2023-2024学年辽宁省本溪市第一中学高二上学期综合检测数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省本溪市第一中学高二上学期综合检测数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知空间向量a=1,2,3，b=m,−1,n，若a//b，则m+n=( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
2.若直线l1：6x+4y+3=0与l2：mx−2y+1=0垂直，则实数m=( )
A. m=−43B. m=−13C. m=23D. m=43
3.甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为12，23，则谜题没被破解的概率为( )
A. 16B. 13C. 56D. 1
4.已知X∼Bn,p，若4PX=2=3PX=3，则p的最大值为
( )
A. 56B. 45C. 34D. 23
5.某中学举行的秋季运动会中，有甲､乙､丙､丁四位同学参加100米短跑决赛，现将四位同学安排在1，2，3，4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在2跑道，乙不在4跑道的不同安排方法种数为( )
A. 12B. 14C. 16D. 18
6.已知变量x和y的统计数据如下表：
根据上表可得回归直线方程为y=bx−0.25，据此可以预测当x=10时，则y的估计值为
( )
A. 8.25B. 8.5C. 9.25D. 9.5
7.如图，在三棱锥M−ABC中，MA⊥平面ABC，ΔABC是边长为2的正三角形，MA=2 3，F是MC的中点，则异面直线MB与AF所成角的余弦值是
( )
A. 33B. 34C. 133D. 58
8.在某个独立重复实验中，事件A，B相互独立，且在一次实验中，事件A发生的概率为p，事件B发生的概率为1−p，其中p∈0,1.若进行n次实验，记事件A发生的次数为X，事件B发生的次数为Y，事件AB发生的次数为Z，则下列说法正确的是
( )
A. pEX=1−pEYB. 1−pDX=pDY
C. EZ=DYD. DZ2=DX⋅DY
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算术》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．结合图形，以下关于杨辉三角的叙述正确的是( )
A. 第9行中从左到右第6个数是126B. Cn−1r−1+Cn−1r=Cnr
C. Cn1+Cn2+...+Cnn=2nD. C33+C43+C53+...+C103=330
10.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(b>a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上存在点P(点P不与左、右顶点重合)，使得∠PF2F1=3∠PF1F2，则双曲线C的离心率的可能取值为
( )
A. 62B. 3C. 102D. 2
11.下列说法正确的是( )
A. 在回归直线方程y=−0.85x+2.3中，y与x具有负线性相关关系
B. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越大
C. 已知随机变量X服从二项分布B(n,p)，若E(X)=30，D(X)=20，则p=23
D. 随机变量X服从正态分布N(4,1)，若P(X≥5)=0.2，则P(312.已知三棱锥P−ABC，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E为PA中点，PB⊥CE，则下列结论正确的是
( )
A. PB⊥AC
B. 异面直线CE与AB所成的角的余弦值为 105
C. CE与平面ABC所成的角的正弦值为 1515
D. 三棱锥P−ABC外接球的表面积为6π
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.圆心在直线2x−3y−1=0上的圆与x轴交于A(1,0)、B(3,0)两点，则圆的方程为 ．
14.已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是 ．
15.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点分别F1(−3,0)、F2(3,0)，点A为椭圆C的上顶点，直线AF2，与椭圆C的另一个交点为B.若BF1=5BF2，则椭圆C的方程为 ．
