2024届上海市行知中学高三上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2024届上海市行知中学高三上学期期中考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．已知全集，集合，则＝ ．
【答案】
【分析】根据已知条件，先求出并集与补集的定义，即可求解．
【详解】由题设或，
所以.
故答案为：．
2．不等式的解集为 .
【答案】
【解析】把分式不等式化整式不等式直接解得.
【详解】同解于，解得：或
即原不等式的解集为
故答案为：
【点睛】常见解不等式的类型：
(1)解一元二次不等式用图像法或因式分解法；
(2)分式不等式化为标准型后利用商的符号法则；
(3)高次不等式用穿针引线法；
(4)含参数的不等式需要分类讨论．
3．圆的过点的切线方程为 .
【答案】
【分析】根据切线与过切点的半径垂直即可求解.
【详解】圆心，因为，所以在圆上，
则直线与切线垂直，,
所以切线的斜率为，
由点斜式整理得，
故答案为: .
4．某篮球队在本赛季已结束的场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如下，则甲在比赛中得分的方差为 .
【答案】//
【分析】先计算出甲比赛中得分的均值，再利用方差公式可求得结果.
【详解】甲在比赛中得分的均值为，
方差为.
故答案为：.
5．已知复数满足（为虚数单位），则 ．
【答案】
【分析】利用复数的除法运算求出，再求，进而得到复数的虚部.
【详解】由，
得，则.
故答案为：.
6．若，则 .
【答案】
【分析】利用赋值法，令和，联立方程组求解即可．
【详解】令，则，
令，则，故．
故答案为：．
7．已知正数a、2b的算术平均值是2，则a、b的几何平均值的最大值为 .
【答案】
【分析】利用基本不等式，结合几何平均值和算术平均值的定义，即可求解．
【详解】a、2b，均为正数，∴是a、2b的算术平均值，
则有，即，∴，
即，，当且仅当a＝2b，且a+2b＝4，即a＝2，b＝1时取等号，
是a、b的几何平均值，则a、b的几何平均值的最大值为．
故答案为：.
8．若复数满足，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据题设条件确定复数对应点在以为焦点，长轴长为10的椭圆上，结合椭圆性质及的几何意义确定最小值.
【详解】设且，又，
所以，
即点到两定点的距离之和为，
所以点在以为焦点，长轴长为10的椭圆上，
由表示椭圆上点到原点距离，故其最小值为短半轴.
故答案为：
9．已知函数在有且仅有5个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由 的范围, 可得 的范围, 由题意可得 的范围, 进而求出 的范围.
【详解】因为 , 所以 ,
要使函数有 5 个零点, 则 ,
解得 的范围为 .
故答案为: .
10．把10个相同的小球放入编号为1，2，3的三个不同盒子中，使盒子里的球的个数不小于它的编号数，则不同的放法种数是 （用数字作答）
【答案】15
【分析】利用隔板法计算即可.
【详解】先在编号为2，3的盒子中分别放入1，2个小球，编号为1的盒子不放球，
再每个盒子至少放入一个小球，用隔板法将余下7个小球排一排有6个空，插入2个隔板，有种方法.
故答案为：15
11．记数列的前项和为，，下列三个命题中错误的序号有 ．
①若（非零常数满足，），则数列为等比数列；
②若数列为等比数列，则，，，…仍为等比数列；
③为严格递增数列是为严格递增数列的必要非充分条件．
【答案】②③
【分析】由和的关系可得，由可知数列为等比，知①正确；通过反例可说明②③错误.
【详解】对于①，当时，；
当时，；
经检验：满足；
，，
数列是以为首项，为公比的等比数列，①正确；
对于②，若数列为：，，，，…，则为等比数列；
当时，，，，…，
此时，，不是等比数列，②错误；
对于③，若为等差数列，且，则；
此时为严格单调递增，但是先减后增的数列，充分性不成立；
若，则；当时，；
，数列不是严格单调增数列，必要性不成立；③错误.
故答案为：②③.
12．已知平面向量，，满足，，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】求出向量的模及夹角，记，得出对应点的轨迹，利用数形结合求最值.
