2022-2023学年江苏省泰州市泰兴市九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年江苏省泰州市泰兴市九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. 2x+y=1B. x2+3xy=6C. x+1x=4D. x2=3x−2
2.若2x=5y，则下列式子中错误的是( )
A. yx=52B. yx=25C. x+yx=75D. x−yy=32
3.在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则锐角A的正切函数值( )
A. 不变B. 扩大5倍C. 缩小5倍D. 不能确定
4.已知一组数据a、b、c、d的平均数是3，在这组数据后再添加数据3得到一组新数据a、b、c、d、3，则新数据与原数据相比，方差将( )
A. 不变B. 变大C. 变小D. 不能确定
5.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=BC，∠BAO=75∘，则∠D=( )
A. 60∘
B. 30∘
C. 45∘
D. 无法确定
6.已知二次函数y=−x2+2mx，对于其图象和性质，下列说法错误的是( )
A. 图象开口向下B. 图象经过原点
C. 当x>m时，y随x的增大而增大D. 当x二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.方程x2=2x的解是__________.
8.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AB的长度为8cm，那么AP的长度为______ cm.
9.将抛物线y=−2x2向上平移3个单位长度，所得抛物线解析式为______ .
10.如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA=2，AD=3，则ABCD=______.
11.一个圆锥的底面半径和高都是2cm，则圆锥的侧面积为______ cm2.(结果保留π)
12.已知锐角△ABC中，AB=AC=10，tanB=3，则BC的长为______.
13.已知a、b是方程x2−3x−5=0的根，则式子1a+1b的值为______ .
14.如图是一座圆弧型拱桥的截面示意图，若桥面跨度AB=48米，拱高CD=16米(C为AB的中点，D为弧AB的中点).则桥拱所在圆的半径为______ 米.
15.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是______ .
16.如图，矩形CDEF中，CD=8cm，CF=6cm，点G在边FE上从F向点E运动，速度为3cm/s，同时点H在边DE上从E向点D运动，速度为4cm/s.连接CG、FH，设CG、FH交于点B，取EF的中点A，则AB的最小值为______ cm.
三、解答题：本题共10小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
(1)计算：327−(π−2023)0+ 3cs30∘；
(2)解方程：x2−4x−3=0.
18.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)取一个合适的k的值，使得方程的解为负整数并求出此时方程的解.
19.(本小题8分)
某学校要调查该校学生(学生总数1200人)双休日的学习状况，采用下列调查方式：①从一个年级里选取200名学生；②选取学校里200名女学生；③按照一定比例在三个不同年级里随机选取200名学生.
(1)上述调查方式中最合理的是______ ；(填写序号即可)
(2)将最合理的方式调查得到的数据制成频数分布直方图(如图1)和扇形统计图(如图2)，在这个样本中，200名学生双休日在图书馆等场所学习的有______ 人；
(3)在(2)的条件下，请估计该学校1200学生双休日学习时间不少于4小时的人数.
20.(本小题8分)
(1)如图，将“二”、“十”、“大”三个汉字随机填写在三个空格中(每空填一个汉字，每空中的汉字不重复)，请你用画树状图或列表的方法求从左往右汉字顺序恰好是“二十大”的概率；
(2)若在如图三个空格的右侧增加一个空格，将“祖”、“国”、“你”、“好”四个汉字任意填写其中(每空填一个汉字，每空中的汉字不重复)，从左往右汉字顺序恰好是“祖国你好”的概率为______ .
21.(本小题10分)
如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD的延长线上一点，连接BE交边CD于点F，交对角线AC于点G.
(1)求证：△BGC∽△EGA；
(2)若CGAG=23，求DFCF的值.
22.(本小题10分)
如图，点A在⊙O的直径CD的延长线上，点B在⊙O上，连接AB、BC.
(1)给出下列信息：①AB=BC；②∠A=30∘；③AB与⊙O相切.
