2023-2024学年辽宁省辽南协作体高二上学期期中考试数学试题（A）含答案

这是一份2023-2024学年辽宁省辽南协作体高二上学期期中考试数学试题（A）含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．椭圆的焦距是（ ）
A．B．C．4D．8
【答案】A
【分析】直接根据椭圆方程求解即可.
【详解】椭圆中，，故，
所以椭圆的焦距是.
故选：A.
2．抛物线的焦点到准线的距离为，则（ ）
A．4B．C．2D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的几何性质，将已知抛物线化为标准式，利用抛物线的焦点到准线的距离，即可列式求解得出答案.
【详解】抛物线化为标准式，
则，即，
抛物线的焦点到准线的距离为，
，即，解得.
故选：C.
3．若圆关于直线对称，则圆C的面积为（ ）
A．πB．2πC．4πD．6π
【答案】B
【分析】由题意圆心在直线上，由此可求出参数，进一步可得圆的半径、面积.
【详解】由题意圆的圆心在直线上，即，解得，
所以圆的半径的平方为，面积为.
故选：B.
4．已知空间向量，，，若三向量、、共面，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，其中、，利用空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，即可解得的值.
【详解】因为三向量、、共面，设，其中、，
则，解得.
故选：B.
5．双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）
A．4B．C．D．2
【答案】C
【分析】找到焦点与渐近线，利用点到直线的距离求解即可.
【详解】由题可知：双曲线，其中一个焦点为，
其中一条渐近线为，
所以焦点到渐近线的距离为，
故选:C.
6．在空间中，三个平面PAB，PBC，PAC相交于一点P，已知，则直线PA与平面PBC所成角的正弦值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】如图，作，作A点在平面PBC射影为O，连接OE，OF，设，由题目条件可得，即可得答案.
【详解】如图，作，作A点在平面PBC射影为O，连接OE，OF，设.
因，则.
因平面PFOE，平面PFOE，则，且为PA与平面PBC所成角，
又，，平面AOE，平面AOF，
则平面AOE，平面AOF.
又平面AOE，平面AOF，则.
又，，，则，
故，结合，得.
又，则，故PA与平面PBC所成角的正弦值等于.
故选：A
7．若圆：与圆：外切，则（ ）
A．B．16C．21D．9
【答案】D
【分析】首先分别求出两圆的圆心坐标与半径，根据两圆相外切，即可得到两圆圆心距等于半径之和，即可得到方程，解得即可；
【详解】解：圆：的圆心为，半径；
圆：，即圆：，圆心：半径，所以，所以；
故选：D
8．如图，已知正四面体ABCD中，，，则异面直线DE和BF所成角的余弦值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设向量，， ，利用向量，，作为基底表示向量，，利用向量夹角公式求异面直线DE和BF所成角的余弦值.
【详解】在正四面中，设向量，， ，则三个向量两两夹角为，
设正四面体的棱长等于1，且，，，
∵，，
∴ ，
，
，，
∵，
∴，
即直线和所成角的余弦值为，
故选：A.
二、多选题
9．已知空间中三点，则下列结论正确的有（ ）
A．与是共线向量
B．与共线的单位向量是
C．与夹角的余弦值是
D．平面的一个法向量是
【答案】CD
【分析】由空间向量共线定理判断A，根据单位向量的定义判断B，由向量数量积的定义求得向量夹角余弦值判断C，利用法向量定义求得法向量判断D．
【详解】对于，不存在实数，使得，所以与不是共线向量，所以错误;
对于，因为，所以与共线的单位向量为或，所以错误;
对于，向量，所以，所以C正确;
对于，设平面的法向量是，因为，所
以，即，令，则，所以D正确．
故选：.
