠BGC，
∴△BHE∽△BCG，∴BH：BC=BE：BG，∴BH=．故答案是：或．
25.（浦东四署2020期末17）如图，中，，AC=CB=，，AD=5，CE平分，DE与CE相交于点E，则DE的长等
于 .
【答案】3;
【解析】可知：AB=8，延长DE、CE交AB于G、F.因为CE平分，AC=CB=，所以，因为，所以为等边三角形，故AG=DG=AD=5，，因此FG=1，在中，EG=2FG=2，故DE=5-2=3.
26.（松江区2020期末18）如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝55°，点D在边BC上，BD＝2CD．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝ ．
【答案】70°或120°；
【解析】解：①当点B落在AB边上时，∵DB＝DB1，∴∠B＝∠DB1B＝55°，∴m＝∠BDB1＝180°﹣2×55°＝70°，②当点B落在AC上时，在RT△DCB2中，∵∠C＝90°，DB2＝DB＝2CD，∴∠CB2D＝30°，∴m＝∠C+∠CB2D＝120°，故答案为70°或120°．
三、解答题
27.（浦东南片2020期末21）已知：如图，中，，平分交于. 求的长.
【答案】5;
【解析】解：过D作于点E.∵中，，∴，
∵平分，∴，∵，
∴，∴，∴，设,则,中, ∴，∴x=5，∴.
28.（松江区2020期末22）如图在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数．
【答案】135°；
【解析】解：如图示，连接AC，∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴AC＝，∠BAC＝45°，又∵CD＝3，DA＝1，∴AC2+DA2＝8+1＝9，CD2＝9，∴AC2+DA2＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，∴∠CAD＝90°，∴∠DAB＝45°+90°＝135°．故∠DAB的度数为135°．
29.（2019浦东一署10月考28）如图所示：和都是等腰直角三角形，点D在BC上，联结BE、AD，AD的延长线交BE于点F.
求证：.
【答案与解析】解：因为是等腰直角三角形（已知），所以AC=BC，（等腰直角三角形的定义）；因为是等腰直角三角形（已知），所以CD=CE，（等腰直角三角形的定义）；在中，，所以，所以（全等三角形对应角相等）；因为中，，中，（三角形内角和为），（对顶角相等），所以
（等式的性质），所以（垂直的意义）.
30.（浦东四署2020期末24）如图，在中，，CD是斜边AB上的中线，过点A作于点F，交CB于点E，且.
（1）求的度数；
（2）求证：BC=3CE.
【答案与解析】
解：（1），，，，因为CD是斜边AB上的中线，所以CD=BD，所以，所以，，所以. （2），所以AE=BE，，所以BC=3CE.
31.（浦东四署2020期末22）如图，是一块四边形绿地的示意图，其中AB长为24米，BC长15米，CD长为20米，DA长7米，，求绿地ABCD的面积.
【答案】234（平方米）
【解析】解：联结BD.因为BC长15米，CD长为20米，，所以
=25米，在中，BD=25米，AB=24米，AD=7米，
，所以，所以是直角三角形.
故=84+150=234（平方米）
答：绿地ABCD的面积为234平方米.
32.（青浦实验2019期中22）已知：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA.求证：FD⊥BC.
【答案与解析】解：∵BE⊥CD，∴∠CEB=∠AED=90°，在Rt△BEC和Rt△DEA中，，
∴Rt△BEC≌Rt△DEA（HL），∴∠CBE=∠ADC，∵∠CBE+∠C=90°，∴∠ADC+∠C=90°，∴DF⊥BC.
33.（金山2020期末22）如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90∘，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.求证：AB=AC+CD.
【答案与解析】证明：∵在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，∴∠ABC=45°，又∵DE⊥AB，垂足为E，∴∠B=∠EDB=45°，∴DE=EB，又∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，∴DE=CD．在Rt△ACD与Rt△AED中，∵，∴△ACD≌△AED，∴AC=AE，CD=DE，∴AB=AE+EB=AC+CD．
34.（市西2020期末25）已知：如图，，分别为垂足，的垂直平分线交于点，交于点，.
