2024届上海市宜川中学高三上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2024届上海市宜川中学高三上学期期中考试数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．计算： ．
【答案】/0.5
【分析】利用等比数列求和公式得到，从而求出极限值.
【详解】，
故.
故答案为：
2．已知集合,则 ．
【答案】
【分析】利用函数的值域与定义域求集合结合交集的定义计算即可.
【详解】由题意可知，.
故答案为：
3．二项式的展开式中，系数最大的项为 ．
【答案】
【分析】先得到展开式的通项公式，进而得到要想系数最大，则为偶数，比较后得到答案.
【详解】展开式通项公式为，且为整数.
要想系数最大，则为偶数，
其中，，，
，
显然系数最大项为.
故答案为：
4．设函数，则 ．
【答案】
【分析】根据函数求导法则求导后，即可计算出结果.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
5．复数z满足（i为虚数单位），则的最大值为 ．
【答案】7
【分析】由复数模的几何意义确定复数z对应点的轨迹，问题化为圆上点到原点的距离最大值，即可得结果.
【详解】令且，又，
所以，即，
所以复数z对应点在以为圆心，半径为2的圆上，
又表示圆上点到原点的距离，而圆心到原点距离为5，
所以的最大值为.
故答案为：7
6．已知 ，且，则 的最大值为 .
【答案】1
【详解】试题分析：因为，所以，当且仅当时取等号. 因此即 的最大值为1.
【解析】基本不等式求最值
7．已知直线：与双曲线的一条渐近线平行，且经过双曲线的一个焦点，则双曲线的标准方程为 ．
【答案】
【分析】首先求出直线与轴的交点坐标，即可得到，再根据双曲线的方程表示出渐近线方程，结合两直线平行斜率相等，即可得到方程组，解得即可；
【详解】解：对于直线：，令，解得，所以双曲线的一个焦点为，
双曲线的渐近线为，
依题意且又，解得，，
所以双曲线方程为；
故答案为：
8．已知点，，则在方向上的数量投影为 .
【答案】
【分析】根据数量积的几何意义结合已知条件直接求解即可
【详解】因为，，
所以在方向上的数量投影为.
故答案为：
9．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若点在圆柱的一个底面圆周上，点P在圆柱的另一个底面内，则该圆柱的体积为 ．
【答案】
【分析】画图求出圆柱体的底面圆的半径及高，利用圆柱体体积公式计算即可.
【详解】如图所示：连接交于点，连接，
因为四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，
所以面，
因为点在圆柱的一个底面圆周上，
所以圆柱底面圆的半径为：，
又点P在圆柱的另一个底面内，
所以圆柱体的高为，
所以圆柱体的体积为：，
故答案为：.
10．已知实数的平均数为4，则这四个数的中位数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用平均数及中位数的概念计算即可.
【详解】由题意可知，
若该四个数按大小排列，位于中间，则位于两侧，此时中位数是；
若该四个数按大小排列，位于中间，则位于两侧，此时，不符合题意；
若该四个数按大小排列，位于中间，则位于两侧，同上，不符合题意；
若该四个数按大小排列，位于中间，则位于两侧，则有；
若该四个数按大小排列，位于中间，则位于两侧，同上；
若该四个数按大小排列，位于中间，则位于两侧，可知；
此时中位数是；
综上所述这四个数的中位数的取值范围是.
故答案为：.
11．A、B、C三位好友进行乒乓球擂台赛，A、B先进行一局决胜负，负者下，由C挑战胜者，继续进行一局决胜负，负者下，胜者接受第三人的挑战，依次举行.假设三人水平接近，任意两人的对决胜负都是五五开，已知三人共比赛了3局，则三人各胜一局的概率为 ．
【答案】/0.25
【分析】根据相互独立事件和概率的加法公式进行计算可得答案.
【详解】设A、B比赛A获胜为事件M，A、C比赛C获胜为事件N，C、B比赛B获胜为事件Q，
且M、N、Q相互独立，则，
设三人共比赛了3局，三人各胜一局的概率为D，
则
.
