2022-2023学年辽宁省葫芦岛市连山区九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年辽宁省葫芦岛市连山区九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
2.关于抛物线y=−(x+2)2+6图象的性质，下列说法错误的是( )
A. 开口向下B. 对称轴为直线x=−2
C. 顶点坐标是(−2,6)D. 与x轴没有交点
3.下列四个有关环保的图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC=25∘，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是( )
A. 25∘
B. 35∘
C. 40∘
D. 50∘
5.下列事件属于必然事件的是( )
A. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数
B. 车辆随机经过一个路口，遇到红灯
C. 任意画一个三角形，其内角和是180∘
D. 有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形
6.若反比例函数y=k+1x的图象位于第一、三象限，则k的取值可以是( )
A. −3B. −2C. −1D. 0
7.下列正方形方格中四个三角形中，与甲图中的三角形相似的是( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则小球从E出口落出的概率是( )
A. 12
B. 13
C. 14
D. 16
9.如图，平面直角坐标系中，点A，B分别在函数y=2x(x>0)与y=−5x(x<0)的图象上，点P在x轴上.若AB//x轴.则△PAB的面积为( )
A. 72
B. 3
C. 52
D. 2
10.如图，四边形ABCD是正方形，AB=2，点P为射线BC上一点，连接DP，将DP绕点P顺时针旋转90∘得到线段EP，过B作EP平行线交DC延长线于F.设BP长为x，四边形BFEP的面积为y，下列图象能正确反映出y与x函数关系的是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.关于x的方程2x2−x+m=0的一个根是−1，则m的值是______ .
12.二次函数y=(x−1)(x−a)(a为常数)的图象的对称轴为直线x=2.则a=______ .
13.如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A(3,3)、B(5,1)、D(−3,−1)，则点C的坐标为______.
14.如图，边长为2 2的正方形ABCD内接于⊙O，则BC的长为______.(结果保留π)
15.小聪和小明两个同学玩“石头，剪刀、布”的游戏，随机出手一次是平局的概率是______.
16.如图，反比例函数的图象与一次函数y=−2x+3的图象相交于点P，点P到y轴的距离是1，则这个反比例函数的解析式是______.
17.如图，等边△ABC中，BC=12，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60∘得到BN，连接HN.在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是______.
18.如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90∘，点D是AB的中点，连结CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD，CA于点E，F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF，给出以下几个结论：①AGAB=FGFB；②∠ADF=∠CDB；③点F是GE的中点；④AF= 23AB.其中正确的结论是______ (写出所有正确结论的序号).
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90∘得到的△A2B2C2；
(3)在(2)的旋转变换中，求线段BC扫过的面积.
20.(本小题8分)
在桌面上放有三张完全相同的卡片，其正面分别写有数字−2，−1，1，把这三张卡片背面朝上洗匀放在桌面上.
(1)随机抽取一张卡片，求抽取的卡片上的数字为负数的概率；
(2)先随机抽取一张卡片，其上的数字记为x，然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数字记为y，用列表或画树状图的方法求出点(x,y)在双曲线y=2x上的概率.
21.(本小题8分)
如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F.
(1)求证：△EDC∽△DAF；
(2)若AB=3，AD=2，当点E为BC中点时，求线段EF的长度.
22.(本小题8分)
如图，点A(m,1)和点B在反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，过点A作AC//y轴交x轴于点C，过点B作BD//x轴交直线AC于点D，CD=3AC.
(1)若AD=BD，求k的值；
(2)过点B作BE⊥x轴于点E，若四边形BECD的面积为8，求点B的坐标.
23.(本小题8分)
某景区超市销售一种纪念品，这种商品的成本价为14元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于24元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的函数关系如图所示.
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)求每天的销售利润W(元)与销售单价x(元/件)之间的函数关系式，并求出每件的销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
24.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，点D为BC边的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于点E，F，过点E作EG⊥BC于G.
(1)求证：EG是⊙O的切线；
(2)若AF=6，⊙O的半径为5，求EG的长.
25.(本小题8分)
正方形ABCD，点E在直线AC上，连接ED，将射线ED绕点E顺时针旋转90∘得到射线EF，射线EF与直线BC交于点F.
(1)当点F在边BC上时，如图1，直接写出CD+CF与CE的数量关系；
(2)如图2，当点E在线段AC上，点F在BC的延长线上时，(1)中的结论还成立吗？若成立请说明理由；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；
(3)若AB=8，当AE=3CE时，请直接写出△CEF的面积.
