2022-2023学年江苏省盐城市亭湖区九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年江苏省盐城市亭湖区九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.函数y=(x+1)2−3的最小值是( )
A. 1B. −1C. 3D. −3
3.从拼音“shuxue”中随机抽取一个字母，抽中字母u的概率为( )
A. 13B. 14C. 15D. 16
4.关于x的一元二次方程mx2−4x−1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )
A. m≥−4B. m≥−4且m≠0C. m>−4D. m>−4且m≠0
5.随着网络的发展，在节日期间长辈们往往用抢微信红包的形式发放红包，下表是针对某班同学们在春节期间所抢的红包金额进行统计的结果表：
根据表中提供的信息，红包金额的众数和中位数分别是( )
A. 16元，50元B. 30元，30元C. 30元，40元D. 30元，50元
6.乐乐是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，乐乐进球的概率为15，他明天将参加一场比赛，下面几种说法正确的是( )
A. 乐乐明天肯定进球B. 乐乐明天有可能进球
C. 乐乐明天比赛每射球5次必进球1次D. 乐乐明天的进球率为10%
7.若抛物线y=−x2+bx+c经过点(−2,3)，则c−2b的值是( )
A. 7B. −1C. −2D. 3
8.如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD、OA，若∠ADC=30∘，则∠ABO的度数为( )
A. 25∘
B. 20∘
C. 30∘
D. 35∘
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.一元二次方程x2=−x的根是______.
10.抛物线y=−2(x+2)2+5的顶点坐标是______.
11.甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击成绩的平均数都是8环，方差分别为S甲2=1.4，S乙2=0.6，则两人射击成绩比较稳定的是______ (填“甲”或“乙”).
12.一个直角三角形的两条直角边长是方程x2−7x+12=0的两个根，则此直角三角形的内切圆的半径为______.
13.将抛物线y=2x2−1向右平移3个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的解析式为______.
14.若方程x2−4x+1=0的两根是x1，x2，则x1(1+x2)+x2的值为__________.
15.已知二次函数y=x2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表：
则m的值为______.
16.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点O、A、B都是格点，若图中扇形AOB是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥底面圆的半径为______ .
17.如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(−2,4)，B(1,1)，则关于x的方程ax2=bx+c的解是______ .
18.如图，抛物线y=1532(x−6)2−158与y轴交于点A，与x轴交于B、C，点A关于抛物线对称轴的对称点为点D，点E在y轴上，点F在以点C为圆心，半径为1.5的圆上，则DE+EF的最小值是______ .
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.如图，足球场上守门员在O处开出一记手跑高球，球从地面1.4米的A处抛出(A在y轴上)，运动员甲在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面3.2米高，球落地点为C点．
(1)求足球开始抛出到第一次落地时，该抛物线的解析式．
(2)足球第一次落地点C距守门员多少米？
四、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2+mx−m−1=0.
(1)求证：无论m取何值，方程总有两个实数根；
(2)若方程有一根为−4，求m的值.
21.(本小题8分)
已知二次函数y=x²−4x+3.
(1)直接写出抛物线与x轴交点坐标______、______；与y轴交点坐标______；顶点坐标为______；
(2)在给出的平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；
(3)当022.(本小题8分)
某校学生会向全校2300名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图1、图2所示的统计图.
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)本次接受随机调查的学生人数为______ ，图1中m的值是______ .
(2)本次调查获取的样本数据的平均数为______ 、元、众数为______ 元、中位数为______ 元；
(3)根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额不少于30元的学生人数.