请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，第三个作为结论，组成一个正确的命题并作出证明.你选择的条件是______ ，结论是______ (填写序号，只需写出你认为正确的一种情形).
(2)在(1)的条件下，若AB=6，求图中阴影部分的面积.
23.(本小题10分)
如图，小明想要利用无人机测量他家附近一座古塔(AB)的高度.在古塔所在的地平面上选定点C.在C处测得古塔顶端A点的仰角为53∘，小明遥控无人机悬停在点C正上方的D处时，测得古塔顶端A点的俯角为26.6∘，若此时无人机显示屏上显示其离地面的高度(CD)为110m.求古塔(AB)的高度以及观测点到古塔的水平距离(BC).(参考数据：tan26.6∘≈0.5，sin37∘=cs53∘≈0.6，tan37∘≈0.75)
24.(本小题10分)
一水果店售卖一种水果，以8元/千克的价格进货，经过往年销售经验可知：以12元/千克售卖，每天可卖60千克；若每千克涨价0.5元，每天要少卖2千克；若每千克降价0.5元，每天要多卖2千克，但不低于成本价.设该商品的价格为x元/千克时，一天销售总质量为y千克.
(1)求y与x的函数关系式.
(2)若水果店货源充足，每天以固定价格x元/千克销售(x≥8)，试求出水果店每天利润W与单价x的函数关系式，并求出当x为何值时，利润达到最大.
25.(本小题12分)
数学兴趣小组在探究圆中图形的性质时，用到了半径是6的若干圆形纸片.
(1)如图1，一张圆形纸片，圆心为O，圆上有一点A，折叠圆形纸片使得A点落在圆心O上，折痕交⊙O于B、C两点，求∠BAC的度数.
(2)把一张圆形纸片对折再对折后得到如图扇形，点M是弧PQ上一动点.
①如图2，当点M是弧PQ中点时，在线段OP、OQ上各找一点E、F，使得△EFM是等边三角形.试用尺规作出△EFM，不证明，但简要说明作法，保留作图痕迹.
②在①的条件下，取△EFM的内心N，则ON=______ .
③如图3，当M在弧PQ上三等分点S、T之间(包括S、T两点)运动时，经过兴趣小组探究都可以作出一个△EFM是等边三角形，取△EFM的内心N，请问ON的长度是否变化.如变化，请说明理由；如不变，请求出ON的长度.
26.(本小题14分)
阅读材料：小明同学在平面直角坐标系中研究中点时，发现了一个有趣的结论：若P(x1,y1)，Q(x2,y2)是平面直角坐标系内两点，R(x0,y0)是PQ的中点，则有结论x0=x1+x22，y0=y1+y22.
这其实就是中点坐标公式，有了这个公式可以解决很多坐标系中求中点坐标的问题.
已知：二次函数y=x2的函数图象上分别有A，B两点，其中B(2,4)，A，B分别在对称轴的异侧，C是AB中点，D是BC中点.利用阅读材料解决如下问题：
概念理解：(1)如图1，若A(−1,1)，求出C，D的坐标.
解决问题：(2)如图2，点A是B关于y轴的对称点，作DE//y轴交抛物线于点E.延长DE至F，使得DE=3EF.试判断F是否在x轴上，并说明理由.
拓展探究：(3)如图3，A(m,n)是一个动点，作DE//y轴交抛物线于点E.延长DE至F，使得DE=3EF.
①令F(a,b)，试探究b−4a值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
②在①条件下，y轴上一点G(0,2)，抛物线上任意一点H，连接GH，HF，直接写出GH+HF的最小值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、原方程为二元一次方程，不符合题意；
B、原式方程为二元二次方程，不符合题意；
C、原式为分式方程，不符合题意；
D、原式为一元二次方程，符合题意，
故选：D.
