四川省绵阳市江油中学2023-2024学年高二上学期期末数学模拟试题（Word版附解析）

这是一份四川省绵阳市江油中学2023-2024学年高二上学期期末数学模拟试题（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 已知，是平面的一个法向量，且是平面内一点，则点A到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出的坐标，再利用点到面的距离公式求解即可.
【详解】由已知，又，
则点A到平面的距离为.
故选：D.
2. 圆与圆的公共弦的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出圆的公共弦所在直线，利用圆中半径、半弦长、圆心距之间的关系求弦长.
【详解】两圆方程作差可得：，
即两圆公共弦所在直线方程为，
因为圆的圆心为，半径为，
所以圆心到公共弦所在直线距离，
故弦长为.
故选：B
3. 已知双曲线的渐近线方程为，且经过点，则的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程，将点的坐标代入，求得参数，即可得答案.
【详解】因为双曲线的渐近线方程为，
故可设双曲线方程为，
又经过点，故，
故双曲线方程为，
故选：A
4. 如图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为10米，拱形最高点与水面的距离为6米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪光灯，则竖直悬挂的闪光灯到水面的距离为（ ）（结果精确到0.01）
A. 4.96B. 5.06C. 4.26D. 3.68
【答案】A
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线的方程，根据题意知抛物线经过点，把点代入抛物线方程即可求出，根据竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为，即可求出答案.
【详解】如图，设抛物线的方程为，抛物线经过点，
所以，解得，所以抛物线顶点到焦点的距离为，
故竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为米.
故选：A.
5. 若直线的一个方向向量，且在轴上的截距为2，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由方向向量求出直线的斜率，进而得到直线方程.
【详解】由直线的一份方向向量，得的斜率，
又在轴上的截距为2，所以的方程为，即.
故选：A.
6. 如图，在直三棱柱中，面，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以为原点，所在的直线为轴建立空间直角坐标系，设，求出，，利用向量的夹角公式可得答案.
【详解】在直三棱柱中，平面，平面，
所以，，
平面，平面，所以，
所以互相垂直，
以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，
设，
则，
可得，，
所以.
所以直线与直线夹角的余弦值为.
故选：C.

7. 已知圆：，过点作圆的切线，则切线长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】求出圆的圆心与半径，利用圆心到的距离与半径、切线长满足勾股定理，求出切线长即可．
【详解】圆：，即，圆心坐标，半径为3，
圆心到的距离为5，所以切线长为．
故选：B
8. 某学校高一高二年级共1000人，其中高一年级400人，现按照年级进行分层随机抽样调查学生身高，得到高一、高二两个年级的样本平均数分别为，和样本标准差分别为3，4，则总体方差（ ）
A. 18.5B. 19.2C. 19.4D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】利用分层抽样方差公式计算即可得.
【详解】总体样本平均数，
.
故选：B.
二、多选题
9. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ）
A. 在轴上的截距为B. 过定点
C. 若，则或D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据直线截距的定义可判定A，由直线方程可求定点判定B，利用两直线的位置关系可判定C、D.
【详解】由易知，故A正确；
由，故B正确；
若两直线平行，则有且，解得，故C错误；
若两直线垂直，则有，故D正确.
故选：ABD
10. 下列关于空间向量的说法正确的是（ ）
A. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
B. 已知，，若，则
C. 任意向量，，满足
D. 若，，是空间的一组基底，且，则四点共面
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据共面与否即可判断A，根据数量积的坐标运算即可判断B，根据共线定理即可求解C，根据共面即可求解D.
【详解】因为是空间的一个基底，则，，不共面，若，，共面，则存在实数，使得，故，由于，，不共面，所以，所以无解，故，，不共面，所以也可以作为空间的一个基底，故A正确；
因为，，所以，，
又，所以，解得，故B正确；
因为向量，不一定是共线向量，因此不一定成立，故C错误；
因为，所以，即，所以四点共面，故D正确．
故选：ABD．
11. 已知圆：，直线：，则（ ）
A. 直线与圆的轨迹一定相交
B. 直线与圆交于两点，则的最大值为
C. 圆上点到直线距离的最大值为
D. 当时，则圆上存在四个点到直线的距离为1.
【答案】AD
【解析】
【分析】确定直线过定点，点在圆内，A正确，当时，最大，计算得到B错误，最大值为，C错误，确定直线过圆心，，D正确，得到答案.
