2022-2023学年辽宁省葫芦岛市连山区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年辽宁省葫芦岛市连山区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列式子中是分式的是( )
A. 23B. −9a−bC. m−2n7D. 4acπ
2. 要使1x+2022有意义，则x的取值范围为( )
A. x≠0B. x>−2022C. x≠2022D. x≠−2022
3. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是( )
A. 3B. 6C. 9D. 18
4. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A. 3，3，6B. 6，8，10C. 5，7，2D. 5，6，12
5. 下列计算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. (a2)3=a6C. a6−a2=a4D. a5+a5=a10
6. 如果4x2−2mx+9是关于x的完全平方式，则m的值为( )
A. ±6B. 6C. ±3D. 3
7. 下列能用平方差公式计算的是( )
A. (−2m+x)(−2x−m)B. (m+x)(−m+x)
C. (−m+x)(m−x)D. (m+x)(m−2x)
8. 如图，在3×3的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则∠1和∠2的关系是( )
A. ∠1=∠2
B. ∠2=2∠1
C. ∠2=90°+∠1
D. ∠1+∠2=180°
9. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，且∠B=30°，AD=4，点E是AB上一动点，则D，E之间的最小距离为( )
A. 8B. 4C. 2D. 1
10. 如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为16cm2，则△PBC的面积为( )
A. 8cm2
B. 10cm2
C. 12cm2
D. 不能确定
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 芯片是手机、电脑等高科技产品最核心的部件，更小的芯片意味着更高的性能．目前我国芯片的量产工艺已达到14纳米，已知14纳米等于0.000000014米，请将0.000000014用科学记数法表示可记为______．
12. 分解因式：−3x3+27x=______．
13. 已知关于x的方程xx−1−2=kx−1的解为正数，则k的取值范围为______．
14. 如图，BD是△ABC的中线，AB=8，BC=5，△ABD和△BCD的周长的差是______．
15. 如图，△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD周长为l3cm，AE=4.5cm，则△ABC周长为______．
16. 如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，高AH交中线BD于点F，过A作AE⊥BD交BC于点E，连接HD，得到以下五个结论：①∠ABD=∠CAE，②△ABF≌△CAE，③∠EDC−∠CBD=30°，④AE+DE三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算．
(1)(3x2y3−x3y4)÷(2x2y2).
(2)(a+3b)(2a−b)．
18. (本小题8.0分)
解分式方程：
(1)x2−8x2−4=1+12−x；
(2)x−2x−3=2−16−2x．
19. (本小题8.0分)
先化简，再求值：x−3x2+6x+9÷(1−6x+3)，其中x=−2．
20. (本小题8.0分)
如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,5)，B(1,−2)，C(4,0)．
(1)请在图中画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并求出A′点的坐标；
(2)求△ABC的面积；
(3)在y轴上画出点P，使PA+PC的值最小，保留作图痕迹．
21. (本小题8.0分)
如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，∠A=∠D=60°．
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)若∠B=100°，求∠F的度数．
22. (本小题10.0分)
北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受欢迎，佳佳购进一批“冰墩墩”玩偶，简装版共3840元，礼盒版共8000元，礼盒版进价比简装版多8元，礼盒版进数是简装版进数的2倍．
(1)求单个“冰墩墩”简装版和礼盒版的进价；
(2)“冰墩墩”持续热销，佳佳决定再购进简装版与礼盒版共100个(总预算不超出19500元)，礼盒版最多可购进多少个？
23. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，且BE=AC．
(1)求证：AD⊥BC．
(2)若∠BAC=90°，DC=2，求BD的长．
24. (本小题10.0分)
观察下列各式16=12×13=12−13，112=13×14=13−14，120=14×15=14−15，130=15×16=15−16由此可推断
172=______=______．
(2)请猜想(1)的特点的一般规律，用含m的等式表示出来为______=______(m表示正整数)．
