2023-2024学年甘肃省平凉市庄浪县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年甘肃省平凉市庄浪县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在下列计算中，不能用平方差公式计算的是( )
A. (x3−y3)(x3+y3)B. (c2−d2)(d2+c2)
C. (−a−b)(a−b)D. (m−n)(−m+n)
2.已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是( )
A. 5B. 6C. 11D. 16
3.已知a+b=3，则a2−b2+6b的值为( )
A. 3B. 6C. 8D. 9
4.如图，∠ACB>90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为D、E、F，中AC边上的高为( )
A. BE
B. CD
C. CF
D. AD
5.下面是小林做的4道作业题：(1)2ab+3ab=5ab；(2)2ab−3ab=−ab；(3)2ab−3ab=6ab；(4)2ab÷3ab=23.做对一题得2分，则他共得到( )
A. 2分B. 4分C. 6分D. 8分
6.一个正多边形，它的一个外角等于与它相邻的内角的14，则这个多边形是( )
A. 正十二边形B. 正十边形C. 正八边形D. 正六边形
7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且BD=12cm，则AC的长是( )
A. 12cmB. 6cmC. 4cmD. 6 3cm
8.如图所示，△ABD≌△AEC，且AB=8，BD=7，AD=6，则BC为( )
A. 7
B. 8
C. 6
D. 2
9.如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N.若△PMN的周长是5cm，则P1P2的长为( )
A. 3cm
B. 4cm
C. 5cm
D. 6cm
10.一项工程，甲独做要x天完成，乙独做要y天完成，则甲、乙合做完成工程需要的天数为( )
A. x+yB. x+y2C. xyx+yD. x+yxy
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=10，AD是∠BAC平分线，则BD=______．
12.分解因式：ab2−4ab+4a= ．
13.若a2+b2=2，a+b=3，则ab的值为______．
14.如图，一个正五边形和一个正六边形有一个公共顶点O，则∠1+∠2= ______ ．
15.若am=2，an=5，则a2m+n= ______ ．
16.如图△ABC中，∠A：∠B=1：2，DE⊥AB于E，且∠FCD=75°，则∠D= ______ ．
三、解答题：本题共11小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算：
(1)(x−2)2−(x−3)(x+3)；
(2)x2+2xx2−1÷(x+1+2x+1x−1)．
18.(本小题5分)
先化简，再求值：[(a−2b)2−(a−2b)(a+2b)−4b]÷(−2b)，其中a=1，b=−2．
19.(本小题5分)
先化简，再求值：2xx+1−2x+4x2−1÷x+2x2−2x+1，其中x=8．
20.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6．
(1)根据要求用尺规作图：作∠CAB的平分线交BC于点D；(不写作法，只保留作图痕迹．)
(2)在(1)的条件下，CD=1，求△ADB的面积．
21.(本小题8分)
水果店老板用600元购进一批水果，很快售完；老板又用1250元购进第二批水果，所购件数是第一批的2倍，但进价比第一批每件多了5元，问第一批水果每件进价多少元？
22.(本小题10分)
为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的32倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．
(1)甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
(2)若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？
23.(本小题10分)
如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F.求证：BF=2CF．
24.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D、E.求证：CE=13AC．
25.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于M，交AC于N．
(1)若∠ABC=70°，求∠MNA的度数．
(2)连接NB，若AB=8cm，△NBC的周长是14cm.求BC的长．
26.(本小题8分)
如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE.求证：BD=CE．
27.(本小题12分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，点D是斜边AB的中点．点E从点B出发以1cm/s的速度向点C运动，点F同时从点C出发以一定的速度沿射线CA方向运动，规定当点E到终点C时停止运动．设运动的时间为x秒，连接DE、DF．
(1)求△ABC的面积；
(2)当x=1且点F运动的速度也是1cm/s时，求证：DE=DF；
(3)若动点F以3cm/s的速度沿射线CA方向运动，在点E、点F运动过程中，如果存在某个时间x，使得△ADF的面积是△BDE面积的两倍，请你求出时间x的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、对于(x3−y3)(x3+y3)可以令a=x3，b=y3，则原式可以化为(a−b)(a+b)符合平方差公式，故此选项不符合题意；