23.(本小题8分)
某校在数学实践活动中，数学组准备了4个活动课题，活动1用作图软件探究抛物线的性质；活动2用旋转设计图案；活动3探究四点共圆的条件；活动4探究旋转前后对应点坐标关系．九1班数学老师准备采取随机抽签的方式把学生分成4组，共同“研学”活动课题．
(1)九1班学生小海希望能抽签到活动1，则他能心想事成的概率是______；
(2)小海和他的好朋友小江希望能在不同小组，这样可以相互分享学习成果，则他们在不同小组的可能性能否大于70%？请用树形图或列表法来验证你的判断是否正确．
24.(本小题8分)
数学活动-旋转变换
(1)如图①，在△ABC中，∠ABC=130∘，将△ABC绕点C逆时针旋转50∘，得到△A′B′C，连接BB′，求∠A′B′B的大小；
(2)如图②，在△ABC中，∠ABC=150∘，AB=3，BC=5，将△ABC绕点C逆时针旋转60∘得到△A′B′C，连接BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆．
(Ⅰ)猜想：直线BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论；
(Ⅱ)连接A′B，求线段A′B的长度．
25.(本小题8分)
为响应政府“节能”号召，某强照明公司减少了白炽灯的生产数量，引进新工艺生产一种新型节能灯，已知这种节能灯的出厂价为每个20元，某商场试销发现，销售单价定为25元/个，每月销售量为250个；每涨价1元，每月少卖10个．
(1)求出每月销售量y(个)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)设该商场每月销售这种节能灯获得的利润为w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(3)若每月销售量不少于200个，且每个节能灯的销售利润至少为7元，则销售单价定为多少元时，所获利润最大？最大利润是多少？
26.(本小题8分)
在一次数学兴趣小组活动中，小亮利用同弧所对的圆周角及圆心角的性质探索了一些问题，下面请你和小亮一起进入探索之旅.
【问题探索】
(1)如图1，点A、B、C、D在⊙O上，点E在⊙O外，且∠A=45∘.则∠D=______ ∘，∠BOC=______ ∘，∠E______ 45∘.(填“>”、“<”或“=”).
【操作实践】
(2)如图2，已知线段BC和直线m，用直尺和圆规在直线m上作出所有点P，使∠BPC=30∘.(要求：用直尺与圆规作出点P，保留作图痕迹，不写作法.)
【迁移应用】
(3)请运用探索所得的学习经验，解决问题：如图3，已知⊙O的半径为2，BC=2 2，点A为优弧BAC上一动点，AB⊥BD交AC的延长线于点D.
①求∠D的度数；
②△BCD面积的最大值.
27.(本小题8分)
如图1，在平面直角坐标中，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)、B(4,0)两点，与y轴交于点C，连接BC，直线BM：y=2x+m交y轴于点M.P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线BC、BM于点E、F.
(1)求抛物线的表达式：
(2)当点P落在抛物线的对称轴上时，求△PBC的面积：
(3)①若点N为y轴上一动点，当四边形BENF为矩形时，求点N的坐标；
②在①的条件下，第四象限内有一点Q，满足QN=QM，当△QNB的周长最小时，求点Q的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A选项选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
B项选项中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；
C项选项中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；
D选项中的图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；
故选：D.
根据中心对称和轴对称的概念得出结论即可．
本题主要考查中心对称和轴对称的知识，熟练掌握中心对称和轴对称的知识是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵y=(x+1)2−3，
∴a=1>0，
∴当x=−1时，该函数有最小值，最小值是−3，
故选：D.
利用二次函数顶点式求函数的最小值即可．
本题考查了二次函数的最值问题，掌握利用顶点式确定二次函数最值的方法是解题关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵单词“shuxue”，共有6个字母，字母u有2个，
∴抽中字母u的概率为26=13，
故选：A.
“shuxue”中共有6个字母，字母u有2个，根据概率公式可得答案．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4.【答案】D
【解析】解：根据题意得Δ=(−4)2−4m⋅(−1)>0且m≠0，
解得m>−4且m≠0；
故选：D.
根据根的判别式的意义得到Δ=(−4)2−4m⋅(−1)>0且m≠0，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
5.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了中位数和众数，属于基础题．
根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
【解答】
解：红包金额的众数为30元，总人数为42人，中位数为30+502=40(元)，
故选：C.