利用一元二次方程的定义判断即可．
此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了比例的性质，熟记比例的性质是解题关键．根据比例的性质，对每个选项进行判断即可得到答案．
【解答】
解：A.yx=25，故A错误，B正确；
C.yx=25，x+yx=75，故C正确；
D.xy=52，x−yy=5−22=32，故D正确；
故选A.
3.【答案】A
【解析】解：锐角三角函数值随着角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系，
因此锐角A的正切函数值不会随着边长的扩大而变化，
故选：A.
在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，其内角的大小不变，因此锐角A的正切函数值不变．
本题考查锐角三角函数的意义，理解锐角三角函数的意义是正确判断的关键．
4.【答案】D
【解析】解：弱a、b、c、d都不等于3时，
∵a、b、c、d的平均数是3，
∴S2=14[(3−a)2+(3−b)2+(3−c)2+(3−d)2]，
在这组数据后再添加数据3得到一组新数据a、b、c、d、3的平均数还是3，
那么这组新数据的方差为S′2=15[(3−a)2+(3−b)2+(3−c)2+(3−d)2+(3−3)2]=15[(3−a)2+(3−b)2+(3−c)2+(3−d)2]，
∴S′2∴新数据与原数据相比，方差将变小．
若a、b、c、d都为3时，S′2=S2，
故选：D.
根据原数据a、b、c、d的平均数是3，可表示出原数据的方差，在这组数据后再添加数据3得到一组新数据a、b、c、d、3的平均数还是3，再表示出新数据的方差，比较大小即可．
本题主要考查了平均数和方差的计算，解题的关键是熟练掌握方差的计算公式．
5.【答案】B
【解析】解：连接OC，
∵AB=BC，
∴AB=BC，
∴∠AOB=∠BOC=12∠AOC，
∵∠D=12∠AOC，
∴∠D=∠AOB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=75∘，
∴∠AOB=180∘−75∘−75∘=30∘，
∴∠D=∠AOB=30∘.
故选：B.
连接OC，由圆周角定理得到∠D=12∠AOC，由圆心角，弧，弦的关系得到∠AOB=12∠AOC，于是得到∠D=∠AOB，即可得到答案．
本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系，掌握以上知识点是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵a=−1<0，
∴图象开口向下；
∵当x=0时，y=0，
∴图象经过原点；
∵对称轴为：x=m，
∴当x>m时，y随x的增大而减小，当x故选：C.
根据二次函数的性质判断求解．
本题考查了二次函数的性质，掌握函数的图象特征是解题的关键．
7.【答案】x1=0，x2=2
【解析】【分析】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：把一元二次方程变形为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程得到原方程的解．
先移项得到x2−2x=0，再把方程左边进行因式分解得到x(x−2)=0，方程转化为两个一元一次方程：x=0或x−2=0，即可得到原方程的解为x1=0，x2=2.
【解答】
解：∵x2=2x
∴x2−2x=0，
∴x(x−2)=0，
∴x=0或x−2=0，
∴x1=0，x2=2.
故答案为x1=0，x2=2.
8.【答案】(4 5−4)
【解析】解：∵P为AB的黄金分割点(AP>PB)，
∴AP= 5−12AB= 5−12×8=4 5−4(cm)，
故答案为：(4 5−4).
根据黄金分割的定义得到AP= 5−12AB，即可得出答案．
此题考查了黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB：AC=AC：BC)，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
9.【答案】y=−2x2+3
【解析】解：∵抛物线y=−2x2向上平移3个单位长度，
∴平移后的抛物线顶点坐标为(0,3)，
∴得到的抛物线是解析式为y=−2x2+3.
故答案为：y=−2x2+3.
根据向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
10.【答案】25
【解析】解：∵点O为位似中心，△OAB放大后得到△OCD，
∴ABCD=OAOD=22+3=25.
故答案为：25.
利用位似的性质求解．
本题考查了位似变换，正确记忆位似的性质是解题关键．
11.【答案】4 2π
【解析】解：由圆锥底面半径r=2cm，高h=2cm，
根据勾股定理得到母线长l= r2+h2=2 2(cm)，
根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×2×2 2=4 2π(cm2)，
故答案为：4 2π.
