2022-2023学年江苏省泰州市泰兴市九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省泰州市泰兴市九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 一个不透明口袋中装有个红球个白球，除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，下列叙述正确的是(    )

A. 摸到红球是必然事件 B. 摸到白球是不可能事件
C. 摸到红球的可能性比白球大 D. 摸到白球的可能性比红球大

3. 在中，，，，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于、两点，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 某校举办了以“红心颂党恩，喜迎二十大”为主题的演讲比赛．已知某位选手在演讲内容、演讲结构、演讲表达三项的得分分别为分，分，分，若依次按照，，的百分比确定成绩，则该选手的成绩是(    )

A. 分 B. 分 C. 分 D. 分

6. 若关于的一元二次方程的解是，，则关于的方程的解为(    )

A.  B.  C. 或 D. 以上都不对

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

7. 半径为，点到点距离为，则点在 ______填“上”“内”或“外”．
8. 如图，若甲、乙两人比赛成绩的平均数相等，则 ______填“”“”或“”．
9. 在比例尺为：的地图上，、两地的距离为，则实际距离为______
10. 已知圆锥的底面半径为，母线长是，则圆锥的侧面积是______结果保留．
11. 若正六边形的边长为，则此正六边形的面积为______．
12. 如图，某时刻阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下米宽的“亮区”，阴影长为米，窗台下沿离地面高为米，那么窗口的高等于______米．

13. 由于“增加检测机构”“政府集中采购”等措施的出台，核酸检测“单人单采”费用由年元人经过两次价格调整降到元人，则平均每次降价百分率为______．
14. 如图，正方形网格中，和的顶点都在格点上，则的度数为______．

15. 如图，点是半圆的中点，点、分别在半径和上，，，，则的半径为______．

16. 如图，点是的中点，在同侧分别以、为直径作半圆、直线，与两个半圆依次相交于、、、不同的四点，，设，当，则的取值范围是______．

三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    计算：；
    解方程：．
18. 本小题分
    先化简，再求值：，其中是方程的根．
19. 本小题分
    某校九年级学生在“学习二十大”的党史知识竞赛活动中，随机抽取名学生的成绩如表：

填空：______；
名学生的“答对数”的众数是______题，中位数是______题；
若答对题含题以上被评为优秀“答题能手”，试估计全年级名学生中有多少是优秀“答题能手”？

20. 本小题分
    九年级同学报名参加学校举行的运动会，有以下三类运动项目可供选择：：球类运动；：米短跑；：立定跳远．
    若甲同学从三类运动项目中任选一类，则恰好选中球类运动项目的概率是______；
    甲、乙同学都可以从三类项目中任选两类，请用列表或画树状图的方法求甲、乙两个同学所选运动项目恰好相同的概率．
21. 本小题分
    一人一盔安全守规，一人一带平安常在．泰兴市某商店以每顶元的价格购进一批头盔，售价为每顶元时，每月可售出顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价元，每月可多售出顶．该商店每月获得利润为元，求每顶头盔售价为多少元？
22. 本小题分
    已知：一元二次方程．
    求证：此方程有实数根；
    设方程的两个根，满足，求的值．
23. 本小题分
    如图，直线经过上一点，连接、，从以下三个信息中选择两个作为条件，剩余的一个作为结论组成一个真命题，并写出你的证明过程．；；是的切线．你选择的条件是______，结论是______填序号；
    在的条件下，若，，求图中阴影部分的面积．

24. 本小题分
    如图，在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于、两点．
    求证：；
    如图，连接并延长交小圆于，连接，若，求的值；
    如图，过内一点作弦，使尺规作图，保留作图痕迹，不写作法
     
25. 本小题分
    如图，在中，，矩形的顶点、分别在边、上，在边上．
    求证：∽；
    已知，，，求矩形的面积；
    如图，若，，以为圆心，为半径画，若与所在的直线相切，连接，求的值．

26. 本小题分
    我们类比黄金分割点给出如下定义：如图点、、在同一条直线上，，则称点为的“银杏点”特别地，若为的中点时，则为的“银杏点”，也为的“银杏点”．
    
