辽宁省本溪市本溪县高级中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题（含答案）

2022-2023学年度上学期高二第一次月考试题

数学

考试时间：120分钟 试卷总分：150分

命题范围：必修第一册+第二册+第三册+第四册的第九章+必修四的第十章结束占20%；必修四的第十一章+选择性必修一第一章+第二章2.1~2.4（曲线方程）结束占80%

说明：本试卷由第1卷和第11卷组成.第1卷为选择题，第11卷为主观题，按要求答在答题纸相应位置上.

第I卷（选择题60分）

一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，计40分）

1.已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A.第一象限    B.第二象限

C.第三象限    D.第四象限

2.在中，若，则（    ）

A.    B.    C.    D.

3.如图所示的中，，斜边，该图是一个平面图形的直观图，则这个平面图形的面积是（    ）

A.    B.1    C.    D.

4.已知，若，则实数的值分别为（    ）

A.    B.    C.5，2    D.

5.甲，乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为，则谜题没被破解的概率为（    ）

A.1    B.    C.    D.

6.我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈.问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛（如图所示），下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈.问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为（    ）

A.13.25立方丈    B.26.5立方    C.53立方丈    D.106立方丈

7.点为圆上一动点，点到直线的最短距离为（    ）

A.    B.1    C.    D.

8.如图（1）所示，已知球的体积为，底座由边长为12的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得，如图（2）所示.则在图（1）所示的几何体中，下列结论中正确的是（    ）

A.与是异面直线

B.异面直线与所成角的大小为

C.由三点确定的平面截球所得的截面面积为

D.球面上的点到底座底面的最大距离为

二､多项选择题（本大题共8小题，每小题5分，计40分）

9.下列说法中，正确的有（    ）

A.过点且在轴截距相等的直线方程为

B.圆与圆的位置关系是外切

C.直线的倾斜角为

D.过点且倾斜角为的直线方程为

10.已知函数，则下列结论中正确的是（    ）

A.的定义域是

B.是偶函数

C.在区间上是增函数

D.的图象关于直线对称

11.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美，如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1，则下列关于该多面体的说法中正确的是（    ）

A.多面体有12个顶点，14个面

B.多面体的表面积为3

C.多面体的体积为

D.多面体有外接球（即经过多面体所有顶点的球）

12.已知曲线，以下判断正确的是（    ）

A.曲线与轴交点为

B.曲线关于原点对称

C.曲线C.的点的纵坐标的取值范围是

D.曲线上点到原点的距离最小值为

第I卷（主观题90分）

三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）

13.平面的法向量为，若向量，则直线与平面的位置关系为__________.

14.函数的单调递增区间为__________.

15.已知向量满足，则在上投影的数量为__________.

16.已知圆与轴相切，过作圆的切线则切线1的方程为__________.

四､解答题（本大题共6小题，共计70分）

17.（本小题满分10分）已知直线.

（1）若，求实数的值；

（2）当时，求直线与之间的距离.

18.（本小题满分12分）已知.

（1）若，求的值；

（2）若，求实数的值.

19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是矩形，，为的中点，且.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

20.（本小题满分12分）已知圆，圆.

（1）求圆与圆的公共弦长；

（2）求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程.

21.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧面是菱形，平面平面，，分别是棱，的中点，是棱上一点，且.

（1）证明：平面；

（2）从①三棱锥的体积为1；②与底面所成的角为60°；③异面直线与所成的角为30°这三个条件中选择-一个作为已知，求二面角的余弦值.

22.已知点，曲线C上任意一点P满足.

（1）求曲线C的方程；

（2）设点，问是否存在过定点Q的直线l与曲线C相交于不同两点E，F，无论直线l如何运动，x轴都平分∠EDF，若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由.

2022-2023学年度上学期高二9月月考试题数学试卷

标准答案

一､【单项选择题】

1.A    2.C    3.A    4.A    5.D    6.B    7.A    8.C

二､【多项选择题】

9.BD    10.BCD    11.ACD    12.BCD

【详细解答】

1.由复数的几何意义可知选A.

2.在中，由正弦定理得，，即，

解得：.故选；

3.画出原图形，如图所示，在中，，

则，故在原图形中，，

所以这个平面图形的面积是.故选：A.

4.，

故选A

5.设“甲独立地破解出谜题”为事件，“乙独立地破解出谜题”为事件，

，故，所以，

即谜题没被破解的概率为.选D；

6.由题意，下底宽2丈，长3丈；上底宽3丈，长4丈；高3丈.

则刍童的体积为丈.故选.

7.由直线与圆的位置关系可知选A

8.取中点，连接，如图，

因为正三角形，则，而平面平面，平面平面，平面，

于是得平面，同理平面，即，

因此，四边形是平行四边形，有，则直线与在同一平面内，A不正确；

由选项，同理可得，则异面直线与所成角等于直线与所成角，B不正确；由选项知，，同理可得，正外接圆半径，

由三点确定的平面截球所得的截面圆是的外接圆，此截面面积为正确；体积为的球半径，由得，由选项C知，球心到平面的距离，

由选项，同理可得点到平面的距离为，即平面与平面的距离为，

所以球面上的点到底座底面的最大距离为，D不正确.

