四川省绵阳市绵阳中学2023-2024学年高一上学期期末数学模拟试卷（二）（Word版附解析）

这是一份四川省绵阳市绵阳中学2023-2024学年高一上学期期末数学模拟试卷（二）（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 全称量词命题“”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题.
【详解】“”的否定是“，”.
故选：A.
2. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】D
【解析】
【分析】举反例可判断选项A、B、C，由不等式的性质可判断选项D.
【详解】对于选项A，当时，若，则，与矛盾，故选项A错误；
对于选项B，当时，若，则，与矛盾，故选项B错误；
对于选项C，当，，满足，，
但，这与矛盾，故选项C错误；
对于选项D，因为，，
所以由不等式性质可得：，即.
因为，，由不等式性质可得：，故选项D正确.
故选：D.
3. 设函数，用二分法求方程在内的近似解的过程中，计算得，则下列必有方程的根的区间为（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】利用零点存在性定理及二分法的相关知识即可判断.
【详解】显然函数在上是连续不断的曲线，
由于，所以，
由零点存在性定理可得：的零点所在区间为，
所以方程在区间内一定有根.
故选：C.
4. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据同角三角函数平方关系，结合必要不充分性的判断即可求解.
【详解】由，则，故充分性不成立，
由，则，故必要性成立，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
5. 函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性、定义域、正负性，结合指数函数的单调性进行判断即可.
【详解】由，所以该函数的定义域为，显然关于原点对称，
因为，
所以该函数是偶函数，图象关于纵轴对称，故排除选项AC，
当时，，排除选项B，
故选：D
6. 已知函数，是上的减函数，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】依题意，在上单调递减，
所以，解得，
所以的取值范围是
故选：C
7. 若实数满足，则的值为（ ）
A. 2B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】由同角三角函数的关系，化简求值.
【详解】由，则，
又，得
．
故选：A．
8. 已知，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦函数、对数函数、指数函数的图像和性质求解即可.
【详解】因为，，，
所以，
故选：C
二、多选题
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 任何集合都是它自身的真子集
B. 集合共有16个子集
C. 集合
D. 集合
【答案】BC
【解析】
【分析】根据真子集的性质、子集个数公式，结合集合的描述法逐一判断即可.
【详解】A：根据真子集的定义可知：任何集合都不是它自身的真子集，所以本选项说法不正确；
B：集合中有四个元素，所以它的子集个数为，所以本选项说法正确；
C：因为，
所以与均表示4的倍数与2的和所组成的集合，
所以，因此本选项说法正确；
D：对于，当时，，
即，但，
所以两个集合不相等，因此本选项说法不正确.
故选：BC.
10. 已知正实数x，y满足，则下列不等式成立的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项A用基本不等式性质判断即可；选项B用基本不等式的推论即可；选项C将带入，再用基本不等式判断；D利用对勾函数的单调性判断.
【详解】对A：因为x，y为正实数，当且仅当时取等号，所以A正确；
对B：因为，当且仅当时取等号，所以B正确；
对C：因为，当且仅当时取等号，所以C错误；
对D：由B选项可知，令，则，
因为对勾函数在上是减函数，所以，所以D正确；
故选：ABD
11. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A. 的定义域为R
B. 是奇函数
C. 在定义域上是减函数
D. 无最小值，无最大值
【答案】BD
【解析】
【分析】求解，可判断A；利用函数奇偶性的定义可判断B；比较可判断C；分离常数得到，分析单调性及函数值域可判断D
【详解】选项A，，解得，故的定义域为，选项A错误；
选项B，函数定义域关于原点对称，且，故是奇函数，选项B正确；
选项C，，故，即在定义域上不是减函数，选项C不正确；
选项D，，令，，由于在上单调递增，在分别单调递减，故函数在分别单调递减，且时，，时，，时，，时，，故函数的值域为，无最小值，无最大值，选项D正确
故选：BD
12. 已知定义在上的函数在区间上满足，当时，；当时，．若直线与函数的图象有6个不同的交点，各交点的横坐标为，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】先利用函数的对称性和解析式作出函数图象，分别求出直线与函数的图象的交点的横坐标的范围，运用基本不等式和二次函数的值域依次检验选项即得.
【详解】
如图，依题意可得，作出函数在上的图象，
设直线与的图象分别交于四点，
显然有，由知函数在区间上关于直线对称，故可得：.
对于A选项，由可得，，化简得，
由基本不等式得：，故A项正确；
对于B选项，当时，由可知其对称轴为直线，故
又因，故在区间上为增函数，
则有，故B项正确；
对于C选项，由可得，，
化简得，
故有，即C项错误；
对于D选项，依题意，且，
故，
又因函数在区间上关于直线对称，故
又由B项分析知于是
故得：，故D项正确
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数与直线的交点横坐标的范围界定，关键在于充分利用绝对值函数与对称函数的图象特征进行作图，运用数形结合的思想进行结论检验.