26.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于点A(−4,0)，B(1,0)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的函数解析式.
(2)如图1，点E为直线AC下方抛物线上一动点，过点E作y轴的平行线交AC于点D，过点E作x轴的平行线交y轴于点F，过点D作x轴的平行线交y轴于点G，得到矩形DEFG，求矩形DEFG的周长最大值及此时点E的坐标；
(3)点P是直线AC上一动点，点Q是在平面内一点，当以点A，O，P，Q为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q的坐标.(参考数据：1282=16384，1602=25600)
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=b2−4ac=(−2)2−4×1×m=4−4m=0，
∴m=1.
故选：C.
由关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个相等的实数根，即可得判别式△=0，即可得方程4−4m=0，解此方程即可求得答案．
此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题难度不大，注意若一元二次方程有两个相等的实数根，则可得△=0.
2.【答案】D
【解析】解：∵y=−(x+2)2+6，
∴抛物线开口向下、对称轴为直线x=−2、顶点坐标为(−2,6)，故A、B、C说法是正确的；
在y=−(x+2)2+6中，令y=0，可得−(x+2)2+6=0，解得x=−2± 6，
∴抛物线与x轴有交点，
∴选项D的说法是错误的，
故选：D.
由抛物线的解析式可求得开口方向、对称轴及顶点坐标，可判断A、B、C都是正确的；令y=0计算相应的一元二次方程解或者直接用判别式即可判断D，则可求得答案．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，在y=a(x−h)2+ka≠0中，顶点坐标为(h,k)，对称轴为直线x=h.
3.【答案】C
【解析】解：A.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C.
根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后和原图形重合．
4.【答案】C
【解析】解：∵∠ABC=25∘，
∴∠AOP=2∠ABC=50∘，
∵PA是⊙O的切线，
∴PA⊥AB，
∴∠PAO=90∘，
∴∠P=90∘−∠AOP=90∘−50∘=40∘，
故选：C.
由圆周角定理可求得∠AOP的度数，由切线的性质可知∠PAO=90∘，则可中求得∠P.
本题主要考查切线的性质及圆周角定理，根据圆周角定理可切线的性质分别求得∠AOP和∠PAO的度数是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数，是随机事件，不符合题意；
B、车辆随机经过一个路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
C、任意画一个三角形，其内角和是180∘，是必然事件，符合题意；
D、有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形，是随机事件，不符合题意；
故选：C.
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6.【答案】D
【解析】解：∵反比例函y=k+1x的图象位于第一、三象限，
∴k+1>0，解得k>−1，
∴k的值可以是0.
故选：D.
先根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围，进而可得出结论．
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：设小正方形的边长为1，那么已知三角形的三边长分别为 2，2 2， 10，所以三边之比为1：2： 5；
A、三角形的三边分别为2、 10、3 2，三边之比为： 2： 5：3，故本选项错误；
B、三角形的三边分别为2、4、2 5，三边之比为：1：2： 5，故本选项正确；
C、三角形的三边分别为2、3、 13，三边之比为：2：3： 13，故本选项错误；
D、三角形的三边分别为 5、 13、34，三边之比为： 5： 13： 34，故本选项错误；
故选B.
由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为1，所以每一个三角形的边长都是可以表示出，然后根据三角形的对应边成比例即可判定选择项．
此题主要考查了相似三角形的判定，属于基础题，掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解答本题的关键，难度一般．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了概率的求法，读懂题目信息，得出小球最终落出的点的可能情况是解题的关键.
根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点B、C、D处都是等可能情况，从而得到在四个出口E、F、G、H也都是等可能情况，然后概率的意义列式即可得解．
【解答】
解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，
小球最终落出的点共有E、F、G、H四个，
所以小球从E出口落出的概率是：14，
故选：C.
9.【答案】A
【解析】解：如图所示，连接AO，BO，
∵AB//x轴，
∴S△PAB=S△ABO=|−52|+|22|=72，
故选：A.