求证：（1）； （2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】证明：（1）∵AB的垂直平分线EF交AB于点E，交CD于点F，∴AF=BF，AE=BE．
∵AD⊥CD，BC⊥CD，∴∠D=∠C=90°．在Rt△ADF和Rt△FCB中 ，∴△ADF≌△FCB（HL），
∴∠DAF=∠CFB；（2）∵∠D=90°，∴∠DAF+∠DFA=90°，∴∠CFB+∠DFA=90°，∴∠AFB=90°．
∴．
35.（浦东南片2020期末26）已知：如下图，和中，，为的中点，连接.若，在上取一点，使得，连接交于.
（1）求证：. （2）若，求的长.
【答案】（1）见解析；（2）2;
【解析】解：（1）∵和中，，E为BC的中点，∴
∴，∵ ，∴，∴，∵，∴.
(2)∵BC=4,∴，∵DE=AE, ，∴，中，，∵DF=DE，∴.
36.（金山2020期末24）已知:如图,△ABC中,AD⊥BC,点D为垂足,AD=BD,点E在AD上,BE=AC
（1）求证:△BDE≌△ADC
（2）若M、N分别是BE、AC的中点,分别联结DM、DN. 求证:DM⊥DN.
【答案与解析】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠BDE=90°，在Rt△ADC和Rt△BDE中，
∴△BDE≌△ADC;（2）如图，∵△BDE≌△ADC，∴DE=DC，∠DEM=∠C，∵M、N分别是BE、AC的中点且BE=AC，∴EM=CN，在△DEM和△DCN中， ∴△DEM≌△DCN∴∠EDM=∠CDN
∵∠CDN+∠NDA=90°，∴∠MDA+∠NDA=90°，即DM⊥DN.
37.（金山2020期末26）已知:CP是等边△ABC的外角∠ACE的平分线，点D在边BC上，以D为顶点，DA为一条边作∠ADF=60°,另一边交射线CP于F
(1)求证:AD=FD
(2)若AB=2,BD=x,DF=y,求y关于x的函数解析式
(3)若点D在线段BC的延长线上，（1）中的结论还一定成立吗？若成立，请证明．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）成立，证明见解析.
【解析】解：（1）连接AF，∵∠ACB=60°，∴∠ACE=120°，∵CP平分∠ACE，∴∠ACP=∠PCE=60°，
∴∠ADF=∠ACP=60°，∴A、D、C、F四点共圆，∴∠AFD=∠ACB=60°，∴∠ADF=∠AFD=60°，
∴∠DAF=60°，∴△ADF是等边三角形，∴AD=FD；（2）过A作AM⊥BC于M，如图，∵△ABC是等边三角形，∴BC=AB=2，BM=BC=1，∴AM= ，∵BD=x，∴MD=x-1，
∵△ADF是等边三角形，∴AD=DF=y，在Rt△AMD中， ∴，即； （3）如图，同（1）得：∠ADF=∠ACF=60°，∴A、C、D、F四点共圆，
∴∠FAD=∠FCD=60°，∴∠AFD=60°，∴△ADF 是等边三角形，∴AD=FD．
38.（浦东四署2020期末26）阅读下面的材料，然后解答问题：
我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形.
（1）理解并填空：
①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？ （填“是”或“不是”）
②若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形 （填“是”或“不是”）奇异三角形.
（2）探究：在，两边长分别是a、c，且，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由.
【答案与解析】解：（1）①是；设等边三角形的边长为a，则，显然成立；②是；因为，故是奇异三角形.（2）当c为斜边时，则，由于，故不是奇异三角形； 当b为斜边时，，则有，所以是奇异三角形.答：当c为斜边时，不是奇异三角形；当b为斜边时，是奇异三角形.
