第08讲 函数的概念和正比例函数（考点定位精讲讲练）-2022学年八年级数学上学期期末考试满分全攻略（沪教版）教师版

这是一份第08讲 函数的概念和正比例函数（考点定位精讲讲练）-2022学年八年级数学上学期期末考试满分全攻略（沪教版）教师版，共20页。

【考点剖析】
函数
定义：在某个变化过程中有两个变量x和y，在变量x的允许取值范围内，变量y随x的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫x的函数.
函数记号：，表示x＝a时的函数值.
设为整式，则 函数的定义域：一切实数；函数的定义域：满足的实数；
函数的定义域：满足的实数.
2．正比例函数的概念
(1)如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量、成正比例，就是，或表示为（不等于0），是不等于零的常数．
(2)解析式形如（是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数叫做比例系数．正比例函数的定义域是一切实数．确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式
3．正比例函数的图象
(1)一般地，正比例函数(是常数, )的图象是经过，这两点的一条直线，我们把正比例函数的图象叫做直线；
(2)图像画法：列表、描点、连线．
4．正比例函数的性质
(1)当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值也随着逐渐增大．
(2)当时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x的值逐渐增大时，y的
值则随着逐渐减小．
【考点1】函数的概念
例题1 （嘉定区2019期中9）函数的定义域是 __________________．
【答案】；
【解析】解：依题意有5-x＞0，解得x＜5．
例题2（嘉定区2019期中10）已知函数，若，则．
【答案】-1；
【解析】解：∵，∴=2解得，x=-1,经检验，x=1是原方程的解.故答案为-1.
例题3（松江区2020期末23）已知：y＝y1+y2，并且y1与（x﹣1）成正比例，y2与x成反比例．当x＝2时，y＝5；当x＝﹣2时，y＝﹣9．（1）求y关于x的函数解析式；（2）求当x＝8时的函数值．
【答案】（1）；（2）；
【解析】解：（1）∵y1与（x﹣1）成正比例，y2与x成反比例，∴设y1＝k1（x﹣1），，
∵y＝y1+y2，∴，∵当x＝2时，y＝5；当x＝﹣2时，y＝﹣9．∴，解得：，∴y关于x的函数解析式为；（2）当x＝8时，原式＝2×7+＝．
例题4.已知等腰三角形周长为24cm，
若腰长为x，底边长为y，求y关于x的函数关系式及定义域；
若底边长为x，腰长为y，求y关于x的函数关系式及定义域．
【难度】★★★
【答案】（1），定义域：；（2），定义域：．
【解析】（1），由三角形两边之和大于第三边，得：，即，
所以，又，得：，所以．
（2）以及三角形两边之和大于第三边：，，，
又，所以．
【总结】考察等腰三角形中求函数关系式的两种情况．
例题5.如图，在中，AC=BC=8cm，，D、E分别是边BC、BA上的点（不与端点重合），且. 设BD=x cm，将沿DE折叠后与梯形ACDE重叠的面积为y .
（1）当重叠部分的图形为三角形时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，重叠部分的面积是的.

【答案】(1) ；（2）;
【解析】解：（1）当时，重叠的部分面积始终是的面积，即；当时，重叠的部分为一梯形，；所以当重叠部分的图像为三角形时，. （2）由（1）得，，由，解得x=4或 – 4（舍去）；由，解得（舍）；综上所述：.
【考点2】正比例函数
例题6（西延安2019期中9）已知正比例函数，若的值随着的值增大而减小，则的取值范围是___.
【答案】；
【解析】解：当正比例函数的k值小于0时，y的值随着x的值增大而减小，
故答案为.
例题7.（嘉定区2019期中26）已知与成正比例，且当时, .
（1）求与之间的函数解析式；
（2）当时，求值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】解：（1）设，把,代入得：，解得：，函数的解析式为：；（2）把代入得：，解得：．
例题8.（松江区2019期中26）已知正比例函数的图像经过第四象限内一点，求的值.
【答案】-1;
【解析】解：由题意得，点P的坐标满足函数的解析式，分别将P的坐标代入，即：，化简整理得：，所以，因为点P在第四象限，故舍去，所以k= -1.