故选：C

9.过点且在轴截距相等的直线有两条，一条经过原点，另一条不经过原点，故错误；

一个圆的圆心为，半径为2，另一圆的圆心为，半径为3，根据圆与圆的位置关系可知正确；

由于直线的斜率为，故它的倾斜角为，故错误；

过点且倾斜角为的直线方程为，故正确，故答案为：.

10.对于，由题意可得函数，

由可得，故函数定义域为，故错误；对于的定义域为，

设，所以，

即是偶函数，故正确：

对于，

令，可得，

当时，是减函数，外层函数也是减函数，

所以函数在区间上是增函数，故正确；

对于，得的图象关于

直线对称，故正确.故选.

11.解：可将半正多面体补成棱长为1的正方体，其顶点是正方体各棱的中点，

总共有12个顶点，个面，故正确；半正多面体的棱长为，

表面积为，故错误；

体积可看作正方体割去八个三棱锥，，故正确；

又因为正方体的中心到多面体各顶点的距离相等，所以该多面体有外接球，故正确.故选.

12.对于，令，有，即与轴的交点为，故错误；

对于，若满足，将代入得：

即曲线是关于原点对称的，故正确；

对于，欲求的范围，只需令即可，有或（舍），，即的取值范围是，故正确；

对于，设曲线上的点的坐标为，到原点的距离的平方为，

由解析式：得，

，如欲尽可能地小，则，解得，故正确；

故选BCD.

三､【填空题】

13.平面或平面.    14.【注：不写不给分】

15.    16.或

【详细解答】

13.由题意，平面的法向量为，向量，

若平面，则成立，若平面，则平面，

直线与平面的位置关系为平面或平面，

故答案为：平面或平面.

14.，令，

得，

所以函数的单调递增区间为.

15.因为，所以，

所以，所以在上投影的数量为.

16.由圆，得，

因为圆与轴相切，所以，解得

当过的直线的斜率不存在时，直线的方程为，

圆心到直线的距离为1，符合题意；

当过的直线的斜率存在时，设直线方程为，

则，解得，则切线的方程为，即.

所以满足条件的切线的方程为或.

四､【解答题】【详细答案】

17.【解析】（本小题满分10分）

（1）直线，

所以，解得.

（2）当时，，

直线为：，

所以直线与之间的距离为：.

18.【解析】（本小题满分12分）

因为已知，

（1）若，

则.

（2）

求得实数.

19.（1）由已知得，，，

，，

，，

，

又，且，平面，

平面，

又平面，，

在正三角形中，为的中点，则，

又，平面；

（2）如图所示，取的中点为，的中点为，

由（1）得三棱柱的侧面与底面垂直，从而，，两两垂直，

以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，

，，，

设平面的法向量为，则，即，

令，则，，所以，

设直线与平面所成角为，

则.

20.【解析】（本小题满分12分）

（1）将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，

即，化简得，

所以圆的圆心到直线的距离为，

则，解得，

所以公共弦长为.

【解法一】设过两圆的交点的圆为，

则；

由圆心在直线上，则，解得，

所求圆的方程为.

【解法二】由（1）得，代入圆，

化简可得，解得；

当时，；当时，；

设所求圆的圆心坐标为，

则，解得；

所以；

所以过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为

21.（1）证明：取的中点，连接，，因为，分别是棱，的中点，则，，

四边形为平行四边形，

，

平面，平面，

平面.

（2）解：在平面ACC1中过点作于，连接，

平面平面，平面平面，

平面，

选择条件①：

三棱锥的体积，，

在中，，

点为的中点，，

故以为原点，､､分别为､､轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

，，

，平面平面，平面，

平面，

平面即平面的一个法向量为，

设平面的法向量为，则，即，

令，则，，，

，

显然二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为.

选择条件②：

与底面所成的角为，，，

点为的中点，，

故以为原点，､､分别为､､轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

，，

，平面平面，平面，

平面，

平面即平面的一个法向量为，

设平面的法向量为，则，即，

令，则，，，

，

显然二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为.

选择条件③：

，

即为异面直线与所成的角，即，

，，

，即，，

故以为原点，､､分别为､､轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

，，

，平面平面，平面，

平面，

平面即平面的一个法向量为，

设平面的法向量为，则，即，

令，则，，，

，

显然二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为.

22.【解析】

（1）设，由于.

所以，化为：.

（2）①设存在定点满足条件，设直线的方程为.

设.联立，

化为：，所以.

无论直线如何运动，轴都平分，则

所以.所以，

所以，

所以，

化为：，

可得直线经过定点.

②如果斜率不存在时，直线过定点时，满足题意.

存在过定点的直线与曲线相交于不同两点，无论直线如何运动，轴都平分.