2023-2024学年甘肃省平凉市崆峒区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年甘肃省平凉市崆峒区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.二十四节气，是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令，蕴含着悠久的文化内涵和历史积淀，请你用数学的眼光观察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“白露”的作品，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如果三角形两边长分别是4cm、9cm，那么第三边长可能是( )
A. 5cmB. 7cmC. 13cmD. 15cm
3.如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，若DC=6，则AE的长度为( )
A. 3
B. 6
C. 9
D. 12
4.如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，这就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是( )
A. 等边对等角B. 等角对等边
C. 垂线段最短D. 等腰三角形“三线合一”
5.下列从左到右变形，是因式分解的是( )
A. 2x3−4x2+4=2x(x2−2x+2)
B. (x+3y)(x−3y)=x2−9y2
C. −2x3y+2xy3=−2xy(x+y)(x−y)
D. a(2a2+5ab−b2)=2a3+5a2b−ab2
6.如图，∠BAD=∠CAD，添加一个条件不能判断△ABD≌△ACD的是( )
A. BD=CD
B. AB=AC
C. ∠B=∠C
D. ∠ADB=∠ADC
7.分式31−x与2x互为相反数，则x的值为( )
A. 1B. −1C. −2D. −3
8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠B=60°，BD=2，则AB的长为( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
9.通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是( )
A. a(b−x)=ab−axB. b(a−x)=ab−bx
C. (a−x)(b−x)=ab−ax−bxD. (a−x)(b−x)=ab−ax−bx+x2
10.某校举办以“晋魂”为主题的综合实践活动，组织八年级学生去距离学校20km的山西博物院参观.其中一名老师带学生乘坐大巴车先走，过了10min，另一名老师乘坐小轿车出发，结果他们同时到达.已知小轿车的速度是大巴车速度的1.5倍，求大巴车的速度.若设大巴车的速度为x km/h，则可列方程为( )
A. 201.5x−20x=10B. 20x−201.5x=10C. 20x−201.5x=16D. 201.5x−20x=16
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.当x=______时，分式1−x2|x−1|的值是0．
12.2023年10月26日神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心圆满发射成功.此次航天员们将在空间站进行“空间蛋白质分子组装与应用研究”等一系列科学实验.其中某一蛋白质分子的直径仅0.000000028米，这个数用科学记数法表示为______米.
13.如果点A(−3,a)是点B(3,−4)关于y轴的对称点，那么点A关于x轴的对称点的坐标是______．
14.已知x+y=3，xy=1，则(x−2)(y−2)= ______．
15.如图，在△ABC中，AC=10，BC=6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是 ．
16.对于实数a，b，我们可以定义一种运算“⊗”为：a⊗b=ab，则方程3⊗x=2⊗(x−1)的解为______．
三、解答题：本题共11小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：(−1)2+(−13)−2−|−5|+(3−π)0．
18.(本小题6分)
分解因式：3a2−6ab+3b2．
19.(本小题6分)
解方程：1x+3−23−x=12x2−9．
20.(本小题8分)
计算(xx2+x−1)÷x2−1x2+2x+1．
21.(本小题10分)
如图，△ABC在平面直角坐标系中，其顶点坐标如下：A(−3,1)，B(−1,−2)，C(1,3)．
(1)作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，其中A，B，C分别和A1，B1，C1对应，则A1的坐标为______，B1的坐标为______.C1的坐标为______，线段AA1的长度为______；
(2)仅用直尺在x轴上确定点P的位置：使得点P到点A、点C的距离之和最小．
22.(本小题10分)
如图，在等边三角形ABC中，点B、P、Q三点在同一条直线上，且∠ABP=∠ACQ，∠BAP=∠CAQ.判断△APQ是什么形状，并说明理由．
23.(本小题8分)
如图，点E，C在线段BF上，AB=DE，BE=CF，AC=DF.求证：△ABC≌△DEF．
24.(本小题10分)
2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势.经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元，且充电100元和加油400元时，两车行驶的总里程相同.请求出电动汽车平均每公里的电费及燃油车平均每公里的油费．