(3)请参考(2)中的规律计算：1(x−2)(x−3)−2(x−1)(x−3)+1(x−1)(x−2)
25. (本小题12.0分)
在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点A(0,5)，点C(−2,0)，点B在第四象限．
(1)如图1，求点B的坐标；
(2)如图2，若AB交x轴于点D，BC交y轴于点M，N是BC上一点，且BN=CM，连接DN，求证CD+DN=AM；
(3)如图3，若点A不动，点C在x轴的负半轴上运动时，分别以AC，OC为直角边在第二、第三象限作等腰直角△ACE与等腰直角△OCF，其中∠ACE=∠OCF=90°，连接EF交x轴于P点，问当点C在x轴的负半轴上移动时，CP的长度是否变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其长度．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、23是分数，故A不符合题意．
B、−9a−b是分式，故B符合题意．
C、m−2n7是多项式，故C不符合题意．
D、4acπ是单项式，故D不符合题意．
故选：B．
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．
本题考查分式的定义，解题的关键是正确理解分式的定义，本题属于基础题型．
2.【答案】D
【解析】解：要使1x+2022有意义，则x+2022≠0，
解得：x≠−2022．
故选：D．
直接利用分式有意义则分母不为零，进而得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
3.【答案】A
【解析】解：设这个多边形有n条边，由题意得：
(n−2)×180=360×2，
解得；n=6，
从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是6−3=3，
故选：A．
首先设这个多边形有n条边，由题意得方程(n−2)×180=360×2，再解方程可得到n的值，然后根据n边形从一个顶点出发可引出(n−3)条对角线可得答案．
此题主要考查了多边形的内角和外角，以及对角线，关键是掌握多边形的内角和公式．
4.【答案】B
【解析】解：根据三角形的三边关系，得：
A、3+3=6，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
B、6+8>10，能组成三角形，故此选项符合题意；
C、2+5=7，不能组成三角形，故此选项不合题意；
D、5+6<12，不能组成三角形，故此选项不符合题意．
故选：B．
根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．
此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．掌握三角形的三边关系是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、a2⋅a3=a5，错误；
B、(a2)3=a6，正确；
C、不是同类项，不能合并，错误；
D、a5+a5=2a5，错误；
故选：B．
根据同底数幂乘法、幂的乘方的运算性质计算后利用排除法求解．
本题综合考查了整式运算的多个考点，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．
6.【答案】A
【解析】解：由于(2x±3)2=4x2±12x+9
∴−2m=±12，
∴m=±6
故选：A．
根据完全平方公式即可求出答案．
本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型
7.【答案】B
【解析】解：平方差公式为表示两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，
即(a+b)(a−b)=a2−b2，
其中(B)原式=(x+m)(x−m)=x2−m2，
故选：B．
根据平方差公式即可求出答案．
本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
8.【答案】D
【解析】解：如图，
在△ABC与△EDF中，
BC=DE∠C=∠DFEAC=EF，
∴△ABC≌△EDF(SAS)，
∴∠1=∠ABC．
∵∠ABC+∠2=180°，
∴∠1+∠2=180°．
故选：D．
根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD=30°，
∵AD=4，
∴CD=12AD=2，
过点D作DE⊥AB于E，则DE为D，E之间的最小距离，

∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，
∴DC=DE=2，
故选：C．
由直角三角形的性质求出CD=2，过点D作DE⊥AB于E，则DE为D，E之间的最小距离，由角平分线的性质得出答案．
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，求出CD的长是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：延长AP交BC于点D，
∵BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP，
∴∠ABP=∠DBP，∠APB=∠DPB=90°，
在△APB与△DPB中，
∠ABP=∠DBPBP=BP∠APB=∠DPB，
∴△APB≌△DPB(ASA)，
∴AP=DP，
∴S△BDP=12S△BDA，S△CDP=12S△CDA，
∴S△PBC=S△BDP+S△CDP=12S△CDA+12S△BDA=12S△ABC=8(cm2).
