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2021届上海市黄浦区高三上学期数学一模试卷及答案

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这是一份2021届上海市黄浦区高三上学期数学一模试卷及答案，共9页。试卷主要包含了填空题，单项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三上学期数学一模试卷

一、填空题

1.集合，假设，那么 ________.

2.函数的定义域是________

3. ，那么 ________.

4.幂函数的图象过点，那么 ________.

5. 是和的等差中项，是和的等比中项，那么 ________.

6.直线过点，直线的一个方向向量是，那么直线的点方向式方程是________.

7.某圆锥体的底面圆的半径长为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，那么该圆锥体的体积是________.

8. 的二项展开式中的常数项的值是，假设 (其中是虚数单位)，那么复数的模 ________.(结果用数值表示)

9.假设关于、的二元一次线性方程组的增广矩阵是，且是该线性方程组的解，那么三阶行列式中第3行第2列的元素的代数余子式的值是________.

10.某高级中学欲从本校的7位古诗词爱好者(其中男生2人､女生5人)中随机选取3名同学作为学校诗词朗读比赛的主持人．假设要求主持人中至少有一位是男同学，那么不同选取方法的种数是________．(结果用数值表示)

11.平面向量满足，向量 ( )，且对任意，总有成立，那么实数的取值范围是________.

12. ，函数，假设函数的最小值为，那么实数的取值范围是________.

二、单项选择题

13. 是空间中的三条直线，其中直线在平面上，那么“ 且〞是“ 平面〞的( )

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充要条件 D. 非充分非必要条件

14.为了得到函数的图像，可以将函数的图像〔〕

A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位

C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位

15.某企业欲做一个介绍企业开展史的铭牌，铭牌的截面形状是如下列图的扇形环面(由扇形 OAD 挖去扇形 OBC 后构成). OA=10 米，米，线段 BA 、线段 CD ､弧 BC ､弧 AD 的长度之和为 30 米，圆心角为弧度，那么关于的函数解析式是答〔〕

A. B. C. D.

16. ，函数的定义域为，假设函数在区间上有两个不同的零点，那么的取值范围是〔〕

A. B. 或

C. D.

三、解答题

17.正方体的棱长为，点是侧面的中心.

〔1〕连接，求三棱锥的体积的数值；

〔2〕求异面直线与所成角的大小〔结果用反三角函数值表示〕.

18.在中，内角所对的边分别为，假设为钝角，且 .

〔1〕求角的大小；

〔2〕记，求函数的值域.

19.实数是常数，函数 .

〔1〕求函数的定义域，判断函数的奇偶性，并说明理由；

〔2〕假设，设，记的取值组成的集合为，那么函数的值域与函数 ( )的值域相同.试解决以下问题：

〔i〕求集合；

〔ii〕研究函数在定义域上是否具有单调性？假设有，请用函数单调性定义加以证明；假设没有，请说明理由.并利用你的研究结果进一步求出函数的最小值.

20.定义：椭圆，把圆称为该椭圆的协同圆.设椭圆的协同圆为圆 ( 为坐标系原点)，试解决以下问题：

〔1〕写出协同圆圆的方程；

〔2〕设直线是圆的任意一条切线，且交椭圆于两点，求的值；

〔3〕设是椭圆上的两个动点，且，过点作，交直线于点，求证：点总在某个定圆上，并写出该定圆的方程.

21.函数的定义域为，数列满足，， (实数是非零常数).

〔1〕假设，且数列是等差数列，求实数的值；

〔2〕假设数列满足，求通项公式；

〔3〕假设，数列是等比数列，且，，试证明： .

答案解析局部

一、填空题

1.【解析】【解答】，，

那么或，

解得或，

当时，集合中有两个相同元素，〔舍去〕，

所以 .

故答案为：-1

【分析】根据元素与集合的关系进行计算即可．

2.【解析】【解答】由题得，所以 .

所以函数的定义域为〔-1，1〕.

故答案为：〔-1，1〕

【分析】对数的真数大于零，解不等式可得答案。

3.【解析】【解答】∵ ，而，

∴ .

故答案为： .

【分析】利用诱导公式化简即可求解。

4.【解析】【解答】设幂函数，

因为的图象过点，

所以，

解得

所以，

故答案为：

【分析】设幂函数，根据其图象过点，那么有，解可得a的值，代入f〔x〕=xa中，可得函数的解析式，即可得答案．

5.【解析】【解答】由是和的等差中项，得，解得：

由是和的等比中项，得，解得：

故答案为：5

【分析】由等差中项的性质求得x，由等比中项的性质求得y2 ，从而可得结论．

6.【解析】【解答】因为直线过点，它的一个方向向量为，

所以，直线的点方向式方程为 .