例题9.（青浦实验2019期中24）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x经过点，点B坐标为．
（1）求点A的坐标；
（2）若P为射线OA上的一点，当ΔPOB是直角三角形时，求P点的坐标．

【答案】（1）（3，6）；（2）（4，8）或（0.8，1.6）．
【解析】解：（1）∵直线y=2x经过点A（m，6），∴6=2m，解得：m=3，∴点A的坐标为（3，6）；
（2）分两种情况讨论：①当∠OBP=90°时，点P的横坐标与点B的横坐标相同，均为4，将x=4代入y=2x，得y=8，∴点P的坐标为（4，8）；②当∠OPB=90°时，PO2+PB2=OB2，设P点坐标为（n，2n），n2+（2n）2+（n﹣4）2+（2n）2=42，解得：n1=0.8，n2=0（舍去），∴点P的坐标为（0.8，1.6）．综上所述：当△POB是直角三角形时，点P的坐标为（4，8）或（0.8，1.6）．
例题10.已知正比例函数y=3x图像上点P的横坐标为 – 2，点P关于x对称点为Q.
（1）求经过Q点的正比例函数解析式；
（2）若点M在（1）中的正比例函数图像上，且的面积为15，求点M的坐标；
（3）O点是坐标原点，若，在y轴上能否找到一点N，使是以OQ为腰的等腰三角形，若能请直接写出点N；若不能请说明理由.
【答案】（１）；（２）；（３）；
【解析】解：（1）由题意得，Q点为P关于x轴的对称点，则.设经过Q点的正比例函数解析为：，代入点Q坐标得，得. 故经过Q点的正比例函数解析式为. （2）设点的坐标为，＝，解得，所以． （３）．
例题11.（嘉定区2019期中29）直线经过原点和点，点的坐标为.
(1)求直线所对应的函数解析式;
（2）当P在线段OA上时，设点横坐标为，三角形的面积为，写出关于的函数解析式，并指出自变量的取值范围；
（3）当P在射线OA上时，在坐标轴上有一点,使（正整数），请直接写出点的坐标（本小题只要写出结果，不需要写出解题过程）
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】解：（1）设直线l的解析式为y=kx，把点A坐标代入得到6=3k，∴k=2，∴直线l的解析式为y=2x．
（3）∵P（x，2x），B（6，0），∴S=×6×2x=6x，（0＜x≤3）；（3）∵点B的坐标为（6，0），点C在坐标轴上，①当点C在x轴上时，则△BOP和△COP是同高三角形，∵S△BOP：S△COP=2：m，∴，∴OC=3m，∴C（3m，0）或（-3m，0）；②当点C在y轴上时， ∵P（x，2x），S△BOP：S△COP=2：m，∴，即，∴OC=6m，∴C（0，6m）或（0，-6m）．
例题12.已知直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=12，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上（点E、F与三角形ABC顶点不重合），AD平分∠CAB，EF⊥AD，垂足为点H，设CE = x，BF = y，求y与x之间的函数关系式．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】由题意可得：(A.S.A)，所以，
可得：，所以．
【总结】考察根据图形找等量关系得出函数关系式．
例题13.已知一正比例函数图像上的一点P的纵坐标是3，作PQ⊥y轴，垂足为点Q，三角形OPQ的面积是12，求此正比例函数的解析式．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】因为PQ⊥y轴，垂足为点Q，所以 PQ长度就是点P的横坐标的绝对值，
由三角形面积可得：PQ ==8，所以．
所以此正比例函数的解析式为：．
【总结】考察正比例函数图像与坐标轴面积相关练习．
例题14.如图，在直角坐标系中，OA = 6，OB =8，直线OP与线段AB相交于点P，
（1） 若直线OP将△ABO的面积等分，求直线OP的解析式；
（2）若点P是直线OP与线段AB的交点，是否存在点P，使△AOP与△BOP中，一个面积是另一个
面积的3倍？若存在，求直线OP的解析式；若不存在，请说明理由．
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）或者．
【解析】（1）三角形△ABO的面积为：=24，设点P坐标为（x， y），
，可得=3，y=4．
因为点P在第二象限，所以P坐标为（-3，4），
