2022-2023学年辽宁省沈阳市铁西区九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年辽宁省沈阳市铁西区九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若x4=3y，则xy的值为( )
A. 12B. 43C. 34D. 7
2.如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它从上面看到的形状图是( )
A.
B.
C.
D.
3.已知关于x的方程x2+x+2a−4=0的一个根是−1，则a的值是( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
4.小红有两顶帽子，分别为粉色和黑色，有两条围巾，分别为粉色和白色，她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为粉色帽子和粉色围巾的概率是( )
A. 12B. 13C. 14D. 56
5.下列函数关系中，是二次函数的是( )
A. 在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系
B. 当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C. 等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D. 半圆面积S与半径R之间的关系
6.如图，有三个矩形，其中是相似图形的是( )
A. 甲和乙B. 甲和丙C. 乙和丙D. 甲、乙和丙
7.已知反比例函数y=kx(k≠0)，当−2≤x≤−1时，y的最大值是6，则当x≥2时，y有( )
A. 最小值−6B. 最小值−3C. 最大值−6D. 最大值−3
8.下列方程没有实数根的是( )
A. x2+4x=10B. 3x2+8x−3=0
C. x2−2x+3=0D. (x−2)(x−3)=12
9.如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A(−2,5)，则点C的坐标是( )
A. (5,−2)B. (2,−5)C. (2,5)D. (−2,−5)
10.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与y轴的交点在(0,1)与(0,2)之间，对称轴为x=−1，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：①b=2a；②−34；⑤当x<0时，y随x的增大而减小.其中正确的结论有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.把一元二次方程x(x−3)=6化成ax2+bx+c=0的一般形式，其中a=1，则常数项是______ .
12.从同一批产品中抽检了1000件，其中不合格的产品有10件，由此估计从这批产品中抽检1件产品合格的概率是______ .
13.如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AD=2：3，则△ABC与△DEF的周长比是______.
14.如图，小亮从一盏9米高的路灯下B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE是2米，则小亮的身高DC为__________米.
15.已知点P为二次函数y=x2−2x−3图象上一点，设这个二次函数的图象与x轴交于A，B两点(A在B的右侧)，与y轴交于C点，若∠CAP=90∘，则点P的横坐标的值为______ .
16.正方形ABCD中，AB=6，点E在直线AD上，且DE=13AE，连接BE，线段BE的垂直平分线交CD边于点F，则DF的长为______ .
三、解答题：本题共9小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
解方程：3x2−3x−1=0.
18.(本小题8分)
已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD上一点，连接BE，CE，OE，且BE=CE.求证：△BEO≌△CEO.
19.(本小题8分)
张老师和王老师参加了学校组织的党员志愿者活动，积极参与学校的常规服务.每个志愿者都可以从以下三个项目中任选一项参加：①早晨组织学生按秩序入校；②组织学生午餐；③带领学生进行体育锻炼.请用列表或画树状图的方法，求张老师和王老师选择参加同一项目的概率(用序号表示各项目).
20.(本小题8分)
某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.假设果园增种x棵橙子树，增种后果园橙子的总产量为y个，那么请你求出当果园增种多少棵橙子树时，橙子的总产量最多，并求出此时的总产量.
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，点D在AC边上，作DE//AB交BC边于点E，AC=6，BC=7.将△DCE绕点C旋转，旋转后点D的对应点为点F，点E的对应点为点G，且点F在△ABC的内部，连接AF，BG.
(1)求AFBG的值；
(2)判断直线AF与BG的位置关系，并说明理由.
22.(本小题10分)
某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50.7万个，求该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率.
23.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO的直角顶点B的坐标为(2,m)，点A在y轴正半轴上，将△ABO沿y轴向下平移得到△DEF，点B的对应点E恰好在反比例函数y=−6x(x>0)的图象上.
(1)求m的值；
(2)求△ABO平移的距离；
(3)点P是x轴上的一个动点，当△PEF的周长最小时，请直接写出此时点P的坐标及△PEF的周长.
24.(本小题12分)
(1)如图1，△ABC中，点D在BC边上，且与点B，C不重合，点G是线段AD上一点，不与点A，D重合，过点G作EF//BC，分别交AB，AC于点E，F.
①求证：EGBD=FGDC；
②连接ED，DF，当四边形AEDF是平行四边形时，S四边形AEDF：S△ABC=______ ；
(2)如图2，在△ABC中，AD是中线，点E在线段AD上，EF//BC交AC于点F，EG⊥EF，且点G与点E在BC边两侧，连接FG，BG，∠EGF=∠ABC，FG=10，AB=15，AE：AD=2：3，请直接写出BG的长.