39.（松江区2020期末26）已知：如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，点D、E分别是边AB、AC上动点，点D不与点A、B重合，DE∥BC．
（1）如图1，当AE＝1时，求BD长；
（2）如图2，把△DEA沿着直线DE翻折得到△DEF，设CE＝x．
①当点F落在斜边BC上时，求x的值；
②如图3，当点F落在Rt△ABC外部时，EF、DF分别与BC相交于点H、G，如果△ABC和△DEF重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式及定义域．（直接写出答案）
【答案与解析】解：（1）∵∠A＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，∴AB＝＝，∵DE∥BC．∴∠ABC＝∠ADE＝30°，且∠A＝90°，AE＝1，∴AD＝，∴DB＝AB﹣AD＝； （2）①∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ACB，∠DEF＝∠CFE，∵把△DEA沿着直线DE翻折得到△DEF，∴∠AED＝∠DEF，AE＝EF，∴∠ACB＝∠CFE，∴CE＝EF，∴AE＝CE＝AC＝2；②∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∠EDF＝∠DGB，∠DEF＝∠EHC，∵把△DEA沿着直线DE翻折得到△DEF，∴∠AED＝∠DEF，∠ADE＝∠EDF，AE＝EF，AD＝DF，∴∠DGB＝∠B，∠EHC＝∠C，∴EC＝EH＝x，DG＝DB，∵CE＝x，∴AE＝4﹣x，且∠A＝90°，∠ADE＝∠ABC＝30°，∴AD＝（4﹣x），DB＝AB﹣AD＝4﹣（4﹣x）＝x，∴S△DEF＝S△ADE＝AD×AE＝（4﹣x）2，∵FH＝EF﹣EH＝4﹣x﹣x＝4﹣2x，GF＝DF﹣DG＝（4﹣x）﹣x＝4﹣2x，∴S△FHG＝×FH×FG＝（4﹣2x）×（4﹣2x）＝（4﹣2x）2，∴y＝S△DEF﹣S△FHG＝（4﹣x）2﹣（4﹣2x）2＝（0＜x＜2）．
图形
定理
符号
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：H.L）
在中，，
定理1
直角三角形的两个锐角互余；
定理2
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于.
图形
名称
定理
符号表示
边的定理
在直角三角形中，斜边大于直角边.
在中，
勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方.
在中，，
勾股定理
逆定理
如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.
在中，，
1.直角三角形全等的判定
2.直角三角形的性质定理及推论
3.勾股定理
4.两点的距离公式
①数轴上两点A、B分别表示实数m、n，则AB的距离为.
②如果直角坐标平面内有两点，那么两点间的距离
.
考点一：直角三角形全等的判定与直角三角形的性质
例题1（浦东新区2020期末25）（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：①∠AEB的度数为 ；②线段AD，BE之间的数量关系为 ．
（2）拓展探究 如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
【答案】结论：（1）60；（2）AD=BE；应用：∠AEB＝90°；AE=2CM+BE；
【解析】解：探究：（1）在△CDA≌△CEB中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，∴△CDA≌△CEB，
∴∠CEB=∠CDA=120°，又∠CED=60°，∴∠AEB=120°－ 60°= 60°；（2）∵△CDA≌△CEB，∴AD=BE；
应用：∠AEB＝90°；AE=2CM+BE；理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 90°，
∴AC = BC， CD = CE， ∠ACB =∠DCB =∠DCE－∠DCB， 即∠ACD = ∠BCE，∴△ACD≌△BCE，
∴AD = BE，∠BEC = ∠ADC=135°．∴∠AEB =∠BEC－∠CED =135°－ 45°= 90°．在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM =DM= ME，∴DE = 2CM．∴AE = DE+AD=2CM+BE．
例题2（市西2020期末27）如图，在四边形中，，对角线与相交于点，分别是边、的中点.
（1）求证：；
（2）当时，求的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）2.5
【解析】解:证明：（1）连接BM、DM．∵∠ABC=∠ADC=90°，点M、点N分别是边AC、BD的中点，
∴BM=AC，CM=AC，∴BM＝DM＝AC，∵N是BD的中点，∴MN是BD的垂直平分线，∴MN⊥BD
（2）解：∵∠BCA=15°，BM＝CM＝AC，∴∠BCA=∠CBM=15°，∴∠BMA=30°，∵OB=OM，
∴∠OBM=∠BMA=30°，∵AC=10，BM＝AC，∴BM=5，在Rt△BMN中，∠BNM=90°，∠NBM=30°，
∴MN＝BM＝2.5，答：MN的长是2.5．
考点二：勾股定理与两点的距离公式
例题3（浦东四署2020期末3）在中，BC=6，AC=8，AB=10，则该三角形为（ ）
A.锐角三角形； B.直角三角形； C.钝角三角形； D.等腰直角三角形.
【答案】B；
【解析】 因为易知：，由勾股定理的逆定理得且，故选B.
