第13讲 命题与证明举例（考点定位精讲讲练）-2022学年八年级数学上学期期末考试满分全攻略（沪教版）教师版

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【考点剖析】
1.命题：判断一件事情的句子；正确的命题叫真命题；错误的命题叫假命题；一个命题是由题设和结论两部分组成.
2.公理和定理：从长期的实践中总结出来的真命题叫公理；从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.
3.证明真命题的步骤：①根据题意作出图形，并在图形上标出必要的字母和符号；②根据题设和结论，结合图形写出已知和求证；③经过分析，找出由已知推出结论的途径，写出证明过程.
4.平行线的判定与性质
平行线的判定：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等．那么这两条直线平行；
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
平行线的性质：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角相等。
5.全等三角形：全等三角形的判定：S.A.S； A.S.A； A.A.S； S.S.S；
全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，对应边相等。
6.等腰三角形的判定与性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等；（简称：等边对等角）
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（简称：等腰三角形的三线合一）
判定1：（定义法）有两条边相等的三角形；
判定2：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。(简称：等角对等边)
7.证明常见题型
证明两直线平行、两直线垂直、两条线段相等、两个角相等、线段或角的和差倍半简单的问题；
【典例分析】
【考点1】命题
例题1 （浦东南片2019期中5）下列命题中是真命题的是（ ）
A.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
B.两条平行直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线互相垂直
C.三角形的一个外角等于两个内角的和
D.等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形
【答案】B；
【解析】解：A、有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，故A为假命题；B、真命题；C、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，故C为假命题；D、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D为假命题；因此答案选B.
例题2（浦东四署2019期中6）下列命题中，真命题的序号为（ ）
①相等的角是对顶角；②在同一平面内，若a//b,b//c,则a//c；③同旁内角互补；④互为邻补角的两角的角平分线互相垂直.
A.①②; B.①③; C.①②④; D.②④.
【答案】D；
【解析】解：①相等的角不一定是对顶角，故①错误；②根据平行的传递性可知②正确；③两直线平行，同旁内角互补，故③错误；④互为邻补角的两角的角平分线互相垂直，故④正确；因此答案为D.
例题3 （金山2018期末15）“有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等”是 命题．（填“真”或“假”）
【答案】真.
【解析】如图，中，，的平分线为AP、DQ，且AP＝DQ，
易知：先证明，则AB＝DE，然后证明.
例题4.（川中南2019期中17）将命题“等边对等角”改写成“如果……那么……”的形式：
.
【答案】如果一个三角形中的两条边相等，那么这两条边所对的角相等;
【解析】解：将等边对等角改写成如果…那么…的形式是：如果三角形的两边相等，那么这两条边所对的角相等.故答案为如果三角形的两边相等，那么这两条边所对的角相等.
【考点2】举例证明
例题5（浦东南片2019期中15）在△ABC中，若其中一个内角等于另外两个内角的差，则必有一个内角等于 °.
【答案】90；
【解析】解：不妨设，又因为，故解得，故必有一内角为.
例题6（川中南2019期中24）如图，五边形ABCDE，延长AB、DC交于点P，延长AE、CD交于点Q，且，，BC=ED，M为CD中点，求证：.
【答案与解析】解：，，，，在中，，，，，又M为CD中点，，即PM=QM，.
例题7 （浦东四署2017期中18）如图中，D是AC边的中点，过D作直线交AB于点E，交BC的延长线于点F，且AE＝CF.若BC＝6，CF＝5，则AB＝ .
【答案】16.
【解析】过C点作CG//AB，交EF于G点，可证明，因此CG=AE=5，又FC=5，故
FC=GC，所以，又因为CG//AB，所以，故，因此BE=BF=11，
所以AB=11+5=16.
例题8 （浦东四署2018期中23）如图，点C、E、B、F在同一直线上，CE＝BF，AC//DF，AC＝DF，求证：.
【答案】证明：，又，
在中，，.
例题9 （黄浦卢湾中学2017期中27）已知：如图△ABC，AB=AC，AD和BE是高，它们交于点H，且AE=BE
求证：AH=2BD （不必书写理由）
【答案与解析】
证明：BA＝AC，又AD是底边上的高，，又因BE是高，所以
，则，，
在中，，
所以AH＝2BD.
一、选择题
1.（2019华理附10月考4）下列命题是假命题的是（ ）
A.等角的补角相等； B.同旁内角互补；
C.在一个三角形中，等角对等边； D.全等三角形面积相等.
