2024届上海市虹口高级中学高三上学期期中数学试题含答案

这是一份2024届上海市虹口高级中学高三上学期期中数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．设集合，， ．
【答案】
【分析】解分式不等式求集合B，应用集合的交运算求.
【详解】由且，
所以.
故答案为：
2．若是向量和的夹角，已知，，则 ．
【答案】/
【分析】利用向量夹角的坐标运算求夹角余弦值.
【详解】由题设.
故答案为：
3．已知函数，则的值域为 ．
【答案】
【分析】根据指数函数和对勾函数的单调性求值域即可.
【详解】当时，；
当时，在上单调递增，单调递减，所以，
综上可得的值域为.
故答案为：.
4．为了解学生“阳光体育”活动的情况，随机统计了n名学生的“阳光体育”活动时间（单位：分钟），所得数据都在区间内，其频率分布直方图如图所示，已知活动时间在内的频数为80，则n的值为 ．
【答案】
【分析】根据直方图计算活动时间在内的频率，由该区间的频数，进而求出样本容量.
【详解】由直方图知：活动时间在内的频率为，
又活动时间在内的频数为80，故.
故答案为：
5．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为 ．
【答案】
【分析】根据面积公式直径运算求解即可.
【详解】由题意可得的面积为.
故答案为：.
6．已知数列是首项为2公差不为0的等差数列，且其中、、三项成等比数列，则数列的通项公式 ．
【答案】
【分析】根据等差数列的通项公式和等比中项的性质列方程，解方程得到，然后求通项即可.
【详解】设数列的公差为，则，即，解得或0（舍去），
所以.
故答案为：.
7．已知四个函数：① ；② ；③ ；④ . 从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为
【答案】
【详解】 由四个函数①；②；③；④，
从中任选个函数，共有种，
其中“所选个函数的图像有且仅有一个公共点”共有①③、①④，共有种，
所以“所选个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为.
8．已知常数，在的二项展开式中的常数项为15，设，则 ．
【答案】-31
【分析】先求出，再由二项式的展开式进行求解即可.
【详解】解：的展开式为：，
令，得，
则，因为，所以，
则的展开式为：，
得，，
则，
故答案为：-31.
9．已知双曲线的离心率为，且该双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则这个双曲线的方程是 ．
【答案】
【分析】根据题意列方程，解方程得到即可得到双曲线方程.
【详解】由题意得，解得，，所以，
所以双曲线方程为.
故答案为：.
10．设复数（i为虚数单位）且，若，则 ．
【答案】
【分析】由诱导公式、复数模的求法列方程求得，结合角的范围可得，再应用倍角正切公式求值即可.
【详解】由题设，则，
所以，又，则，，
所以，则.
故答案为：
11．已知函数，其导函数为，下列命题中真命题的序号为 ．
（1）的严格减区间是
（2）的极小值是
（3）当时，对任意的且，恒有
【答案】（1）（3）
【分析】利用导数研究的单调性和极值判断（1）（2），由，应用作差法比较与的大小即可.
【详解】由题设，令，
当，，即递增，
当，，即递减，
当，，即递增，
所以的极小值是，
由，则
，
又，且，故，
所以恒成立.
综上，（1）（3）为真，（2）为假.
故答案为：（1）（3）
12．若函数的图像上点与点、点与点分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意将问题转化为在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点，即转化为方程在上有两根，孤立参数为在上有两根，求导确定函数的单调性与取值情况，作出大致图象，即可求得实数的取值范围.
【详解】若有两组点关于原点对称，则在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点．
由时，；得其关于原点对称后的解析式为．
问题转化为与在上有两个交点，即方程有两根，
化简得，即与在上有两个交点．
对于，求导，令，解得：，
即：当时，单调递增；
令，解得：．
即：当时，单调递减，
∴为其极大值点，，时，；画出其大致图像：
欲使与在时有两个交点，则，即．
二、单选题
13．设，已知直线与圆，则“”是“直线l与圆C相交”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，应用点到直线距离求圆心到直线的距离，再由充分、必要性定义及直线与圆的位置关系判定确定条件间的关系.
【详解】由题设，圆心，半径为1，圆心到直线的距离，
若时，，故，则直线l与圆C相交；
若直线l与圆C相交时，，则或；
所以“”是“直线l与圆C相交”的充分不必要条件.
故选：A
14．设函数（其中，），若函数图象的对称轴与其对称中心的最小距离为，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题设且求参数，即可得解析式.
【详解】由题设，，则，
则，，
所以，，而，故，
综上，.
故选：B
15．如图所示，在正方体中，E为线段上的动点，则下列直线中与直线CE夹角为定值的直线为（ ）
A．直线B．直线
C．直线D．直线
【答案】C
【分析】利用空间向量的方法求异面直线所成角即可.
