2022-2023学年江苏省泰州市泰兴市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省泰州市泰兴市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列方程中，是一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若，则下列式子中错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在中，各边都扩大倍，则锐角的正切函数值(    )

A. 不变 B. 扩大倍 C. 缩小倍 D. 不能确定

4.  已知一组数据、、、的平均数是，在这组数据后再添加数据得到一组新数据、、、、，则新数据与原数据相比，方差将(    )

A. 不变 B. 变大 C. 变小 D. 不能确定

5.  如图，四边形内接于，，，则(    )

A.
B.
C.
D. 无法确定

6.  已知二次函数，对于其图象和性质，下列说法错误的是(    )

A. 图象开口向下 B. 图象经过原点
C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而增大

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

7.  方程的解是          ．

8.  大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为______ ．

9.  将抛物线向上平移个单位长度，所得抛物线解析式为______ ．

10.  如图，以点为位似中心，将放大后得到，，，则______．

11.  一个圆锥的底面半径和高都是，则圆锥的侧面积为______ 结果保留

12.  已知锐角中，，，则的长为______．

13.  已知、是方程的根，则式子的值为______ ．

14.  如图是一座圆弧型拱桥的截面示意图，若桥面跨度米，拱高米为的中点，为弧的中点则桥拱所在圆的半径为        米

15.  七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是______ ．

16.  如图，矩形中，，，点在边上从向点运动，速度为，同时点在边上从向点运动，速度为连接、，设、交于点，取的中点，则的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：；
解方程：．

18.  本小题分
已知关于的一元二次方程有两个实数根．
求的取值范围；
取一个合适的的值，使得方程的解为负整数并求出此时方程的解．

19.  本小题分
某学校要调查该校学生学生总数人双休日的学习状况，采用下列调查方式：从一个年级里选取名学生；选取学校里名女学生；按照一定比例在三个不同年级里随机选取名学生．
上述调查方式中最合理的是______ ；填写序号即可
将最合理的方式调查得到的数据制成频数分布直方图如图和扇形统计图如图，在这个样本中，名学生双休日在图书馆等场所学习的有______ 人；
在的条件下，请估计该学校学生双休日学习时间不少于小时的人数．

20.  本小题分
如图，将“二”、“十”、“大”三个汉字随机填写在三个空格中每空填一个汉字，每空中的汉字不重复，请你用画树状图或列表的方法求从左往右汉字顺序恰好是“二十大”的概率；
若在如图三个空格的右侧增加一个空格，将“祖”、“国”、“你”、“好”四个汉字任意填写其中每空填一个汉字，每空中的汉字不重复，从左往右汉字顺序恰好是“祖国你好”的概率为______ ．

21.  本小题分
如图，在平行四边形中，是边的延长线上一点，连接交边于点，交对角线于点．
求证：∽；
若，求的值．

22.  本小题分
如图，点在的直径的延长线上，点在上，连接、．
给出下列信息：；；与相切．
请在上述条信息中选择其中两条作为条件，第三个作为结论，组成一个正确的命题并作出证明你选择的条件是______ ，结论是______ 填写序号，只需写出你认为正确的一种情形．
在的条件下，若，求图中阴影部分的面积．

23.  本小题分
如图，小明想要利用无人机测量他家附近一座古塔的高度在古塔所在的地平面上选定点在处测得古塔顶端点的仰角为，小明遥控无人机悬停在点正上方的处时，测得古塔顶端点的俯角为，若此时无人机显示屏上显示其离地面的高度为求古塔的高度以及观测点到古塔的水平距离参考数据：，，

24.  本小题分
一水果店售卖一种水果，以元千克的价格进货，经过往年销售经验可知：以元千克售卖，每天可卖千克；若每千克涨价元，每天要少卖千克；若每千克降价元，每天要多卖千克，但不低于成本价设该商品的价格为元千克时，一天销售总质量为千克．
求与的函数关系式．
若水果店货源充足，每天以固定价格元千克销售，试求出水果店每天利润与单价的函数关系式，并求出当为何值时，利润达到最大．