16.在矩形ABCD中，AB= 3，BC=1，现将△ABC沿对角线AC翻折，得到四面体D−ABC，则该四面体外接球的体积为 ；设二面角D−AC−B的平面角为θ，当θ在π3,π2内变化时，BD的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．
条件①：第3项与第7项的二项式系数相等；
条件②：只有第5项的二项式系数最大；
条件③：所有项的二项式系数的和为256．
问题：在2x2−13xnn∈N∗展开式中，
(1)求n的值与展开式中各项系数之和；
(2)这个展开式中是否存在有理项？若存在，将其一一列出；若不存在，请说明理由．
18.(本小题12分)
某企业积极响应“碳达峰”号召，研发出一款性能优越的新能源汽车，备受消费者青睐.该企业为了研究新能源汽车在某地区每月销售量y(单位：千辆)与月份x的关系，统计了今年前5个月该地区的销售量，得到下面的散点图及一些统计量的值．
表中ti=xi2i=1,2,3,4,5．
(1)根据散点图判断两变量x,y的关系用y=a+bx与y=c+dx2哪一个比较合适？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程(b,d的值精确到0.1)，并预测从今年几月份起该地区的月销售量不低于3.6万辆？
附：对于一组数据x1,y1,x2,y2,⋯,xn,yn，其回归直线方程y=bx+a的斜率和截距的最小二乘法估计分别为b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2,a=y−bx．
19.(本小题12分)
设F1､F2分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左右焦点，且F2也为抛物线y2=8x的的焦点，若点P0,2b，F1，F2是等腰直角三角形的三个顶点．
(1)双曲线C的方程；
(2)若直线l：y=12x−1与双曲线C相交于A､B两点，求AB．
20.(本小题12分)
某次联盟考试中，我校共有500名理科学生的语文、数学成绩作统计分析.已知语文考试成绩近似服从正态分布N(95,17.52)，数学成绩的频率分布直方图如图：
(1)如果成绩大于130的为特别优秀，这500名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？
(2)如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从(1)中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X人，求X的分布列和数学期望．
(3)根据(2)中的数据，是否有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀？
①若X∼N(μ,σ2)，
则P(μ−σ②K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d
③
21.(本小题12分)
如图，AD//BC且AD=2BC，AD⊥CD，EG//AD且EG=AD，CD//FG且CD=2FG．DG⊥平面ABCD，DA=DC=DG=2．
(1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN//平面CDE；
(2)求平面EBC与平面BCF的夹角的正弦值；
(3)若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60∘，求线段DP的长．
22.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，过椭圆C右焦点并垂直于x轴的直线PM交椭圆C于P，M(点P位于x轴上方)两点，且△OPM(O为坐标原点)的面积为32．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l交椭圆C于A，B(A,B异于点P)两点，且直线PA与PB的斜率之积为−94，求点P到直线l距离的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查空间向量的共线与共面向量定理及应用，属于基础题．
根据题意得出1m=2−1=3n，求出m，n的值，即可求出结果．
【解答】
解：因为向量a→=(1,2,3),b→=(m,−1,n)，且a/​/b，
所以1m=2−1=3n，
所以m=−12，n=−32，
所以m+n=−12−32=−2．
故选A．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查直线垂直的判定及其应用，属于基础题．
根据直线垂直的条件得到关于m的等式，求解即可．
【解答】
解：若直线l1：6x+4y+3=0与l2：mx−2y+1=0垂直，
