2022-2023学年江苏省连云港市九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年江苏省连云港市九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.一组数据3，5，4，5，8的众数是( )
A. 3B. 4C. 5D. 8
2.如图，转盘中的各个扇形面积相等，任意转动转盘1次，指针落在阴影区域的概率是( )
A. 14
B. 15
C. 45
D. 16
3.将二次函数y=x2的图象向上平移1个单位，则平移后图象的函数表达式为( )
A. y=x2−1B. y=x2+1C. y=(x−1)2D. y=(x+1)2
4.一个扇形的半径是3，面积为6π，那么这个扇形的圆心角是( )
A. 260∘B. 240∘C. 140∘D. 120∘
5.为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高(单位：cm)的平均数与方差为：x甲−=x丙−=13，x乙−=x丁−=15，s甲2=s丁2=3.6，s乙2=s丙2=6.3.则麦苗又高又整齐的是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
6.下列哪一个函数，其图形与x轴有两个交点( )
A. y=17(x+83)2+2274B. y=17(x−83)2+2274
C. y=−17(x−83)2−2274D. y=−17(x+83)2+2274
7.一元二次方程x2−8x−a=0的两实数根都是整数，则下列选项中a可以取的值是( )
A. 12B. 16C. 20D. 24
8.在平面直角坐标系中，已知点P(m−1,n2)、Q(m,n2−1)，其中m≥0，则下列函数的图象可能同时经过P、Q两点的是( )
A. y=2x+bB. y=ax2+2ax+c(a>0)
C. y=ax+2(a>0)D. y=−x2−2x+c(c>0)
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.写出有一个实数根是0的一元二次方程：______ .
10.如图，A、B、C为⊙O上三点，若∠AOB=140∘，则∠ACB度数为______ ∘.
11.已知二次函数y=x2−2x+a的图象与x轴有两个公共点，则a的取值范围为______ .
12.一个圆锥的侧面积为6π，底面圆半径为2，则该圆锥的母线长为__________.
13.如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD=OE，CD的延长线交⊙O于点E.若∠C=25∘，则∠CEO度数为______ ∘.
14.以正五边形ABCDE的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形A′B′CD′E′的顶点D′落在直线BC上，则正五边形ABCDE旋转的度数至少为______ ∘.
15.一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至现在的48.6元，则平均每次降价的百分率是______%.
16.学校航模组设计制作的火箭升空高度n(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h=−t2+26t+1.如果火箭在点火升空到最高点时打开降落伞，那么降落伞将在离地面______ m处打开.
17.如图，在⊙O中，弦AB=4，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC，交⊙O于点D，则CD长的最大值为______ .
18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC=2，D为AB边上的一个动点，连接CD，以BD为直径作圆交CD于点P，连接AP，则AP的最小值是______ .
三、解答题：本题共9小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题12分)
解方程：
(1)(x−1)2=4；
(2)3x2=4x−1.
20.(本小题8分)
妈妈有白色、红色、灰色裙子各一条，有白色、灰色帽子各一顶，妈妈任意取出一条裙子和一顶帽子，请回答下列问题.
(1)妈妈取出红色裙子的概率为______ .
(2)用画树状图或列表的方法求妈妈取出裙子和帽子恰好同色的概率.
21.(本小题10分)
为了解本学期全校学生阅读课外书的情况，第一次随机抽查24名学生阅读课外书的册数，情况统计如表，请回答下列问题.
(1)m=______ ；
(2)第一次抽查中，人均读书______ 册，阅读课外书册数的中位数是______ 册；
(3)第二次又随机抽查了几位同学，其中最少的读了3册，将其与第一次抽查的数据合并后，发现阅读课外书册数的中位数没发生改变，则第二次最多抽查了______ 人.
22.(本小题10分)
一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？
23.(本小题10分)
如图，直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D.
(1)求证：CD为⊙O的切线；
(2)若AC=5，∠E=30∘，求CD的长.
