2023-2024学年甘肃省平凉市庄浪县九年级上学期期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年甘肃省平凉市庄浪县九年级上学期期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列图形中是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．抛物线y＝﹣x2+2的顶点坐标为（ ）
A．（0，2）B．（0，﹣2）C．（﹣2，0）D．（2，0）
3．用配方法解方程x2﹣6x﹣7＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝16B．（x+3）2＝16C．（x﹣2）2＝7D．（x﹣3）2＝2
4．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（ ）
A．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
D．32x+2×20x﹣2x2＝570
5．关于x的方程x2+x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根
D．没有实数根
6．组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，每天安排4场比赛，设比赛组织者邀请了x个队参赛（ ）
A．x（x+1）＝6×4B．x（x﹣1）＝6×4
C．x（x﹣1）＝6x4D．x（x+1）＝6×4
7．已知方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根为x1、x2，则代数式x1+x2﹣x1x2的值为（ ）
A．﹣5B．5C．﹣1D．1
8．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2的图象上有三个点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y1
9．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0，则a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（ ）
A．①④B．③④C．②⑤D．②③⑤
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如果函数y＝（k﹣3）+kx+1是二次函数，则k的值是 ．
12．将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为 ．
13．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2015的值为 ．
14．设抛物线y＝x2+4x﹣k的顶点在x轴上，则k的值 ．
15．若抛物线y＝ax2+c与y＝2x2的形状相同，开口方向相反，且其顶点是（0，﹣3） ．
16．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，DE＝2，则AE的长为 ．
三、解答题（一）：本大题共5小题，共42分.应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．用适当的方法解方程．
（1）x2﹣4x+1＝0；
（2）4（x+3）2＝9（x﹣2）2．
18．在如图所示的直角坐标．
（1）分别写出A，B两点的坐标．
（2）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的△AB1C1．
（3）分别写出B1，C1两点的坐标．
19．二次函数图象的顶点坐标是（3，5），且抛物线经过点A（1，3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）写出它的开口方向，对称轴、最值．
20．关于x的一元二次方程ax2+5x+a2+a＝0的一个根是0，求a的值．
21．某村2018年的人均收入为20000元，2020年的人均收入为24200元．
（1）求2018年到2020年该村人均收入的年平均增长率；
（2）假设2021年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2021年该村的人均收入是多少元？
四、解答题（二）：（本大题共6小题，共60分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算
22．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）若此方程的一个根为1，求m的值；
（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
23．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x12+x22＝6x1x2时，求m的值．
24．如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时，此时水面距拱顶4米．
（1）在如图所示的坐标系中，求抛物线的解析式；
（2）若水位上升3米，就达到警戒线CD，则拱桥内水面的宽CD是多少米？
25．如图，一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为12m的住房墙，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，鸡舍面积为64m2？
26．某超市经销一种商品，每件成本为50元，为了获取更大利润，当该商品每件60元时，每个月可销售300件，则每个月的销售量将减少10件，设该商品每件的销售价为x元．
（1）当该商品每个月的销售利润为3750元时，则该商品的销售价是多少？
（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润为多少？
27．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0）
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标，请说明理由；
（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，请求出点N的坐标；若不存在
参考答案