则6m+4×−2=0，则m=43．
故选D．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式、对立事件的概率计算公式，属于基础题．
根据相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率计算公式求解即可．
【解答】
解：设“甲独立地破解出谜题”为事件A，
“乙独立地破解出谜题”为事件B，
则P(A B)=1−12×1−23=16．
故选：A．
4.【答案】B
【解析】【分析】根据4PX=2=3PX=3可得到方程，求得p=4n+2，结合n的取值，可得答案．
【详解】由题意可知n≥3，
因为4PX=2=3PX=3，所以4Cn2p2(1−p)n−2=3Cn3p3(1−p)n−3，
整理得41−p=n−2p，即p=4n+2，
又n∈N∗，且n≥3，所以p≤45，
故选：B
5.【答案】B
【解析】【分析】根据题意，按甲是否在4道上分2种情况讨论，求出每种情况的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．
【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：
①若甲在4道上，剩下3人任意安排在其他3个跑道上，有A33=6种排法，
②若甲不在4道上，甲的安排方法有2种，乙的安排方法也有2种，剩下2人任意安排在其他2个跑道上，有2种安排方法，
此时有2×2×2=8种安排方法，
故共有6+8=14种不同的安排方法，
故选：B．
6.【答案】A
【解析】【分析】由题意计算出x,y，代入回归方程可求出b=0.85，再令x=10，即可求出y的估计值．
【详解】由题意知x=3+4+5+6+75=5,y=2.5+3+4+4.5+65=4，
得将点(5,4)代入y=bx−0.25，解得b=0.85，
所以当x=10时，y=0.85×10−0.25=8.25，
故选：A．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查异面直线所成角，属于中档题．
可以通过几何法找到异面直线所成角的平面角，结合余弦定理可以求出．
【解答】
解：因为MA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以MA⊥AB，
又ΔABC是边长为2的正三角形，MA=2 3，
所以MB= MA2+AB2=4，
同理可得MC=4，
解法一：设E为BC的中点，连接FE，如图，
∵E是BC的中点，
∴FE // BM，MB=4，EF=2，AF=2，AE= 3;
在△AFE中，由余弦定理可知cs∠AFE=22+22−32×2×2=58．
∴异面直线BE与AF所成角的余弦值为58，
解法二：以A为坐标原点，AC，AM所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
易知A(0,0,0)，B( 3,1,0)，F(0,1, 3)，M(0,0,2 3)
所以MB=( 3,1,−2 3)，AF=(0,1, 3)，
则cs⟨MB，AF⟩=MB⋅AFMB⋅|AF|=−54×2=−58，
∴异面直线MB与AF所成角的余弦值为58．
故选D
8.【答案】C
【解析】【分析】由相互独立事件的概率及二项分布的期望与方差进行辨析即可.
【详解】由已知，X∼Bn,p，∴EX=np，DX=np1−p，
Y∼Bn,1−p，∴EY=n1−p，DY=n1−p1−1−p=np1−p，
∵事件A，B相互独立，
∴一次实验中，A，B同时发生的概率PAB=PAPB=p1−p，
∴Z∼Bn,p1−p，
∴EZ=np1−p，DZ=np1−p1−p1−p=np1−p1−p+p2，
对于A，pEX=np2，1−pEY=n1−p2，
pEX=1−pEY不一定成立，故选项 A说法不正确；
对于B，1−pDX=np1−p2，pDY=np21−p，
1−pDX=pDY，不一定成立，故选项 B说法不正确；
对于C，EZ=np1−p，DY=np1−p，
EZ=DY成立，故选项 C说法正确；
对于D，DZ2=n2p21−p21−p+p22，DX⋅DY=n2p21−p2，
DZ2=DX⋅DY不一定成立，故选项 D说法不正确.
故选：C.
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查了组合数公式的应用问题，也考查了逻辑推理与证明的应用问题，属于中档题．
根据杨辉三角，利用组合数的计算判断ABD，利用二项式系数的性质判断C．
【解答】
解：
对于A，第9行中从左到右第6个数是C95=126，故A正确；
对于B，Cn−1r−1+Cn−1r=(n−1)!(r−1)!(n−r)!+(n−1)!r!(n−r−1)!=n!r!(n−r)!=Cnr，故B正确；