连接AO，BO，根据反比例函数k的几何意义，即可求解．
本题考查了反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：方法一：由题意知，当P点在C点右侧时，BP越大，则则四边形BFEP的面积越大，
故D选项符合题意；
方法二：如下图，当P点在BC之间时，作EH⊥BC于H，
∵∠DPE=90∘，
∴∠DPC+∠EPH=90∘，
∵∠DPC+∠PDC=90∘，
∴∠EPH=∠PDC，
在△EPH和△PDC中，
∠EPH=∠PDC∠PHE=∠DCPPD=EP，
∴△EPH≌△PDC(AAS)，
∵BP=x，AB=BC=2，
∴PC=EH=2−x，
∴四边形BPEF的面积y=x(2−x)=−x2+2x，
同理可得当P点在C点右侧时，EH=PC=x−2，
∴四边形BPEF的面积y=x(x−2)=x2−2x，
综上所述，当02时，函数图象为开口方向向上的抛物线，
故选：D.
方法一：根据P点在C点右侧时，BP越大，则四边形BFEP的面积越大，即可以得出只有D选项符合要求；
方法二：分两种情况分别求出y与x的关系式，根据x的取值判断函数图象即可．
本题主要考查二次函数图象的性质，熟练根据题意列出函数关系式是解题的关键．
11.【答案】−3
【解析】解：根据题意关于x的方程2x2−x+m=0的一个根是−1，把x=−1代入方程得到2+1+m=0，解得m=−3.
故本题答案为m=−3.
一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．关于x的方程2x2−x+m=0的一个根是−1，把x=−1代入原方程即得m的值．
本题主要考查了方程的解的定义，就是能使方程的左右两边相等的未知数的值．
12.【答案】3
【解析】解：由二次函数y=(x−1)(x−a)(a为常数)知，该抛物线与x轴的交点坐标是(1,0)和(a,0).
∵对称轴为直线x=2，
∴1+a2=2.
解得a=3，
故答案为：3.
根据抛物线解析式得到抛物线与x轴的交点横坐标，结合抛物线的轴对称性质求得a的值即可．
本题考查了二次函数图象和性质，抛物线与x轴的交点，求得交点坐标，熟知二次函数的对称性是解决本题的关键．
13.【答案】(−1,−3)
【解析】解：设C(x,y)，
∵A(3,3)、B(5,1)、D(−3,−1)，
依题意，5−32=3+x21−12=3+y2，
解得：x=−1y=−3，
∴C(−1,−3)，
故答案为：(−1,−3).
设C(x,y)根据题意得出AC，BD的中点坐标相等，即可求解．
本题考查了中心对称的性质，坐标与图形，掌握中心对称的性质是解题的关键．
14.【答案】π
【解析】解：连接OB、OC，
∠BOC=360∘4=90∘，
∵BC=2 2，
∴OB=OC=2，
∴BC的长为90π×2180=π，
故答案为：π.
连接OB、OC，构造等腰直角三角形求得中心角和圆的半径，利用弧长公式列式求解即可．
考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是构造直角三角形，难度不大．
15.【答案】13
【解析】解：小聪和小明玩“石头、剪刀、布”游戏，所有可能出现的结果列表如下：
∵由表格可知，共有9种等可能情况．其中平局的有3种：(石头，石头)、(剪刀，剪刀)、(布，布).
∴小聪和小明平局的概率为：39=13.
故答案为：13.
首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两人平局的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16.【答案】y=−5x
【解析】解：把x=−1代入y=−2x+3得y=5，
∴点P坐标为(−1,5)，
设反比例函数解析式为y=kx，
把(−1,5)代入y=kx得5=−k，
解得k=−5，
∴y=−5x.
故答案为：y=−5x.
先将x=−1代入一次函数解析式求出点P坐标，再通过待定系数法求解．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握函数与方程的关系．
17.【答案】3
【解析】解：如图，
取BC的中点G，连接MG，
∵线段BM绕点B逆时针旋转60∘得到BN，
∴∠MBH+∠HBN=60∘，
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60∘，
即∠MBH+∠MBC=60∘，
∴∠HBN=∠GBM，
∵CH是等边三角形的高，
∴BH=12AB，
∴BH=BG，
又∵BM旋转到BN，
∴BM=BN，
∴△MBG≌△NBH(SAS)，
∴MG=NH，
根据垂线段最短，当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，
此时∠BCH=12×60∘=30∘，
CG=12BC=12×12=6，
∴MG=12CG=3，
∴HN=3.
∴线段HN长度的最小值是3.
故答案为：3.
