第02讲 二次根式的运算（考点定位精讲讲练）-2022学年八年级数学上学期期末考试满分全攻略（沪教版）教师版

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【考点剖析】
1.二次根式的运算
2.分母有理化
【典例分析】
【考点1】二次根式的运算

例题1 （2019宝山实验10月考18）下列计算中，正确的是（ ）
A. ; B.; C.; D..
【答案】C；
【解析】解：A、不是同类二次根式，不能合并，故A错误；B、，故B错误；C、，故C正确；D、.故答案选C.
例题2 （浦东南片2020期末7）分母有理化：________.
【答案】；
【解析】解：由题意得，.
例题3 （嘉定区2019期中5）不等式x﹣2＜x的解集是_____．
【答案】；
【解析】解：移项得：（-1）x＞-2，两边同时除以得：，分母有理化得：.所以原不等式的解集为.
例题4（2019浦东一署10月考7）的有理化因式是 .
【答案】；
【解析】解：因为，所以的有理化因式可以是.
例题5 （2019浦东四署10月考9）计算：= .
【答案】；
【解析】解：原式=.
例题6 （2019浦东四署12月考8）计算：= .
【答案】；
【解析】解：原式=.

例题7 （徐教院附2019期中19）计算:
【答案】；
【解析】解：原式===.
例题8 （松江区2019期中22）计算：
【答案】；
【解析】解：原式===.
例题9 （金山2020期末19）计算：．
【答案】；
【解析】解：原式.
例题10 已知：，求代数式的值.
【答案】;
【解析】解：因为，所以原式===
.
例题11 （市西2020期末21）先化简：，再求当时的值.
【答案】xy；1
【解析】解:===，当时，原式==1.
【考点2】二次根式的运算的综合应用
例题12.化简求值：．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】原式===；
把代入，得：原式=．
【总结】本题主要考查了二次根式的化简和分母有理化．
例题13.若等式成立，
化简：．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】由题意得：， 解得：．
∴原式===．
【总结】本题主要考查二次根式的概念、化简以及求值．
例题14.
的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】∵，∴．
∴原式=
=
=．
【总结】本题综合性较强，一方面考查了二次根式的化简求值运算，另一方面考查了利用将次思想以及整体代入思想进行求值．
一、选择题
1.（徐教院附2019期中3）下列运算一定正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：A. 不是同类二次根式，不能合并，故A错误；B. ，故B正确；C. ，故C错误；D. ，故D错误.因此答案选B.
2.（2019浦东四署10月考3）二次根式的一个有理化因式是（ ）
A.； B.； C.； D..
【答案】C;
【解析】解：因为，故的一个有理化因式可以是,故答案选C.
3.（2019上外10月考3）若，则a与b的关系是（ ）
A．互为相反数； B．相等； C．互为倒数； D．互为有理化因式
【答案】B；
【解析】解：，而，所以a＝b．故答案选B．
二、填空题
4.（徐教院附2019期中9）如果最简根式与 是同类根式，则__________．
【答案】7
【解析】解：因为最简根式与是同类根式， ，解得．故答案为7．

5.（西延安2019期中4）写出的一个有理化因式：_______.
【答案】；
【解析】解：因为，所以的一个有理化因式为.
6.（徐教院附2019期中7）计算__________．
【答案】；
【解析】解： ；故答案为.
7.（浦东南片2019期中10）计算： .
【答案】；
【解析】 解：原式===.
8.（2019上外附10月考7）= .
【答案】；
【解析】解：原式===.
9.（2019宝山实验10月考12）计算：= .
【答案】；
【解析】解：原式==.
10.（2019上外10月考10）已知a＞0，计算：＝ ．
【答案】；
【解析】解：∵a＞0，∴.

11.（松江区2020期末7）计算：= ．
【答案】2；
【解析】解：．
12.（浦东南片2019期中11）计算：= .
【答案】；
【解析】解：因为原式===.
13.（川中南2019期中10）不等式的解集是 .
【答案】；
【解析】解：两边同除以得，，分母有理化得，故不不等式的解集为.