对于C，由二项式系数的性质知Cn0+Cn1+Cn2+...+Cnn=2n，故C错误；
对于D，C33+C43+C53+...+C103=C44+C43+C53+...+C103=C114=330，故D正确．
故选：ABD．
10.【答案】BC
【解析】【分析】
本题主要考虑利用双曲线的定义结合焦点三角形求离心率的取值范围，以及正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于较难题．
【解答】
解：∵b>a>0，则e= 1+b2a2> 2，则排除A;
记∠PF1F2=α(0∘<α<45∘)，|PF1|=m，|PF2|=n，则∠PF2F1=3α，
显然P在双曲线的右支，则m−n=2a，
由正弦定理可知：msin3α=nsinα=2csin4α=m−nsin3α−sinα=2asin3α−sinα，
则e=sin4αsin3α−sinα=2sin2αcs2αsin(2α+α)−sin(2α−α)=2csα∈( 2,2)，故B，C是正确的，D不正确．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查的知识要点：回归直线的线性相关正相关和负相关的定义，相关性的强弱，二项分布的均值和方差，正态分布的应用，属于中档题．
直接利用回归直线的线性相关正相关和负相关的定义，相关性的强弱的应用判断A和B的结论，利用二项分布的性质建立均值和方差的关系式，求出结果判定C的结论，利用正态分布的性质，求出P(3【解答】
解：对于A：由于回归直线方程y=−0.85x+2.3中，直线的斜率k=−0.85，所以y与x具有负线性相关关系，故A正确；
对于B：两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越大，故B正确；
对于C：已知随机变量X服从二项分布B(n,p)，若E(X)=30，D(X)=20，
所以np=30 np(1−p)=20 ，解得p=13，故C错误；
对于D：随机变量X服从正态分布N(4,1)，若P(X≥5)=0.2，P(x<3)=0.2，则P(3故选ABD．
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查三棱锥的结构特征，线线垂直的判定，异面直线所成角的求法，线面角的求法，三棱锥外接球表面积的求法，综合性大，有一定难度.属于拔高题．
根据线面垂直的判定可得AC⊥平面PBD，即可证得PB⊥AC；由条件可得∠CEF为异面直线CE与AB所成的角或其补角，计算可求得其余弦值；求出E到底面ABC的距离，进一步可求得CE与平面ABC所成的角的正弦值；将三棱锥补成边长为 2的正方体，则三棱锥外接球即为补后正方体的外接球，即可求解．
【解答】
解：由PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，可知三棱锥P−ABC为正三棱锥，
则顶点P在底面的射影O为底面三角形ABC的中心，连接BO并延长交AC于点D，则AC⊥BD，如图．
又PO⊥AC，PO∩BD=O，PO⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，所以AC⊥平面PBD，
因为PB⊂平面PBD，所以PB⊥AC，故A正确；
因为PB⊥CE，PB⊥AC，AC∩CE=C，AC⊂平面ACP，CE⊂平面ACP，所以PB⊥平面ACP，
因为PA⊂平面ACP，PC⊂平面ACP，所以PB⊥PA，PB⊥PC，
△ABC是边长为2的正三角形，
所以三棱锥P‐ABC是正三棱锥，且PC⊥PA，则PA=PB=PC= 2．
取PB的中点F，连接EF，CF，则EF/​/AB，
所以∠CEF为异面直线CE与AB所成的角或其补角，
则EF=AB2=1，CE=CF= PC2+PF2= 2+( 22)2= 102，
所以cs∠CEF=12+( 102)2−( 102)22×1× 102= 1010，
所以异面直线CE与AB所成的角的余弦值为 1010，故B不正确；
由题意可得PO= PB2−BO2= ( 2)2−(23× 22−12)2= 63，
因为E为PA中点，所以E到底面ABC的距离为 66，
所以CE与平面ABC所成的角的正弦值为 66CE= 66 102= 1515，故C正确；
由前面分析可将三棱锥补成边长为 2的正方体，则三棱锥外接球的半径为12× 2+2+2= 62，其外接球的表面积为4π× 622=6π，故D正确．
故选ACD．
13.【答案】(x−2)2+(y−1)2=2
【解析】【分析】
本题考查了圆的标准方程，涉及到两点间的距离公式，两直线的交点坐标，属于基础题．
由题可知圆心在直线x=2上，又圆心在直线2x−3y−1=0上，联立两直线方程，求出交点坐标即为圆心坐标，在利用两点间的距离公式求出圆的半径，即可得到圆的方程．
【解答】