故选：A．
延长AP交BC于点D，证明△APB≌△DPB(ASA)得到AP=DP，根据三角形中线的性质即可求解．
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
11.【答案】1.4×10−8
【解析】解：0.000000014=1.4×10−8．
故答案为：1.4×10−8．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要确定a的值以及n的值．
12.【答案】−3x(x+3)(x−3)
【解析】解：原式=−3x(x2−9)
=−3x(x+3)(x−3)．
故答案为：−3x(x+3)(x−3)．
先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用 ．
13.【答案】k<2且k≠1
【解析】解：去分母得x−2(x−1)=k，
所以x=−k+2，
因为关于x的方程xx−1−2=kx−1的解为正数，
所以−k+2>0，且x=−k+2≠1，
所以k<2且k≠1．
故答案为：k<2且k≠1．
首先去分母，化分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后结合题目条件即可求出k的取值范围．
本题考查分式方程的解；熟练掌握分式方程的解法，对分式方程切勿遗漏增根的情况是解题的关键．
14.【答案】3
【解析】解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD=CD，
∴△ABD和△BCD的周长差=(AB+AD+BD)−(BC+CD+BD)，
=AB+AD+BD−BC−CD−BD，
=AB−BC，
∵AB=8，BC=5，
∴△ABD和△BCD的周长差=8−5=3．
答：△ABD和△BCD的周长差为3．
故答案为：3．
根据三角形中线的定义可得AD=CD，然后求出△ABD和△BCD的周长差=AB−BC，代入数据进行计算即可得解．
本题考查了三角形的中线的定义，是基础题，数据概念并求出△ABD和△BCD的周长差=AB−BC是解题的关键．
15.【答案】22cm
【解析】解：∵DE是AC的中垂线，
∴AD=CD，
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，
又∵AE=4.5cm，
∴AC=2AE=2×4.5=9cm，
∴△ABC的周长=13+9=22(cm)．
故答案为：22cm．
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD，然后求出△ABD的周长=AB+BC，再根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并求出△ABD的周长=AB+BC是解题的关键．
16.【答案】①②④⑤
【解析】解：∵∠BAC=90°，AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH=AH，∠BAH=∠CAH=∠ABH=∠ACH=45°，
∵AE⊥BD，
∴∠ABD+∠BAE=90°=∠BAE+∠CAE，
∴∠ABD=∠CAE，故①正确；
∵∠ABD=∠CAE，AB=AC，∠BAH=∠ACH，
∴△ABF≌△CAE(ASA)，故②正确；
如图，过点C作CN⊥AC，交AE的延长线于N，连接HN，

∵∠ABD=∠CAE，AB=AC，∠BAD=∠ACN=90°，
∴△ABD≌△CAN(ASA)，
∴AD=CN，∠ADB=∠ANC，
∵BD是△ABC的中线，
∴AD=CD=CN，
∵CN⊥AC，∠ACB=45°，
∴∠BCN=45°=∠ACB，
又∵EC=EC，
∴△ECD≌△ECN(SAS)，
∴∠ANC=∠CDE，DE=EN，
∴∠CDE=∠ADB，
∵∠ADB=∠DBC+∠ACB=∠CDE，
∴∠CDE−∠DBC=∠ACB=45°，故③错误，
∵DC=CN，∠DCE=∠ECN=45°，CH=CH，
∴△DCH≌△NCH(SAS)，
∴DH=HN，
在△AHN中，AH+HN>AN，
∴AH+DH>AE+DE，故④正确；
∵AD=CD，
∴S△ADE=S△CDE，S△ABD=12S△ABC，
∵△ECD≌△ECN，
∴S△ECD=S△ECN，
∴S△ACN=3S△EDC，
∵△ABD≌△CAN，
∴S△ABD=S△CAN=3S△EDC，
∴S△ABC=6S△EDC，故⑤正确，
故答案为：①②④⑤．