25.(本小题12分)
如图抛物线y=15x2+bx−3的对称轴为x=−2，对称轴与x轴交于点A，抛物线与y轴交于点B，点C，D为抛物线上的两个动点，且点C在点D的右侧，∠CAD=90∘.
(1)求该抛物线的函数表达式及线段AB的长；
(2)当点C与点B重合时，直接写出点D的坐标；
(3)当点C不与点B重合时，且△CAD与(2)中的△CAD相似时，请直接写出点C的横坐标.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为x4=3y，
所以xy=12.
故选：A.
利用比例的性质，把比例式化成等积式即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．比例的性质：内项之积等于外项之积．
2.【答案】C
【解析】解：根据题意可得，球体从上面看到的形状图是一个圆，圆柱从上面看到的形状图也是一个圆，圆柱的底面圆的半径大于球体的半径，如图，
故C选项符合题意．
故选：C.
本题主要考查了简单几何体从上面看到的形状图．
3.【答案】D
【解析】解：把x=−1代入方程x2+x+2a−4=0得1−1+2a−4=0，
解得a=2.
故选：D.
把x=−1代入方程x2+x+2a−4=0得1−1+2a−4=0，然后解关于a的方程．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4.【答案】C
【解析】解：列表如下：
由表知，共有4种等可能结果，其中恰好为粉色帽子和粉色围巾的只有1种结果，
所以恰好为粉色帽子和粉色围巾的概率为14，
故选：C.
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查的是二次函数定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行判断即可．
【解答】
解：A、在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系不一定是一次函数，错误；
B、t=sv不是二次函数，错误；
C、C=3a，是正比例函数，错误；
D、S=12πR2.是二次函数，正确；
故选：D.
6.【答案】B
【解析】解：甲：邻边的比为3：2，
乙：邻边的比为2.5：1.5=5：3，
丙：邻边的比为1.5：1=3：2，
所以，是相似图形的是甲和丙．
故选B.
分别求出矩形的邻边的比，再根据相似多边形的定义解答．
本题考查了相似图形，根据矩形的性质，只需求出邻边的比即可，比较简单．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是反比例函数的性质，根据题意求出k的值，利用反比例函数的增减性求解是解题的关键．
先根据反比例函数y=kx(k≠0)，当−2≤x≤−1时，y的最大值是6可知k=−6，再由反比例函数的性质即可得出结论．
【解答】
解：∵反比例函数y=kx(k≠0)，当−2≤x≤−1时，y的最大值是6，
∴此函数图象的一个分支在第二象限，y随x的增大而增大，
∴当x=−1时，y=6，
∴反比例函数的解析式为y=−6x.
∵当x≥2时，函数图象位于第四象限，y随x的增大而增大，
∴当x≥2时，y有最小值，y最小=−62=−3.
故选：B.
8.【答案】C
【解析】解：A、方程变形为：x2+4x−10=0，△=42−4×1×(−10)=56>0，所以方程有两个不相等的实数根，故A选项不符合题意；
B、△=82−4×3×(−3)=100>0，所以方程有两个不相等的实数根，故B选项不符合题意；
C、△=(−2)2−4×1×3=−8<0，所以方程没有实数根，故C选项符合题意；
D、方程变形为：x2−5x−6=0，△=52−4×1×(−6)=49>0，所以方程有两个不相等的实数根，故D选项不符合题意．
故选：C.
分别计算出判别式△=b2−4ac的值，然后根据△的意义分别判断即可．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根的判别式△=b2−4ac.当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是菱形的性质，关于原点对称的点的坐标特征，掌握菱形对角线互相平分是解题关键．
由菱形的对角线相互平分可知点A与C关于原点对称，从而得结论．
【解答】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，即点A与点C关于原点对称，
∵点A(−2,5)，
∴点C的坐标是(2,−5).
故选：B.
10.【答案】B
【解析】解：∵抛物线对称轴为直线x=−b2a=−1，
∴b=2a，①正确．
∵抛物线经过(−1,4)，
∴a−b+c=−a+c=4，
∴a=c−4，
∵抛物线与y轴交点在(0,1)与(0,2)之间，
∴1∴−3∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2−4ac>0，即4ac−b2<0，③正确．
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=m−4(a≠0)有两个不相等的实数根，
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m−4有两个交点，
∵抛物线开口向下，顶点坐标为(−1,4)，
∴m−4<4，
∴m<8，④错误．
由图象可得x<−1时y随x增大而增大，
∴⑤错误．
故选：B.
