2023-2024学年辽宁省抚顺市六校高二上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年辽宁省抚顺市六校高二上学期期中考试数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合直线的倾斜角与斜率的关系，即可求解．
【详解】设直线的倾斜角为，，
则，所以．
故选：C．
2．圆不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】作出圆的图形，可得出结论.
【详解】可化为，表示圆心为，半径为的圆，
如下图所示：
所以，圆不经过第一象限.
故选：A.
3．若抛物线上一点到焦点的距离是2m，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】利用抛物线的定义即可求出.
【详解】设焦点为F，则，即，又点在抛物线上，代入方程可得，所以．
故选：B
4．已知点为所在平面内一点，为平面外一点，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用空间向量共面的基本定理化简可得出的值.
【详解】因为点为所在平面内一点，设，其中、，
即，
所以，，
所以，，所以，.
故选：B.
5．双曲线的一个焦点是，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【分析】先将抛物线方程化为标准形式，从而根据平方关系即可得解.
【详解】由题可知双曲线的焦点在y轴上，所以，则双曲线的标准方程为，
所以，解得．
故选：C.
6．已知空间三点、、，则以、为邻边的平行四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出、、的值，利用同角三角函数的基本关系结合三角形的面积公式可求得结果.
【详解】由已知可得，，
则，，
，
即，
所以以、为邻边的平行四边形的面积为．
故选：D.
7．埃及金字塔是世界古代建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，若金字塔的高为3，，点E满足，则点D到平面的距离为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意建立适当的空间直角坐标系，把各个点的坐标求出来，然后求出平面AEC的法向量为以及，结合即可求解.
【详解】如图，

连接，设与相交于点O，连接，
因为金字塔可视为一个正四棱锥，
故以点O为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
又由题意可得，，
所以，
所以，，，，，，
不妨设，又因为，所以，
即，解得，即，
，，，
设平面AEC的法向量为，则，，
即，取，得，
所以点D到平面AEC的距离．
故选：A.
8．设B是椭圆C：的上顶点，点P在C上，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】用两点距离公式和点在椭圆上结合二次函数求得最值即可.
【详解】
设点，因为，，所以，
而，所以当时，取得最大值．
故选：A
二、多选题
9．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．、、B．、、
C．、、D．、、
【答案】BC
【分析】利用共面向量基本定理逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，，所以、、共面；
对于B选项，假设、、共面，
则存在、使得，
因为构成空间的一个基底，则，无解，
假设不成立，故、、不共面；
对于C选项，假设、、共面，
则存在、，使得，
所以，，则、、共面，与题设矛盾，
故、、不共面；
选项D，因为，则、共线，则、、共面.
故选：BC.
10．已知，是椭圆C：的上、下焦点，M，N是椭圆C上两点，且，则（ ）
A．椭圆C的焦距为B．存在点N，使得
C．的周长为D．的面积为1
【答案】BD
【分析】由题意可知，，再结合椭圆的性质依次判断即可.
【详解】由题意可知：，
则，，
所以椭圆C的焦距为，故A错误．
因为，所以B正确．
的周长为，故C错误．
又，而，
所以，则，故D正确．
故选：BD
11．已知是抛物线C：的焦点，直线l为抛物线C的准线，过F的直线与C交于A，B两点，点，且AD⊥BD，则（ ）
A．B．AB的中点到x轴的距离为1
C．以AB为直径的圆与准线l相切D．直线AB的斜率为2
【答案】BCD
【分析】对于A：根据抛物线的焦点坐标运算求解即可；对于C：根据题意结合抛物线的定义分析判断；对于B：结合选项C可得以AB为直径的圆与准线l相切于点D，AB的中点的纵坐标为1，即可得结果；对于D：由选项B可得，结合抛物线方程运算求解.
【详解】对于选项A：由题意可知，则，故A错误；
对于选项B：设，，

由题意可知：抛物线C：的准线l：，且，
则以AB为直径的圆的半径，线段AB的中点坐标为，
则线段AB的中点到准线l的距离为，
所以以AB为直径的圆与准线l相切，故C正确；
对于选项B：因为D为l上的点，且，则以AB为直径的圆与准线l相切于点D，
所以AB的中点的纵坐标为1，即AB的中点到x轴的距离为1，故B正确；
对于选项D：由选项B可知：，
所以直线AB的斜率为，故D正确．
故选：BCD.
12．如图，正方体的棱长为，是的中点，点满足，其中，，则下列结论正确的有（ ）
A．当时，
B．当时，平面
C．当时，异面直线与所成角的余弦值为
D．若，二面角的平面角为，则的面积为
【答案】ABD
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
，，则，
，，，，
所以，当时，，故，故A正确；
易知是平面的一个法向量，
因为，，即，
又因为平面，则平面，故B正确；
当时，，则，
则异面直线与所成角的余弦值为，故C错误；
当时，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，，
又因为平面的一个法向量为，
且二面角的平面角为，
则，因为，解得，
即点，，则，
所以，，
所以，，故D正确．
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：
（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.
三、填空题
13．已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 ．
【答案】
【分析】由线面平行得直线的方向向量与平面的法向量数量积为.
【详解】因为，所以，
故，解得．
故答案为：.