25.  本小题分
数学兴趣小组在探究圆中图形的性质时，用到了半径是的若干圆形纸片．

如图，一张圆形纸片，圆心为，圆上有一点，折叠圆形纸片使得点落在圆心上，折痕交于、两点，求的度数．
把一张圆形纸片对折再对折后得到如图扇形，点是弧上一动点．
如图，当点是弧中点时，在线段、上各找一点、，使得是等边三角形试用尺规作出，不证明，但简要说明作法，保留作图痕迹．
在的条件下，取的内心，则 ______ ．
如图，当在弧上三等分点、之间包括、两点运动时，经过兴趣小组探究都可以作出一个是等边三角形，取的内心，请问的长度是否变化如变化，请说明理由；如不变，请求出的长度．

26.  本小题分
阅读材料：小明同学在平面直角坐标系中研究中点时，发现了一个有趣的结论：若，是平面直角坐标系内两点，是的中点，则有结论，．
这其实就是中点坐标公式，有了这个公式可以解决很多坐标系中求中点坐标的问题．
已知：二次函数的函数图象上分别有，两点，其中，，分别在对称轴的异侧，是中点，是中点利用阅读材料解决如下问题：
概念理解：如图，若，求出，的坐标．
解决问题：如图，点是关于轴的对称点，作轴交抛物线于点延长至，使得试判断是否在轴上，并说明理由．
拓展探究：如图，是一个动点，作轴交抛物线于点延长至，使得．
令，试探究值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
在条件下，轴上一点，抛物线上任意一点，连接，，直接写出的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、原方程为二元一次方程，不符合题意；
B、原式方程为二元二次方程，不符合题意；
C、原式为分式方程，不符合题意；
D、原式为一元二次方程，符合题意，
故选：．
利用一元二次方程的定义判断即可．
此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．

2.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了比例的性质，熟记比例的性质是解题关键．根据比例的性质，对每个选项进行判断即可得到答案．
【解答】
解：．，故A错误，B正确；
C.，，故C正确；
D.，，故D正确；
故选A．

3.【答案】 

【解析】解：锐角三角函数值随着角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系，
因此锐角的正切函数值不会随着边长的扩大而变化，
故选：．
在中，各边都扩大倍，其内角的大小不变，因此锐角的正切函数值不变．
本题考查锐角三角函数的意义，理解锐角三角函数的意义是正确判断的关键．

4.【答案】 

【解析】解：弱、、、都不等于时，
、、、的平均数是，
，
在这组数据后再添加数据得到一组新数据、、、、的平均数还是，
那么这组新数据的方差为，
，
新数据与原数据相比，方差将变小．
若、、、都为时，，
故选：．
根据原数据、、、的平均数是，可表示出原数据的方差，在这组数据后再添加数据得到一组新数据、、、、的平均数还是，再表示出新数据的方差，比较大小即可．
本题主要考查了平均数和方差的计算，解题的关键是熟练掌握方差的计算公式．

5.【答案】 

【解析】解：连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，由圆周角定理得到，由圆心角，弧，弦的关系得到，于是得到，即可得到答案．
本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系，掌握以上知识点是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：，
图象开口向下；
当时，，
图象经过原点；
对称轴为：，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；
故选：．
根据二次函数的性质判断求解．
本题考查了二次函数的性质，掌握函数的图象特征是解题的关键．

7.【答案】， 

【解析】【分析】
本题考查了解一元二次方程因式分解法：把一元二次方程变形为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程得到原方程的解．
先移项得到，再把方程左边进行因式分解得到，方程转化为两个一元一次方程：或，即可得到原方程的解为，．
【解答】
解：
，
，
或，
，．
故答案为，．

8.【答案】 

【解析】解：为的黄金分割点，
，
故答案为：．
根据黄金分割的定义得到，即可得出答案．
此题考查了黄金分割：点把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项即：：，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．