由抛物线对称轴为直线x=−1可判断①，由抛物线顶点坐标可得a与c的关系，由抛物线与y轴交点位置可判断c的取值范围，从而判断②，由抛物线与x轴交点个数可判断③，由抛物线与直线y=m−4交点个数判断④，由图象可得x<−1时，y随x增大而增大，从而判断⑤．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
11.【答案】−6
【解析】解：x(x−3)=6化成一般形式为x2−3x−6=0，
则常数项是−6.
故答案为：−6.
一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
12.【答案】0.99
【解析】解：估计从这批产品中抽检1件产品合格的概率是1000−101000=0.99，
故答案为：0.99.
用合格产品的数量除以总数量即可得出答案．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
13.【答案】2：5
【解析】解：∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．
∴△ABC和△DEF的位似比为OA：OD，
∵OA：AD=2：3，
∴OA：OD=2：5，
∴△ABC与△DEF的周长比是2：5.
故答案为：2：5.
先根据位似的性质得到△ABC和△DEF的位似比为OA：OD，再利用比例性质得到OA：OD=2：5，然后利用相似比等于位似比和相似三角形的性质求解．
本题考查了位似变换．位似变换的两个图形相似．相似比等于位似比．
14.【答案】1.8
【解析】解：如图，CE=2米，BC=8米，AB=9米，CD//AB，
∴BE=BC+CE=10米，
∵CD//AB，
∴△ECD∽△EBA，
∴CDAB=CEBE，即CD9=210，
解得AB=1.8(米)，
即小亮的身高DC为1.8米；
故答案为：1.8.
根据CD//AB，得出△ECD∽△EBA，进而得出比例式求出即可．
此题主要考查了相似三角形的应用，得出△ECD∽△EBA是解决问题的关键．
15.【答案】−2
【解析】解：对于y=x2−2x−3①，令y=0，则x=3或−1，令x=0，则y=−3，
故点A、B、C的坐标分别为：(3,0)、(−1,0)、(0,−3).
当∠PAC为直角时，如图，
由点A、C的坐标知，OA=OC=3，即直线AP与x轴负半轴的夹角为45∘，
而∠PAC为直角，故直线PA的倾斜角为45∘，
故设直线PA的表达式为：y=−x+b，将点A的坐标代入得：b=3，
故直线AP的表达式为：y=−x+3②，
联立①②解得：x=−2或3(舍去3)，
故点P(−2,5)；
故答案为：−2.
先求出A、B、C三点坐标，设直线PA的表达式为：y=−x+b，将点A的坐标代入求出b的值，进而可得出直线AP的解析式，求出直线AP与抛物线的交点即可得出结论．
本题考查的是抛物线与x轴的交点，解题的关键是求出直线AP的解析式．
16.【答案】9316或214
【解析】解：以B为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，连接BF，EF，
①当E在AD延长线上时，如图：
∵正方形ABCD中，AB=6，
∴BC=6=AD，直线CD解析式为x=6，
∵DE=13AE，
∴DE=12AD=3，
∴AE=9，
∴E(9,6)，
∵线段BE的垂直平分线交CD边于点F，
∴BF=EF，
设F(6,m)，则62+m2=(9−6)2+(6−m)2，
解得m=34，
∴F(6,34)，
∵D(6,6)，
∴DF=6−34=214；
②当E在线段AD上时，如图：
∵DE=13AE，
∴DE=14AD=32，
∴AE=92，
∴E(92,6)，
设F(6,n)，
由BF=EF可得62+n2=(6−92)2+(n−6)2，
解得n=316，
∴F(6,316)，
∵D(6,6)，
∴DF=6−316=9316；
故答案为：9316或214.
以B为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，连接BF，EF，分两种情况：①当E在AD延长线上时，可得E(9,6)，根据线段BE的垂直平分线交CD边于点F，设F(6,m)，有62+m2=(9−6)2+(6−m)2，即可解得F(6,34)，故DF=6−34=214；②当E在线段AD上时，同理可得DF=9316.
本题考查正方形的性质及应用，涉及勾股定理及应用，平面直角坐标系等知识，解题的关键是建立平面直角坐标系，求出点F的坐标．
17.【答案】解：3x2−3x−1=0，
这里a=3，b=−3，c=−1，
∵b2−4ac=(−3)2−4×3×(−1)=21>0，
∴x=−b± b2−4ac2a=3± 212×3，
∴x1=3+ 216，x2=3− 216.
【解析】先求出b2−4ac的值，再代入公式求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，能选择正确的方法解方程是解此题的关键．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AC=BD，OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，
∴OB=OC，
在△BEO和△CEO中，
OE=OEBE=CEOB=OC，
∴△BEO≌△CEO(SSS).