B、(c2−d2)(d2+c2)可以令a=c2，b=d2，则原式可以化为(a−b)(a+b)符合平方差公式，故此选项不符合题意；
C、(−a−b)(a−b)=−(a+b)(a−b)，(a−b)(a+b)符合平方差公式，故此选项不符合题意；
D、(m−n)(−m+n)=−(m−n)(m−n)，不符合平方差公式，故此选项符合题意；
故选：D．
根据平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2进行逐一判断即可．
本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键．平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即(a+b)(a−b)=a2−b2．
2.【答案】C
【解析】解：设此三角形第三边的长为x，
则10−4故选：C．
设此三角形第三边的长为x，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出符合条件的x的值即可．
本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
3.【答案】D
【解析】解：∵a+b=3，
∴a2−b2+6b
=(a+b)(a−b)+6b
=3(a−b)+6b=3a+3b
=3(a+b)
=3×3
=9．
故选：D．
由a2−b2+6b=(a+b)(a−b)+6b逐步代入可得答案．
本题考查的是代数式的求值，考查了用平方差公式分解因式，掌握整体代入的方法是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：△ABC中，画AC边上的高，是线段BE．
故选：A．
从三角形的一个顶点向它的对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．根据此概念求解即可．
本题考查了三角形的高线的定义，是基础题，准确识图并熟记高线的定义是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：(1)2ab+3ab=5ab，正确；
(2)2ab−3ab=−ab，正确；
(3)∵2ab−3ab=−ab，∴2ab−3ab=6ab错误；
(4)2ab÷3ab=23，正确．3道正确，得到6分，
故选：C．
这几个式子的运算是合并同类项的问题，根据合并同类项的法则，即系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．
本题主要考查合并同类项得法则．即系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．
6.【答案】B
【解析】解：设外角为x°，
由题意得，x=14(180−x)，
解得x=36，
360°÷36°=10，
所以，这个多边形是正十边形．
故选：B．
设外角为x°，根据外角和与它相邻的内角为邻补角列方程求出x，再根据外角和等于360°列式计算即可得解．
本题考查了多边形内角与外角，根据相邻的内角和外角互为邻补角列出方程是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解；∵AB边的垂直平分线交AB于E，交BC于D(已知)，
∴AD=BD(线段垂直平分线的性质)，
∴∠DAE=∠B=15°且AD=BD=12cm(等腰三角形的性质)，
∴∠ADC=30°(外角的性质)，
∴AC=12AD=6cm．
故选：B．
利用线段垂直平分线的性质得AD=BD，利用等腰三角形的性质得∠DAE=∠B=15°且AD=BD=12cm，再利用外角的性质得∠ADC=30°，解直角三角形即可得AC的值．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质和含30°角的直角三角形的性质等知识；得到∠ADC=30°是正确解答本题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵△ABD≌△ACE，
∴AD=AC=6，
又∵AB=8，
∴BC=8−6=2，
故选：D．
根据全等三角形的对应边相等得出AD=AC=6，代入AB−AC即可求出答案．
本题考查了全等三角形的性质，注意：全等三角形的对应边相等．
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
根据轴对称的性质可得PM=P1M，PN=P2N，然后求出△PMN的周长=P1P2．
【解答】
解：∵P点关于OA、OB的对称点P1、P2，
∴PM=P1M，PN=P2N，
∴△PMN的周长=PM+MN+PN=P1M+MN+P2N=P1P2，
∵△PMN的周长是5cm，
∴P1P2=5cm．
故选：C．
10.【答案】C
【解析】解：甲的工作效率是1x，乙的工作效率是1y，工作总量是1．
∴两人合做完成这项工程所需的天数是1÷(1x+1y)=11x+1y=xyx+y．
故选：C．
设工作总量为1，两人合做完成这项工程所需的天数=1÷(甲乙工作效率之和)．
此题主要考查了列代数式，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，找到其中的数量关系，工程问题要有“工作效率”，“工作时间”，“工作总量”.三个要素数量关系：工作效率×工作时间=工作总量．
11.【答案】5
【解析】解：∵AB=AC，∠BAC的平分线交BC边于点D，BC=10，
∴BD=CD=12BC=5，
故答案为：5．
由等腰三角形的性质得出BD=CD=12BC即可．
本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解等腰三角形三线合一的性质，难度不大．
12.【答案】a(b−2)2