【详解】由，即，所以，
记，因为，
所以在以为圆心，1为半径的圆上，在以为圆心，2为半径的圆上，其中，
所以，
作A关于直线l（所在直线）的对称圆，的对称点记为，知，
则，如图，

由图可知，当共线时，存在最小值，
因为，
所以最小值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：利用向量的的几何表示，原问题转化为求最小值，数形结合，利用共线线段最短得解.
二、单选题
13．下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分别判断函数在定义域内的奇偶性和单调性即可.
【详解】对于A：为反比例函数，为奇函数，在区间以及上都是增函数，但在定义域内不是增函数，故A错误；
对于B：既是奇函数又是减函数，不符合题意，故B错误；
对于C：为奇函数；时，为增函数，时，为增函数，且函数图象连续，该函数在R上为增函数，故C正确；
对于D：指数函数，不是奇函数，不符合题意，故D错误；
故选：C
14．存在两个事件A和B，且，，若A与B是两个①事件，则；若A与B是两个②事件，则；其中（ ）
A．（1）互斥（2）独立B．（1）互斥（2）对立
C．（1）独立（2）互斥D．（1）对立（2）互斥
【答案】A
【分析】由概率的性质有，结合互斥事件定义确定①答案；根据独立事件的判定确定②答案.
【详解】由，仅当时，
所以A与B是两个互斥事件，
由独立事件的判定知：，即A与B是两个独立事件.
故选：A
15．在四面体中，已知，若不是等边三角形，且点在平面上的投影位于内，则点是的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【答案】D
【分析】先证明平面，平面，进而可证得，，即可得解.
【详解】如图，由题意可知平面，
因为平面，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为平面，
所以平面，
又平面，所以，
所以点是的垂心.
故选：D.
16．定义．若数列的前项和为，数列满足，令，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，求得，，结合，且恒成立，得到或，且，列出不等式组，即可求得的取值范围.
【详解】由数列的前项和为，
当时，可得，
又由当时，，适合上式，
所以数列通项公式为，
由数列满足且，可得，
即，
各式相加可得，
又由，所以，所以，
因为，且恒成立，
当，，，符合题意；
当，则满足且且，即，解得；
综上，实数的取值范围为.
故选：D.
三、解答题
17．如图，正直三棱柱中，，，是的中点，是的中点.
(1)判断直线与直线的位置关系并证明；
(2)求直线与平面所成的角的大小.
【答案】(1)直线与直线异面且相互垂直，证明见解析；
(2).
【分析】（1）构建空间直角坐标系，应用向量法证明的位置关系即可；
（2）应用向量法求线面角的大小.
【详解】（1）直线与直线的异面且相互垂直，证明如下：
由面，，面，面，即直线与直线的异面；
正直三棱柱中，，则面，且，
可构建如下图示空间直角坐标系，令，
则，即，
所以，即直线与直线相互垂直.
综上，直线与直线异面且相互垂直
（2）由（1）知：面的一个法向量，，
所以，则，
故直线与平面所成角余弦值为，又线面角的范围为，
所以直线与平面所成角大小为.
18．已知函数.
(1)求的最大值及取得最大值时的值；
(2)在中，内角所对应的边为，若，成等差数列，且，求的值.
【答案】(1)时，最大值
(2)
【分析】（1）化简函数，结合三角函数的性质，即可求解；
（2）由，求得，再题意得到和，结合余弦定理，即可求得的值.
【详解】（1）解：由函数
，
当时，即，此时函数取得最大值.
（2）解：由函数，
因为，即，即，
又因为，可得，可得，解得，
因为成等差数列，可得，
又因为，可得，所以，
又由余弦定理可得，
即，所以.
19．第19届亚运会在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障.某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作.先随即抽取了100名候选者的面试成绩，并分成组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.
(1)现规定分数排名前40%可以加入资深志愿者组，估计资深志愿者组的录取分数约为多少？（精确到0.1）
(2)在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率；
(3)已知第四组的平均成绩为80，方差为20，第五组的平均成绩为90，方差为5，则75分以上的志愿者的平均成绩和方差为多少？
【答案】(1)分；
(2)；
(3)平均成绩为，方差为.