例题4（浦东四署2020期末23）直角坐标平面内，已知点，在y轴上求一点P，使得是以为直角的直角三角形.
【答案】；
【解析】解：设，由勾股定理得：，，，因为，所以即，解得，所以点P的坐标为
例题5（浦东四署2020期末12）平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离是 .
【答案】；
【解析】根据两点的距离公式得：.
1.（松江区2020期末5）下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两个锐角分别对应相等 B．两条直角边分别对应相等
C．一条直角边和斜边分别对应相等 D．一个锐角和一条斜边分别对应相等
【答案】A；
【解析】解：A、两个锐角对应相等，不能说明两三角形能够完全重合，符合题意；B、可以利用边角边判定两三角形全等，不符合题意；C、可以利用边角边或HL判定两三角形全等，不符合题意；D、可以利用角角边判定两三角形全等，不符合题意．故选：A．
2.（金山2020期末4）下列四组数据表示三角形的三边长,其中不能构成直角三角形的一组数据是( )
A. 1 cm, cm, 4cmB. 5cm, 12cm, 13cm:
C. 3cm, 4cm, 5cm:D. 7cm, 24cm, 25 cm
【答案】A；
【解析】解：A、∵12+()2=9=32≠42，∴不能够成直角三角形，故本选项正确；B、∵52+122=169=132，∴能够成直角三角形，故本选项错误；C、∵32+42=25=52，∴能够成直角三角形，故本选项错误；D、∵72+242=625=22，∴能够成直角三角形，故本选项错误．故选A．
3.（市西2020期末4）式子可以理解为（ ）
A. 两点与间的距离B. 两点与间的距离
C. 两点与间的距离D. 两点与间的鉅离.
【答案】D；
【解析】解：∴式子可以理解为两点与间的距离.故选：D.
4.（浦东南片2020期末5）下列各组数据是线段长，其中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D；
【解析】解：A. ，此三角形是直角三角形，故不符合题意；B. ，此三角形是直角三角形，故不符合题意；C. ，此三角形是直角三角形，故不符合题意；D. ，此三角形不是直角三角形，故符合题意；故选：D.
5.（徐教院附2019期中6）在锐角△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D、E，AD与BE交于点F，BF＝AC那么∠ABC等于( )
A. 60° B. 50° C. 48° D. 45°
【答案】D；
【解析】解：如图，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠DBF+∠C=∠C+∠CAD，
∴∠DBF=∠DAC，在△BDF和△ADC中，∴△BDF≌△ADC(AAS)，∴BD=AD，
∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°.故选D.
6.（浦东新区2020期末6）如图，在中，，CD是高，BE平分∠ABC交CD于点E，EF∥AC交AB于点F，交BC于点G．在结论：(1) ；(2) ；(3)；(4) 中，一定成立的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B；
【解析】解：∵EF∥AC，∠BCA=90°，∴∠CGE=∠BCA=90°，∴∠BCD+∠CEG=90°，又∵CD是高，
∴∠EFD+∠FED=90°，∵∠CEG=∠FED（对顶角相等），∴∠EFD=∠BCD，故（1）正确；只有∠A=45°，即△ABC是等腰直角三角形时，AD=CD，CG=EG而立，故（2）（3）不一定成立，错误；∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=∠EBF，在△BCE和△BFE中，，∴△BCE≌△BFE（AAS），∴BF=BC，故（4）正确，综上所述，正确的有（1）（4）共2个．故选：B．
7.（2019复附10月考18）如图，在中，，BE平分，交AD于点E，EF//AC，下列结论一定成立的是（ ）
A.AB=BF； B. AE=ED； C. AD=DC； C. .
【答案】A；
【解析】解：易知，又EF//AC，所以，故，又BE平分，所以，又BE=BE，所以，所以AB=BF，故A正确；B、C、D不一定正确，故答案选A.
二、填空题
8.（青浦实验2019期中13）已知直角三角形的一个锐角为36°，则另一个锐角的大小为________________.
【答案】54°；
【解析】解：设另一锐角为x，则，所以，故答案为54°．
9.（徐汇龙华2019期中13）如图，中，已知，DE是AB的垂直平分线，若，那么=_________度.