【答案】B；
【解析】解：A、等角的补角相等，故A为真命题；B、两直线平行，同旁内角互补，故B为假命题；C、在一个三角形中，等角对等边，故C为真命题；D.全等三角形面积相等，故D为真命题；因此答案选B.
2.（徐汇龙华2019期中18）下列命题中是真命题的是（ ）
A. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
B. 两条平行直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线互相垂直
C. 三角形的一个外角等于两个内角的和
D. 等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形
【答案】B;
【解析】解：A、有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，所以A为假命题；B、两条平行直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线互相垂直两直线平行，所以B为真命题；C、三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和，所以C为假命题；D、等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，所以D为假命题．故选B．
3.（浦东四署2020期末5）在下列命题中，真命题有（ ）
①角平分线上任意一点到角两边的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③三角形三边中垂线的交点到三角形三个顶点的距离相等；④直角三角形只有一条高.
A.①③； B.①②③； C.①②④； D.①②③④.
【答案】A;
【解析】根据角平分线的性质定理可知①正确；等腰三角形的高、中线、角平分线不一定互相重合，一定要指明是底边上的高、底边上的中线与顶角的平分线才互相重合，故②错误，是假命题；③是真命题；直角三角形有三条高，故④错误，假命题；因此选A.
4.（2019华理附10月考6）如图，在四边形ABCD中，如果AD//BC，AE//CF，BE=DF，那么下列等式中错误的是（ ）
A.； B.AB=CD； C. ； D. .
【答案】D；
【解析】解：因为AD//BC，所以，又AE//CF，所以，又BE=DF，所以BF=DE，故，故,故A正确；所以AD=CB，易证，可得AB=CD，故B正确；可证，可知C正确；可得四边形ABCD为平行四边形，但不能得菱形，故，故D错误；所以答案选D.
5.（2019位育10月考4）如图，已知AB=AC，BC=BD，若AD=DE=EB，则的大小是（ ）
A.； B. ； C. ； D. .
【答案】C；
【解析】解：设，因为AB=AC，所以，又BC=BD，所以，又BE=DE，故，由AD=DE得，所以，得
，解得.
二、填空题
6.（徐教院附2019期中16）把命题“在一个三角形中，等角对等边”改写成“如果……那么……”的形式为 .
【答案】如果在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等；
【解析】解：条件是：在同一个三角形中有两个角相等，结论为：这两个角所对的边也相等．故答案为：如果在同一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．命题中不能出现底角、腰等字眼.
7.（2019华理附10月考15）将命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：
.
【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等；
【解析】解：条件是：两个角是同一个角的余角，结论是：这两个角相等；故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等；
8.（2019复附10月考12）下列命题中：①等腰三角形两腰上的高相等；②在空间中，垂直于同一直线的两直线平行；③两条直线被第三条直线所载，内错角相等；④一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等.其中真命题的个数有 个.
【答案】1；
【解析】解：①正确，故①为真命题；②在空间中，垂直于同一直线的两直线可以平行或异面，故②为假命题；③两条平行直线被第三条直线所载，内错角相等，故③为假命题；④一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，故④为假命题；因此真命题的个数为1个.
9.（2019曹杨10月考16）如图，在中，若AB=AC，CD=BF，BD=CE，，则的度数为 度.
【答案】59；
【解析】解：AB=AC，，又CD=BF，BD=CE，故，，又即，，.
10.（2019曹杨10月考18）如图，将绕着点A旋转，使点B恰好落在BC边上，得，如果，且AC’//BC，那么= 度.
【答案】；
【解析】解：因为旋转，故，所以，，所以，所以.
11.（徐教院附2019期中18）如图，△ABC为等边三角形，D、E分别为BC、AC边上两动点(与点A、B、C不重合)，CD＝AE，AD与BE相交于点F.则∠BFD＝____________度.
【答案】60；
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA.在△ABE与△CAD中，，
∴△ABE≌△CAD(SAS)，∴∠ABE=∠CAD，∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，∴∠BFD=∠CAD+∠BAD
=∠BAC=60°.
12.（浦东南片2019期中17）如图所示，在平面内两条直线l1、l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p、q分别是点M到直线l1、l2的距离，则称（p、q）为点M的“距离坐标”.根据上述规定，“距离坐标”是（2,1）的点共有_____个.

【答案】4；
【解析】解：如图所示，满足条件的点一共有4个即：.
三、解答题
13.（2019华理附10月考22）已知：如图，E、F是线段BC上的两点，AB//CD，AB=DC，CE=BF.
求证：AE=DF.