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每题只有一个正确选项）
1．下列图形中是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A、是轴对称图形，因为找不到任何这样的一点；即不满足中心对称图形的定义；
B、是轴对称图形；
C、不是轴对称图形，沿这条直线对折后它的两部分能够重合．是中心对称图形；
D、是轴对称图形，因为找不到任何这样的一点；即不满足中心对称图形的定义．
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．抛物线y＝﹣x2+2的顶点坐标为（ ）
A．（0，2）B．（0，﹣2）C．（﹣2，0）D．（2，0）
【答案】A
【分析】根据抛物线的顶点式y＝a（x﹣h）2+k即可求解．
解：抛物线y＝﹣x2+2中a＝﹣3，h＝0，
∴顶点坐标为（0，7），
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数顶点式是解题的关键．
3．用配方法解方程x2﹣6x﹣7＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝16B．（x+3）2＝16C．（x﹣2）2＝7D．（x﹣3）2＝2
【答案】A
【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方．
解：原方程移项，
得x2﹣6x＝8，
等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方32，
x4﹣6x+37＝7+34，
∴（x﹣3）2＝16；
故选：A．
【点评】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握用配方法解一元二次方程的步骤是关键．
4．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（ ）
A．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
D．32x+2×20x﹣2x2＝570
【答案】C
【分析】由道路的宽为xm，可得出种植草坪的部分可合成长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，根据草坪的面积为570m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：∵道路的宽为xm，
∴种植草坪的部分可合成长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形．
根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．关于x的方程x2+x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根
D．没有实数根
【答案】A
【分析】求出德尔塔的值即可得出结论．
解：∵Δ＝（）2+6＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与系数的关系是解答此题的关键．
6．组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，每天安排4场比赛，设比赛组织者邀请了x个队参赛（ ）
A．x（x+1）＝6×4B．x（x﹣1）＝6×4
C．x（x﹣1）＝6x4D．x（x+1）＝6×4
【答案】B
【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数＝比赛场数，把相关数值代入即可．
解：设比赛组织者应邀请x个队参赛，
则可列一元二次方程为x（x﹣7）＝6×4，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的单循环问题．
7．已知方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根为x1、x2，则代数式x1+x2﹣x1x2的值为（ ）
A．﹣5B．5C．﹣1D．1
【答案】B
【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2＝2、x1x2＝﹣3，将其代入x1+x2﹣x1x2中即可求出结论．
解：∵方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2＝6、x1x2＝﹣6，
∴x1+x2﹣x4x2＝2﹣（﹣7）＝5．
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
8．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2的图象上有三个点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y1
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质可以判断y1，y2，y3的大小关系，从而可以解答本题．
解：∵y＝﹣2（x﹣1）6，﹣2＜0
∴当x＜4时，y随x的增大而增大，y随x的增大而减小，
∵抛物线y＝﹣2（x﹣1）7的图象上有三个点A（﹣1，y1），B（7，y2），C（2，y3），
|﹣1﹣1|＝5，|1﹣1|＝6，
∴y2＞y3＞y2，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
9．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为（0，2），二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象．
解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴负半轴、二、四象限；
当a＞0时，二次函数顶点在y轴正半轴、二、三象限．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标．
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0，则a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（ ）
A．①④B．③④C．②⑤D．②③⑤