【答案】54°；
【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴∠B=∠DAB，∵，∴设∠DAC=x，则∠B=∠DAB=2x，∵，∴x+2x+2x=90°，解得：x=18°，∴=3x=54°.故答案为54°.
10.（松江区2020期末13）已知直角坐标平面上点P（3，2）和Q（﹣1，5），那么PQ＝ ．
【答案】5；
【解析】解：∵P（3，2）和Q（﹣1，5），∴PQ＝，故答案为：5
11.（浦东新区2020期末16）如图，一棵大树在离地3米处折断，树顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是_________米.
【答案】8；
【解析】解：根据题意可得树顶端到折断处的长为=5米，则这棵树折断之前的高度是5+3=8米.
12.（2019位育10月考18）在中，，CA=CB，AD是中的平分线，点E在直线AB上，如果DE=2CD，那么= .
【答案】或；
【解析】解：过点D作于点F，则DF=DC； 当点E在线段AB上时，因为DE=2DC=2DF，故，而，所以；当点E在线段AB的延长线上时，同理可得：；故.
13.（市西2020期末14）如图，在四边形ABCD中，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，则∠DAB的度数是______°．
【答案】135°;
【解析】解：∵AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，∴AB=BC，∴∠BAC=∠ACB=45°，
∴设AB＝2x，则BC＝2x，CD=3x，DA=x,∴AC2=AB2+BC2=(2x)2+(2x)2=8x2,又CD2-AD2=(3x)2-x2=8x2,∴AC2= CD2-AD2, ∵AC2+AD2=CD2, ∴ΔACD是直角三角形，∴∠DAC=90°，∴∠DAB=45°+90°=135°．
14.（2019曹杨10月考15）如图，已知，于点D，那么图中与相等的角是 .
【答案】；
【解析】解：因为，所以；又，所以，所以.
15.（金山2020期末17）已知△ABC中，∠A=90°，角平分线BE、CF交于点O，则∠BOC= ．
【答案】135°
【解析】解：∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∵角平分线BE、CF交于点O，∴∠OBC+∠OCB=45°，
∴∠BOC=180°﹣45°=135°．故答案为135°．
16.（金山2020期末16）已知直角坐标平面内两点和，则、两点间的距离等于______．
【答案】;
【解析】解：∵直角坐标平面内两点 A（−3，1）和B（3，−1），∴A、B两点间的距离等于，故答案为．
17.（2019华理附10月考18）已知：如图，在中，且AB=AC，D是边BC上一点，E是边AC上一点，AD=AE，若为等腰三角形，则的度数为 .
【答案】或；
【解析】解：设，则，又AD=AE，所以.（1）当AB=BD时，，所以，解得；（2）当BD=DA时，，则，解得；故.
18.（青浦实验2019期中14）已知，RtΔABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，BC=3，那么AC=________________．
【答案】；
【解析】解：设AC=x．∵∠C=90°，∠ABC=30°，∴AB=2AC=2x．又∵BC==3，∴x=，∴AC=．故答案为．
19.（松江区2020期末16）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝12cm，AC＝9cm，那么BD的长是 ．
【答案】cm.
【解析】解：作DE⊥AB于E，由勾股定理得，AB＝＝15，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（AAS），∴CD＝ED，AE＝AC＝9，∴BE＝AB﹣AE＝6，在Rt△BED中，BD2＝DE2+BE2，即，解得，BD＝cm．
20.（浦东新区2020期末17）如图，将等腰绕底角顶点A逆时针旋转15°后得到，如果，那么两个三角形的重叠部分面积为____．
【答案】；
【解析】解：设B′C′与AB相交于点D，如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC=45°，∵旋转角为15°，
∴∠CAC′=15°，∴∠C′AD=∠BAC-∠CAC′=45°-15°=30°，∴AD=2C′D，在Rt△AC′D中，根据勾股定理，AC′2+C′D2=AD2，即12+C′D2=4C′D2，解得C′D=，∴重叠部分的面积=．
21.（徐教院附2019期中17）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CF交AB于E，BD⊥CF，AF⊥CF，则下列结论:①∠ACF＝∠CBD②BD＝FC③FC＝FD+AF④AE=DC中，正确的结论是____________(填正确结论的编号)
【答案】①②③;
【解析】解：∵BD⊥CF，AF⊥CF，∴∠BDC=∠AFC=90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACF+∠BCD=
∠CBD+∠BCD=90°，∴∠ACF=∠CBD，故①正确；在△ACF和△CBD中，，∴△ACF≌△CBD，∴BD＝FC，CD=AF，故结论②正确∴FC＝FD+CD=FD+AF，故结论③正确，∵在Rt△AEF中，AE>AF，∴AE>CD，故结论④错误.综上所述，正确的结论是：①②③.