25.(本小题10分)
如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BCA=90°，点D在CA上，点E在BC的延长线上，且BD=AE．
(1)求证：△BCD≌△ACE；
(2)若∠BAE=67°，求∠DBA的度数．
26.(本小题10分)
阅读下列材料并解答后面的问题：
完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2，通过配方可对a2+b2进行适当的变形，如a2+b2=(a+b)2−2ab或a2+b2=(a−b)2+2ab，从而使某些问题得到解决．
例：已知a+b=5，ab=3，求a2+b2的值．
解：a2+b2=(a+b)2−2ab=52−2×3=19．
通过对例题的理解解决下列问题：
(1)已知a−b=2，ab=3，求a2+b2的值；
(2)已知a+1a=6，求a2+1a2的值．
27.(本小题12分)
综合与探究：
如图，在△ABC中，∠ABC=∠C，BD是∠ABC的平分线，BE是AC边上的高，垂足为点E，设∠BAC=α．
(1)如图1，若α=30°，则∠C的度数为______，∠DBE的度数为______；
(2)如图2，若α=80°，则∠DBE的度数为______；
(3)试探究∠BDC与α的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A，C，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】B
【解析】解：设第三边为a cm，
根据三角形的三边关系可得：9−4解得：5故第三边可能是7厘米．
故选：B．
根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得出第三边的范围．
此题主要考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
3.【答案】A
【解析】解：∵BD是△ABC的中线，
∴CD=AD，
∵DC=6，
∴AD=6，
∵BE是△ABD的中线，
∴AE=ED=12AD=3，
故选：A．
根据BD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，可得AE=12AD=12CD，已知DC=6，可得AE的长度．
本题考查了三角形的中线，关键是掌握三角形中线的性质．
4.【答案】D
【解析】解：∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故选：D．
根据等腰三角形的性质解答即可．
本题考查等腰三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”性质是解答的关键．
5.【答案】C
【解析】解：2x3−4x2+4与2x(x2−2x+2)不相等，则A不符合题意；
(x+3y)(x−3y)=x2−9y2，它是乘法运算，不是因式分解，则B不符合题意；
−2x3y+2xy3=−2xy(x+y)(x−y)符合因式分解的定义，则C符合题意；
a(2a2+5ab−b2)=2a3+5a2b−ab2，它是乘法运算，不是因式分解，则D不符合题意；
故选：C．
因式分解就是将一个多项式化为几个整式积的形式，据此逐项判断即可．
本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：在△ABD与△ACD中，
∵∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴A、若添加BD=CD，则两三角形有两边及一边的对角对应相等，不能判定两三角形全等，故此选项符合题意；
B、若添加AB=AC，则两三角形有两边及其夹角对应相等，可利用SAS判定两三角形全等，故此选项不符合题意；
C、若添加∠B=∠C，则两三角形有两角及一角的对边对应相等，可利用AAS判定两三角形全等，故此选项不符合题意；
D、若添加∠ADB=∠ADC，则两三角形有两角及其夹边对应相等，可利用ASA判定两三角形全等，故此选项不符合题意；
故选：A．
根据全等三角形的判定定理逐项判定即可．
本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：由题意得31−x+2x=0，
去分母3x+2(1−x)=0，
解得x=−2．
经检验得x=−2是原方程的解．
故选：C．
根据互为相反数的两个数的和为零，可得关于x的分式方程，解分式方程即可．
本题考查了相反数的意义及解分式方程，记忆解分式方程的步骤是解题关键．结果要检验．
8.【答案】C
【解析】解：∵CD是AB边上的高，∠B=60°，
∴∠BCD=90°−∠B=30°，
∴BD=12BC，
∵∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠C=90°−∠B=30°，
∴BC=12AB，
∴BD=14AB，
∵BD=2，
∴AB=8．
故选：C．
由30°角的直角三角形的性质推出BD=14AB，即可求出AB的长．
本题考查含30°角的直角三角形，关键是由30°角的直角三角形的性质推出BD=14AB．
9.【答案】D
【解析】解：图1中，阴影部分=长(a−x)宽(a−2b)长方形面积，
∴阴影部分的面积=(a−x)(b−x)，
图2中，阴影部分=大长方形面积−长a宽x长方形面积−长b宽x长方形面积+边长x的正方形面积，
∴阴影部分的面积=ab−ax−bx+x2，
∴(a−x)(b−x)=ab−ax−bx+x2．
故选：D．
要求阴影部分面积，若不规则图形可考虑利用大图形的面积减去小图形的面积进行计算，若规则图形可以直接利用公式进行求解．
本题考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，整式运算，需要利用图形的一些性质得出式子，考查学生观察图形的能力．