【解析】解：ab2−4ab+4a
=a(b2−4b+4)
=a(b−2)2．
故答案为：a(b−2)2．
先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2−2ab+b2=(a−b)2．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
13.【答案】72
【解析】解：把a+b=3两边平方得：(a+b)2=9，即a2+b2+2ab=9，
将a2+b2=2代入得：2+2ab=9，
解得：ab=72，
故答案为：72
把a+b=3两边平方，利用完全平方公式化简，将第一个等式代入计算即可求出ab的值．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
14.【答案】132°
【解析】解：∵正五边形的每个内角度数=180°−360°÷5=108°，
正六边形的每个内角度数=180°−360°÷6=120°，
∴∠1+∠2+108°+120°=360°，
∴∠1+∠2=132°．
故答案为：132°．
求出正五边形和正六边形每个内角的度数，即可解决问题．
本题考查多边形的有关知识，关键是掌握多边形的内角度数求法：180°−360°÷n．
15.【答案】20
【解析】解：∵am=2，an=5，
∴原式=(am)2×an=20，
故答案为：20
原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则变形，将已知等式代入计算即可求出值．
此题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16.【答案】40°
【解析】【分析】
本题考查了直角三角形的性质，垂直定义，三角形内角和定理，三角形外角性质的应用，关键是求出∠DFC的度数．
先根据∠FCD=75°及三角形内角与外角的性质及∠A：∠B=1：2可求出∠A的度数，再由DE⊥AB及三角形内角和定理解答可求出∠AFE的度数，再根据三角形内角和定理即可求出答案．
【解答】
解：∵∠FCD=75°，
∴∠A+∠B=75°，
∵∠A：∠B=1：2，
∴∠A=13×75°=25°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠AFE=90°−∠A=90°−25°=65°，
∴∠CFD=∠AFE=65°，
∵∠FCD=75°，
∴∠D=180°−∠CFD−∠FCD=180°−65°−75°=40°．
故答案为：40°
17.【答案】解：(1)(x−2)2−(x−3)(x+3)
=x2−4x+4−(x2−9)
=x2−4x+4−x2+9
=−4x+13；
(2)x2+2xx2−1÷(x+1+2x+1x−1)
=x(x+2)(x+1)(x−1)÷(x+1)(x−1)+2x+1x−1
=x(x+2)(x+1)(x−1)÷x2+2xx−1
=x(x+2)(x+1)(x−1)⋅x−1x(x+2)
=1x+1．
【解析】(1)利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答；
(2)先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
本题考查了分式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：[(a−2b)2−(a−2b)(a+2b)−4b]÷(−2b)
=(a2+4b−4ab−a2+4b2−4b)÷(−2b)
=(−4ab+4b2)÷(−2b)
=2a−2b，
当a=1，b=−2时，原式=2×1−2×(−2)=6．
【解析】先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，再算除法，最后代入求出结果即可．
本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解答此题的关键，要正确运用运算顺序．
19.【答案】解：原式=2xx+1−2(x+2)(x+1)(x−1)⋅(x−1)2x+2
=2xx+1−2x−2x+1
=2x+1，
当x=8时，
原式=29．
【解析】根据分式的运算法则对原式进行化简，再把x的值代入即可求出答案．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是能够熟练运用分式的运算法则对原式进行化简，本题属于基础题型．
20.【答案】解：(1)如图所示，AD即为所求；
(2)如图所示，过D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=CD=1，
又∵AB=6，
∴△ADB的面积=12AB×DE=12×6×1=3．
【解析】(1)利用尺规作图，作∠CAB的平分线交BC于点D；
(2)过D作DE⊥AB于E，依据角平分线的性质，即可得到DE的长，进而得出△ADB的面积．
本题主要考查了角平分线的性质的运用，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
21.【答案】解：设第一批水果每件进价为x元，则第二批水果每件进价为(x+5)元，
由题意得，600x×2=1250x+5，
解得：x=120，
经检验：x=120是原分式方程的解，且符合题意．
答：第一批水果每件进价为120元．
【解析】设第一批水果每件进价为x元，则第二批水果每件进价为(x+5)元，根据用1250元所购件数是第一批的2倍，列方程求解．
本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
22.【答案】解：(1)设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为32x米，
根据题意，得360x−36032x=3，
解得x=40，
经检验，x=40是原分式方程的解，且符合题意，
∴32x=32×40=60．
即乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米．
(2)设安排甲队工作m天，则安排乙队工作1200−60m40天，
根据题意，得7m+5×1200−60m40≤145，解得m≥10．
即至少安排甲队工作10天．

【解析】本题主要考查了分式方程的应用和不等式的应用，关键是根据题意中的等量关系得出分式方程，利用不等关系得出不等式．
(1)先设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为32x米，根据甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天可得分式方程，解方程并检验可得结果；
(2)先设安排甲队工作m天，则安排乙队工作1200−60m40天，根据改造总费用不超过145万元得出不等式，解不等式即可确定结论．
23.【答案】证明：连接AF，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=180°−120°2=30°，
∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，
∴CF=AF(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)，
∴∠FAC=∠C=30°(等边对等角)，
∴∠BAF=∠BAC−∠FAC=120°−30°=90°，
在Rt△ABF中，∠B=30°，
∴BF=2AF(在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半)，
∴BF=2CF(等量代换)．
【解析】利用辅助线，连接AF，求出CF=AF，∠BAF=90°，再根据AB=AC，∠BAC=120°可求出∠B的度数，由直角三角形的性质即可求出BF=2AF=2CF．
本题考查的是线段垂直平分线的性质(垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等)有关知识，难度一般．
24.【答案】证明：连接BE，
∵DE为AB边为垂直平分线，
∴BE=AE．
∵∠A=30°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，
∴∠EBA=∠A=30°，
在Rt△BCE中，∠EBC=∠ABC−∠EBA=30°，
∴EC=12BE=12AE，
∴CE=13AC．
【解析】连接BE，由垂直平分线的性质可求得∠EBC=∠ABE=∠A=30°，在Rt△BCE中，由直角三角形的性质可证得BE=2CE，则可证得结论；
本题主要考查线段垂直平分线的性质和直角三角形30度角的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
25.【答案】(1)∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠A=40°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AN=BN，
∴∠ABN=∠A=40°，
∴∠ANB=100°，
∴∠MNA=50°；
(2)∵AN=BN，
∴BN+CN=AN+CN=AC，
∵AB=AC=8cm，
∴BN+CN=8cm，
∵△NBC的周长是14cm．
∴BC=14−8=6cm．
【解析】本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
(1)根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=70°，求得∠A=40°，根据线段的垂直平分线的性质得出AN=BN，进而得出∠ABN=∠A=40°，根据三角形内角和定理就可得出∠ANB=100°，根据等腰三角形三线合一就可求得∠MNA=50°；
(2)根据△NBC的周长=BN+CN+BC=AN+NC+BC=AC+BC就可求得．
26.【答案】证明：如图，过点A作AP⊥BC于P．
∵AB=AC，
∴BP=PC；
∵AD=AE，
∴DP=PE，
∴BP−DP=PC−PE，
∴BD=CE．
【解析】本题考查等腰三角形的性质；做题时，两次用到三线合一的性质，由等量减去等量得到差相等是解答本题的关键；
要证明线段相等，只要过点A作BC的垂线，利用三线合一得到P为DE及BC的中点，线段相减即可得证．
27.【答案】(1)解：∵S△ABC=12AC×BC，
∴S△ABC=12×4×4=8(cm2)；
(2)证明：如图：连接CD，

∵AC=BC，D是AB中点，
∴CD平分∠ACB，
又∵∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，
∴CD=BD，
依题意得：BE=CF，
在△CDF与△BDE中，
BE=CF∠B=∠DCABD=CD，
∴△CDF≌△BDE(SAS)，
∴DE=DF；
(3)解：如图：过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，

∵AD=BD，∠A=∠B=45°，∠AND=∠DMB=90°，
∴△ADN≌△BDM(AAS)，
∴DN=DM，
∵S△ADF=2S△BDE，
∴12×AF×DN=2×12×BE×DM，
∴|4−3x|=2x，
∴x1=4，x2=45，
综上所述：当x=45或4时，使得△ADF的面积是△BDE面积的两倍．
【解析】(1)直接可求△ABC的面积；
(2)连接CD，根据等腰直角三角形的性质可求：∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，即BD=CD，且BE=CF，即可证△CDF≌△BDE，可得DE=DF；
(3)由“AAS”可证△ADN≌△BDM，可得DN=DM，根据题意列出方程可求x的值．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，利用分类思想解决问题是本题的关键．