22.（市西2020期末17）如图，在教学楼走廊上有一拖把以的倾斜角斜靠在栏杆上，影响了同学们的行走，小明自觉地将拖把挪动位置，使其倾斜角变为. 如果拖把的长为2米，则行走的通道拓宽了___________米（结果保留根号）.
【答案】;
【解析】解：∵AB=CD=2，∠ABO=45°，∠CDO=60°，∴BO=AB•cs45°= ；DO=CD•cs60°
= ．则BD=BO-DO=．所以小明拓宽了行路通道米．
23.（松江区2020期末17）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AF⊥BC于F，M是CD中点，AM的延长线交BC的延长线于E，AE⊥AB，∠B＝60°，AF＝，则梯形的面积是 ．
【答案】；
【解析】解：设BF＝x，在Rt△ABF中，∠B＝60°，∴∠BAF＝30°，∴AB＝2BF＝2x，由勾股定理得，（2x）2﹣x2＝（）2，解得，x＝2，∴AB＝4，在Rt△ABE中，∠B＝60°，∴∠AEB＝30°，∴BE＝2AB＝8，∵AD∥BC，∴∠DAM＝∠CEM，在△DAM和△CEM中，，∴△DAM≌△CEM（AAS），∴AD＝CE，∴AD+BC＝CE+BC＝BE＝8，∴梯形的面积＝×（AD+BC）×AF＝．
24.（浦东新区2020期末18）正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE=3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF=AE,则BM的长为____．
【答案】或；
【解析】解：如图，当BF如图位置时，∵AB=AB，∠BAF=∠ABE=90°，AE=BF，∴△ABE≌△BAF（HL），
∴∠ABM=∠BAM，∴AM=BM，AF=BE=3，∵AB=4，BE=3，∴AE= ，
过点M作MS⊥AB，由等腰三角形的性质知，点S是AB的中点，BS=2，SM是△ABE的中位线，
∴BM=AE=×5=，当BF为BG位置时，易得Rt△BCG≌Rt△ABE，∴BG=AE=5，∠AEB=∠BGC，
∴△BHE∽△BCG，∴BH：BC=BE：BG，∴BH=．故答案是：或．
25.（浦东四署2020期末17）如图，中，，AC=CB=，，AD=5，CE平分，DE与CE相交于点E，则DE的长等
于 .
【答案】3;
【解析】可知：AB=8，延长DE、CE交AB于G、F.因为CE平分，AC=CB=，所以，因为，所以为等边三角形，故AG=DG=AD=5，，因此FG=1，在中，EG=2FG=2，故DE=5-2=3.
26.（松江区2020期末18）如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝55°，点D在边BC上，BD＝2CD．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝ ．
【答案】70°或120°；
【解析】解：①当点B落在AB边上时，∵DB＝DB1，∴∠B＝∠DB1B＝55°，∴m＝∠BDB1＝180°﹣2×55°＝70°，②当点B落在AC上时，在RT△DCB2中，∵∠C＝90°，DB2＝DB＝2CD，∴∠CB2D＝30°，∴m＝∠C+∠CB2D＝120°，故答案为70°或120°．
三、解答题
27.（浦东南片2020期末21）已知：如图，中，，平分交于. 求的长.
【答案】5;
【解析】解：过D作于点E.∵中，，∴，
∵平分，∴，∵，
∴，∴，∴，设,则,中, ∴，∴x=5，∴.
28.（松江区2020期末22）如图在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数．
【答案】135°；
【解析】解：如图示，连接AC，∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴AC＝，∠BAC＝45°，又∵CD＝3，DA＝1，∴AC2+DA2＝8+1＝9，CD2＝9，∴AC2+DA2＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，∴∠CAD＝90°，∴∠DAB＝45°+90°＝135°．故∠DAB的度数为135°．
29.（2019浦东一署10月考28）如图所示：和都是等腰直角三角形，点D在BC上，联结BE、AD，AD的延长线交BE于点F.