解：由题意得：圆心在线段AB的垂直平分线，即直线x=2上，
又圆心在直线2x−3y−1=0上，
联立直线2x−3y−1=0与x=2，解得x=2，y=1，
∴圆心坐标为M(2,1)，
又A(1,0)，
半径|AM|= (2−1)2+(1−0)2= 2，
则圆的方程为(x−2)2+(y−1)2=2．
故答案为：(x−2)2+(y−1)2=2．
14.【答案】0.87或87100
【解析】【分析】由全概率公式计算．
【详解】记灯光合格中事件A，灯泡来自甲厂为事件B，灯泡来自乙厂为事件C，
由已知P(B)=70%，P(C)=30%，P(A|B)=90%，P(A|C)=80%，
所以P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|C)P(C)=90100×70100+80100×30100=0.87．
故答案为：0.87．
15.【答案】x218+y29=1
【解析】【分析】利用定义和已知先求BF2，再由相似三角形可得点B坐标，代入椭圆方程可解．
【详解】如图，过点B作x轴的垂线，垂足为M，
由定义知，BF1+BF2=2a，因为BF1=5BF2，所以BF2=a3
因为▵F2OA∽▵F2MB，AF2=a,OA=b，OF2=c=3
所以F2M=1,MB=b3，所以B(4,−b3)
将B(4,−b3)代入x2a2+y2b2=1得16a2+b29b2=1，解得a2=18
所以b2=a2−c2=18−9=9
所以椭圆方程为x218+y29=1．
故答案为：x218+y29=1
16.【答案】4π3； 72, 102
【解析】【分析】
本题考查球的体积，二面角的概念，属于较难题．
分别过点 B ， D 作 BF⊥AC,DE⊥AC ，找到球心 ，得到半径和体积，根据 DB=DE+EF+FB ，计算 DB2∈[74,52] ，得到答案．
【解答】
解：如图1，分别过点B，D 作BF⊥AC,DE⊥AC ，垂足分别为F，E，
则在四面体 ABCD 中也满足 BF⊥AC,DE⊥AC ．
因为 AB= 3 ， BC=1 ，所以 AC=2 ， DE=BF=1× 32= 32 ，
则 AE=CF=12 ， EF=1 ．
在四面体ABCD中，三角形ABC和三角形DAC均为直角三角形，
设点O为AC的中点，如图2，连接OB，OD，则 AO=OC=OB=OD=1 ，
即点O为四面体ABCD外接球的球心，则外接球的半径 R=1 ，
所以外接球的体积 V=43πR3=43π ．
在四面体ABCD中， DB=DE+EF+FB ，
因为二面角 D−AC−B 的平面角为θ，且 BF⊥AC,DE⊥AC ，
所以 DE 和 FB 的夹角为 π−θ ，
所以 |DB|2=(DE+EF+FB)2
=DE2+EF2+FB2+2DE⋅FB
=( 32)2+1+( 32)2+2× 32× 32×cs (π−θ)
=52−32cs θ，
因为 θ∈π3,π2 ，所以 DB2∈[74,52] ，则 DB∈ 72, 102 ．
故答案为： 4π3 ； 72, 102
17.【答案】解：(1)选①，第3项与第7项的二项式系数相等，则Cn2=Cn6，所以n=2+6=8；
令x=1，则2×12−1318=18=1，则展开式中各项系数之和为1．
选②，只有第5项的二项式系数最大，所以n2=4，解得n=8；
令x=1，则2×12−1318=18=1，则展开式中各项系数之和为1．
选③，所有项的二项式系数的和为256，则2n=256，解得：n=8．
令x=1，则2×12−1318=18=1，则展开式中各项系数之和为1．
(2)二项式(2x2−13x)8展开式的通项公式为：
Tr+1=C8r2x28−r−x−13r=−1r28−rC8rx16−73r．
依题意可知，当r=0，3，6时，二项展开的项都是有理项．所以：
当r=0时，T1=256x16；当r=3时，T4=−1792x9；当r=6时，T7=112x2．
所以展开式中有理项分别为T1=256x16；T4=−1792x9；T7=112x2．

【解析】(1)利用二项展开式的 性质列方程即可求得n的值，利用赋值法即可求得展开式中各项系数之和；
(2)利用二项展开式的通项公式，由x的幂次为整数列方程即可求得展开式中有理项．
18.【答案】解：(1)y=c+dx2比较合适(散点图中点的 分布不是一条直线，相邻两点的纵坐标的差值是增大趋势，所以y=c+dx2比较合适)
(2)设t=x2，则t=15×(1+4+9+16+25)=11，
i=15(ti−t)2=(1−11)2+(4−11)2+(9−11)2+(16−11)2+(25−11)2=374
先建立y关于t的回归方程
则d=i=15(ti−t)(yi−y)i=15(ti−t)2=185.6374≈0.5,c=y−0.5t=9.5−0.5×11=4,
所以y关于t的回归方程为y=4+0.5t，
因此y关于x的回归方程为y=4+0,5x2.