根据圆锥的侧面积公式：S=πrl，直接代入数据求出即可．
此题主要考查了圆锥侧面积公式，熟练地应用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键．
12.【答案】2 10
【解析】解：作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵tanB=ADBD=3，
∴AD=3BD，
令BD=x，则AD=3x，
∵BD2+AD2=AB2，
∴x2+(3x)2=102，
∴x= 10，
∴BC=2BD=2x=2 10.
故答案为：2 10.
作AD⊥BC于D，由AB=AC得BD=CD，再由tanB=3，应用勾股定理即可求出BD的长，即可解决问题．
本题考查解直角三角形，关键是作AD⊥BC于D，构造直角三角形，应用正切定义，勾股定理来解决问题．
13.【答案】−35
【解析】解：∵a、b是方程x2−3x−5=0的根，
∴a+b=3，ab=−5，
∴1a+1b=a+bab=3−5=−35，
故答案为：−35.
根据根与系数的关系得出a+b=3，ab=−5，求出1a+1b=a+bab，再代入求出答案即可．
本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系内容是解此题的关键，已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)的两根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca.
14.【答案】26
【解析】解：如图，设圆的半径为R米，
∵CD平分弧AB，且CD⊥AB，
∴圆心O在CD的延长线上，
∴CD平分AB，
∴AC=12AB=24，
连接OA，在Rt△OAC中，AC=24，OA=R，OC=R−CD=R−16，
∵OA2=OC2+AC2，
∴R2=(R−16)2+242，
解得R=26，
即拱桥所在圆的半径26米．
故答案为：26.
设圆的半径为R米，由于CD平分弧AB，且CD⊥AB，根据垂径定理的推论得到圆心O在CD的延长线上，再根据垂径定理得到CD平分AB，则AC=12AB=24，在Rt△OAC中，利用勾股定理可计算出半径R.
本题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，由勾股定理得出方程是解题的关键．
15.【答案】316
【解析】解：设“东方模板”的面积为4，则阴影部分三角形面积为14，平行四边形面积为12，
则点取自黑色部分的概率为：14+124=316，
故答案为：316.
首先设正方形的面积，再表示出阴影部分面积，然后可得概率．
此题主要考查的是几何概率，解题的关键是表示图形的面积和阴影部分面积．
16.【答案】2
【解析】解：∵四边形CDEF为矩形，
∴CD=EF=8且∠E=∠CFG=90∘，
设运动时间为ts，则FG=3t，EH=4t,EHFG=4t3t=43，
又∵EFFC=86=43，
∴EHFG=EFFC=43，且∠CFG=∠E=90∘，
∴△CFG∽△FEH，
∴∠GCF=∠HFE.
又∵∠GCF+∠FGC=90∘，
∴∠HFE+∠FGC=∠90∘，
∴∠CBF=∠GBF=90∘，
∴点B在以CF为直径的半圆上运动，如图，
设圆心为O，连接AO，则OF=OC=OB=3.
∵A为EF的中点，
∴AF=AE=4.
在Rt△AFO中，AO= OF2+AF2= 32+42=5，
当A、B、O三点共线时，AB+OB=OA，即AB=OA−OB，
∴AB=5−3=2，
当A、B、O三点不共线时，AB′+OB′>OA′，即AB′>OA−OB′=5−3=2，
∴AB′>2
综上，AB≥2，
∴AB的最小值为2cm.
故答案为：2.
设运动时间为t s，则FG=3t，首先判断出△CFG∽△FEH，推导出∠CBF=∠GBF=90∘，点B在以CF为直径的半圆上运动；在Rt△AFO中，求得AO=5，然后分两种情况讨论：A、B、O三点共线与A、B、O三点不共线，推导出AB≥2，进而得解．
本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定等知识点，熟练掌握动点问题常用方法是解题关键．
17.【答案】解：(1)原式=3−1+ 3× 32
=2+32
=72；
(2)x2−4x−3=0，
则x2−4x+4−7=0，
∴(x−2)2=7，
∴x−2=± 7，
∴x1=2− 7，x2=2+ 7.
