四川省绵阳市南山中学实验学校2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题（六）（Word版附解析）

这是一份四川省绵阳市南山中学实验学校2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题（六）（Word版附解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若直线与直线平行，则的值是（ ）
A. 1或B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据两直线平行的条件，列出方程组，即可求解.
【详解】由直线与直线平行，
可得，解得，所以实数的值为.
故选：C.
2. 已知，（，，为两两互相垂直的单位向量），若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的数量积的运算得到方程，解方程即可.
【详解】
∵，，为两两互相垂直的单位向量，
∴，，，，，，
∴，
∵，∴，∴，
解得，
故选：C.
3. 已知椭圆以及椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（ ）
A. B. C. -4D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】设出交点代入椭圆方程，相减化简得到答案.
【详解】设弦与椭圆交于，，斜率为，
则，，相减得到，
即，解得.
故选：A.
4. 为了了解某市参加数学竞赛的名高二学生的成绩情况，准备从中抽取一个容量为的样本，现采用系统抽样的方法，需要从总体中剔除个个体，在整体抽样过程中，每个个体被剔除的可能性和每个个体被抽到的可能性分别是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据每个个体入样的机会均等和被剔除的机会均等可得结果.
【详解】由题意可知，在整体抽样过程中，每个个体被剔除的可能性为，
每个个体被抽到的可能性为.
故选：B.
5. 已知点是椭圆上的动点，于点，若，则点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，根据点在椭圆上可得，继而根据，设，求出，代入中，即可求得答案.
【详解】由于点是椭圆上的动点，设，则，
又于点，则；
设，由，得，
则，代入，得，
即点的轨迹方程为，
故选：A
6. 若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由方程确定直线过定点，曲线是半圆，作出图形后，由图形易得参数范围．
【详解】由已知直线过定点，
曲线是以为圆心，2为半径的圆的左半部分弧，，
作出它们的图形，如图，
直线斜率为，当直线斜率不存在时，它与该半圆相切，
由图可知，它们有两个交点时，，
故选：C．
7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，O为坐标原点，倾斜角为的直线l过右焦点且与双曲线的左支交于M点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由向量的运算将转化为，利用几何性质求得点，代入双曲线方程得的等量关系，求解离心率即可.
【详解】因为
，
所以，则，
过作轴，垂足为，
由题意知，则，
故，
在中，，
故，又点在双曲线上，
则，将代入整理得，
则，解得，且，
解得，
故双曲线的离心率为.
故选：A.
8. 已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在两点使得梯形的高为（为该椭圆的半焦距），且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据，可得，则，为梯形的两条底边，作于点P，所以，则可求得，再结合，建立的关系即可得出答案.
【详解】如图，由，得，则，为梯形的两条底边，
作于点P，则，由梯形的高为c，得，
在中，，则有，，
在中，设，则，，
即，解得，
在中，，同理，
又，所以，即，所以离心率.
故选：C
二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 设为两个互斥事件，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据互斥事件的含义及概率计算公式逐项判定即可.
【详解】因为为两个互斥的事件，且，
所以,即，故A正确，B错误；
因为为两个互斥的事件，
所以
，
故C正确；
因为为两个互斥的事件，所以，故D正确，
故选：ACD.
10. 若构成空间的一个基底，则下列说法中正确的是（ ）
A. 存在，使得
B. 也构成空间的一个基底
C. 若，则直线与异面
D. 若，则，，，四点共面
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据空间向量基本定理判断A,B选项，再由共线向量基本性质及为一组基底判断出C、D.
【详解】由题意知，三向量不共面，所以错误；
若三向量共面，则有，
化简有：，因为不共面，
则，无解，故三向量不共面，能够构成一组基底，故B正确；
若与共面，则有，则有，与题意矛盾，故C正确；
若，化简有，则有，所以四点共面，故D正确．
故选：BCD
11. 已知抛物线的焦点坐标为F，过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，点在抛物线上．则（ ）
A. B. 当轴时，
C. 为定值1D. 若，则直线的斜率为
【答案】BCD
【解析】
【分析】将点代入可判断A；求出焦点可判断B；设直线的方程为，将直线与抛物线方程联立，利用韦达定理即可判断C；由向量的坐标表示以及韦达定理可判断D.
【详解】对于选项A，将点代入抛物线方程，可得，故选项A错误；
对于选项B，焦点，点在抛物线上，可得，故选项B正确；
对于选项C，设点A，B的坐标分别为，，
直线的方程为，联立方程
消去y后整理为，
可得，
有，
故选项C正确；
对于选项D，有，
可得，由有解得，故选项D正确．
故选：BCD
12. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线交于A，B两点，A在第一象限，若为等边三角形，则下列结论一定正确的是（ ）
A. 双曲线C的离心率为B. 的面积为
C. 内切圆半径为D. 的内心在直线上
【答案】BD
【解析】
【分析】按照AB两点在同支或两支讨论，结合余弦定理及离心率的定义可判断A；结合三角形面积公式可判断B；利用等面积法可判断C；由双曲线的定义结合切线长定理可判断D.
【详解】△为等边三角形,若在同一支，
由对称性知轴，，，.
,；
,
设的内切圆半径为r，则，解得；
因为，则可得，，，，则内切圆半径，故内心的横坐标为，内心在直线上.
若分别在左右两支，则，
则，解得，离心率，
，
设的内切圆半径为r，则，解得；
设的内心为I，作过作的垂线，垂足分别为，
则，又，则所以，所以的内心在直线上；
所以结论一定正确的是BD.
故选：BD.
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）
13. 已知，则在上的投影向量的坐标为_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用投影向量的定义，结合空间向量数量积的坐标运算，可得在上的投影向量的坐标.
【详解】已知空间向量和，
则在上的投影向量为
.
故答案为：.
14. 如图，由到的电路中有4个元件，分别为，，，，若，，，能正常工作的概率都是，记“到的电路是通路”，求______.
【答案】
【解析】
【分析】由相互独立事件的概率公式，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解.
【详解】设“正常工作”，“没有正常工作，正常工作，且中至少有一个正常工作”
由于“到的电路是通路”等价于“正常工作”或“没有正常工作，正常工作，且中至少有一个正常工作”，即
，
由于事件互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，
可得
故答案为：
15. 已知圆：，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程是________．
【答案】
【解析】
【分析】设，根据题意确定出四点共圆并求解出圆的方程，然后根据两圆相交弦所在直线方程的求法求解出结果.
【详解】设，如下图，
因为为圆的切线，
所以，所以，
所以四点共圆，且为圆的直径，记的中点为，
因为，所以，
所以经过四点的圆的方程为，
显然与的相交弦为，
所以所在直线方程为，
即为，
故答案为：.
16. 已知点，点P在抛物线上运动，点B在曲线上运动，则的最小值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】由抛物线的定义转化后求解
【详解】抛物线的焦点为，设点坐标，则
，
由题意当时，，
令，则，，
由基本不等式知，当且仅当时等号成立
故的最小值为．
故答案为：
四、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 某高校承办了杭州亚运会志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.