所以．
（2）第一种情况：当△AOP的面积是△BOP面积的三倍时，
，，可得点P的坐标为（，6），
，所以；
第二种情况，当△BOP的面积是△AOP的面积的三倍时，
，，可得点P的坐标为（，2），
所以，所以．
【总结】考察正比例函数图像与坐标轴面积相关练习．
一、单选题
1．（2021·上海奉教院附中八年级期末）学校升旗仪式上，徐徐上升的国旗的高度与时间的关系可以用下面的一个函数图像近似地刻画，这个函数图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据国旗上升的高度随着时间的增长而逐渐变大可得出答案．
【详解】国旗上升的高度随着时间的增长而逐渐变大，可知图象如B选项，
故选：B．
【点睛】本题主要考查函数的图象，掌握生活常识是关键．
2．（2020·上海金山区·）已知正比例函数图像经过点，则此函数图像必经过（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设正比例函数的解析式为，通过待定系数法求出正比例函数的解析式，然后逐一代入验证即可．
【详解】设正比例函数的解析式为，
∵正比例函数图像经过点，
，
，
∴正比例函数的解析式为，
A中，当时，，∴函数图象过点，故该选项正确；
B中，当时，，∴函数图象不过点，故该选项错误；
C中，当时，，∴函数图象不过点，故该选项错误；
D中，当时，，∴函数图象不过点，故该选项错误；
故选：A．
【点睛】本题主要考查正比例函数，掌握待定系数法是解题的关键．
二、填空题
3．（2021·上海普陀区·八年级期末）已知，那么_______．
【答案】
【分析】直接将x=代入计算即可
【详解】当x=时，f（）=．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了求函数值，涉及了二次根式直接代入求值，是基础题
4．（2021·上海市康城学校八年级期末）如果函数是正比例函数，那么的值为__________．
【答案】
【分析】根据自变量的次数为1，系数不等于0求解即可；
【详解】解：∵函数是正比例函数，
∴m2-1=1，且，
解得
m=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，正比例函数的定义是形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，其中k叫做比例系数．
5．（2020·上海金山区·）若函数是正比例函数，且图像在一、三象限，则_________．
【答案】2
【分析】根据自变量的次数等于1，系数大于0列式求解即可．
【详解】解：由题意得
m+1>0，m2-3=1，
解得m=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了正比例函数图象与系数的关系：对于y=kx（k为常数，k≠0），当k＞0时， y=kx的图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时， y=kx的图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．
6．（2021·上海奉教院附中八年级期末）已知函数，那么______．
【答案】
【分析】把x=5代入计算即可．
【详解】解：把x=5代入，得
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了求函数值，以及分母有理化，分母有理化的方法则是把分子、分母同乘以分母的有理化因式，因此分母有理化的关键是找分母的有理化因式．
三、解答题
7．（2020·上海市风华初级中学八年级月考）已知：如图，正比例函数的图象经过点P和点Q(－m，m＋3)，求m的值．
【答案】m＝3.
【分析】首先利用待定系数法求得正比例函数的解析式为y=﹣2x．然后将点Q的坐标代入该函数的解析式，列出关于m的方程，通过解方程来求m的值．
【详解】设正比例函数的解析式为y=kx（k≠0）．
∵它图象经过点P（﹣1，2），∴2=﹣k，即k=﹣2，∴正比例函数的解析式为y=﹣2x．
又∵它图象经过点Q（﹣m，m+3），∴m+3=2m，∴m=3．
【点睛】本题考查了灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点Q的坐标代入解析式，利用方程解决问题．
8．（2019·上海嘉定区·八年级期中）已知与成正比例，且当时, .