由余角的性质可得∠ABD=∠CAE，故①正确；由“ASA”可证△ABF≌△CAE，故②正确；由“ASA”可证△ABD≌△CAN，可得AD=CN，∠ADB=∠ANC，由“SAS”可证△ECD≌△ECN，可得∠ANC=∠CDE=∠ADB，DE=EN，由外角的性质可得∠CDE−∠DBC=∠ACB=45°，故③错误，由“SAS”可证△DCH≌△NCH，可得DH=HN，由三角形的三边关系可得AH+DH>AE+DE，故④正确；由面积的和差关系可得S△ABC=6S△EDC，故⑤正确，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=3x2y3÷2x2y2−x3y4÷2x2y2
=32y−12xy2；
(2)原式=2a2−ab+6ab−3b2
=2a2+5ab−3b2．
【解析】(1)直接利用整式的除法运算法则计算得出答案；
(2)直接利用多项式乘多项式运算法则计算得出答案．
此题主要考查了整式的除法运算、多项式乘多项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18.【答案】解：(1)x2−8x2−4=1+12−x，
原方程化为：x2−8(x+2)(x−2)=1−1x−2，
方程两边乘(x+2)(x−2)，得x2−8=x2−4−(x+2)，
解得：x=2，
检验：当x=2时，(x+2)(x−2)=0，所以x=2是原分式方程的增根．
即原分式方程无解；
(2)x−2x−3=2−16−2x，
原方程化为：x−2x−3=2+12(x−3)，
方程两边乘2(x−3)，得2(x−2)=4(x−3)+1，
解得：x=3.5，
检验：当x=3.5时，2(x−3)≠0，所以x=3.5是原方程的解，
即原方程的解是x=3.5．
【解析】(1)变形后方程两边乘(x+2)(x−2)得出x2−8=x2−4−(x+2)，求出方程的解，再进行检验即可；
(2)方程两边乘2(x−3)得出2(x−2)=4(x−3)+1，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键，注意：解分式方程一定要进行检验．
19.【答案】解：x−3x2+6x+9÷(1−6x+3)
=x−3(x+3)2÷x+3−6x+3
=x−3(x+3)2⋅x+3x−3
=1x+3，
当x=−2时，原式=1−2+3=1．
【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求；
∵点A′与点A关于y轴对称，A(1,5)，
∴A′(−1,5)
(2)S△ABC=12×7×3=10.5；
(3)如下图，点P即为所求：连接A′C交y轴于一点，交点即为点P

【解析】(1)画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并求出A′点的坐标即可；
(2)根据网格即可求△ABC的面积；
(3)连接A′C即可在y轴上画出点P，使PA+PC的值最小．
本题考查了作图−轴对称变换、轴对称−最短路线问题，解决本题的关键是准确画图．
21.【答案】(1)证明：∵AD=CF，
∴AD+CD=CF+CD，
∴AC=DF．
在△ABC和△DEF中，
AB=DE∠A=∠EDFAC=DF，
∴△ABC≌△DEF(SAS)．
(2)解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠B=∠E=100°．
∵∠A=∠EDF=60°，
∴∠F=180°−∠EDF−∠E=20°．
【解析】(1)利用全等三角形的判定定理解答即可；
(2)利用(1)的结论和三角形的内角和定理解答即可．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，正确利用全等三角形的判定定理进行解答是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设“冰墩墩”简装版的进价为x元，则礼盒版的进价为(x+8)元，
根据题意得：2×3840x=8000x+8，
解得：x=192，
经检验得，x=192是原方程的解，且符合实际意义，
x+8=192+8=200，
答：“冰墩墩”简装版的进价为192元，则礼盒版的进价为200元；
(2)设礼盒版最多可购进y个，则简装版可购(100−y)个，
根据题意得：200y+192(100−y)≤19500，
解得：y≤3712，
答：礼盒版最多可购进37个．
【解析】(1)设“冰墩墩”简装版的进价为x元，则礼盒版的进价为(x+8)元，根据礼盒版进价比简装版多8元解方程即可得到结论；
