四川省绵阳市南山中学实验学校2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题（二）（Word版附解析）

这是一份四川省绵阳市南山中学实验学校2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题（二）（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 椭圆的焦距是（ ）
A. B. C. 4D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据椭圆方程求解即可.
【详解】椭圆中，，故，
所以椭圆的焦距是.
故选：A.
2. 已知三个社区的居民人数分别为，现从中采用分层抽样方法抽取一个容量为的样本，若从社区抽取了15人，则（ ）
A. 33B. 18C. 27D. 21
【答案】A
【解析】
【分析】根据抽样比即可求解.
【详解】三个社区的居民人数分别为，
从中抽取一个容量为的样本，从社区抽取了15人，
则，解得.
故选：A
3. 已知随机事件和互斥,且,,则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】因为和互斥,由求出,再由即可得到答案.
【详解】因为和互斥,
所以,
又,
所以,
因为,
所以.
故选:B
4. 已知直线：，直线：相互平行，则的值为（ ）
A. 1或－4B. 1C. 2D. －4
【答案】B
【解析】
【分析】根据两直线平行的条件求解．
【详解】显然，因此由题意，解得，
故选：B．
5. 平行六面体中，，，，，则线段的长度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据，根据向量数量积的定义和运算律可求得，由此可得结果.
【详解】
，
，
，即线段的长度为.
故选：D.
6. 已知向量，单位向量满足，则的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的模平方得向量积的值，再利用向量夹角公式求解
【详解】因为，所以.又，
所以，即，所以，则.
所以.又，所以.
故选：C.
7. 过点的圆C与直线相切于点，则圆C的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由圆心和切点连线与切线垂直可得，得到关于圆心的一个方程，根据圆的性质，可知圆心C在的垂直平分线上，由此可求得的值，得到圆心坐标，进而可求得圆的半径即可求解.
【详解】设圆心，
因直线与圆C相切于点，
所以，即，
因为中垂线为，则圆心C满足直线，
即，
所以半径，
所以圆C的方程为，
故选：
8. 已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由点在抛物线上，可设，利用，可得，通过计算可得的值，进一步求出点横坐标，利用抛物线的定义求，从而得到答案.
【详解】∵点在抛物线：上，故设.
又抛物线的焦点为，准线为，所以.
∵，∴.
而，，
∴，解得：.
∴点的横坐标为.
根据抛物线的定义，得，所以.
故选：A.
二、多选题
9. 已知向量，，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 不存在实数，使得D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，根据即可算出的值；对于B，根据计算；对于C，根据计算即可；对于D，根据求出，从而可计算出.
【详解】对于A，因为，所以，解得，故A正确；
对于B，因为，所以，所以，故B错误；
对于C，假设，则，
所以，该方程组无解，故C正确；
对于D，因为，所以，解得，
所以，，所以，故D错误.
故选：AC
10. 对于一个古典概型的样本空间和事件，若，则（ ）
A. 事件与事件互斥B.
C. 事件与事件相互独立D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据已知条件计算，判断B选项，再根据判断C选项，通过计算D选项，通过判断C选项.
【详解】因为，，，
所以，又，则，所以，B正确；
因为，所以事件与事件相互独立，C正确；
所以，D正确；
因为，所以事件与事件不是互斥事件，A错误.
故选：BCD
11. 已知圆和圆，下列说法正确的是（ ）
A. 两圆有两条公切线
B. 两圆的公共弦所在的直线方程为
C. 点在圆上，点在圆上，的最大值为
D. 圆上有2个点到直线的距离为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由两圆的位置关系可判断A，将两圆的方程作差可判断B，转化为圆心间的距离可判断C，根据点到直线的距离判断D.
【详解】对于A，由圆得..，
圆心，半径为1，则，
故两圆相交，故两圆有两条公切线，故A正确；
对于B，因为圆，圆，
将两圆的方程作差得即，
所以直线的方程为，故B不正确；
对于C，由圆得圆心，半径为1，
由圆得圆心为，半径为2，
所以，故C正确；
对于D，圆心到直线的距离，
而圆的半径为，显然，
故只有一条与平行且距离为的直线与圆相交，
故圆上有2个点到直线的距离为，故D正确.
故选：ACD.