【解析】(1)根据立方根、零指数幂、特殊角的三角函数值计算；
(2)利用配方法解出方程．
本题考查的是实数的运算、一元二次方程的解法，掌握实数的运算法则、配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
18.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个实数，
∴Δ=16−4k≥0，
∴k≤4；
(2)取k=3或4，
若k=3时x1=−1，x2=−3，
若k=4时x1=x2=−2.
【解析】(1)根据方程有两个实数根可知△≥0，求出k的值即可；
(2)取k=3或4，代入方程求出x的值即可．
此题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据方程有两个不等的实数根，求出k的值；一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0⇔方程没有实数根．
19.【答案】③ 60
【解析】解：(1)调查方式中合理的有③，
故答案为：③；
(2)在图书馆等场所学习的所占的比例是30%，所以在图书馆等场所学习的人数是：200×30%=60(人)，
故答案为：60人；
(3)学习时间不少于4小时的频率是：24+50+16+36+6+10200=0.71.
则该学校2000名学生双休日学习时间不少于4小时的人数是：1200×0.71=852(人).
(1)抽查时所选取的对象要有代表性，据此即可判断；
(2)利用总人数乘以对应的百分比即可求得；
(3)利用加权平均数公式求得学习时间不少于4小时的频率，然后乘以1200即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20.【答案】124
【解析】解：(1)用树状图列举所有等可能结果如下：
由树状图可知等可能的结果共6种，其中从左到右恰好是“二十大”的有1种，所以P(从左到右恰好是“二十大”)=16.
(2)由(1)可知从左往右汉字顺序恰好是“祖国你好”的概率为：124.
故答案为：124.
(1)用列表法例举出所有可能的情况，再看一下左往右字母顺序恰好是“二十大”的种数即可求出其概率；
(2)用列表法例举出所有可能的情况，再看一下左往右字母顺序恰好是“祖国你好”的种数即可求出其概率．
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P(A)=mn.
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AD，
∴∠GAE=∠GCB，∠GEA=∠GBC，
∴△BGC∽△EGA；
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，
设BC=AD=2x，
∵BC//AD，
∴△BGC∽△EGA，
∴BCAE=CGAG=23，
∴AE=3x，
∴DE=x，
同(1)证△DEF∽△CBF，
∴DFCF=DEBC=12.
【解析】(1)根据平行四边形的性质可得BC//AD，进而可以证明△BGC∽△EGA；
(2)设BC=AD=2x，由(1)得△BGC∽△EGA，对应边成比例，再证△DEF∽△CBF，即可解决问题．
本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是得到△DEF∽△CBF.
22.【答案】①② ③
【解析】解：(1)若AB=BC，∠A=30∘，则AB与⊙O相切．
理由如下：连接OB，如图，
∵AB=BC，
∴∠C=∠A=30∘，
∵∠AOB=2∠C=60∘，
∴∠OBA=180∘−∠A−∠AOBC=90∘，
∴OB⊥AB，
∴AB与⊙O相切；
故答案为：①②，③(答案不唯一)；
(2)过O点作OH⊥BC于H点，如图，则BH=CH=12BC=12AB=3，
在Rt△AOB中，∵∠A=30∘，
∴∠AOB=60∘，OB= 33AB= 33×6=2 3，
在Rt△OCH中，∵∠C=30∘，
∴OH=12OC= 3，
∴图中阴影部分的面积=S扇形BOD+S△BOC
=60×π×(2 3)2360+12×6× 3
=2π+3 3.