10．已知直线l过点，且与直线以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则（ ）
A．直线l的方程为B．直线l与直线的倾斜角互补
C．直线l在y轴上的截距为1D．这样的直线l有两条
【答案】ABC
【分析】由题意可得l与的倾斜角互补，所以可求出直线的方程，然后逐个分析判断
【详解】因为直线l与及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，所以l与的倾斜角互补，故B正确；
由直线的斜率为，知直线l的斜率为，可得直线l的方程为，即l的方程为，故A正确；
令，得，所以l在y轴上的截距为1，故C正确；
过点且斜率为的直线只有一条，故D错误．
故选：ABC．
11．已知在棱长为1的正方体中，点分别是，，的中点，下列结论中正确的是（ ）
A．平面B．平面
C．三棱锥的体积为D．直线与所成的角为
【答案】ABD
【分析】根据线面平行的判定定理判断A；利用空间向量的数量积的运算，证明线面位置关系判断B；根据割补法求得三棱锥的体积判断C；利用空间角的向量求法求得直线与所成的角判断D.
【详解】对于A，在正方体中，,
平面，平面，故平面，A正确；
对于B，以D为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系，

连接，，则,
则，，
则，，
故，即,
而平面，故平面，B正确；
对于C，连接，
三棱锥的体积
，C错误；
对于D，连接EF，，
则，
故，
即，由于异面直线所成角大于小于等于，
故直线与所成的角为，D正确，
故选：ABD
12．已知双曲线，若圆与双曲线的渐近线相切，则（ ）
A．双曲线的实轴长为
B．双曲线的离心率
C．点为双曲线上任意一点，若点到的两条渐近线的距离分别为、，则
D．直线与交于、两点，点为弦的中点，若（为坐标原点）的斜率为，则
【答案】BCD
【分析】利用双曲线的渐近线与圆相切求出的值，结合离心率公式可判断AB选项的正误；设点，则，结合点到直线的距离公式可判断C选项的正误；利用点差法可判断D选项的正误.
【详解】解：由题意知的渐近线方程为，所以，因为，则，
所以双曲线的实轴长为，故A错误；
，所以，故B正确；
设，则，，故C正确；
设、，则，两式作差得，
所以，，D对.
故选：BCD.
三、填空题
13．若直线与直线平行，则 ．
【答案】
【分析】利用两直线平行列出关于的方程，解之即可求得的值.
【详解】因为直线与直线平行，
所以且，解得.
故答案为：.
14．P是椭圆上的点，F1和F2是该椭圆的焦点，则k＝|PF1|·|PF2|的最大值是 ．
【答案】4
【分析】由题意，设|PF1|＝x，故有|PF1|•|PF2|＝x（4﹣x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，确定x的范围，即可求得k的最值．
【详解】由题意，设|PF1|＝x，
∵|PF1|+|PF2|＝2a＝4，∴|PF2|＝4﹣x
∴|PF1|•|PF2|＝x（4﹣x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4
∵a＝2，b，∴c1，
由|PF1|
可得1≤x≤3
∴x＝2时，k＝﹣x2+4x取最大值为4，
故答案为4．
【点睛】本题以椭圆的标准方程为载体，考查椭圆定义的运用，考查函数的构建，考查二次函数的最值问题，属于基础题．
15．已知向量，若，则 ．
【答案】
【分析】设，依题意可得，再根据向量夹角公式即可求解.
【详解】设向量，
，，设与的夹角为，，
，.
故答案为：.
16．抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线 - =1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p= .
【答案】6
【详解】因为抛物线x2=2py的准线和双曲线-=1相交交点横坐标为
【解析】本题主要考查抛物线的概念、标准方程、几何性质，考查分析问题解决问题的能力.
四、解答题
17．直线l与直线垂直，且经过点．
(1)求l的方程；
(2)若圆截直线l所得弦长为4，求实数m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据直线垂直设出直线方程，再将点代入直线方程即可.
（2）首先将圆的方程化为标准方程，得圆的圆心、半径，再求圆心到直线l的距离，根据垂径分线定理、勾股定理列出方程即可.