【答案与解析】解：，， AB//CD ，在中，所以，所以AE=DF.
14.（2019浦东一署10月考27）已知：如图，点D、E分别在的边AB、AC上，AB=AC，DE//BC.
求证：BD=CE.
【答案与解析】解：因为AB＝AC，所以（等边对等角）；因为，所以（两直线平行，同位角相等），所以（等量代换）；所以AD＝AE（等角对等边），因为AB＝AC，所以AB－AD＝AC－AE即BD＝CE（等式性质）．
15.（浦东南片2020期末23）已知：如图，中，于，垂足分别为点，与相交于点.求证：.
【答案与解析】证明：∵,∴ .∵,∴,
∴，∴，∵，∴,∴,
∴，∵，∴，∴.
16.（浦东部分校2017期中24）已知，如图：DE//BC，点A是DE上一点，AD＝AE，AB＝AC.
求证：.
【答案与解析】，又
，又AD＝AE，AB＝AC，故，.
17．（浦东四署2017期中23）如图D、E分别在等边边BC、CA上，且CD＝AE，联结AD、BE.
（1）求证：BE＝AD
（2）延长DA交BE于F，求的度数.
【答案】（1）证明如下解析；（2）.
【解析】
（1）证明：在等边中，AB＝CA，，
，
在中，，（SAS），.
（2），，
.
18.（浦东部分校2017期中23）求证：等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等.
已知： .
求证： .
证明：
【答案与解析】已知：在中，AB=AC，DB＝DC，于点E，于点F.
求证：DE＝DF.
证明：联结AD，在中，AB=AC，DB＝DC，所以，又
，所以，故DE=DF.
19.（黄浦2017期中25）已知：如图，在中，若AB＝AC，点D是BC上一动点，点E、F分别在AC、AB上，且CD＝BF，BD＝CE，则在数量上有什么关系？请证明你的猜想.（10分）
【答案】.
【解析】猜想：.
证明：；在中，
，（S.A.S）,且
,故
20.（松江区2020期末24）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠CAD＝∠CBD．
（1）求证：CD平分∠ACB；
（2）点E是AD延长线上一点，CE＝CA，CF∥BD交AE于点F，若∠CAD＝15°，求证：EF＝BD．
【答案与解析】（1）证明：∵AC＝BC，∠CAD＝∠CBD，CD＝CD，∴△DCA≌△DCB（SAS），
∴∠DCB＝∠DCA；（2）证明：∵△DCA≌△DCB，∴∠CAD＝∠CBD＝15°，∵∠ACB＝90°，∴∠DCA＝∠DCB＝45°，∴∠FDC＝∠CAD+∠DCA＝15°+45°＝60°，∵CF∥BD，∴∠DBC＝∠FCB＝15°，
∴∠DCF＝60°，∴△DCF是等边三角形，∴DC＝CF，∵CE＝CA，∴∠CAE＝∠E＝15°，∴∠ACE＝150°，∴∠DCB＝∠FCE，∴△DCB≌△FCE（SAS），∴EF＝BD．
21.（浦东四署2020期末25）如图（1），已知锐角中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点.
（1）求证：；
（2）连结DM、ME，猜想与之间的关系，并证明猜想；
（3）当变为钝角时，如图2，上述（1）（2）中的结论是否成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由.
【答案与解析】（1）证明：联结DM、ME.因为CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，所以，，又N为DE的中点，；（2）在中，，，所以
==，所以.（3）结论（1）成立；结论（2）不成立；理由如下：在中，，，所以==，所以
.
22.（浦东南片2019期中26）已知：点O是△ABC内一点，射线AO、BO交BC、AC于点D、E.
（1）若射线AO、BO分别平分∠BAC、∠ABC．
①如图（1），设∠ACB=x°．试用含x的代数式表示∠AOB的大小．
②如图（2），若AC=BC, ∠ACB=36°，射线BE与射线AM交于点M，且∠BAC=∠OAM=∠AOM．求证：AM=CM．
（2）联结CO，若AO=BO=CO,且△AOB中有一个内角是50°，请直接写出∠ACB的度数．
【答案】
【解析】解：（１）证明：在△ABC中，，所以，因为AD、BE分别平分，所以，所以，
在△AOB中，，；（２）证明：因为∠BAC=∠AOM，且，所以，又OA平分，所以即，因为，所以，又因为BE平分，且，所以，因为，所以，又因，所以，所以BA=BE，所以，所以BM=BC，所以，所以，，所以AM=CM；（3）
23.（浦东四署2018期中26）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是直线AB上的一动点（不和A、B重合），BE⊥CD于E，交直线AC于F．
（1）点D在边AB上时，证明：AB＝FA+BD；
（2）点D在AB的延长线或反向延长线上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请画出图形并直接写出正确结论．
【答案】（1）略；（2）不成立；当D在AB延长线上时，AF＝AB+DB；当D在AB反向延长线上时，BD＝AB+AF.