求证：.
【答案与解析】解：因为是等腰直角三角形（已知），所以AC=BC，（等腰直角三角形的定义）；因为是等腰直角三角形（已知），所以CD=CE，（等腰直角三角形的定义）；在中，，所以，所以（全等三角形对应角相等）；因为中，，中，（三角形内角和为），（对顶角相等），所以
（等式的性质），所以（垂直的意义）.
30.（浦东四署2020期末24）如图，在中，，CD是斜边AB上的中线，过点A作于点F，交CB于点E，且.
（1）求的度数；
（2）求证：BC=3CE.
【答案与解析】
解：（1），，，，因为CD是斜边AB上的中线，所以CD=BD，所以，所以，，所以. （2），所以AE=BE，，所以BC=3CE.
31.（浦东四署2020期末22）如图，是一块四边形绿地的示意图，其中AB长为24米，BC长15米，CD长为20米，DA长7米，，求绿地ABCD的面积.
【答案】234（平方米）
【解析】解：联结BD.因为BC长15米，CD长为20米，，所以
=25米，在中，BD=25米，AB=24米，AD=7米，
，所以，所以是直角三角形.
故=84+150=234（平方米）
答：绿地ABCD的面积为234平方米.
32.（青浦实验2019期中22）已知：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA.求证：FD⊥BC.
【答案与解析】解：∵BE⊥CD，∴∠CEB=∠AED=90°，在Rt△BEC和Rt△DEA中，，
∴Rt△BEC≌Rt△DEA（HL），∴∠CBE=∠ADC，∵∠CBE+∠C=90°，∴∠ADC+∠C=90°，∴DF⊥BC.
33.（金山2020期末22）如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90∘，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.求证：AB=AC+CD.
【答案与解析】证明：∵在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，∴∠ABC=45°，又∵DE⊥AB，垂足为E，∴∠B=∠EDB=45°，∴DE=EB，又∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，∴DE=CD．在Rt△ACD与Rt△AED中，∵，∴△ACD≌△AED，∴AC=AE，CD=DE，∴AB=AE+EB=AC+CD．
34.（市西2020期末25）已知：如图，，分别为垂足，的垂直平分线交于点，交于点，.
求证：（1）； （2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】证明：（1）∵AB的垂直平分线EF交AB于点E，交CD于点F，∴AF=BF，AE=BE．
∵AD⊥CD，BC⊥CD，∴∠D=∠C=90°．在Rt△ADF和Rt△FCB中 ，∴△ADF≌△FCB（HL），
∴∠DAF=∠CFB；（2）∵∠D=90°，∴∠DAF+∠DFA=90°，∴∠CFB+∠DFA=90°，∴∠AFB=90°．
∴．
35.（浦东南片2020期末26）已知：如下图，和中，，为的中点，连接.若，在上取一点，使得，连接交于.
（1）求证：. （2）若，求的长.
【答案】（1）见解析；（2）2;
【解析】解：（1）∵和中，，E为BC的中点，∴
∴，∵ ，∴，∴，∵，∴.
(2)∵BC=4,∴，∵DE=AE, ，∴，中，，∵DF=DE，∴.
36.（金山2020期末24）已知:如图,△ABC中,AD⊥BC,点D为垂足,AD=BD,点E在AD上,BE=AC
（1）求证:△BDE≌△ADC
（2）若M、N分别是BE、AC的中点,分别联结DM、DN. 求证:DM⊥DN.
【答案与解析】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠BDE=90°，在Rt△ADC和Rt△BDE中，
∴△BDE≌△ADC;（2）如图，∵△BDE≌△ADC，∴DE=DC，∠DEM=∠C，∵M、N分别是BE、AC的中点且BE=AC，∴EM=CN，在△DEM和△DCN中， ∴△DEM≌△DCN∴∠EDM=∠CDN
∵∠CDN+∠NDA=90°，∴∠MDA+∠NDA=90°，即DM⊥DN.