14．已知两条平行直线：，：间的距离为，则 ．
【答案】或16
【分析】可先通过两直线平行求出参数，接着将两直线的变量系数化为一致，再利用距离公式求解即可.
【详解】因为，所以，解得，
则：，可化直线为，
所以与的距离为，解得或
则或．
15．已知，点在圆上，且，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】分析可知，圆与圆有交点，根据圆与圆的位置关系可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围.
【详解】由，可知点在以点为圆心，半径为的圆上，即点在圆上，
所以问题等价于圆与圆有交点，所以，
所以，解得或．
故答案为：.
16．已知A，B为双曲线E：（，）的左、右顶点，M为E上一点，若点M到x轴的距离为2，，，则E的渐近线方程为 ．
【答案】
【分析】根据双曲线方程可得，结合题意可得，即可得渐近线方程.
【详解】设，则，即，
可得，
则，即，
所以E的渐近线方程为．
故答案为：.
四、解答题
17．如图，在三棱柱中，分别为和的中点，设．

(1)用表示向量；
(2)若，，，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的线性运算法则，准确运算，即可求解；
（2）根据向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解.
【详解】（1）解：由向量的线性运算法则，可得：
．
（2）解：由向量的数量积的运算法则，可得：
．
18．已知直线l经过点，且与直线平行．
(1)求直线l的方程；
(2)已知圆C与y轴相切，直线l被圆C截得的弦长为，圆心在直线上，求圆C的方程．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）由两直线平行可求得斜率为，再利用直线的点斜式方程即可求得结果；
（2）设出圆C的标准方程，由弦长即圆心位置等即可解出圆的标准方程为.
【详解】（1）因为直线l与直线平行，所以直线l的斜率为，
则直线l的方程为，
化简可得．
即直线l的方程为
（2）设圆C的方程为，则，
因为圆C与y轴相切，所以，
又圆心C到l的距离，所以，
即，
解得，．
故圆C的方程为．
19．已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知，是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意设方程，求出，即可求解.
（2）设两点坐标，代入双曲线方程，两式作差，结合中点坐标公式，即可求出直线的斜率，由直线的点斜式方程，求出直线的方程，与双曲线联立方程，满足，即可得到直线的方程.
【详解】（1）因为双曲线与双曲线有相同的渐近线，
所以可设其方程为，
将点的坐标代入得，则所求双曲线的标准方程为．
（2）设，，因为的中点为，则，，
因为，所以，
即，则，所以，
所以直线的方程为，即．
当直线为时，联立方程，得，，符合题意，故直线的方程为.
20．如图1，在菱形中，，将沿着翻折至如图2所示的的位置，构成三棱锥．

(1)证明：；
(2)若平面平面，求与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接、，证明出平面，利用线面垂直的性质可证得结论成立；
（2）推导出平面，然后以点为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得与平面所成角的正弦值．
【详解】（1）证明：取的中点，连接、，
翻折前，因为是菱形，，所以、为等边三角形，
则，，
翻折后，则有，，
又因为、平面，，所以平面，
因为平面，所以．
（2）解：因为平面平面，且平面平面，，
平面，所以平面．
以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，，，，
则，，．
设平面的法向量为，
则，取，则，，所以．
，
所以与平面所成角的正弦值为．
21．已知F是抛物线C：的焦点，点P在C上，点Q满足，点Q的轨迹为曲线E．
(1)求曲线E的方程；
(2)过点F的直线l与曲线E交于M，N两点，，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)或．
【分析】（1）设出，根据得到，代入抛物线方程，求出答案；
（2）设直线l的方程为，与抛物线方程联立，得到两根之和，两根之积，根据弦长列出方程，求出或，得到直线方程.
【详解】（1）由题意得，
设，则，
所以，，，
所以，
由P在抛物线C上可得，即，
则曲线E的方程为．
（2）显然当直线l的斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不合要求，
设直线l的方程为，设，，
代入，消去x得，
则，，，
所以
，
所以或．
所以直线l的方程为或．
22．动点P到定点的距离和它到直线l：的距离的比是常数，设点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)已知O为坐标原点，与x轴不垂直的直线l与曲线C交于A，B两点，若曲线C上存在点P，使得四边形为平行四边形，证明：的面积为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设点，得到方程，化简得到曲线C的方程；
（2）设出直线l，联立曲线C的方程，得到两根之和，两根之积，由四边形为平行四边形得到，设，得到，代入椭圆方程中，得到，表达出和坐标原点到直线l的距离，求出的面积等于.
【详解】（1）设点，依题意可得，
化简得，
所以曲线C的方程为.
（2）证明：设，，直线l：.
由，消去y得，
则，
，，
则，
因为四边形为平行四边形，所以.
设，则，
又因为，即，得，
所以
，
因为坐标原点到直线l的距离，
所以的面积为，
所以的面积为定值.

【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.