14.（徐教院附2019期中10）不等式的解集是__________．
【答案】;
【解析】解：原不等式的两边同时减去，得，不等式的两边同时加上1，得
，不等式的两边同时除以，得，即；即原不等式的解集为．
15.（嘉定区2019期中15已知，是实数，且，问，之间有怎样的关系：________________．
【答案】；
【解析】解：a、b之间的关系是：a+b=0．理由：原等式两边乘以，得=，原等式两边乘以，得 =，两式相加，得a+b=-a-b，故a= -b．
16.（浦东新区2020期末8）的倒数是____．
【答案】；
【解析】解：∵．∴的倒数是.
17.（徐汇龙华2019期中3）分母有理化：=________
【答案】.
【解析】解：. 故答案为.
18.（2019浦东四署10月考18）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则该三角形的面积为. 现已知的三边长分别为1、2、，则的面积为 .
【答案】1；
【解析】解：根据题意，得=.
三、解答题
19.（2019宝山实验10月考22）已知的整数部分为a，小数部分为b，求的值.
【答案】；
【解析】解：根据题意可知：的整数部分为，小数部分为，所以===.
20.计算：.
【答案】；
【解析】解：原式====.
21.（松江区2020期末19）计算：.
【答案】4；
【解析】解：原式＝=＝4．
22.（浦东南片2019期中19-2）计算:（>0，>0）
【答案】；
【解析】解：原式===.
23.（2019上外10月考21）计算：．
【答案】;
【解析】解：=.
24.（浦东四署2020期末19）计算：.
【答案】.
【解析】解：原式=.

25.（嘉定区2019期中22）计算:
【答案】;
【解析】解：原式===.
26.（2019建平南9月考19）化简：.
【答案】；
【解析】解：原式====
.
27.（浦东南片2019期中19-1）计算:.
【答案】；
【解析】解：原式==
==.
28.（嘉定区2019期中25）先化简，再求值：已知,求的值
【答案】；
【解析】解：因为，所以
，，
.


29.（2019浦东四署10月考24）先化简，再求值.
，其中.
【答案】；
【解析】解：原式===.
当时，原式.
30.（2019上外10月考26）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果ax+b＝0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a＝0且b＝0．
运用上述知识，解决下列问题：
（1）如果，其中a、b为有理数，那么a＝ ，b＝ ；
（2）如果，其中a、b为有理数，求a+2b的值．
【答案】（1）；（2）；
【解析】解：（1）因为中，（a-2）与（b+3）均是有理数，故根据结论“如果ax+b＝0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a＝0且b＝0”，可知：，所以；（2）整理得，∵a、b为有理数，故，解之得
，所以.
31.把化成最简二次根式．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】∵， ∴． ∴原式=．
【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的的符号．
32.已知，求代数式的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】由题意，，∴， ∴．
又，
把，代入，得：．
【总结】本题主要考查二次根式的概念、化简以及求值．
33.已知x，y分别是的整数部分和小数部分，求的平方根．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】∵，， ∴， ∴．
∴， ∴，
∴的平方根为．
【总结】对于一个无理数的小数部分，没有办法完整写出来，只能用一种整体思想相应的表示出来．
34.已知是同类二次根式，解答下列问题：
（1）若a是正整数，则符合条件的a有几个？试写出a的最大值和最小值；
（2）若a是整数，则符合条件的a有几个，是否存在a的最大值和最小值？为什么？
【难度】★★★
【答案】（1），；
（2）有无数个；存在最大值为41，不存在最小值．
【解析】（1）∵， ∴，
当时，； 当时，； 当时，；
当时，； 当时，（舍），∴，；
（2）有无数个存在最大值为41，不存在最小值．
【总结】本题主要考查同类二次根式的概念，此题中要注意前面一个二次根式并不是最简的，
因此要从多个角度考虑．