（1）求与之间的函数解析式；
（2）当时，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据已知设y与x的解析式是，把，代入求出k，即得到正比例函数的解析式；
（2）把代入(1)中的解析式即可求出．
【详解】（1）设，
把，代入得：，
解得：，
函数的解析式为：；
（2）把代入得：，
解得：．
【点睛】本题主要考查对用待定系数法求正比例函数的解析式，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能求出正比例函数的解析式是解此题的关键．
9．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）正比例函数的图像经过点P（-3，2）和Q（-m，m-1 ），求m的值．
【答案】3
【分析】图象经过点，即点的坐标符合图象解析式，据此解题，先用待定系数法设正比例函数解析式，再代入点坐标求m的值即可．
【详解】设正比例函数解析式为，
因为正比例函数的图像过点P（-3，2），将点P坐标代入得，
再代入点Q坐标，即把x=-m，y=m-1代入左右两边，
解得m=3．
【点睛】本题考查正比例函数图象性质、待定系数法等知识，是典型考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
10．（2020·上海市奉贤区弘文学校八年级期末）如图，这是一个水池存水量（万吨）与注水或排水时间（小时）之间的函数关系图象．
（1）水池原有水_________；
（2）向水池内注水________小时；每小时注水_______万吨；
（3）________小时把水排空；每小时排水________万吨．
【答案】（1）100万吨；（2）3，50；（3）5，50．
【分析】（1）根据函数图象直接可以得到水池原有水的质量；
（2）根据函数图象直接可以得到向水池内注水3小时，注水150万吨，然后求出每小时注水的吨数即可；
（3）根据函数图象直接可以得到经过5小时将水池排空，排水250万吨，然后求出每小时排水的吨数即可．
【详解】解：（1）根据函数图象直接可以得到水池原有水的100万吨
故答案为100万吨；
（2）根据函数图象直接可以得到向水池内注水3小时，注水150万吨，然后求出每小时注水150÷3=50万吨
故答案为3，50；
（2）根据函数图象直接可以得经过5小时将水池排空，排水250万吨，然后求出每小时排水250÷5=50万吨
故答案为5，50．
【点睛】本题考查了函数图象的应用，从函数图象上获取所需的信息成为解答本题的关键．
11．（2017·上海市廊下中学八年级期末）如图，是小王和小李在一次跑步比赛中的时间和路程图．
(1)这次比赛的路程是_______米；
(2)小王的平均速度是_________米/秒；
(3)他们先到达终点的是_______；
(4)小李跑步的路程(米)与时间(秒)的函数关系式是_________．
【答案】(1)； (2)； (3)小李； (4)．
试题分析：（1）观察一次函数图象易得到甲乙都跑了100米；
（2）由速度=路程÷时间即可得到结论；
（3）这次赛跑中先到达终点的是用时较少的；
（4）先根据图象得出小李跑100米用了10秒，再根据速度=路程÷时间，计算出小李的速度，即可得到结论．
试题解析：解：（1）根据图象可以得到路程s的最大值是100米，因而这次赛跑的赛程为100米；
（2）从图象可知，小王跑完全程用时12秒，所以小王的速度为：100÷12=；
（3）从图象可知，小李跑完全程用时10秒，小王跑完全程用时12秒，所以先到达终点的是小李；
（4）∵小李跑100米用了10秒，∴小李的速度=100÷10=10（米/秒）；∴S=10t．
点睛：本题主要考查了观察一次函数图象，从中获取信息的能力，以及路程、速度与时间的关系．
12．（2020·上海市川沙中学南校八年级期末）小强骑车从家到学校要经过一段先上坡后下坡的路，在这段路上小强骑车的距离s(千米)与骑车的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，请根据图中信息回答下列问题：
(1)小强去学校时下坡路长 千米；
(2)小强下坡的速度为 千米/分钟；
(3)若小强回家时按原路返回，且上坡的速度不变，下坡的速度也不变，那么回家骑车走这段路的时间是 分钟.
【答案】（1）2（2）0.5（3）14
【分析】（1）根据题意和函数图象可以得到下坡路的长度；
（2）根据函数图象中的数据可以求的小强下坡的速度；
（3）根据题意可以求得小强上坡的速度，进而求得小强返回时需要的时间．
【详解】（1）由题意和图象可得：小强去学校时下坡路为：3﹣1=2（千米）．
故答案为：2；
（2）小强下坡的速度为：2÷（10﹣6）=0.5千米/分钟．
故答案为：0.5；
（3）小强上坡时的速度为：1÷6=千米/分钟，故小强回家骑车走这段路的时间是：=14（分钟）．
故答案为：14．
【点睛】本题考查了函数图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
13．（2019·上海松江·八年级期中）已知正比例函数y=kx的图像经过第四象限内一点，求k的值.
【答案】k=-1.
【分析】把x=k+2，y=7k+6代入正比例函数y=kx解答即可．
【详解】解：把x=k+2，y=7k+6代入正比例函数的y=kx，
可得：7k+6=k（k+2），
解得：k1＝6，k2=-1.
因为正比例函数的y=kx（k≠0）的图象经过二，四象限，
所以k＜0，
所以k=-1.
【点睛】本题考查待定系数法求正比例函数的解析式．正比例函数图象上点的坐标都满足该函数的解析式．
14．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）等腰三角形的周长为16cm，底边长为xcm，腰长为ycm，写出y关于x的函数的解析式，并求x的取值范围．
【答案】，x的取值范围是0