【解析】根据矩形的性质得OB=OC，以此即可通过SSS证明△BEO≌△CEO.
本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质，根据矩形的对角线相等，且互相平分得到OB=OC是解题关键．
19.【答案】解：列表如下：
由表知，共有9种等可能结果，其中张老师和王老师选择参加同一项目的有3种结果，
所以张老师和王老师选择参加同一项目的概率为13.
【解析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】解：y=(100+x)(600−5x)=−5x2+100x+60000；
令y=60400，即60400=−5x2+100x+60000，
解得x1=10−2 5，x2=10+2 5，
∵y=−5x2+100x+60000=−5(x−10)2+60500.
该函数图象关于直线x=10对称，当x<10时，y随x的增大而增大；当x>10时，y随x的增大而减小；所以当10−2 560400.
∴增种的棵树为6、7、8、9、10、11、12、13、14时，可以使橙子的总产量在60400个以上．
【解析】根据题意果园橙子的总产量=每个橙子树结的橙子个数×树的个数，由二次函数的性质可求解．
本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象性质，掌握二次函数的性质是本题的关键．
21.【答案】解：(1)∵DE//AB，
∴CD：AC=CE：CB，
∵△CDE旋转后得到△CFG，
∴CF=CD，CG=CE，
∴CF：AC=CG：BC，
∵∠DCE=∠FCG=90∘，
∴∠ACF+∠FCE=∠BCG+∠FCE，
∴∠ACF=∠BCG，
∴△CAF∽△CBG，
∴AFBG=ACBC=67；
(2)AF⊥BG，理由如下：
延长AF交BG于H，
∵△CAF∽△CBG，
∴∠CAF=∠CBG，
∵∠AEC=∠BEH，
∴∠BHE=∠ACE=90∘，
∴AF⊥BG.
【解析】(1)由条件可以证明△CAF∽△CBG，由相似三角形的对应边成比例，即可求解；
(2)由△CAF∽△CBG，得到∠CAF=∠CBG，又∠AEC=∠BEH，由三角形内角和定理得到∠BHE=∠ACE=90∘，即可证明AF⊥BG.
本题考查相似三角形的判定和性质，旋转的性质，关键是掌握相似三角形的判定和性质．
22.【答案】解：设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x，
由题意得：30(1+x)2=50.7，
解得：x1=0.3=30%，x2=−2.3(不符合题意，舍去)，
答：该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为30%.
【解析】设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x，利用三月份的口罩产量=一月份的口罩产量×(1+该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率)2，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】解：(1)过B点作BH⊥AO于H，
∵△ABO是等腰直角三角形，B(2,m)，
∴OH=BH=2，
∴m=2，
(2)由平移可得B点横坐标和E点横坐标相同，设E(2,n)，
∵E在反比例函数y=−6x(x>0)的图象上，
∴n=−62=−3，
∴E(2,−3)，
∴△ABO平移的距离为5.
(3)作F点关于x轴的对称点F′，连接EF′，交x轴于P，此时△PEF的周长最小，最小值为EF′+EF，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DFM=45∘，
∴EM=MD=MF=2，
由E(2,−3)得F(0,−5)，
∴F′(0,5)，
设直线EF′的表达式为：y=kx+b，则b=52k+b=−3，
解得：k=−4b=5，
∴直线DF的表达式为y=−4x+5，
令y=0，则−4x+5=0，解得x=54，
∴P(54,0)，
∵E(2,−3)，F(0,−5)，F′(0,5)，
∴EF= 22+(−3+5)2=2 2，EF′= 22+(−3−5)2=2 17，
∴△PEF的周长的最小值为2 17+2 2.
【解析】(1)利用等腰直角三角形的性质求出即可；
(2)根据平移的特点和反比例函数图象上点的坐标特征解答即可；
(3)作F点关于x轴的对称点F′，连接EF′，交x轴于P，此时△PEF的周长最小，最小值为EF′+EF.