12. 已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，P是C上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A. C的渐近线方程为
B. 若直线与双曲线C有交点，则
C. 点P到C的两条渐近线的距离之积为
D. 当点P与A，B两点不重合时，直线PA，PB的斜率之积为2
【答案】AC
【解析】
【分析】由双曲线的渐近线方程可判断A，通过对比直线与双曲线的渐近线斜率之间的关系可求解B，结合点到直线的距离公式可求C，PA，PB的斜率相乘后，结合双曲线方程化简可得定值，则D可判断.
【详解】双曲线，则，
对于A，C的渐近线方程为，A正确；
对于B，由双曲线的渐近线方程为可知，
若直线与双曲线C有交点，则，B错误；
对于C，设点，则，
点P到C的两条渐近线的距离之积为，C正确；
对于D，易得，，设，则，
所以直线PA，PB的斜率之积为，D错误．
故选：AC.
三、填空题
13. ，，，若共面，则实数__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用空间向量共面定理列式求解即可.
【详解】由于共面，则存在，使得，
又，，，故，
故，解得.
故答案为：.
14. 已知直线经过点，且其一个方向向量为，则直线的方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由方向向量得直线的斜率，再由点斜式可求直线方程.
【详解】因为直线的一个方向向量为，
则直线的斜率，又直线过点，
故所求直线方程为，即.
故答案为：.
15. 已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是________．
【答案】
【解析】
【分析】先利用点差法应用弦中点，再求椭圆离心率.
【详解】设直线与椭圆交于两点，其中，
将两点代入椭圆可得，两式作差可得，
即，又中点坐标是，
所以，所以，
令，则，所以，
所以，
故答案为：
16. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，且轴，过点作的平分线的垂线，与直线交于点，若点在圆上，则的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意求出，结合双曲线定义以及角平线性质推出，从而推出，在中，利用余弦定理可求得，结合齐次式求解离心率，即可得答案.
【详解】由题意知，轴，故将代入中，
得，则，即，
不妨设P在双曲线右支上，则，故；

设为的平分线，由题意知，
则，即，而，
故，
由点在圆上，得；
又，则，
在中，,
即，结合，
即得，即，
解得或（舍），故（负值舍去），
即的离心率为，
故答案为：
【点睛】关键点睛：求解双曲线的离心率，关键是求出之间的数量关系式，因此解答本题时，要结合题中条件以及双曲线定义推出相关线段长，从而在中，利用余弦定理求出的关系，化为齐次式，即可求得答案.
四、解答题
17. 有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的1.00ppm（即百万分之一）时，人食用它，就会对人体产生危害．现从一批该鱼中随机选出35条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值（单位：ppm），数据统计如下：
0.07 0.16 0.24 0.30 0.39 0.54 0.61 0.66 0.73 0.82 0.82 0.82
0.87 0.87 0.91 0.93 0.95 0.98 0.98 1.02 1.02 1.08 1.14 1.18
1.20 1.20 1.26 1.29 1.31 1.37 1.40 1.44 1.58 1.62 1.68
（1）求上述数据中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的80%分位数；
（2）有A，B两个水池，两水池之间有10个完全相同的小孔连通，所有的小孔均在水下，且可以同时通过2条鱼．将其中汞的含量最低的2条鱼分别放入A水池和B水池中，若这2条鱼的游动相互独立，均有的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率．
【答案】（1）中位数为0.98，数据的众数为0.82，数据的极差为1.61；80百分位数1.30
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题中表格数据即可估计这批鱼该项数据的中位数、众数、极差和分位数．
（2）两条鱼有可能均在水池也可能都在水池，概率互斥事件的概率结合相互独立事件的概率计算能求出这两条鱼最终在同一水池的概率．
【小问1详解】
解：由题意知，数据的中位数为0.98，数据的众数为0.82，数据的极差为1.68－0.07＝1.61
∵35×80%＝28，估计这批鱼该项数据的80百分位数约为
【小问2详解】
解：记“两鱼最终均在A水池”为事件A，则
记“两鱼最终均在B水池”为事件B，则
∵事件A与事件B互斥，∴两条鱼最终在同一水池的概率为
18. 已知圆C：．
（1）过的动直线l与圆C：交于A、B两点．若，求直线l的方程；
（2）从圆C外一点Q向该圆引一条切线，切点为M，若（O为坐标原点），求动点Q的轨迹方程．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）画出图形，由题意设直线方程为，将圆的一般方程化为标准方程，结合垂径分线定理可列出方程，求出，从而即可得解.