(2)设礼盒版最多可购进y个，则简装版可购(100−y)个，根据总预算不超出19500元列不等式即可得到结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找准等量关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】(1)证明：连接AE，
∵EF是AB的垂直平分线，
∴BE=AE，
∵BE=AC，
∴AE=AC，
∵D为线段CE的中点，
∴AD⊥BC；
(2)解：∵BE=AE，
∴∠EAB=∠B，
∴∠AEC=∠EAB+∠B=2∠B，
∵AE=AC，
∴∠AEC=∠C，
∴∠C=2∠B，
∵∠BAC=90°，
∴∠C=60°，
∴△AEC为等边三角形，
∴AE=EC=4，
∴BE=AE=4，
∴BD=BE+ED=4+2=6．
【解析】(1)连接AE，根据线段垂直平分线的性质得到BE=AE，证明AE=AC，根据等腰三角形的三线合一证明结论；
(2)证明△AEC为等边三角形，根据等边三角形的性质解答即可．
本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
24.【答案】18×9 18−19 1m(m+1) 1m−1m+1
【解析】解：(1)172=18×9=18−19，
故答案为：18×9，18−19；
(2)由(1)可得，
1m(m+1)=1m−1m+1，
故答案为：1m(m+1)，1m−1m+1；
(3)1(x−2)(x−3)−2(x−1)(x−3)+1(x−1)(x−2)
=1x−3−1x−2−(1x−3−1x−1)+1x−2−1x−1
=1x−3−1x−2−1x−3+1x−1+1x−2−1x−1
=0．
(1)根据题目中的例子可以解答本题；
(2)根据(1)中的例子可以写出含m的等式；
(3)根据前面的发现，可以计算出所求式子的值．
本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律，求出所求式子的值．
25.【答案】(1)解：如图1，过B作BF⊥x轴于F，
则∠BFC=90°，
∵点A(0,5)，点C(−2,0)，
∴OA=5，OC=2，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴AC=BC，∠ABC=45°，∠FCB+∠OCA=90°，
∵∠COA=90°，
∴∠OAC+∠OCA=90°，
∴∠OAC=∠FCB，
∵∠COA=∠BFC=90°，
∴△CFB≌△AOC(AAS)，
∴FB=OC=2，FC=OA=5，
∴OF=FC−OC=5−2=3，
∴点B的坐标为(3,−2)；
(2)证明：如图2，过B作BE⊥BC交x轴于E，
则∠CBE=90°=∠ACM，
由(1)得：BC=CA，∠ECB=∠MAC，
∴△BCE≌△CAM(ASA)，
∴CE=AM，BE=CM，
∵BN=CM，
∴BE=BN，
∵∠CBE=90°，∠ABC=45°，
∴∠DBE=90°−45°=45°，
∴∠DBE=∠DBN=45°，
又∵BD=BD，
∴△BDE≌△BDN(SAS)，
∴DE=DN，
∵CD+DE=CE，
∴CD+DN=CE，
∴CD+DN=AM；
(3)解：CP的长度不变化，CP=52，理由如下：
如图3，过E作EG⊥x轴于G，
则∠EGC=90°=∠COA，
∴∠GEC+∠GCE=90°，
∵△ACE是等腰直角三角形，∠ACE=90°，
∴CE=AC，∠GCE+∠OCA=90°，
∴∠GEC=∠OCA，
∴△GEC≌△OCA(AAS)，
∴GC=OA=5，GE=OC，
∵△OCF是等腰直角三角形，∠OCF=90°，
∴OC=CF，∠FCP=90°，
∴GE=CF，∠EGP=∠FCP，
又∵∠EPG=∠FPC，
∴△EPG≌△FPC(AAS)，
∴GP=CP=12GC=52．
【解析】(1)过B作BF⊥x轴于F，先证△CFB≌△AOC(AAS)，得FB=OC=2，FC=OA=5，则OF=FC−OC=3，即可得出答案；
(2)过B作BE⊥BC交x轴于E，先证△BCE≌△CAM(ASA)，得CE=AM，BE=CM，再证△BDE≌△BDN(SAS)，得DE=DN，进而得出结论；
(3)过E作EG⊥x轴于G，先证△GEC≌△OCA(AAS)，得GC=OA=5，GE=OC，再证△EPG≌△FPC(AAS)，得GP=CP=12GC=52即可．
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识，本题综合性强，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．