6.【答案】B
【解析】解：∵乐乐进球的概率为15，
∴乐乐明天将参加一场比赛，有可能进球，也有可能不进球．
故选：B.
本题考查概率的概念，根据概率的概念逐个判断即可得到答案；
本题考查了概率的概念及意义，掌握概率的意义是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵抛物线y=−x2+bx+c经过点(−2,3)，
∴−(−2)2−2b+c=3，
整理，得−2b+c=7，
∴c−2b=7.
故选：A.
把(−2,3)代入y=−x2+bx+c可得−2b+c=7，再将所求的式子变形，即可求出答案
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，关键要掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式．
8.【答案】C
【解析】解：∵AB为圆O的切线，
∴AB⊥OA，即∠OAB=90∘，
∵∠ADC=30∘，
∴∠AOB=2∠ADC=60∘，
∴∠ABO=90∘−60∘=30∘.
故选：C.
根据切线的性质和圆周角定理即可得到结论．
此题考查了切线的性质，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
9.【答案】x1=0，x2=−1
【解析】解：∵x2=−x，
∴x2+x=0，
则x(x+1)=0，
∴x=0或x+1=0，
解得x1=0，x2=−1.
故答案为：x1=0，x2=−1.
利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键．
10.【答案】(−2,5)
【解析】解：∵y=−2(x+2)2+5，
∴抛物线顶点坐标为(−2,5)，
故答案为：(−2,5).
由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
11.【答案】乙
【解析】解：∵S甲2=1.4，S乙2=0.6，
∴S甲2>S乙2，
∴两人射击成绩比较稳定的是乙．
故答案为：乙．
根据方差的意义即方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定，即可得出答案．
此题主要考查了方差的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定．
12.【答案】1
【解析】解：解方程x2−7x+12=0得，
x1=3，x2=4，
由勾股定理得，斜边为5，
∴此直角三角形的内切圆的半径为=12×(3+4−5)=1，
故答案为：1.
先解一元二次方程，根据勾股定理解得三角形的斜边，利用直角三角形内切圆的半径等于两直角边之和与斜边之差的一半，可得结果．
本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，熟记直角三角形内切圆的半径等于两直角边之和与斜边之差的一半是解答此题的关键．
13.【答案】y=2(x−3)2+2
【解析】解：抛物线y=2x2−1的顶点坐标为(0,−1)，
先向右平移3个单位，再向上平移3个单位后的抛物线的顶点坐标为(3,2)，
所以平移后的抛物线的解析式为y=2(x−3)2+2.
故答案为：y=2(x−3)2+2.
先求出平移后抛物线的顶点坐标，再利用抛物线的顶点式写出解析式即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是熟练掌握点的平移规律，并根据规律利用点的变化确定函数解析式．
14.【答案】5
【解析】【分析】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca.
先根据根与系数的关系得到x1+x2=4，x1x2=1，然后把x1(1+x2)+x2展开得到x1+x2+x1x2，然后利用整体代入的方法计算即可．
【解答】
解：根据题意得x1+x2=4，x1x2=1，
所以x1(1+x2)+x2=x1+x1x2+x2
=x1+x2+x1x2
=4+1
=5.
故答案为5.
15.【答案】−1
【解析】解：把x=−1，y=2和x=0，y=−1代入y=x2+bx+c1−b+c=2c=−1，解得b=−2c=−1，
所以二次函数为y=x2−2x−1，
当x=2时，y=4−4−1=−1，
所以m=−1.
故答案为−1.
先把x=−1，y=2和x=0，y=−1代入二次函数解析式求出b、c，确定二次函数解析式，然后计算出自变量为2的函数值即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
16.【答案】54
【解析】解：设该圆锥底面圆的半径为r.
∵每个小方格都是边长为1的正方形，
∴AO=BO= 32+42=5，AB= 72+12=5 2，
∵OA2+OB2=AB2，
∴∠AOB=90∘，
∴90π×5180=2πr，
∴r=54.