【详解】（1）由题意可设：．
因为经过点，所以，．
所以的方程是．
（2）圆的标准方程为．圆心，半径．
圆心到直线距离．
由垂径定理，即，得．
18．已知抛物线上横坐标为4的点到其焦点的距离是6．
(1)求的方程；
(2)设直线交于，两点，若（为坐标原点），求的值．
【答案】(1)
(2)8
【分析】（1）根据抛物线上一点到焦点的距离等于其横坐标加，结合题意列式求解即可得出答案；
（2）设，，联立直线与抛物线方程，通过韦达定理即可得出，进而得出，由题意，得出，代入即可解出答案.
【详解】（1）的准线为．
由题意根据抛物线定义得：，解得，
故的方程为：．
（2）联立与得，．
设，，则，于是．
因为，所以，即，
因为，所以．
19．如图，正三棱柱中，各棱长均为4，N是的中点.
（1）求点N到直线的距离；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）4；（2）.
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得空间向量的坐标，然后由求点N到直线的距离；
（2）求得平面的一个法向量为及向量的坐标，然后利用求点到平面的距离.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
∵N是的中点，
∴.
（1），则.
设点N到直线的距离为，
则.
（2）设平面的一个法向量为，
则由，
得，
令，则，即.
易知，设点到平面的距离为，
则.
【点睛】本题主要考查空间距离的向量求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
20．已知，双曲线，椭圆，与的离心率之积为.
(1)求的渐近线方程；
(2)设M，N分别是的两条渐近线上的动点，且，若O是坐标原点，，求动点P的轨迹方程，并指出它是什么曲线.
【答案】(1)
(2)，点轨迹是长轴是，焦距是的椭圆.
【分析】（1）先表示出双曲线和椭圆的离心率，然后离心率乘积列方程计算即可得，从而直接求出双曲线的渐近线方程；
（2）设出M，N的坐标，根据两点距离公式及已知可得，再利用向量坐标运算公式得，代入化简即可求得动点轨迹方程，并根据椭圆定义说明轨迹.
【详解】（1）离心率是，离心率是.
由得，所以的渐近线方程是.
（2）不妨设在上，在上，则，.
因为，所以，
即，
因为，设，则，故，
化简得点轨迹方程是.
则点轨迹是长轴是，焦距是的椭圆.
21．如图，四棱锥中，平面，底面为正方形，已知，E为中点．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接交于，连结，利用三角形中位线以及线面平行的判定定理即可得出证明；
（2）根据线面垂直性质可知两两垂直，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量可求出直线与平面所成角的正弦值为；
（3）利用二面角的向量求法即可求出二面角的余弦值为.
【详解】（1）连结交于，连结如下图所示：
因为为正方形，所以是中点．
又为中点，所以．
平面，平面，
所以平面．
（2）因为平面，平面，所以；
又因为为正方形，所以
所以两两垂直，
以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
不妨设，则，，，，
，，，
设是平面的一个法向量，
即，取，可得，即；
故直线与平面所成角正弦值为．
（3）设是平面的一个法向量，
则，解得，取，可得，
即可得．
因为，
由图可知二面角是钝二面角，
故二面角的余弦值为.
22．已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左右两焦点，构成的三角形中面积的最大值为．
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接与椭圆的另一交点为B，求证：直线AB与x轴交于定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意当且仅当点与椭圆短轴端点重合时，面积最大，由此结合离心率、平方关系列出方程，即可求解.
（2）由题意共线，所以，设直线的方程，联立直线与椭圆方程，由韦达定理代入即可得证.
【详解】（1）
由题意知，，，解得，，．
所以椭圆的标准方程是．
（2）
设，，，直线：．
将，代入得．
则，
，．
因为共线，所以，即．
整理得，
所以，
即，
即，解得．
所以直线：，与轴交于定点．
【点睛】关键点睛：本题第一问的关键是当且仅当点与椭圆短轴端点重合时，面积最大，第二问的关键是由共线，得出，由此即可顺利得解.