    已知，点在线段上，若点为的“银杏点”，则______．
    如图，为的重心，则下列说法正确的是______填序号．
    为的“银杏点”；
    为的“银杏点”；
    为的“银杏点”；
    为的“银杏点”．
    如图，在中，若，．
    求的长；
    当点在边上，且、、中有一点为其它两点的“银杏点”点在直线上，且求的长．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得：
把代入方程中得：
，
，
，
，
，
故选：．
把代入方程中得：，然后进行计算即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：共有个球，
摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，
摸到红球的可能性比白球大；
故选C．
先求出总球的个数，再根据概率公式分别求出摸到红球和白球的概率，然后进行比较即可得出答案．
此题考查了可能性的大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图，在中，，，，
．
故选：．
直接利用锐角三角函数关系得出的值．
此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：连接、，如图，

，
，
的度数为．
故选：．
连接、，如图，先根据圆周角定理得到，可作判断．
本题考查了圆心角、弧的关系和圆周角定理，掌握圆周角定理，明确弧的度数等于所对的圆心角的度数是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意可得，


分，
故选：．
根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以计算出选手的成绩．
本题考查了加权平均数，解题的关键是明确加权平均数的计算方法．
 

6.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程的解是，，
或，
解得或，
故选：．
根据关于的一元二次方程的解是，，可得或，进一步求解即可．
本题考查了一元二次方程的解，找出两方程之间的关系是解题的关键．
 

7.【答案】内 

【解析】解：的半径，且点到圆心的距离，
，
点在内，
故答案为：内．
根据的半径，且点到圆心的距离知，据此可得答案．
本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据折线统计图得出甲波动较大，越不稳定，
则．
根据方差的意义，结合折线统计图即可求解．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

9.【答案】 

【解析】解：设实际距离为，
根据题意得：，
解得：，
，
实际距离为．
故答案为：．
首先设相距的两地实际距离为，根据题意可得方程，解此方程即可求得答案，注意统一单位．
此题考查了比例尺．此题比较简单，解题的关键是注意理解题意，根据题意列方程，注意统一单位．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
圆锥的侧面积底面周长母线长．
【解答】
解：底面圆的半径为，则底面周长，侧面面积  

11.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，过点作于，
六边形是正六边形，
，
，
是等边三角形，
，
它的半径为，边长为；
在中，，
边心距是：；
．
故答案为：
首先根据题意作出图形，然后可得是等边三角形，然后由三角函数的性质，求得的长，继而求得正六边形的面积．
本题考查了圆的内接正六边形的性质、正多边形的内角和、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 

12.【答案】 

【解析】解：光是沿直线传播的，
，
∽，
，即，
米．
故答案为：．
根据光沿直线传播的道理可知，则∽，根据相似三角形的对应边的比相等即可解答．
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
 

13.【答案】 

【解析】解：设平均每次降价百分率为，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去，
平均每次降价百分率为．
故答案为：．
设平均每次降价百分率为，利用经过两次降价后的价格原价平均每次降价的百分率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由图可知，，，．
根据勾股定理得，，，
，，
，，，
，
∽，
，
，
．
故答案为：．
先利用勾股定理计算各条线段的长度，再判定∽，得出，进而得出结论．
本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，判定∽是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，延长，

，为直径，
在上，
，，
，
点是半圆的中点，
，
，
，
在中，，
，
的半径为．
故答案为：．
延长，，为直径，所以在上，根据勾股定理得，由点是半圆的中点，得，所以，再根据勾股定理得，即可求出答案．
本题考查了圆周角定理，解题的关键是延长，得在上，得．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作于，过点作于点，连接、，如图，则，，
，
，，，
四边形为矩形，
，
即，
，
，，
而，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
过点作于，过点作于点，连接、，如图，根据垂径定理得到，，再证明四边形为矩形，则，所以，接着证明得到，利用等线段代换得到，即，然后根据的取值范围得到，最后解不等式组即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
 

17.【答案】解：原式

；
，
，，，
，
，
，． 

【解析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可解答；
利用解一元二次方程公式法进行计算即可解答．
本题考查了特殊角的三角函数值，解一元二次方程公式法，熟练掌握特殊角的三角函数值，解一元二次方程公式法是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式


，
是方程的根，
，
，
原式． 

【解析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，接着约分得到原式，然后利用一元二次方程解的定义得到，最后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了分式的化简求值．
 

19.【答案】     

【解析】解：，
故答案为：；
名学生的“答对数”的众数是题，中位数是题，
故答案为：、；
名，
答：估计全年级名学生中有名是优秀“答题能手”．
根据总人数为名可得的值；
根据众数和中位数的定义求解即可；
总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可．
本题主要考查众数、中位数，解题的关键是掌握众数和中位数及样本估计总体思想的应用．
 