三、填空题
13. 已知，若幂函数在区间上单调递增，且其图像不过坐标原点，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的性质分析求解.
【详解】因为幂函数图像不过坐标原点，则，
当，在区间上单调递增，符合题意；
当，的定义域为，不合题意；
当，的定义域为，不合题意；
综上所述：.
故答案为：.
14. 已知，则__________．
【答案】##
【解析】
【分析】由诱导公式可化简已知等式得到；根据诱导公式和正余弦齐次式的求法可将所求式子化为关于的式子，代入的值即可得到结果.
【详解】，，
.
故答案为：.
15. 已知，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式所表示的集合的关系列出不等式，解出即可.
【详解】，解得，设，，
若是的充分不必要条件，则，
则有，且等号不会同时取到，解得，
则实数取值范围是.
故答案为：.
16. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．那么，函数图象的对称中心是______．
【答案】
【解析】
【分析】计算出，得到，求出，得到对称中心.
【详解】
，
要想函数为奇函数，只需恒成立，
即，解得，
故图象的对称中心为
故答案为：
四、解答题
17. （1）计算；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）0（2）52
【解析】
【分析】（1）结合指数运算及对数运算性质，换底公式即可求解；
（2）考察两式间的内在联系，结合立方和公式即可求解.
【详解】（1）
；
（2）由，则，
则，则.
18. 在平面直角坐标系中，O是坐标原点，角的终边与单位圆的交点坐标为，射线绕点O按逆时针方向旋转弧度后交单位圆于点B，点B的纵坐标y关于的函数为．
（1）求函数的解析式．并求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到，而，根据所在象限，得出，进而求出，再代入，即可求得；
（2）由，得到，根据，得，利用平方关系解得，进而可求出的值.
【小问1详解】
因为，且，点在第三象限，所以，
由此得，
【小问2详解】
由于知，即
由于，得，与此同时，所以
由平方关系解得：，
所以
19. 已知.
（1）求最小值
（2）求的最小值.
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）利用对数运算得到，从而利用基本不等式“1”妙用即可得解；
（2）法一：利用换元法，结合基本不等式即可得解；
法二：用表示，再利用配凑法，结合基本不等式即可得解.
【小问1详解】
由得，即，
，则，
因为，所以，
当且仅当，即时取得“=”，
所以的最小值为.
【小问2详解】
法一：
令，则，，
故由可得，整理得，
，
当且仅当，即，即时取“=”，
所以的最小值为2.
法二：
由可得，又，
，
当且仅当，即时取得“=”，
所以的最小值为2.
20. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用的水泡制，等到茶水温度降至时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据：
设茶水温度从开始，经过后的温度为，现给出以下三种函数模型：
①；
②；
③．
（1）从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前的数据求出相应的解析式；
（2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）；
（参考数据：．）
【答案】（1）选②，理由详见解析，解析式为
（2）最佳饮用口感的放置时间为
【解析】
【分析】（1）根据数据的变化确定模型，并求得相应的解析式.
（2）根据已知条件列方程，化简求得正确答案.
【小问1详解】
根据表格数据可知，水温下降的速度先快后慢，
所以选②，
且，，
利用加减消元法解得，
所以
【小问2详解】
由，得，
两边取以为底的对数得，
.
答：最佳饮用口感的放置时间为.
21. 已知函数为奇函数.
（1）求实数的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）增函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）定义域的奇函数满足，求出的值并用奇函数定义验证.
（2）用定义证明函数的单调性.
（3）不等式利用奇偶性和单调性化简，得到关于的不等式，设，利用函数的性质求解即可.
【小问1详解】
函数为奇函数，.
，解得，
当时，，
经检验符合题意，故.
【小问2详解】
是上的增函数.
任取且.
.
，
，，，
即，
是上的增函数.
【小问3详解】
是上的奇函数，且在上单调递增.
故
即：
令，
则对恒成立.
即
解得：.
实数的取值范围为.
22. 已知函数，记．
（1）求函数的定义域；
（2）是否存在实数，使得当时，的值域为?若存在，求出实数的取值范围；若不存在，则说明理由．
【答案】（1）
（2）不存在，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据真数大于0，分别求和定义域，为这两个定义域的交集；
（2）先根据定义域和值域求出m，n，a的范围，再利用单调性将问题转化为方程有解问题.
【小问1详解】
由题意知
要使有意义，则有
，得，
所以函数的定义域为：.
【小问2详解】
，
假设存在这样的实数，则由
可知，
，
令，则在上递减，在上递减，
，
是方程，即有两个在上的实数解，
问题转化为：关于的方程在上有两个不同的实数解，
令，则有
，
解得，又，∴，
故这样的实数不存在.
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是利用换元法将问题转化为关于的方程在上有两个不同的实数解，最后结合二次函数函数零点分布即可得到不等式，解出即可.
时间
0
1
2
3
4
5
水温
100.00
92.00
84.80
78.37
72.53
67.27