【分析】（1）由题意求参数，再判断录取分数所在区间，设为分，根据求结果；
（2）由分层抽样确定第四组、第五组抽取的人数，应用列举法求选出的两人来自不同组的概率；
（3）应用平均数、方差公式求75分以上的志愿者的平均成绩和方差.
【详解】（1）由题意，，可得，
所以，
故录取分数在区间，设资深志愿者组的录取分数约为分，
则，可得分.
（2）由（1）知：第四、第五组的人数比例为，
由分层抽样等比性质知：第四组抽取4人为、第五组抽取1人为，
所以，任意选出2人的情况为共10种情况；
其中两人来自不同组的情况为共4种情况；
所以选出的两人来自不同组的概率为.
（3）第四组的平均成绩为，方差为，该组人数为20人；
第五组的平均成绩为，方差为，该组人数为5人；
所以75分以上的志愿者的平均成绩为分，
75分以上的志愿者的方差为，
而，，
；
；
所以.
20．曲线，第一象限内点在上，的纵坐标为.
(1)若到准线距离为3，求；
(2)设为坐标原点，，，为上异于的两点，且直线与斜率乘积为4.证明：直线过定点；
(3)直线，令是第一象限上异于的一点，直线交于，是在上的投影，若点满足“对于任意都有”，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）首先求出抛物线的准线，在根据抛物线的定义求出，从而求出即可得参数；
（2）由题设求得，设，，讨论斜率，根据得，应用点斜式写出直线并整理得，联立两式确定定点，即可证.
（3）设且，写出直线的方程，求出点坐标，则有，分类讨论a研究在恒成立.
【详解】（1）由题设，曲线的准线为，则，
为第一象限内点，则.
（2）由题意，，即，若，，
所以，同理有，
所以，即①，
若直线斜率存在时，设直线为，
所以，整理得②，
联立①②可得，令，
所以直线恒过；
若直线斜率不存在时，此时，直线也过；
综上，直线过定点.
（3）设且，则，
由，则，
直线，即，
令，则，即，
所以在恒成立，
则在恒成立，
当时，且，上述不等式恒成立；
当时，若，此时，不成立；
综上，.
【点睛】关键点点睛：第三问，设且，写出直线的方程求出点坐标，得到，分类讨论参数研究恒成立为关键.
21．设．
(1)证明：的图象与直线有且只有一个横坐标为的公共点，且；
(2)求所有的实数，使得直线与函数的图象相切；
(3)设（其中由（1）给出），且，，求的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)或
(3)
【分析】（1）构造函数，根据函数的单调性以及零点存在性定理证得结论成立.
（2）设出切点坐标，求得切线方程，根据切线过原点列方程，求得切点的横坐标，从而求得的值.
（3）构造函数，利用导数证得当时，得到，进而得到，从而求得的最大值.
【详解】（1）考虑函数， 在上单调递增，且，．
因此有且只有使得，
即的图象与直线有且只有一个公共点，
且该公共点的横坐标为．
（2），
．设是的图象上一点，
则该点处的切线为，
整理得．令，解得或．
因此与与函数的图象相切．因此所求实数的值为或．
（3）设，则．
设，则．
当时，；当时，．
因此在上单调递增，在上单调递减．
从而在上单调递增，上单调递减．
注意到，故当时，当时，
因此在上单调递减，在上单调递增．
所以当时，．另一方面，注意到，
故必然存在，使得，
且当时，当时．
因此在上单调递减，在上单调递增．
显然，而．
因此当时，．
综上可知当时，即，当且仅当时等号成立．
由于，故当，即时，，
当且仅当，即时等号成立．
因此，
当且仅当时等号成立．
因此的最大值为．
【点睛】利用导数求解曲线的切线方程，关键点有两个，一个是切点的坐标，另一个是切线的斜率.切线的斜率可以利用导数求得.利用导数研究函数的单调性，当一次求导无法解决时，可以考虑利用多次求导的方法来求得.