20.【答案】 

【解析】解：若甲同学从三类运动项目中任选一类，则恰好选中球类运动项目的概率是；
故答案为：；

画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中甲、乙两个同学所选运动项目恰好相同的结果数为，
所以甲、乙两个同学所选运动项目恰好相同的概率．
直接根据概率公式求解；
先画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出甲、乙两个同学所选运动项目恰好相同的结果数，然后根据概率公式计算即可．
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
 

21.【答案】解：设每顶头盔售价为元，
根据题意，得，
解得或，
答：每顶头盔售价为或元． 

【解析】设每顶头盔售价为元，根据每顶头盔的利润销售量总利润列出方程，解方程即可．
本题考查一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出方程．
 

22.【答案】证明：，
此方程有实数根；

解：根据题意得，，
，
，
，
，
经检验，是方程的解，
而，
的值为． 

【解析】先计算判别式的值，利用非负数的性质判断，然后根据判别式的意义得到结论．
根据根与系数的关系得到，，变形得到，则，然后解方程即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系．
 

23.【答案】   

【解析】解：．
理由：连接．
，
，
是半径，
是的切线；
故答案为：，答案不唯一；

，，
，
，
，，


．
证明即可；
阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形的面积．
本题考查命题与定理，切线的判定，扇形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

24.【答案】证明：过点作于点．
，经过圆心，
，，
；

解：连接．
，，
，
，
，
，
，
，
．
解：如图，线段即为所求． 

【解析】过点作于点利用垂径定理解决问题即可；
证明，推出，可得结论；
连接并延长至使，以为圆心为半径画弧交圆于点，连接并延长交圆于另一点，则弦即为所求．
本题考查作图复杂作图，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线等分线段定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

25.【答案】证明：，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
∽；
解：设，则，
∽，
，
，，
，
解得或舍，
，，
矩形的面积；
解：，
，
，
∽，
，
，，
，
与所在的直线相切，
，
设，则，，，
在中，，
∽，
，
，
，
． 

【解析】由，，证明∽；
设，则，由的∽，得到，即可分别求出，，再求面积即可；
证明∽，可得，在由与所在的直线相切，得到，设，则，，，，由知∽，求出，即可求出，再求的值即可．
本题考查圆的综合应用，熟练掌握三角形相似的判定及性质，圆与直线相切的性质，勾股定理是解题的关键．
 

26.【答案】   

【解析】解：点为的“银杏点”，
，
，
，
，
故答案为：；
如图，连接，
点，分别是，的中点，
，且，
：：：，

点是的“银杏点”，点是的“银杏点”故正确，不正确；
点是的中点，
为的“银杏点”，也为的“银杏点”；故不正确；
点是的中点，
为的“银杏点”，也为的“银杏点”；故正确；
故答案为：；
在中，．
．
设，则，
，
，
，即，
，．
根据题意可知，需要分三种情况：
Ⅰ、如图，当点为的中点时，即点为的“银杏点”或点为的“银杏点”；

此时，
，
，，
，即，
，，
∽，
：：，即：：，
解得，
；
Ⅱ、当点为的“银杏点”，有：，
，，

过点作于点，
，
，
，
：：：，即：：：，
，，
，
，
当，时，
则有∽，
：：，即：：，
，
；
Ⅲ、如图，当点为的“银杏点”，则有：，
，，
过点作于点，
，
，
，
：：：，即：：：，
，，
，
，
若，则需要分两种情况：
当点在的右侧时，由上可知，，
此时，时，
∽，
：：，即：：，
，
；
当在的左侧时，记为，
，
过点作于点，则为的中点，四边形是矩形，
，，
，
，
，
综上，符合题意的的值为：或或或．
由“银杏点”的定义可得出结论；
由“银杏点”的定义可直接得出结论；
根据勾股定理可求出的长；
根据题意可知，需要分三种情况：Ⅰ、当点为的中点时，即点为的“银杏点”或点为的“银杏点”；Ⅱ、当点为的“银杏点”；Ⅲ、当点为的“银杏点”，分别求解即可．
本题属于三角形背景下的新定义问题，主要考查勾股定理，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，分类讨论思想等相关知识，关键是根据题意进行正确的分类讨论．