故答案为：.
12．如图，画一个正三角形，不画第三边；接着画正方形，对这个正方形，不画第四边：接着画正五边形，对这个正五边形不画第五边：接着画正六边形，…，这样无限画下去，形成一条无穷伸展的等边折线，称为比尔折线.设第n条线段与第n+1条线段所夹的角为，则 .
【答案】
【分析】根据正三角形、正方形、正五边形的角的度数规律，类比出多边形个角的度数表达式，再计算出2022条线段所在的正多边形的边数，进一步求出夹角.
【详解】第一条线段与第二条线段所夹的角，由此类推， ，，
，，，，，，，
观察规律，三角形会有个相等的角，并且角的度数恰好是其内角的度数，
正方形有个，正五边形有个，正六边形有个，
多边形有个，
又观察图形得：正三角形画条线段，正方形画条线段，正五边形画条线段，正六边形画条线段，，正边形画条线段；
画到正多边形时，画线段的条数为，
当时，；当时，，
第条线段应在正边形中，
故答案为：.
二、单选题
13．下列函数在定义域内为偶函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用函数的奇偶性定义判定即可.
【详解】对A，，故A不是偶函数；
对B，，故B不是偶函数；
对C，的定义域为，关于原点对称，且，则其为偶函数；
对D，，故D不是偶函数，
故选：C
14．三角形的三个顶点都不在平面上，则“平面与平面平行”是“点、、到平面的距离都相等”的（ ）条件
A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分也非必要
【答案】A
【分析】根据平面的位置关系及充分、必要性定义判断题设条件间的推出关系，即可得答案.
【详解】如下图示，若线段、的中点、都在平面内，
则的三个顶点到平面的距离相等，
此时，所在平面与平面不平行，
即“平面与平面平行”“点、、到平面的距离都相等”；
若平面与平面平行，则点、、到平面的距离都相等，
即“平面与平面平行”“点、、到平面的距离都相等”，
所以，“平面与平面平行”是“点、、到平面的距离都相等”的充分非必要条件.
故选：A.
15．已知复数z满足，则复数z的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】设，代入，由复数相等的条件列等式即可求解.
【详解】设，
复数满足，
，
化为，
解得，或，
，或1，或.
故选：D.
16．图（1）是某条公共汽车线路收支差额关于乘客量的图象，图（2）､（3）是由于目前本条路线亏损，公司有关人员提出的两种扭亏为盈的建议，则下列说法错误的是（ ）
A．图（1）的点的实际意义为：当乘客量为0时，亏损1个单位
B．图（1）的射线上的点表示当乘客量小于3时将亏损，大于3时将盈利
C．图（2）的建议为降低成本而保持票价不变
D．图（3）的建议为降低成本的同时提高票价
【答案】D
【分析】根据一次函数的性质，结合选项逐一判断即可.
【详解】A：当时，，所以当乘客量为0时，亏损1个单位，故本选项说法正确；
B：当时，，当时，，所以本选项说法正确；
C：降低成本而保持票价不变，两条线是平行，所以本选项正确；
D：由图可知中：成本不变，同时提高票价，所以本选项说法不正确，
故选：D
三、解答题
17．如图，正四棱柱中，．
(1)求证：是锐角三角形；
(2)求异面直线与所成的角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积计算夹角即可；
（2）利用空间向量计算线线夹角即可.
【详解】（1）由题意不妨设，
如图建立空间直角坐标系，则，
则，
所以，即是等腰三角形，且为顶点，
由，即该等腰三角形的顶角为锐角，
所以是锐角三角形；
（2）由上可知，
故，
所以异面直线与所成的角的大小为
18．已知数列、的各项均为正数，且对任意，都有，，成等差数列，，，成等比数列，且，．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列、的通项公式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意可得，联立化简变形可得即证；
（2）由（1）可得，即可求出数列的通项，结合即可求出数列的通项.
【详解】（1）因为、、成等差数列，、、成等比数列，
所以①，②，
又数列、的各项均为正数，
则由②可得③，
将③代入①，得对任意，有，
即，
所以数列是等差数列.