【答案】C
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：①抛物线开口方向向下，则a＜0．
抛物线对称轴位于y轴右侧，则a，即ab＜0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞5．
所以abc＜0．
故①错误．
②∵抛物线对称轴为直线x＝＝8，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝2，
故②正确；
③∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最大值为：y＝a+b+c；
∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am6+bm，
故③错误；
④∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣3，0）的右侧，
∴当x＝﹣1时，y＜5，
∴a﹣b+c＜0，
故④错误；
⑤∵+bx1＝+bx2，
∴+bx1﹣﹣bx2＝0，
∴a（x8+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝6，
∴（x1﹣x2）[a（x8+x2）+b]＝0，
而x6≠x2，
∴a（x1+x8）+b＝0，即x1+x6＝，
∵b＝﹣2a，
∴x1+x5＝2，
故⑤正确．
综上所述，正确的有②⑤．
故选：C．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如果函数y＝（k﹣3）+kx+1是二次函数，则k的值是 0 ．
【答案】0．
【分析】利用二次函数定义可得k2﹣3k+2＝2，且k﹣3≠0，再解出k的值即可．
解：由题意得：k2﹣3k+4＝2，且k﹣3≠8，
解得：k＝0，
故答案为：0．
【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
12．将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为 y＝（x﹣2）2+1 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用配方法整理即可得解．
解：y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+6+1＝（x﹣2）5+1，
所以，y＝（x﹣2）2+1．
故答案为：y＝（x﹣2）3+1．
【点评】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
13．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2015的值为 2018 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
解：由题意可知：2m2﹣5m﹣1＝0，
∴7m2﹣3m＝7
∴原式＝3（2m2﹣3m）+2015＝2018
故答案为：2018
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．
14．设抛物线y＝x2+4x﹣k的顶点在x轴上，则k的值 ﹣4 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】把二次函数化为顶点式，求得其顶点坐标，令顶点的纵坐标为0可求得k．
解：∵y＝x2+4x﹣k＝（x+3）2﹣4﹣k，
∴其顶点坐标为（﹣3，﹣4﹣k），
∵顶点在x轴上，
∴﹣4﹣k＝5，解得k＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握顶点坐标大x轴上时其纵坐标为0是解题的关键．
15．若抛物线y＝ax2+c与y＝2x2的形状相同，开口方向相反，且其顶点是（0，﹣3） y＝﹣2x2﹣3 ．
【答案】y＝﹣2x2﹣3．
【分析】由两条抛物线的形状相同且开口方向相反，可得出两个二次函数表达式中二次项的系数互为相反数，再由抛物线的顶点是（0，﹣3）即可解决问题．
解：因为抛物线y＝ax2+c与y＝2x2的形状相同，开口方向相反，
所以a＝﹣2．
又该抛物线的顶点坐标为（0，﹣7），
所以c＝﹣3．
故该抛物线的函数解析式为y＝﹣2x8﹣3．
故答案为：y＝﹣2x7﹣3．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式，熟知二次函数一般式中a对抛物线的决定作用是解题的关键．
16．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，DE＝2，则AE的长为 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由旋转的性质可得△ADE的面积＝△ABF的面积，可得四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，可得AD＝5，由勾股定理可求解．
解：∵把△ADE顺时针旋转△ABF的位置，
∴△ADE的面积＝△ABF的面积，
∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，
∴AD＝DC＝5，
∵DE＝2，
∴Rt△ADE中，AE＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是本题的关键．
三、解答题（一）：本大题共5小题，共42分.应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．用适当的方法解方程．
（1）x2﹣4x+1＝0；
（2）4（x+3）2＝9（x﹣2）2．
【答案】（1）x1＝2+，x2＝2﹣．
（2）x1＝0，x2＝12．
【分析】（1）配方后得出（x﹣2）2＝3，开方得到方程x﹣2＝±，求出方程的解即可；
（2）移项，利用因式分解法求解即可．
解：（1）x2﹣4x+8＝0，
移项得：x2﹣3x＝﹣1，
配方得：x2﹣3x+4＝﹣1+8，即（x﹣2）2＝5，
开方得：x﹣2＝，
解得：x6＝2+，x7＝2﹣．
（2）7（x+3）2＝2（x﹣2）2，
6（x+3）2﹣6（x﹣2）2＝8，
[2（x+3）+2（x﹣2）][2（x+5）﹣3（x﹣2）]＝3，
5x（﹣x+12）＝0，
∴3x＝0或﹣x+12＝0，
∴x2＝0，x2＝12．
