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2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校高一上学期期中数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校高一上学期期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据集合的交运算即可求解.
【详解】，，
，
故选：B.
2．已知，则“”是“函数为偶函数”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据条件的充分性和必要性判断即可.
【详解】充分性：当时，，函数是偶函数，充分性成立；
必要性：若函数是偶函数，则，
得，必要性成立
故“”是“函数为偶函数”的充要条件
故选：C
3．函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数定义域相关知识直接求解.
【详解】函数，
则，即，即定义域是.
故选：D
4．关于的不等式的解集为空集，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】对进行分类讨论，结合判别式求得的取值范围.
【详解】当时，不等式化为，解集为空集，符合题意.
当时，不等式的解集不是空集，不符合题意.
当时，要使不等式的解集为空集，
则需，解得.
综上所述，的取值范围是.
故选：C
5．若函数在上是单调函数，则的取值可以是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】根据已知条件及分段函数分段处理的原则，结合一次函数与二次函数的单调性即可求解.
【详解】因为当时，函数为单调递增函数，
又函数在上是单调函数，则需满足，解得，
所以实数的范围为，
所以满足范围的选项是选项B.
故选：B．
6．已知函数，则（ ）
A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性和单调性确定正确答案.
【详解】的定义域为，
，所以是奇函数，
由于，所以在上单调递增.
故选：A
7．设，，中，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【解析】根据指数函数，幂函数的单调性即可判断．
【详解】因为指数函数是单调减函数，，所以，即；
因为幂函数在上是增函数，，所以，即．
综上，．
故选：C．
【点睛】熟练掌握指数函数，幂函数的单调性是解题关键．
8．已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数，且，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得在上单调递增，再由函数为奇函数，可得在上单调递增，且，由此可求出和的解集，从而可求得结果．
【详解】因为对于任意两个实数且时，不等式恒成立，所以在上单调递增，
因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增，
因为，所以，
所以当或时，；当或时，，
所以当或时，，
所以不等式的解集为．
故选：B．
二、多选题
9．下列函数中，既是奇函数，又是R上的增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】CD选项是幂函数，可以直接进行判断，A选项从奇函数和偶函数的定义判断，B选项先化为分段函数，画出函数图象，即可说明是奇函数，也是R上的增函数
【详解】，故，且，所以既不是奇函数也不是偶函数，是偶函数，所以排除选项AD；
因为，如图是函数图象，当时，，故，所以是奇函数，且在R上是增函数，故B正确；
因为是奇函数且在R上是增函数，故C正确.
故选：BC.
10．已知正数a，b满足，则（ ）
A．的最大值是B．ab的最大值是
C．的最大值是1D．的最小值是2
【答案】AB
【分析】本题用基本不等式的相关性质，逐个选项分析即可.
【详解】由得，当且仅当时取等，A正确；
由得，当且仅当时取等，B正确；
对C，因为，a，b为正数，则，
，当时取等，C错误
对D，，
当且仅当时等号成立，故D错误，
故选：AB
11．已知函数，则下列正确的为（ ）
A．函数的定义域为
B．，
C．函数的定义域为
D．若的值域为，则其定义域必为
【答案】AB
【分析】选项A，由根式定义，求解，即可判断；
选项B，代入验证，即可判断；
选项C，令，求解即可得到定义域；
选项D，当定义域为，值域也为，故可判断.
【详解】选项A，由题意，即，解得，故函数定义域为，正确；
选项B，，，正确；
选项C，由题意，解得，即函数的定义域为，错误；
选项D，当定义域为，即，此时，，，即的值域为，错误.
故选：AB
12．已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．函数为减函数
B．函数为偶函数
C．当时，
D．当时，
【答案】CD
【分析】A选项，由待定系数法求出解析式，得到定义域和单调性；B选项，根据定义域不关于原点对称，得到函数不是偶函数；C选项，由函数单调性得到；D选项，作差法比较出，从而得到.
【详解】A选项，设幂函数，则，解得，所以，
所以的定义域为，因为，故在上单调递增，故A错误；
B选项，因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误，
C选项，由A可知，在上单调递增
故当时，，故C正确，
D选项，当时，
，
又，所以，D正确．
故选：CD.