取BC的中点，连接MG，根据等边三角形的性质和旋转可以证明△MBG≌△NBH，可得MG=NH，根据垂线段最短，当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，进而根据30度角所对直角边等于斜边的一半即可求得线段HN长度的最小值．
本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
18.【答案】①②④
【解析】解：∵∠ABC=90∘，BG⊥CD，
∴∠ABG+∠CBG=90∘，∠BCD+∠CBG=90∘，
∴∠ABG=∠BCD.
在△ABG和△BCD中，
∠ABG=∠BCD、AB=BC、∠BAG=∠CBD=90∘，
∴△ABG≌△BCD(ASA)，
∴AG=BD，
∵BD=12AB，
∴AG=12BC，
在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，
∴AB⊥BC，
∴AG⊥AB，AG//BC，
∴△AFG∽△CFB，
∴AGAB=FGFB，即①正确；
∵△ABG≌△BCD
∴∠G=∠BDC，AG=BD，
∵AD=DB，
∴AG=AD，
∵AB=BC，∠ABC=90∘，
∴∠CAB=45∘，
∵∠BAG=90∘，
∴∠GAF=45∘，
∴∠GAF=∠CAB，
在△AGF和△ADF中，
AG=AD、∠GAF=∠CAB、AF=AF，
∴△AFG≌△AFD(SAS)，
∴∠ADF=∠G=∠CDB，即②正确；
∵△AFG∽△CFB，
∴GFBF=AGBC=12，
∴FG=12FB，
∵FE≠BE，
∴点F是GE的中点不成立，故③错误；
∵△AFG∽△CFB，
∴AFCF=AGBC=12，
∴AF=13AC，
∵AC= 2AB，
∴AF= 23AB，故④正确；
综上，①②④正确．
故答案为：①②④．
根据同角的余角相等可得∠ABG=∠BCD，然后再利用“角边角”证明△ABG和△BCD全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=BD，然后求出AG=12BC，再求出△AFG和△CFB相似，然后根据相似三角形的性质可得AGAB=FGFB，即①正确；由△ABG和△BCD全等，可得∠G=∠BDC，AG=BD，然后再证明△AFG≌△AFD，最后运用全等三角形的性质即可证明②正确；先说明FG=12FB，再根据EF=BE，即可说明③错误；根据相似三角形的性质可得AFFC=12，再根据等腰直角三角形的性质可得AC= 2AB，然后整理即可得AF= 23AB，即④正确．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，灵活运用相似三角形的判定方法和相似三角形的性质是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作；
(2)如图，△A2B2C2为所作；
(3)线段BC扫过的而积为90π×(3 2)2360−90π×( 10)2360=2π.
【解析】(1)利用网格特点和轴对称的性质画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1，从而得到△A1B1C1；
(2)利用网格特点和旋转的性质画出点A1、B1、C1的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2；
(3)根据扇形的面积公式，利用线段BC扫过区域的面积=S扇形COC2−S扇形BOB2进行计算即可．
本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
20.【答案】解：(1)∵−2，−1，1中有2个负数，
∴抽取的卡片上数字为负数的概率等于23.
故答案为：23
(2)根据题意，列出表格，如下：
得到共有9种等可能结果，其中点(x,y)在双曲线y=2x上的有2种，
∴点(x,y)在双曲线y=2x上的概率29.
【解析】(1)直接根据概率公式，即可求解；
(2)根据题意，列出表格得到得到共有9种等可能结果，其中点(x,y)在双曲线y=2x上的有2种，再由概率公式，即可求解．
本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意吧，准确画出树状图或列出表格是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵AF⊥DE，四边形ABCD是矩形，
∴∠AFD=90∘=∠C，∠ADF+∠DAF=90∘.
又∵∠ADF+∠EDC=90∘，
∴∠EDC=∠DAF，
∴△EDC∽△DAF；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB=3，∠ADC=∠C=90∘BC=AD=2.
∵点E为BC中点，
∴CE=1，
∴DE= DC2+CE2= 10.
∵△EDC∽△DAF，
∴DEAD=CEFD，即 102=1FD，
∴FD= 105.
∴EF=DE−DF= 10− 105=4 105.