9.【答案】 

【解析】解：抛物线向上平移个单位长度，
平移后的抛物线顶点坐标为，
得到的抛物线是解析式为．
故答案为：．
根据向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．

10.【答案】 

【解析】解：点为位似中心，放大后得到，
．
故答案为：．
利用位似的性质求解．
本题考查了位似变换，正确记忆位似的性质是解题关键．

11.【答案】 

【解析】解：由圆锥底面半径，高，
根据勾股定理得到母线长，
根据圆锥的侧面积公式：，
故答案为：
根据圆锥的侧面积公式：，直接代入数据求出即可．
此题主要考查了圆锥侧面积公式，熟练地应用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：作于，

，
，
，
，
令，则，
，
，
，
．
故答案为：．
作于，由得，再由，应用勾股定理即可求出的长，即可解决问题．
本题考查解直角三角形，关键是作于，构造直角三角形，应用正切定义，勾股定理来解决问题．

13.【答案】 

【解析】解：、是方程的根，
，，
，
故答案为：．
根据根与系数的关系得出，，求出，再代入求出答案即可．
本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系内容是解此题的关键，已知一元二次方程、、为常数，的两根为，，则，．

14.【答案】 

【解析】解：如图，设圆的半径为米，

平分弧，且，
圆心在的延长线上，
平分，
，
连接，在中，，，，
，
，
解得，
即拱桥所在圆的半径米．
故答案为：．
设圆的半径为米，由于平分弧，且，根据垂径定理的推论得到圆心在的延长线上，再根据垂径定理得到平分，则，在中，利用勾股定理可计算出半径．
本题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，由勾股定理得出方程是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：设“东方模板”的面积为，则阴影部分三角形面积为，平行四边形面积为，
则点取自黑色部分的概率为：，
故答案为：．
首先设正方形的面积，再表示出阴影部分面积，然后可得概率．
此题主要考查的是几何概率，解题的关键是表示图形的面积和阴影部分面积．

16.【答案】 

【解析】解：四边形为矩形，
且，
设运动时间为，则，，
又，
，且，
∽，
．
又，
，
，
点在以为直径的半圆上运动，如图，

设圆心为，连接，则．
为的中点，
．
在中，，
当、、三点共线时，，即，
，
当、、三点不共线时，，即，

综上，，
的最小值为．
故答案为：．
设运动时间为，则，首先判断出∽，推导出，点在以为直径的半圆上运动；在中，求得，然后分两种情况讨论：、、三点共线与、、三点不共线，推导出，进而得解．
本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定等知识点，熟练掌握动点问题常用方法是解题关键．

17.【答案】解：原式

；
，
则，
，
，
，． 

【解析】根据立方根、零指数幂、特殊角的三角函数值计算；
利用配方法解出方程．
本题考查的是实数的运算、一元二次方程的解法，掌握实数的运算法则、配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．

18.【答案】解：关于的一元二次方程有两个实数，
，
；
取或，
若时，，
若时． 

【解析】根据方程有两个实数根可知，求出的值即可；
取或，代入方程求出的值即可．
此题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据方程有两个不等的实数根，求出的值；一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．

19.【答案】   

【解析】解：调查方式中合理的有，
故答案为：；
在图书馆等场所学习的所占的比例是，所以在图书馆等场所学习的人数是：人，
故答案为：人；
学习时间不少于小时的频率是：．
则该学校名学生双休日学习时间不少于小时的人数是：人．
抽查时所选取的对象要有代表性，据此即可判断；
利用总人数乘以对应的百分比即可求得；
利用加权平均数公式求得学习时间不少于小时的频率，然后乘以即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