三、填空题
13．设，，则= .
【答案】
【分析】根据对数的运算，结合求解即可.
【详解】解：
故答案为：
14．若幂函数为奇函数，则
【答案】-1
【分析】先根据函数为幂函数，求得m，再由奇偶性验证即可.
【详解】因为函数是幂函数，
所以，
解得或，
当时，为偶函数，不符合题意；
当时，为奇函数，符合题意，
所以-1，
故答案为：-1
15．已知函数，若，则 .
【答案】
【分析】由函数，可得的值，然后可求得的值.
【详解】由函数，
，
.
故答案为：.
16．函数，对使成立，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据一次函数与二次函数的性质，求得函数在固定区间上的值域，结合题意，建立不等式组，可得答案.
【详解】由函数，则其单调性为单调递增，所以其在上的值域为；
由函数，根据二次函数的性质，其在上的值域为；
根据题意，，可得不等式组，解得，
所以可得.
故答案为：.
四、解答题
17．已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据交集的定义，即可求得本题答案；
（2）由，得，利用分类讨论，考虑和两种情况，分别求出实数a的取值范围，即可得到本题答案.
【详解】（1）若，则，
因为，所以；
（2）由题，得，由，得，
若，则，得，
若，即时，则有，或，得或，
综上，
18．已知函数是定义在上的函数，恒成立，且.
(1)确定函数的解析式；
(2)若是定义在上的增函数，解不等式.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得为奇函数，则，即可求出，再由，求出，即可得到函数解析式，再验证即可；
（2）根据单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】（1）根据题意，是上的奇函数，故，
又，故，则，
经检验满足奇函数，所以.
（2）因为为奇函数，
所以不等式等价于，
又在是增函数，等价于，解得，
所以不等式的解集为.
19．已知是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求的解析式；
(2)若方程有两个实数解，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，则，，然后由函数是定义在上的奇函数求解的解析式.
（2）在同一坐标系中作出函数的图象，根据方程有两个解，转化为函数的图象有两个交点求解.
【详解】（1）设，则，
所以，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以
所以；
（2）在同一坐标系中作出函数的图象，
因为方程有两个解，
所以函数的图象有两个交点，
由图象知：或，
所以的取值范围是.
20．对于函数.
（1）求函数的定义域，值域；
（2）确定函数的单调区间.
【答案】（1）定义域为R，值域为(0，]；（2）单调递增区间为(﹣∞，3)，单调递减区间为(3，+∞).
【解析】（1）由题意得出函数的定义域，利用配方法得出x2﹣6x+13的范围，利用指数函数的性质得出函数的值域；
（2）利用复合函数的单调性求解即可．
【详解】（1）由题意可得函数的定义域为R，
配方可得x2﹣6x+13=(x﹣3)2+4≥4，
∴∈(0，]，
∴函数的值域为(0，]；
（2）由二次函数可知t=x2﹣6x+13的单调递减区间为(﹣∞，3)，
单调递增区间为(3，+∞)，
由指数函数和复合函数的单调性可得的单调递增区间为(﹣∞，3)，单调递减区间为(3，+∞).
21．世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出2022年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
(2)2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】(1);
(2)100（百辆），2300万元.
【分析】（1）根据利润收入-总成本，即可求得（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
（2）分段求得函数的最大值，比较大小可得答案.
【详解】（1）由题意知利润收入-总成本，
所以利润
,
故2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为 .
（2）当时，，
故当时，；
当时，,
当且仅当， 即时取得等号；
综上所述，当产量为100（百辆）时，取得最大利润，最大利润为2300万元．
22．已知函数
(1)求函数的值域；
(2)若时，函数的最小值为，求的值和函数的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据设指数函数，然后得到关于的二次函数，借助于二次函数的性质得到值域．
（2）当给定区间的最小值时，需要对于的范围的求解，以及判定最大值和参数的值．
【详解】（1）设，
在上是减函数，
所以值域为.
（2） 由,且，
所以在上是减函数，
所以或(不合题意舍去),
所以当时有最大值，
即 .