【详解】
设正方体的棱长为1，
如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
，，，，，
设，，则，，，，，
，不是定值，故A错；
，不是定值，故B错；
，所以直线与直线所成角为，故C正确；
，不是定值，故D错.
故选：C.
16．定义在上的函数满足：当时，；当时，．将函数的极大值点从小到大依次记为，，…，并记相应的极大值为，，…，，则的值为（ ）
A．9922B．29624C．88694D．265864
【答案】B
【分析】利用导数求上极大值，结合递推关系得且，故，根据等差、等比数列的前n项和公式求即可.
【详解】在上，易知：上，上，
所以在上递增，上递减，故极大值为；
又时，，而有，
令，则，故，
令，则，故，
……
令且，则且，故，
由上及极值的定义知：是首项为1，公差为2的等差数列；是首项为1，公比为3的等比数列；
所以.
故选：B
三、解答题
17．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
(1)求角B；
(2)若是锐角三角形，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由诱导公式、倍角余弦公式，将条件化为，即可求，进而求角的大小；
（2）由题设且，将化为，利用正弦型函数性质求范围即可.
【详解】（1）由题设，
所以，
又，故.
（2）由（1）知：，则，故，
又是锐角三角形，则，
所以，
所以，故，
综上，的取值范围为.
18．已知公差d不为0的等差数列的前n项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，记为数列前n项和，若，求正整数n的最小值．
【答案】(1)；
(2)6.
【分析】（1）利用等差数列前n项和及通项公式求基本量，即可写出通项公式；
（2）由（1）及题设，应用等比数列前n项和公式、分组求和得，结合不等式能成立及单调性求正整数n的最小值．
【详解】（1）由题设，
所以，而，
所以.
（2）由题设，则，
所以，显然在上递增，
时，，
时，，
所以成立，正整数n的最小值为6.
19．如图，三棱锥中，，，，E为的中点．
(1)证明：；
(2)点F满足，求平面和平面所成的锐二面角．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）连接，由题设易得、，进而有，再根据线面垂直的判定和性质证结论；
（2）由题设易知是平行四边形，并证，构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的大小.
【详解】（1）连接，由，E为的中点，故，
由，，易知，
所以，E为的中点，则，
又，面，故面，
由面，故.
（2）由，即，故是平行四边形，
由（1）及题设易知，，则，
所以，故，又面，
可构建空间直角坐标系，则，
所以，
若为面的一个法向量，则，令，则；
若为面的一个法向量，则，令，则；
所以平面和平面所成角余弦值，
故平面和平面所成的锐二面角为.
20．设，函数，
(1)若，判断函数是否存在实数c，使得为奇函数？说明理由．
(2)若，函数在区间上是严格增函数，求c的最大值．
(3)若函数的图像经过点，且函数图像与x轴负半轴有两个不同的交点，求此时c的值和实数a的取值范围．
【答案】(1)不存在，理由见解析
(2)
(3)；且.
【分析】（1）将代入得，先考虑其定义域，再假设为奇函数，得到方程无解，从而得以判断；
（2）根据复合函数单调性分析可得函数在区间上是严格增函数，结合导数可得在区间上恒成立，进而可得结果；
（3）先半点代入求得，从而得到，再利用二次函数的根的分布得到关于的不等式组，解之可得，最后再考虑的情况，从而得到的取值范围.
【详解】（1）当时，，定义域为，
假设为奇函数，则，
而，则，此时无实数满足条件，
所以不存在实数，使得函数为奇函数；
（2）若，则，
可得其定义域为，则，
因为函数在区间上是严格增函数，在区间上是严格增函数，且，
可知函数在区间上是严格增函数，则在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，可得，
所以c的最大值为.
（3）图像经过点，则代入得，解得，
所以，定义域为，
令，则的图像与轴负半轴有两个交点，
所以，即，解得，
若，即是方程的解，
则代入可得，解得或.
由题意得，所以实数的取值范围且.
21．函数，
(1)求函数在点的切线方程；
(2)函数，，是否存在极值点，若存在求出极值点，若不存在，请说明理由；
(3)若，请讨论关于x的方程解的个数情况．
【答案】(1)；
(2)时无极值点；时有极小值点，无极大值点.
(3)答案见解析.
【分析】（1）由导数的几何意义求切线方程；
（2）对函数求导，讨论、判断导数符号确定函数单调性，即可判断极值点情况；
（3）问题化为讨论在上根的情况，构造求导，根据导数符号判断单调性，进而确定函数最值，讨论m与最值大小确定解个数.
【详解】（1）由题设，则，而，
所以，切线方为，即.
（2）由题设，则，且，
当时，恒成立，故在上递增，无极值；
当时，时，时，
则在上递减，在上递增；
此时有极小值点为，无极大值点.
（3）由题意，只需讨论在上根的情况，
令，则，而，
当时，递增；当时，递减；
且趋向0或时趋向，极大值为，
综上，当，原方程有无解；当，原方程有一个解；当，原方程有两个解；