故答案是：54.
利用弧长等于圆锥底面圆的周长这一等量关系即可求解．
本题运用了弧长公式和圆的周长公式，建立准确的等量关系是解题的关键．
17.【答案】无解
【解析】解：把A(−2,4)代入抛物线解析式得：4=4a，即a=1，
把a=1代入得：y=x2，
把A(−2,4)与B(1,1)代入直线解析式得：−2b+c=4b+c=1，
解得：b=−1c=2，即直线解析式为y=−x+2，
可得方程x2+x+2=0，
∵Δ=1−8=−7<0，
∴此方程无解．
故答案为：无解．
把A坐标代入抛物线解析式求出a的值，把A与B坐标代入直线解析式求出b与c的值，将a，b，c的值代入方程，求出解即可．
此题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数解析式，以及一元二次方程的解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】23.5
【解析】【分析】
本题考查抛物线与x轴的交点问题、二次函数的图象与性质、勾股定理、最短路径问题，熟练掌握轴对称性质和圆的性质确定最短路径问题是解题的关键．
先求得点A、B、C、D的坐标，作点D关于y轴的对称点，连接CH交y轴的交点E，交圆C于点F，则DE+EF=EH+EF=HF为最小值，求解HF即可求解．
【解答】
解：令x=0，则y=1532×36−158=15，
∴A(0,15)，
令y=0，则0=1532(x−6)2−158，
解得x1=4x2=8，
∴B(4,0)，C(8,0)，
∵抛物线的对称轴为直线x=6，点A关于抛物线对称轴的对称点为点D，
∴D(12,15)，
作点D关于y轴的对称点H，连接CH交y轴的交点E，交圆C于点F，
则DE=EH，H(−12,15)，
∴DE+EF=EH+EF=HF为最小值，
∵CH= (8+12)2+152=25，
∴DE+EF的最小值为HF=CH−CF=25−1.5=23.5.
19.【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x−6)2+3.2，
将点A(0,1.4)代入，得：36a+3.2=1.4，
解得：a=−0.05，
则抛物线的解析式为y=−0.05(x−6)2+3.2；
(2)当y=0时，−0.05(x−6)2+3.2=0，
解得：x1=−2(舍)，x2=14，
所以足球第一次落地点C距守门员14米．
【解析】(1)设抛物线的解析式为y=a(x−6)2+3.2，将点A(0,1.4)代入求出a的值即可得；
(2)求出y=0时x的值即可得．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及将实际问题转化为二次函数问题的能力．
20.【答案】(1)证明：∵Δ=b2−4ac=m2−4×1×(−m−1)=m2+4m+4=(m+2)2≥0，
∴无论m取何值，方程总有两个实数根；
(2)解：∵方程的一个根为−4，
∴16−4m−m−1=0，
解得m=3，
即m的值为3.
【解析】(1)计算Δ=b2−4ac=(m+2)2≥0，即可得出结论．
(2)将x=−4代入方程得16−4m−m−1=0，解出m的值即可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：①当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ<0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
21.【答案】(1,0)(3,0)(0,3)(2,−1)−1≤y≤3
【解析】解：(1)令y=0，则x²−4x+3=0，
解得：x=1或3，
∴抛物线与x轴交点坐标为(1,0)，(3,0)，
令x=0，则y=3，
∴抛物线与y轴交点坐标为(0,3)，
∵y=x²−4x+3=(x−2)2−1，
∴抛物线的顶点坐标为(2,−1).
故答案为：(1,0)，(3,0)；(0,3)；(2,−1)；
(2)在给出的平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象如下：
(3)由图象可知：当0∴此时函数y的最大值为3，最小值为−1，
∴y的取值范围是：−1≤y≤3，
故答案为：−1≤y≤3.