10.【答案】C
【解析】解：∵小轿车的速度是大巴车速度的1.5倍，且大巴车的速度为x km/h，
∴小轿车的速度为1.5x km/h．
根据题意得：20x−201.5x=1060，
即20x−201.5x=16．
故选：C．
根据小轿车及大巴车速度间的关系，可得出小轿车的速度为1.5x km/h，利用时间=路程÷速度，结合大巴车比小轿车多用10min，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
11.【答案】−1
【解析】解：∵分式1−x2|x−1|的值是0，
∴1−x2=0，且|x−1|≠0，
解得：x=−1．
故答案为：−1．
直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握相关定义是解题关键．
12.【答案】2.8×10−8
【解析】解：0.000000028=2.8×10−8．
故答案为：2.8×10−8．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
本题考查科学记数法的表示方法，掌握表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数是关键．
13.【答案】(−3,4)
【解析】解：∵点A(−3,a)是点B(3,−4)关于y轴的对称点，
∴a=−4，
∴A(−3,−4)，
∴点A(−3,−4)关于x轴的对称点的坐标是(−3,4)，
故答案为：(−3,4)．
析先根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同求出点A的坐标，再根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可．
本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于x轴，y轴对称的点的坐标特点是解题的关键．
14.【答案】−1
【解析】解：∵x+y=3，xy=1，
∴(x−2)(y−2)
=xy−2x−2y+4
=xy−2(x+y)+4
=1−2×3+4
=−1．
故答案为：−1．
把x+y=3，xy=1，代入(x−2)(y−2)=xy−2(x+y)+4进行求解即可．
本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是注意整体思想的应用．
15.【答案】16
【解析】【分析】
本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性等有关知识.根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，从而得到△BCE的周长=AC+BC，然后代入数据计算即可求解．
【解答】
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵AC=10，BC=6，
∴△BCE的周长=BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=10+6=16．
故答案为16．
16.【答案】x=3
【解析】解：∵a⊗b=ab，3⊗x=2⊗(x−1)，
∴3x=2x−1，
∴3(x−1)=2x，
∴3x−3=2x，
解得x=3，
经检验，x=3是方程3x=2x−1的解，
∴方程3⊗x=2⊗(x−1)的解为x=3．
故答案为：x=3．
根据a⊗b=ab，由3⊗x=2⊗(x−1)，可得：3x=2x−1，据此求出方程的解即可．
此题主要考查了定义新运算，以及解一元一次方程的方法，要明确解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
17.【答案】解：原式=1+9−5+1
=6．
【解析】直接利用负整数指数幂的性质、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简，进而计算得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18.【答案】解：3a2−6ab+3b2，
=3(a2−2ab+b2)，
=3(a−b)2．
【解析】先提取公因式3，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2−2ab+b2=(a−b)2．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
19.【答案】解：方程两边都乘(x+3)(x−3)，得
x−3+2(x+3)=12，
解得x=3．
检验：当x=3时，(x+3)(x−3)=0．
故原方程无解．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
20.【答案】解：原式=[xx(x+1)−1]÷(x+1)(x−1)(x+1)2
=(1x+1−x+1x+1)⋅(x+1)2(x+1)(x−1)
=−xx+1⋅(x+1)2(x+1)(x−1)
=−xx−1
=x1−x．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21.【答案】(3,1) (1,−2) (−1,3) 6
【解析】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求，A1(3,1)，B1(1,−2)，C1(−1,3)，线段AA1的长度为6；
故答案为：(3,1)；(1,−2)；(−1,3)；6；
(2)点P的位置如图所示．
(1)根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解，根据图象直接得出AA1的长度；