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据集合的交运算即可求解.
【详解】，，
，
故选：B.
2．已知，则“”是“函数为偶函数”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据条件的充分性和必要性判断即可.
【详解】充分性：当时，，函数是偶函数，充分性成立；
必要性：若函数是偶函数，则，
得，必要性成立
故“”是“函数为偶函数”的充要条件
故选：C
3．函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数定义域相关知识直接求解.
【详解】函数，
则，即，即定义域是.
故选：D
4．关于的不等式的解集为空集，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】对进行分类讨论，结合判别式求得的取值范围.
【详解】当时，不等式化为，解集为空集，符合题意.
当时，不等式的解集不是空集，不符合题意.
当时，要使不等式的解集为空集，
则需，解得.
综上所述，的取值范围是.
故选：C
5．若函数在上是单调函数，则的取值可以是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】根据已知条件及分段函数分段处理的原则，结合一次函数与二次函数的单调性即可求解.
【详解】因为当时，函数为单调递增函数，
又函数在上是单调函数，则需满足，解得，
所以实数的范围为，
所以满足范围的选项是选项B.
故选：B．
6．已知函数，则（ ）
A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性和单调性确定正确答案.
【详解】的定义域为，
，所以是奇函数，
由于，所以在上单调递增.
故选：A
7．设，，中，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【解析】根据指数函数，幂函数的单调性即可判断．
【详解】因为指数函数是单调减函数，，所以，即；
因为幂函数在上是增函数，，所以，即．
综上，．
故选：C．
【点睛】熟练掌握指数函数，幂函数的单调性是解题关键．
8．已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数，且，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得在上单调递增，再由函数为奇函数，可得在上单调递增，且，由此可求出和的解集，从而可求得结果．
【详解】因为对于任意两个实数且时，不等式恒成立，所以在上单调递增，
因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增，
因为，所以，
所以当或时，；当或时，，
所以当或时，，
所以不等式的解集为．
故选：B．
二、多选题
9．下列函数中，既是奇函数，又是R上的增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】CD选项是幂函数，可以直接进行判断，A选项从奇函数和偶函数的定义判断，B选项先化为分段函数，画出函数图象，即可说明是奇函数，也是R上的增函数
【详解】，故，且，所以既不是奇函数也不是偶函数，是偶函数，所以排除选项AD；
因为，如图是函数图象，当时，，故，所以是奇函数，且在R上是增函数，故B正确；
因为是奇函数且在R上是增函数，故C正确.
故选：BC.
10．已知正数a，b满足，则（ ）
A．的最大值是B．ab的最大值是
C．的最大值是1D．的最小值是2
【答案】AB
【分析】本题用基本不等式的相关性质，逐个选项分析即可.
【详解】由得，当且仅当时取等，A正确；
由得，当且仅当时取等，B正确；
对C，因为，a，b为正数，则，
，当时取等，C错误
对D，，
当且仅当时等号成立，故D错误，
故选：AB
11．已知函数，则下列正确的为（ ）
A．函数的定义域为
B．，
C．函数的定义域为
D．若的值域为，则其定义域必为
【答案】AB
【分析】选项A，由根式定义，求解，即可判断；
选项B，代入验证，即可判断；
选项C，令，求解即可得到定义域；
选项D，当定义域为，值域也为，故可判断.
【详解】选项A，由题意，即，解得，故函数定义域为，正确；
选项B，，，正确；
选项C，由题意，解得，即函数的定义域为，错误；
选项D，当定义域为，即，此时，，，即的值域为，错误.
故选：AB
12．已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．函数为减函数
B．函数为偶函数
C．当时，
D．当时，
【答案】CD
【分析】A选项，由待定系数法求出解析式，得到定义域和单调性；B选项，根据定义域不关于原点对称，得到函数不是偶函数；C选项，由函数单调性得到；D选项，作差法比较出，从而得到.
【详解】A选项，设幂函数，则，解得，所以，
所以的定义域为，因为，故在上单调递增，故A错误；
B选项，因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误，
C选项，由A可知，在上单调递增
故当时，，故C正确，
D选项，当时，
，
又，所以，D正确．
故选：CD.