【解析】(1)由矩形的性质可得出DC的长及∠ADC=∠C=90∘，利用勾股定理可求出DE的长，由垂直的定义可得出∠AFD=∠C，利用同角的余角相等可得出∠EDC=∠DAF，进而可得出△EDC∽△DAF；
(2)利用相似三角形的性质，列出比利时，进而可求出DF的长度，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理，利用“两角对应相等，两个三角形相似”证出△EDC∽△DAF是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵A(m,1)，
∴CD=3AC=3，AD=2
∴D点坐标为(m,3)，
∵AD=BD=2，
∴B点坐标为(m−2,3)，
则3(m−2)=m，
解得m=3，
把A(3,1)代入y=kx得，1=k3，
解得k=3；
(2)把A(m,1)代入y=kx得1=km，
解得k=m，
由(1)得D点坐标为(m,3)，
则B点坐标为(m3,3)，
∵四边形BECD的面积为CD×BD，即3×(m−m3)=8，
解得m=4，
则B点坐标为(43,3).
【解析】(1)根据AD=BD，CD=3AC表示出点B坐标，根据反比例函数性质列出方程即可求出m值，代入可求k的值；
(2)表示出B点坐标，根据四边形BECD的面积为8，列出方程即可求解．
本题考查了反比例函数图象的性质，解题关键是通过设点的坐标，列出方程求解．
23.【答案】解：(1)设y与x的函数解析式为y=kx+b，
将(14,46)、(24,36)代入，
得：14k+b=4624k+b=36，
解得：k=−1b=60，
所以y与x的函数解析式为y=−x+60(15≤x≤24)；
(2)根据题意知，W=(x−14)y=(x−14)(−x+60)=−x2+74x−840，
∵−b2a=−742×(−1)=37，
又∵a=−1<0，
∴当x<37时，W随x的增大而增大，
∵14≤x≤24，
∴当x=24时，W取得最大值，最大值为360，
答：每件销售价为24元时，每天的销售利润最大，最大利润是360元．
【解析】(1)利用待定系数法求解可得y关于x的函数解析式；
(2)根据“总利润=每件的利润×销售量”可得函数解析式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
本题考查了一次函数与二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：如图，连接EF，
∵∠BAC=90∘，
∴EF是⊙O的直径，
∴OA=OE，
∴∠BAD=∠AEO，
∵点D是Rt△ABC的斜边BC的中点，
∴AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∴∠AEO=∠B，
∴OE//BC，
∵EG⊥BC，
∴OE⊥EG，
∵点E在⊙O上，
∴EG是⊙O的切线；
(2)∵⊙O的半径为5，
∴EF=2OE=10，
在Rt△AEF中，AF=6，
根据勾股定理得，AE= EF2−AF2= 102−62=8，
由(1)知OE//BC，
∵OA=OD，
∴BE=AE=8.
∵EF//BC，
∴∠B=∠FEA，
∴sinB=sin∠FEA，
∴EGBE=AFEF，
即EG8=610，
解得EG=245.
【解析】(1)先判断出EF是⊙O的直径，进而判断出OE//BC，即可得出结论；
(2)先根据勾股定理求出AE，再判断出BE=AE，sinB=sin∠FEA得出比例式，根据即可得出结论．
此题主要考查了圆的有关性质，切线的判定，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，勾股定理，正弦的定义，综合运用以上知识是解本题的关键．
25.【答案】解：(1)如图所示，过点E作EM⊥CD，EN⊥BC，垂直分别为M，N，
∵将射线ED绕点E顺时针旋转90∘得到射线EF，
∴DE=FE，∠DEF=90∘，
∵∠EMC=∠MCN=∠CNE=90∘，
∴四边形ENCM是矩形，则∠MEN=90∘，
∵∠MEF+∠NEF=∠MEF+∠BEM=90∘，∴∠NEF=∠DEM，∠ENF=∠EMD=90∘，EF=ED，∴△ENF≌△EMD(AAS)，∴DM=NF，EN=EM=MC，
则四边形EMCN是正方形，
∴CD+CF=CM+DM+CF=CM+NF+CF=CM+CN=2CM，EC= 2CM，
∴CD+CF= 2CE；
(2)CD−CF= 2CE，理由如下，
过点E作EM⊥CD，EN⊥BC，垂直分别为M，N，
同理可得△ENF≌△EMD(AAS)，∴DM=NF，EN=EM=MC，
则四边形EMCN是正方形，
∴CD−CF=CM+DM−CF=CN+NF−CF=2CN，EC= 2CN，
∴CD−CF= 2CE；
(3)如图，当点E在线段AC上时，
∵AB=8，
∴AC= 2AB=8 2,CD=AB=8
∵AE=3CE，
∴CE=14AC=2 2
∵EN=CN= 22CE=2
又∵CD−CF= 2CE
∴CF=4
∴S△CEF=12CF×EN=12×4×2=4，
当点E在AC的延长线上时，
∵AB=CD=8，AC=8 2，AE=3CE∴CE=4 2
∴EN=4
如图所示过点E作EM⊥CD，EN⊥BC，垂直分别为M，N，
同理可得△ENF≌△EMD(AAS)，
则DM=NF，
则CF=CN+NF=CN+DM=CN+CM+CD=4+4+8=16
∴S△CEF=12CF×EN=12×16×4=32.