(1)利用抛物线的解析式，令y=0，解一元二次方程即可求得抛物线与x轴的交点的横坐标，令x=0可求得抛物线与y轴的交点的纵坐标，利用配方法即可得出抛物线的顶点坐标；
(2)利用描点法过(1)中各点即可画出二次函数的图象；
(3)结合图象，在0本题主要考查了二次函数的图象与性质，配方法，抛物线与坐标轴的交点，利用数形结合法解得是解题的关键．
22.【答案】504026.43030
【解析】解：(1)由统计图可得，
本次接受随机抽样调查的学生人数为：10÷24%=50，
m%=1−24%−16%−20%=40%，
故答案为：50，40；
(2)本次调查获取的样本数据的平均数是：12×10+10×20+20×30+8×5050=26.4(元)，
本次调查获取的样本数据的众数是：30元，
本次调查获取的样本数据的中位数是：30元；
故答案为：26.4，30，30.
(3)该校本次活动捐款金额不少于30元的学生人数为：2300×2850=1288(人)，
即该校本次活动捐款金额不少于30元的学生有1288人．
(1)根据统计图可以分别求得本次接受随机抽样调查的学生人数和图1中m的值；
(2)根据统计图可以分别得到本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
(3)根据统计图中的数据可以估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图，掌握平均数、中位数、众数用样本估计总体是解题的关键．
23.【答案】解：(1)14；
(2)他们不在同一小组的可能性大于70%，
理由：设四个小组分别为A、B、C、D，根据题意，可以列出如下的表格：
由表可知，共有16种等可能情况，其中两个人不在同一小组的情况有12种，
∴P(两人不在同一小组)=1216=34>70%，
所以他们不在同一小组的可能性能大于70%.
【解析】解：(1)九1班学生小海希望能抽签到活动1，则他能心想事成的概率是14，
故答案为：14；
(2)见答案．
(1)直接根据概率公式求解即可；
(2)设四个小组分别为A、B、C、D，根据题意，可以列出如下的表格，从表格中找到两个人不在同一小组的情况，根据概率公式求解即可．
此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24.【答案】解：(1)由旋转变换的性质可知，∠A′B′C=∠ABC=130∘，∠BCB′=50∘，CB=CB′，
∴∠CB′B=65∘，
∴∠A′B′B=∠A′B′C−∠CB′B=65∘；
(2)(Ⅰ)直线BB′与⊙A′相切，
∵∠A′B′C=∠ABC=150∘，∠BCB′=60∘，CB=CB′，
∴∠CB′B=60∘，
∴∠A′B′B=∠A′B′C−∠CB′B=90∘，
∴直线BB′与⊙A′相切；
(Ⅱ)在Rt△A′B′B中，∠A′B′B=90∘，BB′=BC=5，AB′=AB=3，
由勾股定理得，A′B= AB′2+B′B2= 34.
【解析】(1)根据旋转变换的性质得到∠A′B′C=∠ABC=130∘，∠BCB′=50∘，CB=CB′，根据等腰三角形的性质求出∠A′B′B的大小；
(2)(Ⅰ)根据旋转变换的性质求出∠A′B′B=90∘，根据切线的判定定理证明；
(Ⅱ)根据旋转变换的性质和勾股定理计算即可．
本题考查的是直线与圆的位置关系、旋转变换的性质、勾股定理的应用，掌握切线的判定定理、旋转变换的性质是解题的关键．
25.【答案】解：(1)根据题意得，y=250−10(x−25)=−10x+500，
∴销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y=−10x+500；
(2)w=(x−20)(−10x+500)=−10x2+700x−10000，
∴销售利润w与销售单价x之间的函数关系式W=−10x2+700x−10000；
(3)根据题意得：−10x+500≥200x−20≥7，
解得：27≤x≤30，
W=−10x2+700x−10000=−10(x−35)2+2250，
∵−10<0，
∴当x<35时，W随x的增大而增大，
∵27≤x≤30，
∴当x=30时，W最大，最大值为2000，
∴销售单价定为30元时，所获利润最大，最大利润是2000元．
【解析】(1)根据题意即可得出y关于x的函数关系式；
(2)根据题意得到销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(3)利用配方法将w关于x的函数关系式变形为w=−10(x−35)2+2250，根据二次函数的性质即可解决最值问题．
本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解．
26.【答案】4590<
【解析】解：(1)如图1，设BE交⊙O于点F，连接CF，
∵点A、B、C、D、F在⊙O上，且∠A=45∘，
∴∠D=∠BFC=∠A=45∘，
∴∠BOC=2∠A=90∘，
∵∠E<∠BFC，
∴∠E<45∘，
故答案为：45，90，<.