（2）设数列的公差为，
由，
得，，
所以，
由已知，当时，，
而也满足此式，
所以，.
19．某矿物质有A、B两种冶炼方法，若使用A方法，所需费用（单位：千元）与矿物质的重量（单位：吨）的平方成正比，若使用B方法，所需费用（单位：千元）与矿物质的重量（单位：吨）成正比，已知用A方法冶炼2吨、用B方法冶炼1吨所需的总费用为14千元，用A方法冶炼1吨、用B方法冶炼2吨所需的总费用也是14千元，现有该矿物质共m吨（），计划用A方法冶炼x吨（），剩余部分用B方法冶炼，所需总费用为y千元.
(1)建立y与x的函数关系：
(2)求总费用y的最小值，并说明其实际意义．
【答案】(1)，；
(2)答案见解析.
【分析】（1）由题设，令各方法费用，，再由已知列方程组求参数，即可得y与x的函数关系；
（2）由（1）有，，讨论、确定对应总费最小对应的实际意义即可.
【详解】（1）若分别表示用A、B方法的费用，表示A、B方法使用矿物重量，
所以，可设，，
由题意，，
所以，所需总费用，且.
（2）由（1）知：，，
当时，时总费用y的最小值，即全部用方法A冶炼费用最小；
当时，时总费用y的最小值，即1.5吨用方法A，剩余的用方法B，费用最小.
20．已知椭圆：，，为左右焦点，直线l过左焦点与椭圆交于A，B两点，其中A在第一象限，记，，．
(1)若椭圆的离心率为，三角形的周长为6，求椭圆的方程；
(2)求证：；
(3)直线与椭圆交于另一点，若，求的最大值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由题意，根据椭圆的定义和离心率的定义建立方程组，解之即可求解；
（2）由题意可得直线AB方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理表示，代入式子，化简计算即可证明；
（3）由题意可得直线AB方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理表示，进而可得的表达式，写出的表达式，同理可得的表达式，由可得，结合基本不等式计算即可求解.
【详解】（1）由椭圆的定义知，，
由题意知，，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）由题意知，直线AB的斜率为，则其方程为，
又为直线AB与椭圆的交点，
由，消去y，得，
所以，
则
，
即.
（3）由题意知，，所以，
所以椭圆的方程为，则，
得直线的方程为，
，消去y，得，
得，所以，
则，同理，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以的最大值为.
21．已知集合M是满足下列性质的函数的全体；在定义域内存在实数t，使得．
（1）判断是否属于集合M，并说明理由；
（2）若属于集合M，求实数a的取值范围；
（3）若，求证：对任意实数b，都有．
【答案】（1）不属于,理由详见解析；（2）；（3）详见解析.
【分析】（1）利用f（x）＝3x+2，通过f（t+2）＝f（t）+f（2）推出方程无解，说明f（x）＝3x+2不属于集合M；
（2）由属于集合M，推出有实解，即（a﹣6）x2+4ax+6（a﹣2）＝0有实解，对参数分类讨论，利用判断式求解即可；
（3）当f（x）＝2x+bx2时，方程f（x+2）＝f（x）+f（2）⇔3×2x+4bx﹣4＝0，令g（x）＝3×2x+4bx﹣4，则g（x）在R上的图象是连续的，当b≥0时，当b＜0时，判断函数是否有零点，证明对任意实数b，都有f（x）∈M．
【详解】解：（1）当时，方程
此方程无解，所以不存在实数t，使得，
故不属于集合M﹒
（2）由，属于集合M，可得
方程有实解
有实解有实解，
若时，上述方程有实解；
若时，有，解得，
故所求a的取值范围是．
（3）当时，方程
，
令，则在上的图像是连续的，
当时，，，故在内至少有一个零点
当时，，，故在内至少有一个零点
故对任意的实数b，在上都有零点，即方程总有解，
所以对任意实数b，都有．
【点睛】本题考查抽象函数的应用，函数的零点以及方程根的关系，考查转化思想以及计算能力．