2023-2024学年辽宁省本溪市第一中学高二上学期11月期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年辽宁省本溪市第一中学高二上学期11月期中考试数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】解不等式可得集合与，进而可得.
【详解】因为，，
所以，
故选：D.
2．已知复数，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】根据复数除法运算化简，然后由复数的模的公式可得.
【详解】依题意，，
所以.
故选：C.
3．在中，若，则是（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．等边三角形
【答案】C
【分析】由正弦边角关系得，设（），应用余弦定理确定的符号，结合为最大内角，即可得答案.
【详解】因为，由正弦定理得，
设（），则，，
由余弦定理得，则为锐角，
又为最大内角，故为锐角三角形.
故选：C
4．已知是空间中三个不同的平面，是空间中两条不同的直线，则下列结论错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】A
【分析】对于A，借助于长方体模型，很容易判断结论错误；对于B，运用面面平行的传递性易得；
对于C，通过平行平面的性质和线面垂直的性质即得；对于D，借助于两平面的法向量的垂直关系可得.
【详解】
对于A，如图，在长方体中，设平面为平面，平面为平面，
平面为平面，显然满足，但是平面与平面不平行,故A错误；
对于B，根据面面平行的传递性，若，则成立，故B正确；
对于C，若，则，又，所以，故C正确；
对于D，设直线的方向向量分别为，若，
则平面的一个法向量分别为，且，所以，故D正确.
故选A.
5．对数函数y＝lgax（a＞0且a≠1）与二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】①当0＜a＜1时，对数函数y＝lgax为减函数，二次函数开口向下，且其对称轴为x＝，故排除C与D；②当a＞1时，对数函数y＝lgax为增函数，二次函数开口向上，且其对称轴为x＝，故B错误.
【详解】解：由对数函数y＝lgax（a＞0且a≠1）与二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x可知，
①当0＜a＜1时，此时a﹣1＜0，对数函数y＝lgax为减函数，
而二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x开口向下，且其对称轴为x＝，故排除C与D；
②当a＞1时，此时a﹣1＞0，对数函数y＝lgax为增函数，
而二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x开口向上，且其对称轴为x＝，故B错误，而A符合题意．
故选：A．
6．3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为，则该塔筒的高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据模型建立平面直角坐标系，由已知条件先求双曲线的标准方程，再计算高度即可.
【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以喉部的中点为原点，建立平面直角坐标系，
设A与分别为上，下底面对应点.设双曲线的方程为，
因为双曲线的离心率为，所以.
又喉部（中间最细处）的直径为，所以，所以双曲线的方程为.
由题意可知，代入双曲线方程，得，
所以该塔筒的高为.
故选:C.
7．将一个棱长为1的正方体放入一个圆柱内，正方体可自由转动，则该圆柱体积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】当圆柱底面直径和高刚好等于正方体的的体对角线时体积最小，然后可解.
【详解】由题意知，当圆柱底面直径和高刚好等于正方体的的体对角线时体积最小，
正方体的体对角线长为
所以，此时圆柱的底面半径为，高为，
所以该圆柱体积的最小值为.
故选：B.
8．已知函数若函数有5个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据解析式画出草图，将问题化为的图象与直线，共有5个交点，数形结合有的图象与直线有1个交点，即可求参数范围.
【详解】作出函数的图象如图所示，

函数，且有5个零点，
等价于有5个解，即或共有5个解，
等价于的图象与直线，共有5个交点.
由图得的图象与直线在4个交点，
所以的图象与直线有1个交点，则直线应位于直线下方，
所以，解得，即实数的取值范围是.
故选：B
二、多选题
9．若直线l过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】依题意可分截距为0和不为0两种情形讨论即可求解．
【详解】当截距为0时，
则l过点和原点，
所以l的方程为，即；
当截距不为0时，
由直线l过在两坐标轴上的截距互为相反数，
则设l的方程为，
又l过点，得，解得，
所以l的方程为．
故选：BD．
10．已知圆，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．若点在圆的内部，则
B．若，则圆的公共弦所在的直线方程是
C．若圆外切，则
D．过点作圆的切线，则的方程是或
【答案】BCD
【分析】根据点在圆的内部解不等式即可判断A错误；将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程可知B正确；利用圆与圆外切，由圆心距和两半径之和相等即可知C正确；对直线的斜率是否存在进行分类讨论，由点到直线距离公式即可得D正确.