【详解】圆：，圆心，半径，
直线过定点，，
对选项A：，点圆内，故直线与圆一定相交，正确；
对选项B：当过圆心时，最大为，错误；
对选项C：圆上点到直线距离的最大值为，错误；
对选项D：直线：，圆心在直线上，，
故圆上存在四个点到直线的距离为1，正确；
故选：AD
12. 已知直线l：过抛物线C：的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，则（ ）
A.
B.
C.
D. 抛物线C上的动点到直线距离的最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】求得抛物线的焦点代入直线的方程，求得，可判定A错误；联立方程组，根据韦达定理和抛物线的焦点弦的性质，求得，可判定B正确；结合抛物线的定义，求得的值，可判定C错误；设设是抛物线上的任意一点，利用点到直线的距离公式，结合二次函数的性质，可判定D正确.
【详解】由抛物线，可得焦点为，
因为过抛物线的焦点，可得，解得，所以A错误；
联立方程组，整理得，
设，则，，
由抛物线的焦点弦的性质，可得，所以B正确；
又由，解得，
根据抛物线的定义，可得，
所以，所以C错误；
设是抛物线上的任意一点，可得，
则点到直线的距离为，
当时，，所以D正确.
故选：BD.
三、填空题
13. 管理人员为了了解某水库里大概有多少条鱼，拖网打捞出1000条鱼，在鱼身处打上一个不会掉落的印记，再放回水库，一个月后再次捕捞1000条鱼，发现其中有20条有印记的鱼，问：这个水库里大概有______条鱼．
【答案】
【解析】
【分析】设这个水库里大概有条鱼，利用等比例性质求即可.
【详解】令这个水库里大概有条鱼，由题意有，可得条.
故答案为：
14. 某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校大一新生中进行了抽样调查．已知在被调查的新生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品现在从这5名学生中随机抽取3人、则抽到的3人中有人喜欢甜品的概率为_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案.
【详解】名喜欢甜品的编号；名不喜欢甜品的编号，
从中任取人，基本事件有：，
，共个.
抽到的3人中有人喜欢甜品的事件有：，
，共个.
所以抽到的3人中有人喜欢甜品的概率为.
故答案为：
15. 过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为_____．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：设A ，B ，则①，②，
∵M是线段AB的中点，∴，∵直线AB的方程是，
∴，∵过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C：（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，∴①②两式相减可得，即．
考点：椭圆的简单性质
16. 已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为_______________．
【答案】
【解析】
【分析】利用，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号，及，当且仅当三点共线时取等号，再结合双曲线的定义可得．
【详解】由已知，是双曲线的左焦点，它也是圆的圆心，，
圆半径为，
，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号，
，当且仅当三点共线时取等号，
所以，又由双曲线定义，，
所以，即的最小值为，
故答案为：．
四、解答题
17. 已知圆圆心在直线上，且与直线相切于点．
（1）求圆的标准方程；
（2）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）设圆心，根据直线与直线垂直，根据直线的斜率关系可求出的值，可得出圆心的坐标，进而可求得圆的半径，由此可得出圆的标准方程；
（2）利用勾股定理求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式可得出关于的方程，解出的值，综合可得出直线的方程.
【小问1详解】
解：因为圆心在直线上，设圆心，
则与直线垂直，且直线的斜率为，
则，可得，解得，
所以，圆心的坐标为，则圆的半径为，
所以，圆的标准方程为.
【小问2详解】
解：由题意可知，圆心到直线的距离为，
若直线轴，则直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合乎题意；
若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离为，可得，解得，
此时，直线的方程为，即.
综上所述，直线的方程为或.