24.(本小题10分)
已知二次函数y=ax2+c的图象经过点(8,10)，(−2,52).
(1)求二次函数的表达式；
(2)点P为二次函数图象上一点，点F在y轴正半轴上，将线段PF绕点P逆时针旋转90∘得到PE，点E恰好落在x轴正半轴上，求点P的坐标.
25.(本小题10分)
某养殖户利用一段围墙(围墙足够长)为一边，用总长为80m的围网围成了如图所示的三块矩形区域，且这三块矩形区域的面积相等.设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2.
(1)AEBE=______ ；
(2)求y与x之间的函数关系式；
(3)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
26.(本小题12分)
某数学兴趣小组研究函数y=|x−1|的图象：首先根据式子结构采用分类的数学方法：当x≥1时，y=x−1；当x<1时，y=1−x.然后根据一次函数图象的画法分别画出图象，如图(1)所示.类似的，研究函数y=x|x−2|的图象时，他们已经画出了x≤2时的图象.
(1)请你用描点法补全此函数的图象；
(2)根据图象，直接写出当x为何值时，y随着x的增大而减小？
(3)当0≤x≤a时，y的最大值是1，最小值是0，请你直接写出a的取值范围.
27.(本小题14分)
如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，过点A作AB的垂线交⊙O于点H.
(1)若点G是劣弧BC上一点(不与点B、C重合)，直线GC、AH交于点D，连接GA，GB.求证：GA平分∠BGD；
(2)在(1)条件下，将AD绕点A顺时针旋转60∘得到线段AF.
①若CG>BG，求证：点F落在射线BG上；
②若FB= 3FG，求线段AB与线段AD的数量关系.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：这组数据中5出现的次数最多，所以众数为5.
故选：C.
一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，依此求解即可．
本题考查了众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，众数就是这多个数据．
2.【答案】B
【解析】解：∵圆被等分成5份，其中阴影部分占1份，
∴指针落在阴影部分的概率为15.
故选：B.
首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针落在阴影部分的概率．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件(A)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率．
3.【答案】B
【解析】解：y=x2向上平移1个单位得y=x2+1.
故选：B.
根据二次函数图象的平移规律：“上加下减”进行解答即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，知道抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：设这个扇形的圆心角是n∘，
由题意得6π=nπ×32360，
∴n=240，
∴这个扇形的圆心角为240度．
故选：B.
设这个扇形的圆心角是n∘，根据S扇形=nπr2360，求出这个扇形的圆心角为多少即可．
此题主要考查了扇形的面积的计算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：设圆心角是n∘，圆的半径为r的扇形面积为S，则S扇形=nπr2360.
5.【答案】D
【解析】解：∵x−甲=x−丙=13，x乙−=x丁−=15，
∴x−甲=x−丙∴乙、丁的麦苗比甲、丙要高，
∵s甲2=s丁2=3.6，s乙2=s丙2=6.3，
∴s甲2=s丁2∴甲、丁麦苗的长势比乙、丙的长势整齐，
∴麦苗又高又整齐的是丁．
故选：D.
根据x−甲=x−丙 =13，x乙−=x丁−=15，可得乙、丁的麦苗比甲、丙要高，再由s甲2=s丁2=3.6，s乙2=s丙2=6.3，可得甲、丁麦苗的长势比乙、丙的长势整齐，即可求解．
本题考查了方差和平均数的知识，掌握方差越小，越稳定是关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、∵a=17>0，∴抛物线开口向上，顶点坐标为x=−83时y=2274>0.与x轴没有交点；
B、∵a=17>0，∴抛物线开口向上，顶点坐标为x=83时y=2274>0.与x轴没有交点；
C、∵a=−17<0，∴抛物线开口向下，顶点坐标为x=83时y=−2274<0.与x轴没有交点；
D、∵a=−17<0，∴抛物线开口向下，顶点坐标为x=−83时y=2274>0.与x轴有两交点．
故选D.