令4+0.5x2≥36，解得x≥8或x≤−8(舍去)，
故估计从今年8月份起该地区的月销售量不低于3.6万辆．

【解析】(1)结合散点图可知y=c+dx2合适；
(2)由题中所给的数据及公式计算回归方程，并进行估计即可．
19.【答案】解：(1)抛物线y2=8x的焦点为F2,0，
所以c=2，即F1−2,0，F22,0，又点P0,2b，F1，F2是等腰直角三角形的三个顶点，
所以2b=2，即b=1，又c2=a2+b2，所以a2=3，
所以双曲线方程为x23−y2=1．
(2)依题意设Ax1,y1，Bx2,y2，
由y=12x−1x23−y2=1消去y整理得14x2+3x−6=0，
由Δ=32−4×14×−6=15>0，所以x1+x2=−12，x1x2=−24，
所以AB= 1+k2⋅ x1+x22−4x1⋅x2
= 1+122⋅ −122−4×−24=10 3．

【解析】(1)首先求出抛物线的焦点坐标，即可得到c=2，再根据△PF1F2为等腰直角三角形，即可求出b，最后根据c2=a2+b2，求出a2，即可求出双曲线方程；
(2)设Ax1,y1，Bx2,y2联立直线与双曲线方程，消元列出韦达定理，利用弦长公式计算可得；
20.【答案】解：(1)因语文成绩Y服从正态分布N(95,17.52)，则语文成绩特别优秀的概率为：
p1=P(Y>130)=12[1−P(60≤Y≤130)]=12(1−0.96)=0.02，
由频率分布直方图估计数学成绩特别优秀的概率为p2=20×0.0012=0.024，
所以语文成绩特别优秀的同学有500×0.02=10人，数学成绩特别优秀的同学有500×0.024=12人.
(2)因语文和数学两科都特别优秀的共有6人，则由(1)知至少一科特别优秀的有16人，
X的所有可能值为0，1，2，3，
P(X=0)=C103C163=314,P(X=1)=C61C102C163=2756，P(X=2)=C62C101C163=1556，P(X=3)=C63C163=128，
所以X的分布列为
数学期望E(X)=0×314+1×2756+2×1556+3×128=98．
(3)由(2)可得2×2列联表，如下：
于是得K2的观测值为K2=500(6×484−4×6)210×490×12×488≈144.5>6.635，
所以有有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．

【解析】(1)利用正态分布、频率分布直方图分别计算语文、数学成绩特别优秀的人数作答．
(2)求出X的所有可能值，并求出各个值对应的概率，列出分布列、计算期望作答．
(3)求出K2的观测值，再与临界值表比对即可作答．
21.【答案】解：(1)证明：因为 DG⊥ 平面ABCD， DA,DC⊂ 平面ABCD，
所以 DG⊥DA,DG⊥DC ，
因为 AD⊥CD ，所以 DA,DC,DG 两两垂直，
所以以D为原点，分别以 DA ， DC ， DG 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系(如图)，
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，E(2,0,2)，F(0,1,2)，G(0,0,2)，M(0， 32 ，1)，N(1,0,2)．
所以 DC =(0,2,0)， DE =(2,0,2)．
设 n0=(x,y,z) 为平面CDE的法向量，
则n0·DC=2y=0n0·DE=2x+2z=0 ，令 z=−1 ，则 n0=(1,0,−1) ．
因为 MN =(1， −32 ，1)，
所以 MN⋅n0=1−1=0 ，
因为直线MN ⊄ 平面CDE，
所以MN //平面CDE．
(2)解：依题意，可得 BC =(–1,0,0)， ， CF =(0,–1,2)．
设 n=(x1,y1,z1) 为平面BCE的法向量，
则 n⋅BC=−x1=0n⋅BE=x1−2y1+2z1=0 ，令 z1=1 ，则 n=(0,1,1) ，
设 m=(a,b,c) 为平面BCF的法向量，
则 m⋅BC=−a=0m⋅CF=−b+2c=0 ，令 c=1 ，则 m=(0,2,1) ，
所以 csm,n=m⋅nmn=2+12×5=31010 ，