（1）求a，b的值；
（2）估计这100名候选者面试成绩的60%分位数（分位数精确到0.1）；
（3）在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由每个小矩形面积代表频率，根据所有频率之和为1可得，；
（2）直接第60百分位数即可；
（3）先分层抽样求出列举法求出抽取的第四、第五两组志愿者人数，再利用列举法求出古典概型的概率即可．
【小问1详解】
因为第三、四、五组的频率之和为0.7，
所以，解得，
所以前两组的频率之和为，即，
所以；
【小问2详解】
前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，
所以第60百分位数在第三组，且为；
【小问3详解】
第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，
故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，，，，第五组志愿者人数为1，设为，
这5人中选出2人，所有情况有，
共有10种情况，
其中选出的两人来自不同组的有共4种情况，
故选出的两人来自不同组的概率为．
18. 如图所示，在四棱锥中，平面，，，是的中点，，.
（1）证明：平面；
（2）若二面角的平面角的大小为，求四棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，两两垂直，建立空间直角坐标系，得到，，从而得到线面垂直；
（2）求出平面的法向量，由二面角大小得到方程，求出，从而求出体积.
【小问1详解】
因为平面，平面，
所以，，
又，所以两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
故，
，，
∴ ⊥，⊥，
∵ 平面，平面，，
∴⊥平面；
【小问2详解】
，，
设平面AED的法向量为，
则，
解得，令，则，则，
平面ACD的法向量为，
故，
解得，负值舍去，
四棱锥的体积为.
19. 第22届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行．为庆祝这场体育盛会的胜利召开，某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表社区参加市亚运知识竞赛．已知社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为，，，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响．
（1）求这3人中至多有2人通过初赛的概率；
（2）求这3人都参加市知识竞赛的概率；
（3）某品牌商赞助了社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了奖励方案：只参加了初赛的选手奖励200元，参加了决赛的选手奖励500元．求三人奖金总额为1200元的概率．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）计算出3人都没有通过初赛的概率，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）)计算出3人各自参加市知识竞赛的概率，再利用独立事件概率公式可求得所求事件的概率；
（3）计算出3人中有两人通过初赛的概率，再利用概率加法公式可求得所求事件的概率；
【小问1详解】
由题意可得：3人全通过初赛的概率为，
所以这3人中至多有2人通过初赛的概率为；
【小问2详解】
甲参加市知识竞赛的概率为，
乙参加市知识竞赛概率为，
丙参加市知识竞赛的概率为，
所以这3人都参加市知识竞赛的概率为；
【小问3详解】
由题意可得：要使得奖金之和为1200元，则只有两人参加决赛，
记“甲、乙、丙三人获得奖金之和为1200元”为事件，
则.
20. 已知椭圆C上任意一点P（x，y）到点F（－1，0）的距离与到直线x =－4的距离的比等于．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l与椭圆C相交于M，N两点，A（2，0），记直线AM，AN的斜率分别为kAM，kAN，且满足kAM·kAN =－1．证明：直线l过定点．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先分别求出点P到点F的距离和到直线x =－4的距离,然后由根据条件得到方程，化简即可得到答案.
（2）当直线l的斜率存在时，设直线l为y = kx + m，与椭圆方程联立得出韦达定理，表示出kAM·kAN =－1，将韦达定理代入，得出的关系，得到答案，再验证直线l的斜率不存在的情况.
【小问1详解】
因为点P（x，y）到点F（－1，0）的距离为，
点P（x，y）到直线x=－4的距离，
所以 4（x2+2x+1+y2）=x2+8x+163x2+4y2=12，
因此，可得椭圆C的标准方程为．
【小问2详解】
① 当直线l的斜率存在时，设直线l为y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立
消去y，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2－12=0，
则 =48（4k2+3－m2）＞0，，，
于是 ，
即（kx1+m）（kx2+m）+（x1－2）（x2－2）= 0，
即（k2+1）x1x2+（km－2）（x1+x2）+（m2+4）=0，
化简，得4k2+16km+7m2=（2k+m）（2k+7m）=0．
（i）当2k+m=0时，直线为y=kx－2k，过点（2，0），舍去；
（ii）当2k+7m=0时，直线为，过点（，0）．
② 当直线l的斜率不存在时，x =，经检验，符合题意．
综上，则直线l过定点R（，0）．
21. 如图，等腰梯形中，∥，，间的距离为4，以线段的中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，记经过四点的圆为圆．