三、填空题
13．设，，则= .
【答案】
【分析】根据对数的运算，结合求解即可.
【详解】解：
故答案为：
14．若幂函数为奇函数，则
【答案】-1
【分析】先根据函数为幂函数，求得m，再由奇偶性验证即可.
【详解】因为函数是幂函数，
所以，
解得或，
当时，为偶函数，不符合题意；
当时，为奇函数，符合题意，
所以-1，
故答案为：-1
15．已知函数，若，则 .
【答案】
【分析】由函数，可得的值，然后可求得的值.
【详解】由函数，
，
.
故答案为：.
16．函数，对使成立，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据一次函数与二次函数的性质，求得函数在固定区间上的值域，结合题意，建立不等式组，可得答案.
【详解】由函数，则其单调性为单调递增，所以其在上的值域为；
由函数，根据二次函数的性质，其在上的值域为；
根据题意，，可得不等式组，解得，
所以可得.
故答案为：.
四、解答题
17．已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据交集的定义，即可求得本题答案；
（2）由，得，利用分类讨论，考虑和两种情况，分别求出实数a的取值范围，即可得到本题答案.
【详解】（1）若，则，
因为，所以；
（2）由题，得，由，得，
若，则，得，
若，即时，则有，或，得或，
综上，
18．已知函数是定义在上的函数，恒成立，且.
(1)确定函数的解析式；
(2)若是定义在上的增函数，解不等式.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得为奇函数，则，即可求出，再由，求出，即可得到函数解析式，再验证即可；
（2）根据单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】（1）根据题意，是上的奇函数，故，
又，故，则，
经检验满足奇函数，所以.
（2）因为为奇函数，
所以不等式等价于，
又在是增函数，等价于，解得，
所以不等式的解集为.
19．已知是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求的解析式；
(2)若方程有两个实数解，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，则，，然后由函数是定义在上的奇函数求解的解析式.
（2）在同一坐标系中作出函数的图象，根据方程有两个解，转化为函数的图象有两个交点求解.
【详解】（1）设，则，
所以，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以
所以；
（2）在同一坐标系中作出函数的图象，
因为方程有两个解，
所以函数的图象有两个交点，
由图象知：或，
所以的取值范围是.
20．对于函数.
（1）求函数的定义域，值域；
（2）确定函数的单调区间.
【答案】（1）定义域为R，值域为(0，]；（2）单调递增区间为(﹣∞，3)，单调递减区间为(3，+∞).
【解析】（1）由题意得出函数的定义域，利用配方法得出x2﹣6x+13的范围，利用指数函数的性质得出函数的值域；
（2）利用复合函数的单调性求解即可．
【详解】（1）由题意可得函数的定义域为R，
配方可得x2﹣6x+13=(x﹣3)2+4≥4，
∴∈(0，]，
∴函数的值域为(0，]；
（2）由二次函数可知t=x2﹣6x+13的单调递减区间为(﹣∞，3)，
单调递增区间为(3，+∞)，
由指数函数和复合函数的单调性可得的单调递增区间为(﹣∞，3)，单调递减区间为(3，+∞).
21．世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出2022年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
(2)2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】(1);
(2)100（百辆），2300万元.
【分析】（1）根据利润收入-总成本，即可求得（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
（2）分段求得函数的最大值，比较大小可得答案.
【详解】（1）由题意知利润收入-总成本，
所以利润
,
故2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为 .
（2）当时，，
故当时，；
当时，,
当且仅当， 即时取得等号；
综上所述，当产量为100（百辆）时，取得最大利润，最大利润为2300万元．
22．已知函数
(1)求函数的值域；
(2)若时，函数的最小值为，求的值和函数的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据设指数函数，然后得到关于的二次函数，借助于二次函数的性质得到值域．
（2）当给定区间的最小值时，需要对于的范围的求解，以及判定最大值和参数的值．
【详解】（1）设，
在上是减函数，
所以值域为.
（2） 由,且，
所以在上是减函数，
所以或(不合题意舍去),
所以当时有最大值，
即 .
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