37.（金山2020期末26）已知:CP是等边△ABC的外角∠ACE的平分线，点D在边BC上，以D为顶点，DA为一条边作∠ADF=60°,另一边交射线CP于F
(1)求证:AD=FD
(2)若AB=2,BD=x,DF=y,求y关于x的函数解析式
(3)若点D在线段BC的延长线上，（1）中的结论还一定成立吗？若成立，请证明．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）成立，证明见解析.
【解析】解：（1）连接AF，∵∠ACB=60°，∴∠ACE=120°，∵CP平分∠ACE，∴∠ACP=∠PCE=60°，
∴∠ADF=∠ACP=60°，∴A、D、C、F四点共圆，∴∠AFD=∠ACB=60°，∴∠ADF=∠AFD=60°，
∴∠DAF=60°，∴△ADF是等边三角形，∴AD=FD；（2）过A作AM⊥BC于M，如图，∵△ABC是等边三角形，∴BC=AB=2，BM=BC=1，∴AM= ，∵BD=x，∴MD=x-1，
∵△ADF是等边三角形，∴AD=DF=y，在Rt△AMD中， ∴，即； （3）如图，同（1）得：∠ADF=∠ACF=60°，∴A、C、D、F四点共圆，
∴∠FAD=∠FCD=60°，∴∠AFD=60°，∴△ADF 是等边三角形，∴AD=FD．
38.（浦东四署2020期末26）阅读下面的材料，然后解答问题：
我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形.
（1）理解并填空：
①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？ （填“是”或“不是”）
②若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形 （填“是”或“不是”）奇异三角形.
（2）探究：在，两边长分别是a、c，且，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由.
【答案与解析】解：（1）①是；设等边三角形的边长为a，则，显然成立；②是；因为，故是奇异三角形.（2）当c为斜边时，则，由于，故不是奇异三角形； 当b为斜边时，，则有，所以是奇异三角形.答：当c为斜边时，不是奇异三角形；当b为斜边时，是奇异三角形.
39.（松江区2020期末26）已知：如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，点D、E分别是边AB、AC上动点，点D不与点A、B重合，DE∥BC．
（1）如图1，当AE＝1时，求BD长；
（2）如图2，把△DEA沿着直线DE翻折得到△DEF，设CE＝x．
①当点F落在斜边BC上时，求x的值；
②如图3，当点F落在Rt△ABC外部时，EF、DF分别与BC相交于点H、G，如果△ABC和△DEF重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式及定义域．（直接写出答案）
【答案与解析】解：（1）∵∠A＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，∴AB＝＝，∵DE∥BC．∴∠ABC＝∠ADE＝30°，且∠A＝90°，AE＝1，∴AD＝，∴DB＝AB﹣AD＝； （2）①∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ACB，∠DEF＝∠CFE，∵把△DEA沿着直线DE翻折得到△DEF，∴∠AED＝∠DEF，AE＝EF，∴∠ACB＝∠CFE，∴CE＝EF，∴AE＝CE＝AC＝2；②∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∠EDF＝∠DGB，∠DEF＝∠EHC，∵把△DEA沿着直线DE翻折得到△DEF，∴∠AED＝∠DEF，∠ADE＝∠EDF，AE＝EF，AD＝DF，∴∠DGB＝∠B，∠EHC＝∠C，∴EC＝EH＝x，DG＝DB，∵CE＝x，∴AE＝4﹣x，且∠A＝90°，∠ADE＝∠ABC＝30°，∴AD＝（4﹣x），DB＝AB﹣AD＝4﹣（4﹣x）＝x，∴S△DEF＝S△ADE＝AD×AE＝（4﹣x）2，∵FH＝EF﹣EH＝4﹣x﹣x＝4﹣2x，GF＝DF﹣DG＝（4﹣x）﹣x＝4﹣2x，∴S△FHG＝×FH×FG＝（4﹣2x）×（4﹣2x）＝（4﹣2x）2，∴y＝S△DEF﹣S△FHG＝（4﹣x）2﹣（4﹣2x）2＝（0＜x＜2）．
图形
定理
符号
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：H.L）
在中，，
定理1
直角三角形的两个锐角互余；
定理2
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于.
图形
名称
定理
符号表示
边的定理
在直角三角形中，斜边大于直角边.
在中，
勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方.
在中，，
勾股定理
逆定理
如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.
在中，，
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