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，待定系数法求一次函数的解析式，轴对称-最短路线问题，坐标与图形变化-平移，求得点的坐标是解答本题的关键．
24.【答案】1：2
【解析】(1)①证明：∵EF//BC，
∴△AEG∽△ABD，△AFG∽△ACD，
∴AGAD=EGBD，AGAD=GFCD，
∴EGBD=FGDC；
②解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AG=GD=12AD，S△AEF=12S▱AEDF，
∵△AEG∽△ABD，△AFG∽△ACD，
∴AEAB=AGAD=12，AFAC=AGAD=12，
∵EF//BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴S△AEFS△ABC=(AEAB)2=14，
∴S△AEF=14S△ABC，
∴S四边形AEDF：S△ABC=1：2，
故答案为：1：2；
(2)解：如图，延长FE交AB于点H，连接GH交BC于N，设FG交BC于M，
∵AD是中线，
∴CD=BD，
∵EF//BC，
∴△AEF∽△ADC，△AEH∽△ADB，
∴AEAD=EFCD=23，AHAB=EHBD=23=AEAD，
∴EFCD=EHDB，AH=23AB=10，
∴EF=EH，BH=5，
又∵GE⊥EF，
∴FG=GH=10，
∵GE⊥FH，
∴∠EGF=∠EGH，
∵∠EGF=∠ABC，
∴∠EGH=∠ABC，
∵EF//BC，
∴∠FHN=∠BNH，
又∵∠EGH=∠ABC，
∴∠GEH=∠BHN=90∘，
∴GB= BH2+GH2= 25+100=5 5.
(1)①通过证明△AEG∽△ABD，△AFG∽△ACD，可得AGAD=EGBD，AGAD=GFCD，可求解；
②由平行四边形的性质可得AG=GD=12AD，S△AEF=12S▱AEDF，由相似三角形的性质可得S△AEF=14S△ABC，即可求解；
(2)由相似三角形的性质可求BH的长，由等腰三角形的性质可求GH的长，先证明∠GEH=∠BHN=90∘，再利用勾股定理可求解．
本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵抛物线y=15x2+bx−3的对称轴为x=−2，
∴−b2×15=−2，
∴b=45，
∴该抛物线的函数表达式为：y=15x2+45x−3；
当x=0时，y=−3，
∴B(0,−3)，
由题意得：A(−2,0)，
∴AB= 22+32= 13；
(2)如图1，点C与B重合，过点D作DE⊥x轴于E，
由(1)知：OA=2，OB=3，
∵∠CAD=90∘，
∴∠OAB+∠DAE=90∘，
∵∠OAB+∠ABO=90∘，
∴∠DAE=∠ABO，
∵∠AED=∠BOA=90∘，
∴△BOA∽△AED，
∴OBOA=AEED=32，
设AE=3t，DE=2t(t>0)，
∴D(−2−3t,−2t)，
∵点D在抛物线y=15x2+45x−3上，
∴15(−2−3t)2+45(−2−3t)−3=−2t，
解得：t=1或−199(舍)，
∴D(−5,−2)；
(3)设C(a,15a2+45a−3)，
如图2，过点C作CN⊥OA于N，过点D作DM⊥OA于M，
由(2)知：F(−5,−2)，A(−2,0)，B(0,−3)，
∴AB=AF，
∵∠BAF=90∘，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∵△CAD∽△BAF，
∴△CAD也是等腰直角三角形，
同理得：△CNA≌△AMD，
∴CN=AM=−15a2−45a+3，AN=DM=2+a，
∴D(−2+15a2+45a−3,−a−2)，
∴15(15a2+45a−5)2+45(15a2+45a−5)−3=−a−2，
15(15a2+45a−5)2+45(15a2+45a−5)=−a+1，
(15a2+45a−5)2+4(15a2+45a−5)=−5(a−1)，
(a−1)[(15a2+45a−5)(a+5)+25]=0，
解得：a1=1，a2=−9+ 1012，a3=−9− 1012，a4=0(舍)，
综上所述，点C的横坐标是1或−9+ 1012或−9− 1012.
【解析】(1)先根据抛物线的对称轴公式：x=−b2a列方程可得b的值，从而得抛物线的函数表达式，根据两点的距离公式可得线段AB的长；
(2)作辅助线，构建相似三角形，证明△BOA∽△AED，列比例式可得AE和DE的关系，设AE=3t，DE=2t(t>0)，表示点D的坐标，代入抛物线的解析式可解答；
(3)根据(2)中的点D的坐标就是图2中的点F，计算得△ABF是等腰直角三角形，当△CAD与(2)中的△CAD相似时，△CAD也是等腰直角三角形，作辅助线构建全等三角形，列方程可解答．
本题是二次函数的综合题，考查的是二次函数综合运用，涉及到旋转的性质，三角形全等和相似的性质和判定，待定系数法求二次函数的解析式等知识点，其中(3)中，确定△ABF是等腰直角三角形是本题的重点，本题有一定的难度．粉
黑
粉
(粉，粉)
(黑，粉)
白
(粉，白)
(黑，白)
王老师
张老师
①
②
③
①
(①，①)
(②，①)
(③，①)
②
(①，②)
(②，②)
(③，②)
③
(①，③)
(②，③)
(③，③)