利用函数图形与x轴有两个交点看图象的顶点坐标性质．
判断函数图形与x轴的交点个数时可以根据系数的大小及顶点坐标来判断．
7.【答案】C
【解析】解：当a=12时，方程为x2−8x−12=0，解得x=4±2 7不是整数，故A选项不符合题意；
当a=16时，方程为x2−8x−16=0，解得x=4±4 2不是整数，故B选项不符合题意；
当a=20时，方程为x2−8x−20=0，解得x=10或x=−2是整数，故C选项符合题意；
当a=24时，方程为x2−8x−24=0，解得x=4±4 5不是整数，故D选项不符合题意；
解法二：x=4± 16+a，
由选项可知，a=20，符合题意．
故选：C.
分别代入数值解方程，逐一判断即可解题．
本题考查一元二次方程的整数根与有理根，解题的关键是利用特殊值法解决问题．
8.【答案】D
【解析】解：∵m>0，
∴m−1∵n2>n2−1，
∴当m>0时，y随x的增大而减小，
A、y=2x+b中，y随x的增大而增大，故A不可能；
B、y=ax2+2ax+c(a>0)中，开口向上，对称轴为直线x=−2a2a=−1，
∴当x>−1时，y随x的增大而增大故B不可能；
C、y=ax+2中，a>0，y随x的增大而增大，故C不可能；
D、y=−x2−2x+c中，开口向下，对称轴为直线x=−−22×(−1)=−1，
∴当x>−1时，y随x的增大而减小，故D有可能，
故选：D.
根据一次函数的性质，二次函数的性质判断即可．
本题考查一次函数的性质，二次函数的性质，熟练掌握一次函数和二次函数的性质是解题的关键．
9.【答案】x2−3x=0
【解析】解：要使一元二次方程的一个根是0，
则此方程满足(x−0)(x−a)=0的形式，
当a=0时，方程为：
x2−3x=0.
故本题的答案可以是：x2−3x=0.
本题是一道开放型题，答案不唯一，含有因式x的一元二次方程都有一个根是0.
本题考查的是一元二次方程的解，有一个根是0的一元二次方程有无数个，写出一个就行．
10.【答案】70
【解析】解：∵∠AOB=140∘，
∴∠ACB=12∠AOB=70∘.
故答案为：70.
根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求得∠ACB的度数．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
11.【答案】a<1
【解析】解：∵二次函数y=x2−2x+a的图象与x轴有两个公共点，
∴b2−4ac>0，
即：4−4×1×a>0，
解得：a<1，
故答案为：a<1.
当b2−4ac>0时，二次函数y=x2−2x+a的图象与x轴有两个公共点，解不等式即可得到k的取值范围．
此题考查了抛物线与x轴的交点，掌握当b2−4ac>0时，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点是解决问题的关键．
12.【答案】3
【解析】【分析】
设该圆锥的母线长为l，利用圆锥的侧面积公式S=πrl得到方程，然后解方程即可求解．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
【解答】
解：设该圆锥的母线长为l，
根据题意得：π×2×l=6π，
解得l=3，
即该圆锥的母线长是3.
故答案为：3.
13.【答案】50
【解析】解：连接OD.
∵CD=OE，OE=OD，
∴CD=OD，
∵∠C=25∘，
∴∠DOC=∠C=25∘，
∴∠EDO=∠C+∠DOC=50∘，
∵OD=OE，
∴∠E=∠EDO=50∘.
故答案为：50.
根据CD=OD求出∠DOC=∠C=25∘，根据三角形的外角性质求出∠EDO=∠C+∠DOC=50∘，根据等腰三角形的性质求出∠E=∠EDO=50∘.