【详解】对于A，由点在圆的内部，得，解得，故错误；
对于B，若，则圆，
将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是，故B正确；
对于C，圆的标准方程为，圆心为，半径，
圆的标准方程为，圆心为，半径，
若圆外切，则，即，解得，故C正确；
对于D，当的斜率不存在时，的方程是，圆心到的距离，满足要求，
当的斜率存在时，设的方程为，
圆心到的距离，解得，
所以的方程是，故D正确.
故选：BCD.
11．已知，，且，则下列结论错误的是（ ）
A．的取值范围是
B．的取值范围是
C．的最小值是2
D．的最小值为2
【答案】BCD
【分析】选项A、B根据基本不等式即可判断，选项C、D，由条件可知，代入选项后再根据基本不等式即可判断.
【详解】对于选项A，因为，，所以，当且仅当时取等号.
由，得，即，解得，即，故A正确；
对于选项B，由题可得，当且仅当时取等号.
所以有，所以.
又，所以，即，故B错误；
对于选项C，由，得，得，解得.
，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，因为，所以等号不成立，故C错误；
对于选项D，，
当且仅当时，即时等号成立.又，所以等号不成立，故D错误.
故选：BCD.
12．已知椭圆：（）过点，直线：与椭圆交于，两点，且线段的中点为，为坐标原点，直线的斜率为，则下列结论正确的是（ ）
A．的离心率为
B．的方程为
C．若，则
D．若，则椭圆上存在，两点，使得，关于直线对称
【答案】AC
【分析】利用点差法确定，关系，结合，有求得离心率；根据椭圆过定点确定椭圆标准方程；由弦长公式求弦长；假设椭圆上存在，两点并设其中点坐标利用点差法确定，验证，所以点在椭圆外，这与是弦的中点矛盾，所以椭圆上不存在，两点，使得，关于直线对称.
【详解】设，，则，即，
因为，在椭圆上，所以，，两式相减，
得，即，
又，所以，即，又，
所以，离心率，故A正确；
因为椭圆过点，所以，解得，，
所以椭圆的标准方程为，故B错误；
若，则直线的方程为，由得，所以，，，故C正确；
若，则直线的方程为.假设椭圆上存在，两点，使得，关于直线对称，设，，的中点为，所以，.因为，关于直线对称，所以且点在直线上，即.又，在椭圆上，所以，.两式相减.得，即，所以，即，联立解得即.又，所以点在椭圆外，这与是弦的中点矛盾，所以椭圆上不存在，两点，使得，关于直线对称，故D错误.
故选：AC
【点睛】点差法的应用，以及点与椭圆位置关系的确定.
三、填空题
13．已知，则的值为 .
【答案】
【分析】利用三角函数的诱导公式、二倍角的正余弦公式以及同角三角函数的基本关系求解.
【详解】.
故答案为: .
14．已知抛物线：的准线为，，点是上任意一点，过作，垂足为，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据抛物线的定义，可知的最小值为进而可得.
【详解】
如图，抛物线的焦点坐标为，
根据抛物线的定义，所以，
故当，，三点共线时，取得最小值为,
,
故答案为：
15．如图，在边长为4的正方形中，点是正方形外接圆上任意一点，则的取值范围是 .

【答案】
【分析】以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，设以轴非负半轴为始边，为终边的角为，根据三角函数定义写出点M的坐标，然后利用平面向量数量积的坐标表示，结合余弦函数的有界性可得.
【详解】以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系如图所示，
则点，，，
设以轴非负半轴为始边，为终边的角为，
易知外接圆的半径为，
所以点，则，
所以，
因为，所以.