18. 2020年1月15日教育部制定出台了“强基计划”，2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试，进入面试环节 .现随机抽取了100名同学的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
（1）求a，b的值；
（2）估计这100名同学面试成绩的众数和分位数（百分位数精确到0.1）；
（3）在第四、第五两组中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自不同组的概率．
【答案】（1），
（2）估计众数为70，分位数为
（3）
【解析】
【分析】（1）由第三、四、五组的频率之和为0.7，各组频率之和为，建立方程组求解；
（2）由频率分布直方图可知最高的矩形组为第三组，取中点可得众数，求前两组与前三组频率之和，确定第分位数所在组，再由比例关系求解；
（3）由抽样比可得两组选取人数，列举法得，，再由古典概型概率公式可求.
【小问1详解】
由题意可知：，，
解得，；
【小问2详解】
由频率分布直方图估计众数为，
前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，
则估计第分位数为；
【小问3详解】
根据分层抽样，和的频率比为
故在和中分别选取4人和1人，分别设为和
则在这5人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有
共10个，
即，记事件“两人来自不同组”，
则事件包含样本点有
共4个，即，
所以.
19. 已知双曲线C：的实轴长为2.
（1）若双曲线C的渐近线方程为，求双曲线方程；
（2）设、是C的两个焦点，P为C上一点，且，的面积为9，求C的标准方程
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合双曲线的渐近线方程求，即可得方程；
（2）根据题意结合双曲线的定义求，即可得方程；
【小问1详解】
因为双曲线C：的实轴长为2，
即，则，
又因为双曲线一条渐近线方程为，即，可得，
所以双曲线方程为.
【小问2详解】
双曲线定义可得：，
由知，且的面积为9，
则，即，
又因为，
可得，即，
所以，因此，
故双曲线C的标准方程为：.
20. 在第19届杭州亚运会上中国射击队获得32枚金牌中的16枚，并刷新3项世界纪录.甲、乙两名亚运选手进行赛前训练，甲每次射中十环的概率为，乙每次射中十环的概率为，在每次射击中，甲和乙互不影响.已知两人各射击一次至少有一人射中十环的概率为.
（1）求；
（2）甲、乙两人各射击两次，求两人共射中十环次的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用对立事件的概率公式列等式求；
（2）“两人共射中十环次”即“甲中次且乙中次”与“甲中次且乙中次”的和事件，利用互斥事件的概率加法公式可得.
【小问1详解】
设事件“两人各射击一次至少有一人射中十环”，
则“两人均未射中十环”，
由题意知甲每次射中十环的概率为，乙每次射中十环的概率为，
则甲每次未射中十环的概率为，乙每次未射中十环的概率为，
由对立事件的概率公式与相互独立事件的概率乘法公式可得，
，解得；
【小问2详解】
设表示事件“甲两次射击恰射中十环次”，，
设表示事件“乙两次射击恰射中十环次”，.
则，，
，.
设“甲、乙两人各射击两次，两人共射中十环3次”，
则，且事件与互斥，
则由互斥事件的概率加法公式可得，
.
故甲、乙两人各射击两次，两人共射中十环3次的概率为.
21. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点且斜率存在的直线交抛物线于不同的两点，设为坐标原点，直线的斜率分别为，求证：为定值．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式求出，即可得解；
（2）设直线，联立方程，利用韦达定理求得，再结合斜率公式即可得出结论.
【小问1详解】
解：点在抛物线上，且，
，解得，
抛物线的方程为；
【小问2详解】
证明依题意，设直线，
联立，得，
则，
故为定值．
22. 如图，四棱锥的底面是矩形，，，M为的中点，，.
（1）证明：底面
（2）若，求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证明，即可证明平面，从而证明，根据线面垂直的判定定理即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面AMP和平面PBM的法向量，根据空间角的向量求法，结合同角的三角函数关系，即可求得答案.
【小问1详解】
设交于E，四棱锥的底面是矩形，，,
M为的中点，则，
故∽，则,
而，则，故，
故，又，且平面，
故平面，平面，
故，又，平面，
所以底面；
【小问2详解】
以点D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的一个法向量为，则，
即，令，则，
设平面的一个法向量为，则，
即，令，则，
则，
由于二面角的取值范围为，故其正弦值.