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能求出∠ODE的度数是解此题的关键．
14.【答案】72
【解析】解：∵正五边形的每一个外角都是72∘，
∴将正五边形ABCDE的C点固定，并依顺时针方向旋转，则旋转72∘，可使得新五边形A′B′CD′E′的顶点D′第一次落在直线BC上，
∴正五边形ABCDE旋转的度数至少为72∘，
故答案为：72.
求出正五边形的外角即可．
本题主要考查了正多边形的外角及旋转的性质，明确(1)任何正多边形的外角和是360∘，(2)对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前后的图形全等，是解题的关键．
15.【答案】10
【解析】解：设平均每次降价的百分率是x，则第二次降价后的价格为60(1−x)2元，
根据题意得：60(1−x)2=48.6，
即(1−x)2=0.81，
解得，x1=1.9(舍去)，x2=0.1.
所以平均每次降价的百分率是0.1，即10%.
故答案为：10
本题可设平均每次降价的百分率是x，则第一次降价后药价为60(1−x)元，第二次在60(1−x)元的基础之又降低x，变为60(1−x)(1−x)即60(1−x)2元，进而可列出方程，求出答案．
此题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍．
16.【答案】170
【解析】解：h=−t2+26t+1=−(t−13)2+170
∵a=−1<0，
∴点火升空的最高点距地面170m，
故答案为：170.
把二次函数配方为顶点式，写出最大值解题即可．
本题考查二次函数的最值，运用配方法配成顶点式是解题的关键．
17.【答案】2
【解析】解：∵CD⊥OC，
∴∠DCO=90∘，
∴CD= OD2−OC2= r2−OC2，
当OC的值最小时，CD的值最大，
OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，
∴CD=CB=12AB=2，
即CD的最大值为2，
故答案为：2.
根据勾股定理求出CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，根据垂径定理计算即可．
本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
18.【答案】 5−1
【解析】解：连接BP，取BC的中点M，连接AM，PM，如图：
在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC=2，
∴CM=12BC=1，
由勾股定理得：AM= AC2+CM2= 5，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠DPB=90∘，
∴∠CPB=90∘，
在Rt△BCP中，PM为斜边BC上的中线，
∴PM=12BC=1，
根据“两点之间线段最短”得：AP+PM≥AM，
∴AP≥AM−PM，
即：AP≥ 5−1.
∴AP的最小值为 5−1.
故答案为： 5−1.
连接BP，取BC的中点M，连接AM，PM，现在Rt△ABC中利用勾股定理求出AM= 5，再证∠CPB=90∘，利用直角三角形的性质得PM=1，然后根据“两点之间线段最短”得；AP+PM≥AM，据此即可得出AP的最小值．
此题主要考查了圆周角，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握直径所对的圆周角是直角，直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，理解两点之间线段最短是解答此题的关键．
19.【答案】解：(1)(x−1)2=4，
x−1=±2，
即x1=−1；x2=3.
(2)3x2=4x−1，
3x2−4x+1=0，
(−3x+1)(−x+1)=0，
即x1=1;x2=13.
【解析】(1)直接开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
(2)移项，再因式分解，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
20.【答案】13
【解析】解：(1)妈妈取出红色裙子的概率为13，
故答案为：13；
(2)列表如下：
由表知，共有6种等可能结果，其中妈妈取出裙子和帽子恰好同色的有2种结果，
所以妈妈取出裙子和帽子恰好同色的概率为26=13.
(1)直接根据概率公式求解可得答案；
(2)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
本题考查了列表法和树状图法，利用列表法或树状图法展示某一随机事件中所有等可能出现的结果数n，再找出其中某一事件所出现的可能数m，然后根据概率的定义可计算出这个事件的概率．
21.【答案】9198 2 3
【解析】解：(1)m=24−5−6−4=9，
故答案为：9；
(2)第一次抽查中，人均读书1×5+2×9+3×6+4×424=198，
中位数是2，
故答案为：198；2
(3)∵1册和2册的人数和为14，中位数没有改变，
∴总人数不能超过27，
∴第二次最多抽查了3人．
故答案为：3.