【解析】(1)过点E作EM⊥CD，EN⊥BC，垂直分别为M，N，证明△ENF≌△EMD(AAS)得出四边形EMCN是正方形，进而即可得出结论；
(2)同(1)的方法，证明证明△ENF≌△EMD(AAS)得出四边形EMCN是正方形，进而即可得出结论；
(3)分点E在线段AC上时，当点E在AC的延长线上时，分别画出图形，根据勾股定理得出CF，EN的长即可求解．
本题考查了正方形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于点A(−4,0)，B(1,0)，
∴16a−4b−3=0 a+b−3=0 ，
∴a=34 b=94 ，
∴抛物线的函数解析式为：y=34x2+94x−3，
(2)由y=34x2+94x−3，令x=0，
解得y=−3，
∴C(0,−3)，
设过点A(−4,0)，C(0,−3)的直线AC解析式为y=kx−3，
则−4k−3=0，
解得：k=−34，
∴直线AC的解析式为y=−34x−3；
设D(t,−34t−3)，
依题意，E(t,34t2+94t−3)，DG=−t，
∴DE=−34t2−3t，
∴矩形DEFG的周长为2(DE+DG)=2(−34t2−3t−t)=−32t2−8t=−32(t+83)2+323，
∵a=−32<0，
∴当t=−83时，矩形DEFG的周长最大值为323；34t2+94t−3=34(t−1)(t+4)=34(−83−1)(−83+4)=−34×113×43=−113，
∴E(−83,−113)；
(3)∵点P是直线AC上一动点，
设P(n,−34n−3)，
∵A(−4,0)，O(0,0)
∴AP2=(−4−n)2+(−34n−3)2=2516n2+252n+25，
AO2=16，OP2=n2+(−34n−3)2=2516n2+92n+9
①当OP为对角线时，则AO=AP，
即2516n2+252n+25=16，
解得：n1=−365,n2=−45，
∴P(−365,125),(−45,−125)，
，
根据平移可得Q(−165,125),(165,−125)
②当AO为对角线时，则AP=OP，
即2516n2+252n+25=2516n2+92n+9，
解得：n=−2，则P(−2,−32)，根据轴对称可得Q(−2,32)，
当AP为对角线时，AO=OP，
即2516n2+92n+9=16，
解得：n1=2825,n2=−4，
∴P(2825,−9625)，
由平移得：Q(−7225,−9625)，
综上所述，Q(−165,125),(165,−125)或Q(−2,32)或Q(−7225,−9625).
【解析】(1)待定系数法求解析式即可求解；
(2)根据抛物线解析式求得点C的坐标，进而得出直线AC的解析式，设D(t,−34t−3)，依题意，E(t,34t2+94t−3)，DG=−t，得出DE=−34t2−3t，根据矩形的周长得出关于t的二次函数，进而根据二次函数的性质即可求解；
(3)点P是直线AC上一动点，设P(n,−34n−3)，分三种情况讨论，①当OP为对角线时，则AO=AP，即2516n2+252n+25=16②当AO为对角线时，则AP=OP，即2516n2+252n+25=2516n2+92n+9，当AP为对角线时，AO=OP即2516n2+92n+9=16，根据菱形的性质进而求得Q点的坐标即可求解．
本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求解析式，线段周长最值问题，特殊四边形，掌握二次函数的性质是解题的关键．−2
−1
1
−2
(−2,−2)
(−2,−1)
(−2,1)
−1
(−1,−2)
(−1,−1)
(−1,1)
1
(1,−2)
(1,−1)
(1,1)