(1)选取①②为条件，③作为结论，连接OB，如图，先利用等腰三角形的性质得到∠C=∠A=30∘，再根据圆周角定理得到∠AOB=60∘，则可计算出∠OBA=90∘，然后根据切线的判定定理可判断AB与⊙O相切；
(2)过O点作OH⊥BC于H点，如图，则BH=CH=3，再利用含30角的直角三角形三边的关系计算出OB=2 3，OH= 3，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积=S扇形BOD+S△BOC进行计算即可．
本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、扇形的面积公式和含30度角的直角三角形三边的关系．
23.【答案】解：作AE⊥CD于E，设DE=xm.
在Rt△ADE中，∠DAE=26.6∘，tan∠DAE=DEAE，
∴AE=DEtan∠DAE≈x0.5=2x(m)，
在Rt△ACE中，∠ACE=90∘−∠ACB=37∘，
∴CE=AEtan∠ACE≈2x0.75=83x(m)，
∴CD=DE+EC，
∴x+83x=110，解得x=30，
∴AB=CE=83x=80(m)，BC=AE=2x=60(m).
答：古塔的高度为80m，观测点到古塔的水平距离为60m
【解析】作AE⊥CD于E，设DE=xm.根据CD=DE+EC，构建方程求解即可．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
24.【答案】解：(1)由题意可得，y=60−x−120.5×2=−4x+108；
(2)由题意可得，W=y(x−8)=(−4x+108)(x−8)=−4x2+140x−864=−4(x−352)2+361，
∵−4<0，
∴当x=352时，利润W达到最大，最大值为361，
答：当x为352时，利润达到最大．
【解析】(1)根据“若每千克涨价0.5元，每天要少卖2千克；若每千克降价0.5元，每天要多卖2千克”，可列出y与x的函数关系式；
(2)用x的代数式表示出W，在由二次函数性质可得答案．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
25.【答案】2 3
【解析】解：(1)∵由折叠可得AC=OC，
∵OC=OA，
∴AC=OC=OA，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠CAO=60∘，
同理：∠BAO=60∘，
∴∠CAB=∠CAO+∠BAO=120∘；
(2)①作等边△OMG，作OG垂直平分线交OQ于点F，以O为圆心OF为半径作圆交OP于点E，连接EF、ME、MF得△EFM，
根据作图可知，OE=OF，
根据折叠可知，∠POQ=90∘，
∵点M为PQ的中点，
∴∠POM=∠QOM=12×∠POQ=45∘，
∵OM=OM，
∴△OME≌△OMF(SAS)，
∴∠EMO=∠FMO，EM=FM，
∵△OMG为等边三角形，
∴∠OMG=60∘，
∵MF垂直平分OG，
∴∠OMF=∠GMF=30∘，
∴∠EMO=∠FMO=30∘，
∴∠EMF=60∘，
∴△EFM为等边三角形；
②根据解析①可知，△EFM为等边三角形，∠EMO=∠FMO=30∘，
∴内心△EFM的内心N在OM上，MH⊥EF，EH=HF，
设NH=x，则MN=2x，MH=3x，OH=6−3x，
∵∠EMH=30∘，
∴EH=MH×tan30∘= 3x，
∵∠POQ=90∘，OE=OF，EH=HF，
∴EH=OH=12EF，
∴ 3x=6−3x，
解得：x=3− 3，
∴ON=6−2x=6−2(3− 3)=2 3；
故答案为：2 3.
③不变，理由如下：
如图，取EF中点H，连接OH，HM，OM，作OL⊥MH交于点L，
设HN=x，LH=y，则MN=2x，EH= 3x，MH=3x，
在Rt△OEF中，∠EOF=90∘，
∵H为FE的中点，
∴OH=12EF=EH= 3x，
在Rt△OML中，OL2=OM2−LM2=62−(3x+y)2，
在Rt△OHL中，OL2=OH2−LH2=3x2−y2，
即有62−(3x+y)2=3x2−y2化简得2x2+xy=6，
在Rt△ONL中，ON2=OL2+LN2=3x2−y2+(x+y)2=4x2+2xy=2(2x2+xy)=12.