即的取值范围为.
故答案为：

16．已知分别是双曲线的上、下焦点，经过点且与轴垂直的直线与的一条渐近线相交于点，且在第四象限，四边形为平行四边形，若的离心率的取值范围是，则直线的倾斜角的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据双曲线的几何性质和平行四边形的性质可知也在双曲线的渐近线上，且在第二象限，从而由可知轴，设，又在渐近线上，可得，利用，和离心率的取值范围可得答案围．
【详解】由双曲线的对称性可知也在双曲线的渐近线上，且在第二象限，
由轴，可知轴，所以可设，
又在渐近线上，所以，所以，
因为的离心率的取值范围是，
所以，
又，所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是根据双曲线的几何性质和平行四边形的性质可知也在双曲线的渐近线上，利用求解.
四、解答题
17．已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，当时，求的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将化简为的形式即可求解；
（2）整体思想求值域.
【详解】（1）
，
所以函数的最小正周期.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度后得到，
又，所以，
所以，
所以，
故在上的值域为.
18．已知半径为4的圆与直线相切，圆心在轴的负半轴上.
(1)求圆的方程；
(2)已知直线与圆相交于两点，且的面积为8，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）根据直线与圆相切,根据点到直线距离公式求出圆心,再应用圆的标准方程即可;
（2）根据几何法求弦长,再结合面积公式计算即可.
【详解】（1）由已知可设圆心，则，解得或（舍），
所以圆的方程为.
（2）设圆心到直线的距离为，则，
即，解得，
又，所以，解得，
所以直线的方程为或
.
19．如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且，，，为棱的中点.
(1)求到的距离；
(2)求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）以为坐标原点，建系，由向量法得出到的距离；
（2）由向量法得出直线与平面所成角的正弦值.
【详解】（1）解：以为坐标原点，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则，，
，
所以到的距离.
（2）设平面的一个法向量，则，即
令，解得，，故.
设直线与平面所成的角为，则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
20．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角B的大小.
(2)若O是的内心，且，，求AC和BO.
【答案】(1)；
(2)，.
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简作答.
（2）利用三角形内心的性质求出，再利用余弦定理、三角形面积公式求解作答.
【详解】（1）在中，由正弦定理及, 得，
即，
又，
因此，
又，即有，于是，而，
所以.
（2）因为是的内心，则分别平分，
于是，
在中，由余弦定理得，即，
过点分别作的垂线，垂足分别为，则，
在中，，即，
解得，则，在直角中，，从而，
所以，.

21．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，且，，，正三角形所在平面与平面垂直，分别为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的平面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由面面垂直得线面垂直坐得线线垂直，在直角梯形中由勾股定理逆定理证明，即可证明线面垂直；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．
【详解】（1）证明：因为是正三角形，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面平面，
所以平面，而平面，所以
如图，连接，
在直角梯形中，，
所以，
在平面内过点作，垂足为，则，
所以，所以，即.
又平面，所以平面.
（2）
取的中点，连接，
在直角梯形中，分别为的中点，则，
又，所以，
由（1）知平面，又平面，则，
以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系如图所示，
则，
因为平面，所以平面的一个法向量为，
，
设平面的法向量为，则，
令，得，所以平面的一个法向量为.
设二面角的平面角为，
所以，
由图可知二面角的平面角为锐角，
所以二面角的平面角的余弦值为.
22．已知椭圆过点，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知的下顶点为，不过的直线与交于点，线段的中点为，若，试问直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】(1)
(2)过定点，
【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，设的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，由
，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）依题意，得又，解得
所以椭圆方程为.
（2）
因为，所以，
又为线段的中点，所以，因此.
根据题意可知直线的斜率一定存在，设的方程为，
联立消去，
得，
根据韦达定理可得，
因为，
所以
，
所以，
整理得，解得或.
又直线不经过点，所以舍去，
于是直线的方程为，恒过定点，该点在椭圆内，满足，
所以直线恒过定点，定点坐标为.