(2)作法：1.分别以点B、C为圆心，BC长为半径作弧，两弧在BC上方交于点O，
2.连接OB，以点O为圆心，OB长为半径作圆，交直线m于点P和点P′，
点P、点P′就是所求得点．
理由：连接OC、PB、PC、P′B、P′C，
根据作图得OC=OB=BC，
∴点C在⊙O上，∠BOC=60∘，
∴∠BPC=∠BP′C=12∠BOC=30∘，
∴点P、点P′就是所求得点.
(3)①如图3，连接OB、OC，则OB=OC=2，
∵BC=2 2，
∴OB2+OC2=BC2=8，
∴△BOC是直角三角形，且∠BOC=90∘，
∵∠A=12∠BOC=45∘，
∵AB⊥BD，
∴∠ABD=90∘，
∴∠D=90∘−∠A=45∘，
∴∠D的度数是45∘.
②如图4，作△BCD的外接圆H，连接HB、HC，则HB=HC，∠BHC=2∠BDC=90∘，
作HL⊥BC于点L，交⊙H于点G，使点G与点H在BC的同侧，连接BG、CG，
∴BL=CL，
∴HL=BL=12BC= 2，
∴HG=HB= HL2+BL2= ( 2)2+( 2)2=2，
∴GL=HG+HL=2+ 2，
∴S△BCG=12×2 2×(2+ 2)=2 2+2，
作DK⊥BC交BC的延长线于点K，连接LD、HD，则HD=HG=2，
∵BC=2 2为定值，
∴当DK的值最大时，则△BCD的面积最大，
∵DK≤DL，DL≤HD+HL，
∴DK≤2+ 2，
∴当点D与点G重合时，DK=GL=2+ 2，此时DK的值最大，
∴S△BCD=S△BCG=2 2+2，
∴△BCD的面积的最大值为2 2+2.
(1)设BE交⊙O于点F，连接CF，由圆周角定理得∠D=∠BFC=∠A=45∘，∠BOC=2∠A=90∘，而∠E<∠BFC，∠E<45∘，于是得到问题的答案；
(2)先作等边三角形BOC，再以点O为圆心，OB长为半径作圆，交直线m于点P和点P′，则∠BPC=∠BP′C=12∠BOC=30∘，所以点P、点P′就是所求得点；
(3)①连接OB、OC，则OB=OC=2，OB2+OC2=BC2=8，由勾股定理的逆定理证明∠BOC=90∘，则∠A=45∘，所以∠D=90∘−∠A=45∘；
②作△BCD的外接圆H，连接HB、HC，则HB=HC，∠BHC=2∠BDC=90∘，作HL⊥BC于点L，交⊙H于点G，使点G与点H在BC的同侧，连接BG、CG，则HL=BL= 2，由勾股定理得HG=HB= HL2+BL2=2，可求得S△BCG=2 2+2，作DK⊥BC交BC的延长线于点K，连接LD、HD，可证明当点D与点G重合时，DK=GL=2+ 2，此时DK的值最大，△BCD的面积也最大，最大值为2 2+2.