即ON=2 3，ON的值不变．
(1)根据折叠得出AC=OC，证明△OAC是等边三角形，∠CAO=60∘，同理得出∠BAO=60∘，即可得出∠BAC的度数；
(2)①作等边△OMG，作OG垂直平分线交OQ于点F，以O为圆心OF为半径作圆交OP于点E，连接EF、ME、MF即可；
②设NH=x，则MN=2x，MH=3x，OH=6−3x，求出EH=MH×tan30∘= 3x，根据EH=OH=12EF，得出 3x=6−3x，求出x，即可得出答案；
③取EF中点H，连接OH，HM，OM，作OL⊥MH交于点L，设HN=x，LH=y，则MN=2x，EH= 3x，MH=3x，根据勾股定理得出2x2+xy=6，最后在Rt△ONL中，根据勾股定理求出ON2=12，即可得出答案．
本题主要考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握等边三角形的判定和性质．
26.【答案】解：(1)∵A(−1,1)，B(2,4)，C是AB中点，
∴xC=xA+xB2=−1+22=12，yC=yA+yB2=1+42=52，
∴C(12,52)，
∵C(12,52)，B(2,4)，D是BC中点，
∴xD=xC+xB2=54，yD=yC+yB2=134，
∴D(54,134)；
(2)F是在x轴上，理由如下：
∵B(2,4)，点A是B关于y轴的对称点，
∴A(−2,4)，
∵C是AB中点，D是BC中点，
∴C(0,4)，
∴D(1,4)，
∵DE//y轴交抛物线于点E，
∴xE=xD=1，
把xE=1代入y=x2得，yE=1，
∴E(1,1)，
∴DE=3，
∵DE=3EF，
∴EF=1，
∵DF//y轴，且E(1,1)，
∴F(1,0)，
∴F是在x轴上；
(3)①b−4a是一个定值−4，理由：
∵A(m,n)，B(2,4)，C是AB中点，
∴C(12m+1,12n+2)，
∵D是BC中点，
∴D(14m+32,14n+3)，
∵DE//y轴交抛物线于点E，
∴xE=xD=14m+32，
把xE=14m+32代入y=x2得，yE=(14m+32)2，
∵DE//y轴交抛物线于点E，延长DE至F，使得DE=3EF，
∴DE=yD−yE，EF=13DE=13yD−13yE，
∵EF=yE−yF，即yF=yE−EF=yE−13yD+13yE=43yE−13yD，
∵yE=(14m+32)2，yD=14n+3，
∴yF=43(14m+32)2−13(14n+3)=112m2+m−112n+2，
∵点A(m,n)在y=x2上，
∴n=m2，
∴yF=112m2+m−112n+2=m+2，
∵DF//y轴，
∴xF=xD=14m+32
即b=m+2，a=14m+32，
∴b−4a=−4，
综上，b−4a是一个定值−4；
②设点F(a,4a−4)，
当G、H、F共线时，GH+HF最小，
由点G、F的坐标得：y=GF2=a2+(4a−4−2)2=17a2−48a+36，
∵17>0，故y有最小值，
当a=2417时，GF的最小值为6 1717，
即GH+HF最小值为6 1717.
【解析】(1)用中点坐标公式即可求解；
(2)求出点C、D的坐标，由DE=3EF，得到F(1,0)，即可求解；
(3)①由DE=3EF，得到yE=(14m+32)2，yD=14n+3，yF=43(14m+32)2−13(14n+3)=112m2+m−112n+2，进而求解；
②当G、H、F共线时，GH+HF最小，则y=GF2=a2+(4a−4−2)2=17a2−48a+36，即可求解．
此题考查的是二次函数综合运用，主要涉及到一次函数和二次函数的基本性质、中点公式的运用等，其中(3)，当G、H、F共线时，GH+HF最小，是解题的关键．