所以平面EBC与平面BCF的夹角的正弦值为 1−cs2m,n=1−90100=1010；
(3)解：设线段DP的长为ℎ( ℎ∈[0,2] )，则点P的坐标为(0,0,ℎ)，可得 BP=(−1,−2,ℎ) ．
因为 AD⊥CD ， DG、DA⊂平面ADGE，
所以 DC⊥ 平面 ADGE，
所以 DC =(0,2,0)为平面ADGE的一个法向量，
所以 csBP,DC=BP⋅DCBPDC=2ℎ2+5 ，
由题意，可得 2ℎ2+5=sin60∘=32 ，解得 ℎ=33∈[0,2] ．
所以线段 DP 的长为 33 ．

【解析】本题考查了直线与平面平行的向量表示，考查了平面与平面所成角的向量求法，考查了线面角的向量求法，属于较难题．
(1)由题意，以D为原点，分别以 DA ， DC ， DG 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系，求出对应点的坐标，求出平面CDE的法向量， MN ，由两向量的数量积为零，可证得结论，
(2)分别求出两平面的法向量，利用空间向量求解即可;
(3)设线段DP的长为ℎ(ℎ∈［0,2］)，求出 BP=(−1,−2,ℎ) ，平面ADGE的一个法向量DC ，然后利用向量的夹角公式列方程求解．
22.【答案】解：(1)由题意可得P(c,b2a)，
所以由题意可得e=ca=1212⋅c⋅2b2a=32且c2=a2−b2，解得a2=4，b2=3，
所以椭圆的方程为：x24+y23=1；
(2)由(1)可得P(1,32)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
当直线l的斜率不存在时，设其方程为x=x0，
(−2联立x=x0x24+y23=1，
得x=x0y2=3(1−x24)，
因为x1=x2=x0y1=−y2，
所以kPA⋅kPB=y1−32x1−1⋅y2−32x2−1=−94，
即2x02−3x0+1=0，
解得x0=12或x0=1(舍)，此时点P到直线l的距离为12；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=kx+m，
联立可得y=kx+mx24+y23=1且整理可得：(3+4k2)x2+8kmx+4m2−12=0，
△=64k2m2−4⋅(4k2+3)⋅(4m2−12)>0，
且x1+x2=−8km3+4k2，x1x2=4m2−123+4k2，
kPA⋅kPB=y1−32x1−1⋅y2−32x2−1=−94，整理可得：(y1−32)(y1−32)=−94(x1−1)(x2−1)，
整理可得(94+k2)x1x2+[k(m−32)−94](x1+x2)+(m−32)2+94=0，
整理可得2k2+4m2−3m+6km−92=0，即(k+m−32)(2k+4m+3)=0，
k+m−32=0或2k+4m+3=0，
若k+m−32=0，则直线方程为：y−32=k(x−1)，直线l恒过N(1,32)，与P点重合，舍去；
若2k+4m+3=0，则直线方程为：y+34=k(x−12)，
所以直线l恒过定点Q(12,−34)；
所以P到直线l的距离的最大值为|PQ|的值为 (1−12)2+[32−(−34)]2= 854，
综上可得，点P到直线l距离的最大值 854．
【解析】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，直线恒过定点的求法，属于拔高题．
(1)由离心率和三角形OPM的面积，得出a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；
(2)分类讨论，进行求解即可．x
3
4
5
6
7
y
2.5
3
4
4.5
6
y
i=15xi−xyi−y
i=15ti−tyi−y
9.5
29.5
185.6
P(K2≥K0)
0.50
0.40
…
0.010
0.005
0.001
K0
0.455
0.708
…
6.635
7.879
10.828
X
0
1
2
3
P
314
2756
1556
128
语文成绩特别优秀
语文成绩不特别优秀
合计
数学成绩特别优秀
6
6
12
数学成绩不特别优秀
4
484
488
合计
10
490
500