此题重点考查圆周角定理、尺规作图、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角、等腰直角三角形的性质、勾股定理及其逆定理、垂线段最短、两点之间线段最短等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
27.【答案】解：(1)∵抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)、B(4,0)两点，
∴抛物线的表达式为：y=−12(x+1)(x−4)，即y=−12x2+32x+2；
(2)如图：
∵点P落在抛物线y=−12x2+32x+2的对称轴上，
∴P为抛物线y=−12x2+32x+2的顶点，
∵y=−12x2+32x+2=−12(x−32)2+258，
∴P(32,258)，
在y=−12x2+32x+2中，令x=0得y=2，
∴C(0,2)
由B(4,0)，C(0,2)得直线BC的表达式为y=−12x+2，
把x=32代入y=−12x+2得y=54，
∴E(32,54)，
∴PE=258−54=158，
∴S△PBC=12PE⋅|xB−xC|=12×158×4=154，
答：△PBC的面积是154；
(3)①过点N作NG⊥EF于点G，如图：
∵y=2x+m过点B(4,0)，
∴0=2×4+m，
解得m=−8，
∴直线BM的表达式为：y=2x−8，
∴M(0,−8)，
设E(a,−12a+2)，则F(a,2a−8)，
∵四边形BENF为矩形，
∴∠NEG=∠BFH，NE=BF，
又∠NGE=90∘=∠BHF，
∴△NEG≌△BFH(AAS)，
∴NG=BH，EG=FH，
而NG=a，BH=OB−OH=4−a，
∴a=4−a，
解得a=2，
∴F(2,−4)，E(2,1)，
∴EH=1，
∵EG=FH，
∴EF−EG=EF−FH，即GF=EH=1，
∵F(2,−4)，
∴G(2,−3)，
∴N(0,−3)；
②取MN的中点D，如图：
∵QN=QM，
∴点Q在MN的垂直平分线上，
又∵B(4,0)，N(0,−3)，
∴BN=5，
∴C△QNB=BQ+NQ+BN=BQ+NQ+5=BQ+MQ+5，
∴要使C△QNB最小，只需BQ+MQ最小，
∴当点B、Q、M共线时，△QNB的周长最小，
此时，点Q即为MN的垂直平分线与直线BM的交点，
∵N(0,−3)，M(0,−8)，
∴D(0,−112)，
在y=2x−8中，令y=−112得：
−112=2x−8，
解得x=54，
∴Q(54,−112).
【解析】(1)根据抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)、B(4,0)两点，即知抛物线的表达式为：y=−12(x+1)(x−4)，即y=−12x2+32x+2；
(2)由y=−12x2+32x+2求出P(32,258)，由B(4,0)，C(0,2)得直线BC的表达式为y=−12x+2，从而可得E(32,54)，PE=258−54=158，即可得△PBC的面积是154；
(3)①过点N作NG⊥EF于点G，求得直线BM的表达式为：y=2x−8即知M(0,−8)，设E(a,−12a+2)，则F(a,2a−8)，证明△NEG≌△BFH(AAS)，可得NG=BH，EG=FH，即有a=4−a，解得F(2,−4)，E(2,1)，从而可得N(0,−3)；
②取MN的中点D，由QN=QM，知点Q在MN的垂直平分线上，又C△QNB=BQ+NQ+BN=BQ+NQ+5=BQ+MQ+5，故要使C△QNB最小，只需BQ+MQ最小，即点B、Q、M共线，此时，点Q即为MN的垂直平分线与直线BM的交点，由N(0,−3)，M(0,−8)，得D(0,−112)，即可得Q(54,−112).
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，矩形性质及应用，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作出适当的辅助线，构造三角形全等，本题对学生能力要求较高．金额(元)
20
30
50
100
200
人数(人)
5
16
10
6
5
x
…
−1
0
1
2
3
…
y
…
2
−1
−2
m
2
…
A
B
C
D
A
AA
AB
AC
AD
B
BA
BB
BC
BD
C
CA
CB
CC
CD
D
DA
DB
DC
DD