20.【答案】 

【解析】解：用树状图列举所有等可能结果如下：

由树状图可知等可能的结果共种，其中从左到右恰好是“二十大”的有种，所以从左到右恰好是“二十大”．
由可知从左往右汉字顺序恰好是“祖国你好”的概率为：．
故答案为：．
用列表法例举出所有可能的情况，再看一下左往右字母顺序恰好是“二十大”的种数即可求出其概率；
用列表法例举出所有可能的情况，再看一下左往右字母顺序恰好是“祖国你好”的种数即可求出其概率．
此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，，
∽；
解：四边形是平行四边形，
，
设，
，
∽，
，
，
，
同证∽，
． 

【解析】根据平行四边形的性质可得，进而可以证明∽；
设，由得∽，对应边成比例，再证∽，即可解决问题．
本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是得到∽．

22.【答案】   

【解析】解：若，，则与相切．
理由如下：连接，如图，
，
，
，
，
，
与相切；
故答案为：，答案不唯一；
过点作于点，如图，则，
在中，，
，，
在中，，
，
图中阴影部分的面积

．
选取为条件，作为结论，连接，如图，先利用等腰三角形的性质得到，再根据圆周角定理得到，则可计算出，然后根据切线的判定定理可判断与相切；
过点作于点，如图，则，再利用含角的直角三角形三边的关系计算出，，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积进行计算即可．
本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、扇形的面积公式和含度角的直角三角形三边的关系．

23.【答案】解：作于，设．

在中，，，
，
在中，，
，
，
，解得，
，．
答：古塔的高度为，观测点到古塔的水平距离为 

【解析】作于，设根据，构建方程求解即可．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

24.【答案】解：由题意可得，；
由题意可得，，
，
当时，利润达到最大，最大值为，
答：当为时，利润达到最大． 

【解析】根据“若每千克涨价元，每天要少卖千克；若每千克降价元，每天要多卖千克”，可列出与的函数关系式；
用的代数式表示出，在由二次函数性质可得答案．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．

25.【答案】 

【解析】解：由折叠可得，
，
，
是等边三角形，
，
同理：，
；
作等边，作垂直平分线交于点，以为圆心为半径作圆交于点，连接、、得，

根据作图可知，，
根据折叠可知，，
点为的中点，
，
，
≌，
，，
为等边三角形，
，
垂直平分，
，
，
，
为等边三角形；
根据解析可知，为等边三角形，，
内心的内心在上，，，
设，则，，，
，
，
，，，
，
，
解得：，
；
故答案为：．

不变，理由如下：
如图，取中点，连接，，，作交于点，

设，，则，，，
在中，，
为的中点，
，
在中，，
在中，，
即有化简得，
在中，．
即，的值不变．
根据折叠得出，证明是等边三角形，，同理得出，即可得出的度数；
作等边，作垂直平分线交于点，以为圆心为半径作圆交于点，连接、、即可；
设，则，，，求出，根据，得出，求出，即可得出答案；
取中点，连接，，，作交于点，设，，则，，，根据勾股定理得出，最后在中，根据勾股定理求出，即可得出答案．
本题主要考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握等边三角形的判定和性质．

26.【答案】解：，，是中点，
，，
，
，，是中点，
，，
；

是在轴上，理由如下：
，点是关于轴的对称点，
，
是中点，是中点，
，
，
轴交抛物线于点，
，
把代入得，，
，
，
，
，
轴，且，
，
是在轴上；

是一个定值，理由：
，，是中点，
，
是中点，
，
轴交抛物线于点，
，
把代入得，，
轴交抛物线于点，延长至，使得，
，，
，即，
，，
，
点在上，
，
，
轴，

即，，
，
综上，是一个定值；
设点，
当、、共线时，最小，
由点、的坐标得：，
，故有最小值，
当时，的最小值为，
即最小值为． 

【解析】用中点坐标公式即可求解；
求出点、的坐标，由，得到，即可求解；
由，得到，，，进而求解；
当、、共线时，最小，则，即可求解．
此题考查的是二次函数综合运用，主要涉及到一次函数和二次函数的基本性质、中点公式的运用等，其中，当、、共线时，最小，是解题的关键．