【解析】（1）证明：如图1，∵BE⊥CD，即∠BEC＝90°，∠BAC＝90°，
∴∠F+∠FBA＝90°，∠F+∠FCE＝90°．
∴∠FBA＝∠FCE．
∵∠FAB＝180°﹣∠DAC＝90°，
∴∠FAB＝∠DAC．
∵AB＝AC，
∴△FAB≌△DAC．
∴FA＝DA
∴AB＝AD+BD＝FA+BD．
（2）不成立：
如图2，当D在AB延长线上时，AF＝AB+BD，
理由是：同理得：△FAB≌△DAC，
∴AF＝AD＝AB+BD；
如图3，当D在AB反向延长线上时，BD＝AB+AF，
理由是：同理得：△FAB≌△DAC，
∴AF＝AD，
∴BD＝AB+AD＝AB+AF．
24.（浦东部分校2017期中25）如图，在中，，AB＝AC，AD是斜边BC上的中线，将三角尺的直角顶点置于中线AD上点P处，三角尺的两条直角边分别交AB、AC边于点E、F. 求证：PE＝PF.
【答案】在AB上截取AG＝AF，联结PG，因为AB＝AC，AD是斜边BC上的中线，所以，在中，，
，又，故PE＝PF.
【解析】或者过点P作PK//BC交AB于点K，证明，从而证出PE＝PF.
25.（徐汇龙华2019期中25）已知，如图三角形ABC中，AB=AC，，MN是过点A的一条直线，分别过点B、C作，垂足分别为点D、E. 求证：DE=BD-CE.
【答案与解析】证明：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵BD⊥MN，CE⊥MN，∴∠ADB＝∠CEA＝90°．∴∠BAD+∠ABD＝90°．∴∠ABD＝∠CAE．在△ABD和△CAE中， ，∴△ABD≌△CAE（AAS）．∴BD＝AE，AD＝CE．∵AD+DE＝AE，∴DE＝BD－CE．
26.（青浦实验2019期中25）如图点O是等边内一点，，∠ACD=∠BCO，OC=CD， （1）试说明：是等边三角形；（2）当时，试判断的形状，并说明理由；（3）当为多少度时，是等腰三角形
【答案】(1)见解析；(2)△AOD是直角三角形；(3) 110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形；
【解析】解：(1)∵∠ACD=∠BCO∴∠ACD+∠ACO=∠BCO+∠ACO=60°又∵CO=CD ∴△COD是等边三角形；(2)∵△COD是等边三角形∴CO=CD，又∵∠ACD=∠BCO，AC=BC，∴△ACD≌△BCO（SAS）
∴∠ADC=∠BOC=α=150°，∵△COD是等边三角形，∴∠ADC=∠BOC=α=150°，∵△COD是等边三角形，
∴∠CDO=60°，∴∠ADO=∠ADC−∠CDO=90°，∴△AOD是直角三角形；(3)∵△COD是等边三角形，
∴∠CDO=∠COD=60°，∴∠ADO=α−60°,∠AOD=360°−60°−110°−α=190°−α，当∠AOD=∠ADO时,△AOD是等腰三角形,即190°−α=α−60°,解得α=125°；当∠AOD=∠DAO时,△AOD是等腰三角形,即2(190°−α)+α−60°=180°,解得α=140°；当∠ADO=∠DAO时,△AOD是等腰三角形,即190°−α+2(α−60°)=180°,解得α=110°，综上所述,∠BOC的度数为110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形.
27.（黄浦卢湾中学2017期中28）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为射线BC上一动点，联接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC.
（1）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图1，请你判断线段CE、BD之间的位置和数量关系（直接写结论）
（2）当点D在线段BC的延长线上时，请你在图2画出图形，判断（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断（不必书写理由）
（3）若S△BDE=3时，且CD=1时，求△ABC的面积（直接写出答案）
【答案与解析】（1）CE＝BD，.
（2）图略，（1）中结论仍然成立.因为线段AD绕点A逆时针旋转90度得到AE，所以AE＝AD，.
,所以，
，所以线段CE、BD之间的位置关系和数量关系为：CE＝BD，.
（3）.