(1)用总人数24减去已知人数即可；
(2)根据平均数和中位数的定义计算即可；
(3)根据中位数的定义可判断总人数不能超过27，从而得到最多补查的人数．
本题考查了平均数、中位数的计算，掌握平均数、中位数的概念是关键．
22.【答案】解：设个位数字为x，那么十位数字是(x−3)，这个两位数是10(x−3)+x，
依题意得：x2=10(x−3)+x，
∴x2−11x+30=0，
∴x1=5，x2=6，
∴x−3=2或3.
答：这个两位数是25或36.
【解析】设个位数字为x，那么十位数字是(x−3)，这个两位数是[10(x−3)+x]，然后根据个位数字的平方刚好等于这个两位数即可列出方程求解即可．
此题考查了一元二次方程的应用，正确理解关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
23.【答案】(1)证明：连接OC.
∵AC平分∠PAE，
∴∠PAC=∠EAC，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OCA=∠PAC，
∴OC//PA，
∵CD⊥PA，
∴CD⊥OC，
∵OC是半径，
∴CD是切线；
(2)解：∵AE是直径，
∴∠ACE=90∘，
∴∠CAD=∠CAE=60∘，
∵∠CDA=90∘，
∴CD=CA⋅sin60∘=5× 32=5 32.
【解析】(1)连接OC，证明CD⊥OC即可；
(2)证明∠CAD=60∘，解直角三角形求出CD即可．
本题考查切线的判定，平行线的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
24.【答案】解：(1)∵二次函数y=ax2+c的图象经过点(8,10)，(−2,52)，
∴64a+c=104a+c=52，
解得：a=18c=2，
∴二次函数的表达式为y=18x2+2；
(2)过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，如图，
∵线段PF绕点P逆时针旋转90∘得到PE，点E恰好落在x轴正半轴上，
∴∠FPE=90∘，PF=PE，
∴∠FPA+∠EPA=90∘，
∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，OF⊥OE，
∴四边形APBO为矩形，
∴∠APB=90∘，
∴∠BPF+∠FPA=90∘，
∴∠FPB=∠EPA，
在△BPF和△APE中，
∠PBF=∠PAE=90∘∠BPF=∠APEFP=EP，
∴△BPF≌△APE(AAS)，
∴PB=PA，
∴点P的横纵坐标相等，
设P(m,m)，
∵点P为二次函数图象上一点，
∴18m2+2=m，
解得：m1=m2=4，
∴点P的坐标为(4,4).
【解析】(1)利用待定系数法解答即可；
(2)过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，利用全等三角形的判定与性质求得点P的横纵坐标相等，设P(m,m)，代入二次函数的解析式，得到关于m的方程，解方程即可得出结论；
本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，二次函数图象上点的坐标的特征，图形旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用点的坐标的特征表示出相应线段的长度是解题的关键．
25.【答案】2
【解析】解：(1)∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，
∴AE=2BE，
∴AEBE=2，
故答案为：2；
(2)∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，
∴AE=2BE，
设BE=FC=am，则AE=HG=DF=2am，
∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC=80，即8a+2x=80，
∴a=−14x+10，3a=−34x+30，
∴y=(−34x+30)x=−34x2+30x，
∵a=−14x+10>0，
∴x<40，
∴y=−34x2+30x(0(3)∵y=−34x2+30x=−34(x−20)2+300(0∴当x=20时，y有最大值，最大值是300.
(1)根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，故AE=2BE，从而可得答案；
(2)设BE=FC=am，则AE=HG=DF=2am，可知8a+2x=80，有a=−14x+10，3a=−34x+30，即得y=(−34x+30)x=−34x2+30x；
(3)由二次函数的性质可得答案．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
26.【答案】解：(1)当x≥2时，
y=x|x−2|=y=x(x−2)=x2−2x，
∴当x=2时，y=0，当x=3时，y=3，当x=4时，y=8，
补全此函数的图象如下：
(2)根据图象，当1(3)当y=1时，x2−2x=1，
解得x= 2+1或− 2+1(舍去)，
∴a的取值范围为1≤a≤ 2+1.