(2)作点A关于x轴的对称点A′，连接A′C交x轴于点P，则点P即为所求．
本题考查了轴对称变换的性质，轴对称−最短路线问题，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键．
22.【答案】解：△APQ是等边三角形，理由如下：
∵△ACB是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
在△ABP与△ACQ中，
∠ABP=∠ACQAB=AC∠BAP=∠CAQ，
∴△ABP≌△ACQ(ASA)，
∴AP=AQ，
∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ，即∠BAC=∠PAQ=60°，
∴△PAQ是等边三角形．
【解析】利用ASA证明△ABP≌△ACQ得到AP=AQ，再证明∠BAC=∠PAQ=60°即可证明△APQ是等边三角形．
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，掌握这些判定是解题的关键．
23.【答案】证明：∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
AB=DEBC=EFAC=DF，
∴△ABC≌△DEF(SSS)．
【解析】先证明BC=EF，再利用SSS证明△ABC≌△DEF即可．
本题主要考查了全等三角形的判定，先证明BC=EF，再利用SSS证明△ABC≌△DEF即可．
24.【答案】解：设电动汽车平均每公里的电费为x元，则燃油车平均每公里的加油费为(x+0.6)元，
根据题意得：100x=400x+0.6，
解得：x=0.2，
经检验，x=0.2是所列方程的解，且符合题意，
∴0.2+0.6=0.8(元)．
答：电动汽车平均每公里的充电费为0.2元，燃油车平均每公里的加油费为0.8元．
【解析】设电动汽车平均每公里的电费为x元，则燃油车平均每公里的加油费为(x+0.6)元，由题意：充电100元和加油400元时，两车行驶的总里程相同，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，理解题意并找到等量关系是解答本题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∠BCA=90°，
∴AC=BC，
在Rt△ACE和Rt△BCD中，
AC=BC，AE=BD，
∴Rt△ACE≌Rt△BCD(HL)．
(2)解：∵△ABC为等腰直角三角形，∠BCA=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵∠BAE=67°，
∴∠EAC=∠BAE−∠CAB=67°−45°=22°，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠EAC=∠DBC=22°，
∴∠DBA=∠CAB−∠DBC=45°−22°=23°，
因此∠DBA的度数为23°．
【解析】(1)根据等腰直角三角形的性质找出90°的角和相等的边，再运用HL判定直角三角形全等即可；
(2)根据△ABC为等腰直角三角形，可知∠BCA=90°，则∠CAB=∠CBA=45°，再结合∠BAE=67°以及(1)中所证明得全等三角形可得∠EAC=∠DBC=22°，进而可得到答案．
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用全等三角形的性质得到相等的角．
26.【答案】解：(1)∵a−b=2，ab=3，
∴a2+b2
=(a−b)2+2ab
=22+2×3
=10；
(2)∵a+1a=6，
∴a2+1a2=(a+1a)2−2a⋅1a=62−2=34．
【解析】(1)根据a2+b2=(a−b)2+2ab进行求解即可；
(2)根据a2+1a2=(a+1a)2−2a⋅1a进行求解即可．
本题主要考查配方法的应用，正确理解题意熟知完全平方公式是解题的关键．
27.【答案】75° 22.5° 15°
【解析】解：(1)∵∠BAC=30°，
∴∠ABC=∠C=12×(180°−30°)=75°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=12∠ABC=37.5°，
∴∠BDE=∠A+∠ABD=67.5°，
∵BE⊥AC，
∴∠BED=90°，
∴∠DBE=90°−∠BDE=22.5°，
故答案为：75°；22.5°．
(2)∵∠BAC=80°，
∴∠ABC=∠C=12×(180°−80°)=50°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠CBD=12∠ABC=25°，
∴∠ADB=∠C+∠CBD=75°，
∵BE⊥AC，
∴∠BED=90°，
∴∠DBE=90°−∠ADB=15°，
故答案为：15°．
(3)∠BDC=45°+34α，理由如下：
∵∠BAC=α，
∴∠ABC=∠C=12(180°−α)=90°−12α，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=12∠ABC=45°−14α，
∴∠BDC=∠BAC+∠ABD=45°+34α，
∴∠BDC=45°+34α．
(1)根据三角形内角和定理求出∠ABC=∠C=75°，根据角平分线的性质求出∠ABD=37.5°，根据垂直的定义即可求解．
(2)根据三角形内角和定理求出∠ABC=∠C=50°，根据角平分线的性质求出∠CBD=25°，根据垂直的定义即可求解．
(3)根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据角平分线的性质求出∠ABD，即可解答．
本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，掌握角平分线的性质，三角形内角和定理是解题的关键．