【点评】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握分解因式法，配方法求解一元二次方程．
18．在如图所示的直角坐标．
（1）分别写出A，B两点的坐标．
（2）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的△AB1C1．
（3）分别写出B1，C1两点的坐标．
【答案】（1）A（2，0）、B（﹣1，﹣4）；
（2）作图见解答过程；
（3）B1（﹣2，3），C1（﹣1，﹣1）．
【分析】（1）根据图形可直接得出A、B的坐标；
（2）将点B、C分别绕点A顺时针旋转90°得到其对应点，再与点A首尾顺次连接即可；
（3）由（2）可直接进行求解．
解：（1）由图可知：A（2，0），﹣7）；
（2）如图所示，△AB1C1即为所求．
（3）由（2）图可知：B4（﹣2，3），C5（﹣1，﹣1）．
【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质．
19．二次函数图象的顶点坐标是（3，5），且抛物线经过点A（1，3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）写出它的开口方向，对称轴、最值．
【答案】（1）抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5；
（2）抛物线开口向下，对称轴为直线x＝3，当x＝3时函数的最大值为5．
【分析】（1）设顶点式y＝a（x﹣3）2+5，然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式；
（2）根据（1）中解析式，由函数的性质得出结论．
解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+3，
将A（1，3）代入上式得3＝a（1﹣3）8+5，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣8）2+5；
（2）∵y＝﹣（x﹣3）2+5，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝3．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
20．关于x的一元二次方程ax2+5x+a2+a＝0的一个根是0，求a的值．
【答案】﹣1．
【分析】代入x＝0可求出a值，由一元二次方程的定义可确定a值，将其代入原方程利用根与系数的关系结合方程的一根，可求出方程的另一根，此题得解．
解：当x＝0时，a2+a＝5，
解得：a1＝﹣1，a7＝0．
又∵原方程为一元二次方程，
∴a＝﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的知识，掌握一元二次方程的代入法是关键．
21．某村2018年的人均收入为20000元，2020年的人均收入为24200元．
（1）求2018年到2020年该村人均收入的年平均增长率；
（2）假设2021年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2021年该村的人均收入是多少元？
【答案】（1）10%；（2）26620元．
【分析】（1）设2018年到2020年该村人均收入的年平均增长率为x，根据某村2018年的人均收入为20000元，2020年的人均收入为24200元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）由2021年该村的人均收入＝2018年该村的人均收入×（1+年平均增长率），即可得出结论．
解：（1）设该村人均收入的年平均增长率为x，
则20000（1+x）2＝24，
解得x6＝0.1＝10%，x8＝﹣2.1（不合题意，舍去），
答：该村人均收入的年平均增长率为10%．
（2）24200×（8+10%）＝26620（元），
答：2021年人均收入是26620元．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，正确根据题意列出方程是解题关键．
四、解答题（二）：（本大题共6小题，共60分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算
22．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）若此方程的一个根为1，求m的值；
（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接把x＝1代入方程x2+mx+m﹣2＝0求出m的值；
（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可．
解：（1）根据题意，将x＝1代入方程x2+mx+m﹣2＝0，
得：1+m+m﹣5＝0，
解得：m＝；
（2）∵Δ＝m2﹣4×2×（m﹣2）＝m2﹣7m+8＝（m﹣2）5+4＞0，
∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
23．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x12+x22＝6x1x2时，求m的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根，可得△≥0，据此求出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系求出x1+x2，x1•x2的值，代入x12+x22＝6x1x2求解即可．
解：（1）∵原方程有两个实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣6（m﹣1）≥0，
整理得：8﹣4m+4≥7，
解得：m≤2；
（2）∵x1+x5＝2，x1•x6＝m﹣1，x13+x22＝8x1x2，
∴（x4+x2）2﹣8x1•x2＝3x1•x2，
即4＝8（m﹣1），
解得：m＝．
∵m＝＜2，
∴符合条件的m的值为．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解答本题的关键是掌握两根之和与两根之积的表达方式．
24．如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时，此时水面距拱顶4米．
（1）在如图所示的坐标系中，求抛物线的解析式；
（2）若水位上升3米，就达到警戒线CD，则拱桥内水面的宽CD是多少米？