【解析】(1)当x≥2时，得解析式为y=x|x−2|=y=x(x−2)=x2−2x，即可补全此函数的图象；
(2)根据函数图象，可以直接写出y随x的增大而减小时x的取值范围；
(3)当y=1时，x2−2x=1，解得x= 2+1，根据图象可得a的取值范围．
本题考查函数的图象与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
27.【答案】(1)证明：如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=∠BAC=60∘，
∵∠CGA=∠ABC=60∘，∠AGB=∠ACB=60∘，
∴∠CGA=∠AGB，
∴GA平分∠BGD；
(2)①证明：如图2，设直线AF交射线BG于点F′，
由旋转的性质得：AF=AD，∠DAF′=60∘，
∴∠DAF′=∠BAC=60∘，
∴∠DAF′−∠CAF′=∠BAC−∠CAF′，
即∠DAC=∠F′AB，
∵AC=AB，∠ACD=∠ABF′，
∴△ACD≌△ABF′(ASA)，
∴AF′=AD，
∴AF=AF′，
∴点F与F′重合，
∴点F落在射线BG上；
②解：AF=1+ 32AB，理由如下：
如图3，连接CF，设AF与BC交于点M，
∵AH⊥AB，
∴∠BAH=90∘，
∵∠DAF=60∘，
∴∠BAF=30∘，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60∘，
∴∠CAF=∠BAC−∠BAF=30∘，
∴AF⊥BC，∠BAF=∠CAF，
∴AF垂直平分BC，
∴FC=FB= 3FG，
过F作FN⊥CG于点N，
则∠FNG=∠FNC=90∘，
∵∠FGC=∠BAC=60∘，
∴∠GFN=90∘−∠FGC=30∘，
∴GN=12FG，
∴FN= 3GN= 32FG，
∵CF=BF= 3FG，
∴CF=2FN，
∵∠FNC=90∘，
∴∠NCF=30∘，
∴∠CFN=90∘−∠NCF=60∘，
∴∠CFG=∠CFN+∠GFN=60∘+30∘=90∘，
∵AC=AB，CF=BF，AF=AF，
∴△ACF≌△ABF(SSS)，
∴∠AFC=∠AFB=12∠CFG=45∘，
∵∠BMF=90∘，
∴△BMF是等腰直角三角形，
∴MF=BM=12BC=12AB，
∵AM= 3BM= 32BC= 32AB，
∴AF=AM+MF=12AB+ 32AB=1+ 32AB，
∵AD=AF，
∴AD=1+ 32AB.
【解析】(1)由等边三角形的性质得∠ACB=∠ABC=∠BAC=60∘，再由圆周角定理得∠CGA=∠ABC=60∘，∠AGB=∠ACB=60∘，则∠CGA=∠AGB，即可得出结论；
(2)①由旋转的性质得AF=AD，∠DAF′=60∘，再证△ACD≌△ABF′(ASA)，得AF′=AD，则AF=AF′，点F与F′重合，即可得出结论；
②连接CF，证AF垂直平分BC，则FC=FB= 3FG，过F作FN⊥CG于点N，再由含30∘角的直角三角形的性质得FN= 32FG，则CF=2FN，然后证△ACF≌△ABF(SSS)，得∠AFC=∠AFB=45∘，则△BMF是等腰直角三角形，得MF=BM=12BC=12AB，即可解决问题．
本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、含30∘角的直角三角形的性质以及线段垂直平分线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握圆周角定理和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．册数
1
2
3
4
人数
5
m
6
4
白
红
灰
白
(白，白)
(红，白)
(灰，白)
灰
(白，灰)
(红，灰)
(灰，灰)