故答案为： .

【分析】由直线的方向向量即可求出直线的斜率，进而可以求解．

7.【解析】【解答】因为圆锥体的底面圆的半径长为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，

圆锥的母线长

圆锥的高

圆锥的体积

故答案为：

【分析】先求出圆锥的母线长，再求出圆锥的高，由此能求出该圆锥体的体积．

8.【解析】【解答】的二项展开式的通项为：

令，得，可得常数项为

，那么复数的模

故答案为：5

【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出a的值，根据复数相等，求出z，可得z的模．

9.【解析】【解答】由题意可知是二元一次线性方程组的解，所以，，解得 .

所以，三阶行列式中第3行第2列的元素的代数余子式的值为 .

故答案为：4.

【分析】根据增广矩阵与方程组的解求出m、n的值，再根据余子式的定义知在行列式中划去第3行第2列后所余下的2阶行列式，求值即可．

10.【解析】【解答】要求主持人中至少有一位是男同学，那么不同选取方法的种数是

．

故答案为：25

【分析】根据题意，用排除法分析：先计算从7人中随机选取3名同学的选法，再排除其中都是女生，没有男生的选法，即可得答案．

11.【解析】【解答】由题设，，

∴ ，

由条件，得：，

整理得：对任意成立，即，

∴ ，解得 .

故答案为： .

【分析】由题设，，根据，整理得对任意成立，即，构造出k的不等式，解不等式可得实数的取值范围．

12.【解析】【解答】，解得 .

，

其中， .

函数图象如图，

当时，，故，即，

化简得到，故或；

当时，，解得或 .

当时，，故，即，

化简得到，故或 .

综上所述： .

故答案为：[0,1].

【分析】根据函数的单调性，求出函数的最小值，得到关于b的方程，求出b的范围即可．

二、单项选择题

13.【解析】【解答】命题p：假设“ 且〞，那么“ 平面〞，命题q：假设“ 平面〞，那么，“ 且〞，

命题p的条件真时，假设a//b ， l可能与平面平行、斜交、垂直相交、还有可能在面内，即结论不一定成立，即p是假命题；

命题q的条件真时，由线面垂直的定义知，其结论必真，即q是真命题，

所以“ 且〞是“ 平面〞的必要非充分条件.

故答案为：B

【分析】 “l⊥a且l⊥b〞，当且仅当a，b相交时，“l⊥平面α〞，反之，“l⊥平面α〞⇒“l⊥a且l⊥b〞，从而“l⊥a且l⊥b〞是“l⊥平面α〞的必要不充分条件．

14.【解析】【解答】函数

所以将函数的图象向右平移个单位，即可得到的图象，即得到函数的图象.

故答案为：C.

【分析】函数通过两角和与差的三角函数化简函数的解析式，由条件根据函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，可得结论．

15.【解析】【解答】根据题意，利用弧长公式可知弧〔米〕，弧〔米〕，

整理得：

故答案为：A

【分析】根据弧长公式和周长列方程得出θ关于x的函数解析式；

16.【解析】【解答】

令，利用参数别离法得，令

函数在区间上有两个不同的零点，转化为函数的图像与直线在区间上有两个交点，

作出函数的草图，如下列图：

由图可知，的取值范围是：

故答案为：A

【分析】令，利用参数别离法得，令，函数在区间上有两个不同的零点，转化为函数的图像与直线在区间上有两个交点，数形结合，求出k的范围即可．

三、解答题

17.【解析】【分析】〔1〕推出平面，由此能求出三棱锥的体积；
〔2〕推导出，得到就是异面直线与所成的角〔或补角〕，，由此能求出异面直线与所成的角的大小．

18.【解析】【分析】〔1〕根据正弦定理化简等式可求，结合A为钝角，即可求解A的值；
〔2〕由三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用可求，进而可求范围 ,利用正弦函数的性质即可求解．

19.【解析】【分析】〔1〕根据二次根式的性质求出函数的定义域，根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可；
〔2〕〔i〕设 ( )，那么，求出t的范围，从而求出D即可；
〔ii〕根据函数的单调性求出g〔t〕的最小值，从而求出f〔x〕的最小值即可．

20.【解析】【分析】〔1〕由椭圆方程结合协同圆的定义可得该椭圆的协同圆的方程；
〔2〕设，那么，分直线l的斜率存在和不存在两种情况求的值；
〔3〕由M、N是椭圆C上的两个动点，且，设，那么，然后分直线OM、ON中有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在两种情况加以讨论，结合等面积法求得为定值，可得点H在圆心为坐标原点，半径为的圆上，并求得该定圆的方程．