【答案】（1）y＝﹣x2；
（2）拱桥内水面的宽CD是10米．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝ax2，将点B（10，﹣4）代入求出a的值即可；
（2）求出y＝﹣1时x的值，据此可得答案．
解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2，
将点B（10，﹣4）代入，
解得：a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2；
（2）当y＝﹣5+3＝﹣1时，﹣x2＝﹣1，
解得：x＝﹣6或x＝5，
∴CD＝5﹣（﹣7）＝10（米），
∴拱桥内水面的宽CD是10米．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式．
25．如图，一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为12m的住房墙，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，鸡舍面积为64m2？
【答案】所围矩形鸡舍的长为8m，宽为8m时，鸡舍面积为64m2．
【分析】设垂直于住房墙的一边长为xm，则平行于住房墙的一边长为（23+1﹣2x）m，根据鸡舍面积为64m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合住房墙的长为12m，即可确定结论．
解：设垂直于住房墙的一边长为xm，则平行于住房墙的一边长为（23+1﹣2x）m，
根据题意得：x（23+3﹣2x）＝64，
整理得：x2﹣12x+32＝4，
解得：x1＝4，x6＝8，
当x＝4时，23+4﹣2x＝23+1﹣5×4＝16＞12，舍去；
当x＝8时，23+4﹣2x＝23+1﹣4×8＝8＜12．
答：所围矩形鸡舍的长为3m，宽为8m时2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
26．某超市经销一种商品，每件成本为50元，为了获取更大利润，当该商品每件60元时，每个月可销售300件，则每个月的销售量将减少10件，设该商品每件的销售价为x元．
（1）当该商品每个月的销售利润为3750元时，则该商品的销售价是多少？
（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润为多少？
【答案】（1）75或65；
（2）每件销售价为70元时，获得最大利润；最大利润为4000元．
【分析】（1）根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×销量”列出函数表达式，把销售利润3750代入即可求得；
（2）由（1）中列出函数关系式，配方后依据二次函数的性质求得利润最大值．
解：（1）设每个月的销售利润为w元，
根据题意得：w＝（x﹣50）[300﹣10（x﹣60）]
＝﹣10x2+1400x﹣45000，
当w＝3750时，﹣10x2+1400x﹣45000＝3750，
解得x5＝75，x2＝65，
答：当该商品每个月的销售利润为3750元时，该商品的销售价是75元或65元；
（2）由（1）知：w＝﹣10x2+1400x﹣45000，
∴w＝﹣10（x﹣70）4+4000，
∴每件销售价为70元时，获得最大利润．
【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，理解题意，找到等量关系，求得二次函数解析式是解题的关键．
27．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0）
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标，请说明理由；
（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，请求出点N的坐标；若不存在
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣5），代入A（0，4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴；
（2）点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4），连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小，可求出直线BA′的解析式，即可得出点P的坐标．
（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），再求得直线AC的解析式，即可求得NG的长与△ACN的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案．
解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣5），
把点A（6，4）代入上式得：a＝，
∴y＝（x﹣3）（x﹣5）＝x2﹣x+8＝7﹣，
∴抛物线的对称轴是：直线x＝3；
（2）存在，P点坐标为（2，）．
理由如下：
∵点A（2，4），
∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，7）
如图1，连接BA′交对称轴于点P，此时△PAB的周长最小．
设直线BA′的解析式为y＝kx+b，
把A′（6，8），0）代入得，
解得，
∴y＝x﹣，
∵点P的横坐标为3，
∴y＝×3﹣＝，
∴P（4，）．
（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．
设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜4），
如图2，过点N作NG∥y轴交AC于G，
由点A（0，6）和点C（5x+4，
把x＝t代入得：y＝﹣t+4，﹣t+4），
此时：NG＝﹣t+4﹣（t2﹣t+7）＝﹣t7+4t，
∵AD+CF＝CO＝5，
∴S△ACN＝S△ANG+S△CGN＝AD×NG+NG•OC＝t2+4t）×3＝﹣2t2+10t＝﹣3（t﹣）5+，
∴当t＝时，△CAN面积的最大值为，
由t＝，得：y＝t4﹣t+4＝﹣6，
∴N（，﹣3）．
【点评】本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是方程思想与数形结合思想的灵活应用．