（1）求圆的标准方程；
（2）若点是线段的中点，是圆上一动点，满足，求动点横坐标的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据圆所过点的坐标求解圆的方程即可.
（2）根据是圆上一动点，满足，设P点坐标带入化简求解，依据图像即可得出答案.
【小问1详解】
如图，因为，间的距离为4，
所以，经过四点的圆即经过三点的圆，
法一：
中垂线方程即，中点为，，
所以的中垂线方程为，即，
联立，得圆心坐标，
所以圆的标准方程为；
法二：设圆的一般方程为，
代入，解得，
所以圆的标准方程为；
法三：以为直径的圆方程为，
直线，
设圆的方程为，
代入，解得，
所以圆的标准方程为；
【小问2详解】
，设圆上一点，
，
因为，所以，
即，
由对应方程为圆
所以点在圆上及其外部，
解得，
所以两圆交点恰为，
结合图形，当圆上一点纵坐标为时，横坐标为，
所以点横坐标的取值范围是．

22. 如图，圆锥的底面圆上有四点，四边形是正方形，且，点在线段上，若．

（1）证明：平面；
（2）若为等边三角形，点在劣弧上运动，记与平面所成的角为，求的最大值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据推出，设的交点为O，从而得，根据线面平行的判定定理即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面的一个法向量；
法一：设，利用向量的夹角公式，结合空间角的向量求法，即可求得答案；
法二：设且，利用向量的夹角公式，结合空间角的向量求法，即可求得答案.
【小问1详解】
∵四边形为正方形，，
设到底面的距离分别为，
则即，
即，所以，即．
设的交点为O，所以，即，

连接，则.，
平面面，
所以面．
【小问2详解】
连接，则平面，
以为坐标原点，的方向为轴建立空间直角坐标系，
由于为等边三角形，，则
因为，所以由可得：，

，
设平面一个法向量为，则，
∴，令，所以可取
法一：设，则，
∴，
当且仅当，即与重合时取等号．
所以的最小值为．的最大值为；
法二：设且 ，则，
∴，
当且仅当，即与重合时取等号．