黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题

这是一份黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题，共9页。试卷主要包含了本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：选择性必修二至选择性必修三7.2结束．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某班5名同学去参观4个红色教育基地，每名学生可自由选择其中的1个红色教育基地，则不同选法的种数是（ ）
A．B．C．20D．9
2．在等比数列中，若，，则的值为（ ）
A．－64B．64C．－48D．48
3．若的展开式中二项式系数和为64，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记{两次的点数均为奇数}，{两次的点数之和为8}，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知直线l与函数的图象在点处的切线平行，则直线l的斜率为（ ）
A．0B．－1C．2D．1
6．已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则（ ）
A．B．C．D．
7．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线l：的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．某公司清明有三天假期，现安排甲、乙、丙、丁、戊5人值班，每人只值班1天，每天至少有1人值班，且甲、乙不在同一天值班，则不同的值班安排共有（ ）
A．72种B．114种C．120种D．144种
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知数列，是公比为q的等比数列，且，，成等差数列，则q的值可能为（ ）
A．B．1C．D．－2
10，若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如213、435等都是“凹数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则（ ）
A．组成的三位数的个数为60
B．在组成的三位数中，各位数字之和为9的个数为6
C．在组成的三位数中，比300大的个数为36
D．在组成的三位数中，“凹数”的个数为24
11．已知函数，则（ ）
A．若，则函数的最小值为1
B．若，则
C．若，则方程仅有1个实数根
D．若方程无实数根，则α的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若的展开式中的系数为______．（用数字作答）
13．已知为等差数列，且，，则______．
14．已知函数的导函数满足在R上恒成立，则不等式的解集是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）
某同学会做老师给出的6道题中的4道，现从这6道题中选3道让该同学做，规定至少做出2道才能及格，试求：选出的3题中该同学会做的题目数的分布列．
16．（15分）
已知等差数列的前n项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和．
17．（15分）
已知函数在处取得极小值－2．
（1）求实数a，b的值；
（2）若函数有三个零点，求实数λ的取值范围．
18．（17分）
已知数列的前n项和为，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
19．（17分）
设函数，．
（1）求的单调区间；
（2）求证：当时，．
齐市普高联谊校2023～2024学年下学期期中考试·高二数学
参考答案、提示及评分细则
1．A 每名同学有4种选择方法，故5名同学共有种不同的选法．
2．A ．
3．D 根据题意，，所以．
4．B ，其中AB表示：两次点数均为奇数，且两次点数之和为8，共有两种情况，即，，故，而，所以．
5．D 由函数，可得，则，所以直线l的斜率为1．
6．C 因为X的分布列服从两点分布，所以，
因为，
所以，∴，∴．
7．A 由函数，可得，，令，
解得或（舍去），则，
即平行于直线l：的直线与曲线相切的切点坐标为，
由点到直线的距离公式，可得点P到直线l的距离为．
8．B 不考虑甲乙是否同一天加班的特殊情况，5位员工安排在3天加班，可分为与两种情况：①：；②：，共有150种情况．若甲、乙在同一天加班，分他们都在2人组和都在3人组两种情况，①都在2人组：；②都在3人组：，考虑两人的特殊要求之后，共有（种）不同的值班安排方法．
9．BC 由题意，可知，即．又，∴，∴或．
10．AC 依题意，组成的三位数的个数为，故A正确；各位数字之和为9的有；两种组合，故各位数字之和为9的个数为，B错误：比300大，则百位上的数可以为3，4，5，比300大的个数为，C正确：将这些“凸数”分为三类：①十位为1，则有（种）；②十位为2，则有（种）；③十位为3，则有（种），所以在组成的三位数中，“凹数”的个数为，故D错误．
11．AB 若，则，，当时，，可得在上单调递减，当时，，可得在上单调递增，所以时，函数取得最小值，，A、B正确；
若，则，令，则，当时，，可得在上单调递减，当时，，可得在上单调递增，又，，，所以函数有两个零点，即方程
有2个实数根，C错误；
若方程无实数根，即无解，，
则，若，在上恒成立，
即在上单调递减；，，在上有解，不合题意；
若，令，解得；
所以当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增；
在处取得极小值，也是最小值；
即，
依题意可得，所以即可；
解得，即α的取值范围是，D错误．
12．－120 的通项公式为，
当时，，当时，，
故的展开式中的系数为．
13． 因为，所以．
14． 令，则，所以在R上单调递减，
由，得，即，
又在R上单调递减，所以，
解得，所以不等式的解集是．
15．解：（1）记该同学会做的题目数为X，由题意，，2，3，
，，，
所以该同学会做的题目数的分布列为：
16．解：（1）设等差数列的公差为d，由，，
得
解得，，
所以．
（2）由（1）得，所以，
所以．
17．解：（1），
因为在处取极小值－2，所以，得，
此时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在时取极小值，符合题意，
所以，．
又，所以．
（2）由（1）知，
所以，
列表如下：
所以在，上单调递增，在上单调递减，
因为函数有三个零点，所以即，
所以λ的取值范围为．
18．解：（1）由题意得，即，
所以是首项为3，公比为3的等比数列，故．
（2）由（1）知，
则，①
，②
①与②两式相减得
，
故．
19．（1）解：由题意得：，，
由，得，由，得，
所以f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）证明：若，即，由（1）知在上单调递增，
所以成立；
若，即，设，
则当时，，所以，
所以，从而．
结合（1）可知，在上单调递减，在上单调递增，
下面比较和的大小，
设，当时，，
所以，即，
而，所以当时，，
综上所述：当时，．X
1
2
3
P
x
1
3
＋
0
－
0
＋
y
极大值
极小值