（2）画出图形，由切线长公式结合题述等式可得，设，由两点间的距离公式代入并化简即可，注意检验动点Q是否在圆C外.
【小问1详解】
如图所示：
圆C：的方程即为，其圆心，半径，
不妨设过的动直线l的方程为，不同时为0，
所以，即直线l的方程为，
所以圆心到直线l的距离为，
过作，
所以由垂径分线定理可知，解得，
又因为不同时为0，所以，
当时，满足题意的直线l的方程为，
当时，满足题意的直线l的方程为，
综上所述：满足题意的直线l的方程为或.
【小问2详解】
如图所示：
由题意结合图形可知，且，，
所以，不妨设，
又因为，
所以，化简得，
又因为点Q在圆C外，
所以满足题意，
综上所述，满足题意的动点Q的轨迹方程为.
19. 一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让学生的思维得以拓展，不受固定思维模式的束缚．学生多角度、多方位地去思考解题的方案，让解题增添了新颖性和趣味性，并在解题中解放了解题思维模式，使得枯燥的数学解题更加丰富而多彩．假设某题共存在4种常规解法，已知小红使用解法一、二、三、四答对的概率分别为，且各种方法能否答对互不影响，小红使用四种解法全部答对的概率为．
（1）求的值；
（2）求小红不能正确解答本题的概率；
（3）求小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式计算得解.
（2）利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算得解.
（3）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式计算得解.
【小问1详解】
记小红使用解法一、二、三、四答对分别为事件，则，
因为各种解法能否答对互不影响，且全部答对的概率为，
于是，解得，
所以.
【小问2详解】
若小红不能正确解答本题，则说明小红任何方法都不会，
所以小红不能正确解答本题的概率是．
【小问3详解】
记事件为小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对，
则
，
所以小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率为．
20. 已知抛物线上横坐标为4的点到其焦点的距离是6．
（1）求的方程；
（2）设直线交于，两点，若（为坐标原点），求的值．
【答案】（1）
（2）8
【解析】
【分析】（1）根据抛物线上一点到焦点的距离等于其横坐标加，结合题意列式求解即可得出答案；
（2）设，，联立直线与抛物线方程，通过韦达定理即可得出，进而得出，由题意，得出，代入即可解出答案.
【小问1详解】
的准线为．
由题意根据抛物线定义得：，解得，
故的方程为：．
【小问2详解】
联立与得，．
设，，则，于是．
因为，所以，即，
因为，所以．
21. 已知四棱锥的底面为等腰梯形，，，，平面.
（1）求证：；
（2）若四棱锥的体积为2，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据梯形的性质求解可证，进而根据线线垂直即可求证，
（2）建立空间直角坐标系，利用法向量求解平面夹角，或者利用几何法，结合线面垂直找到两平面的夹角，根据三角形的边角关系即可求解.
【小问1详解】
∵平面，平面，
∴，
过点作，由为等腰梯形，，
故，
所以，即，即，
平面，
∴平面，平面，
故.
【小问2详解】
方法一:，
∵,
，
∴
如图，建立空间直角坐标系，
，，，，
,
设平面法向量为，
则，，
取，得
同理，设面法向量为，则
，，
取，得，
由题意，.
设平面与平面的夹角为，则，
方法二：，
∵,
，
∴.
∵平面，平面，∴平面平面，
过作，则平面垂足为，平面，则,
过作的垂线，垂足为，连，
由于平面,
所以平面,平面，故，
则为所求二面角夹角的平面角.
，所以,
,，，
.
22. 已知椭圆C：的右焦点为F，斜率不为0的直线l与C交于A，B两点．
（1）若是线段AB的中点，求直线l的方程；
（2）若直线l经过点（点A在点B，Q之间），直线BF与C的另一个交点为D，求证：点A，D关于x轴对称．
【答案】（1）;
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用点差法，利用，，代入椭圆，然后相减整理即可得出斜率;
（2）根据椭圆的对称性，欲证点A，D关于x轴对称，只需证明即可.
【小问1详解】
设，，
则两式相减，得，
即．
因为是线段AB的中点，所以，，
所以直线l的斜率，
所以直线l的方程为，即．
【小问2详解】
根据椭圆的对称性，欲证点A，D关于x轴对称，
只需证，即证．
设直线AB的方程为，
由消x得，
所以，．
所以．
因为，
所以，即点A，D关于x轴对称．