2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用集合的并集运算求解.

【详解】解：因为集合，，

所以，

故选：D

2．已知命题，则为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据全称命题的否定为特称命题，否量词，否结论即可得解.

【详解】命题的否定为：，

故选：B.

3．已知角为第一象限角，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先确定的取值范围，由此求得的取值范围.

【详解】由于角为第一象限角，

所以，

所以，

由于，所以，

所以.

故选：A

4．已知向量，，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用向量平行的坐标表示判断即可.

【详解】若，则，，,则；

若，则，解得，

“”是“”的充分不必要条件，

故选：A.

5．已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】因为点在单位圆上，且终边在第三象限确定唯一，根据三角函数求解.

【详解】在单位圆上即

终边在第三象限所以，，所以

所以.

故选：C

6．已知、、，下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的个数是（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】利用特殊值判断出错误的命题，利用差比较法、不等式的性质等知识确定正确答案.

【详解】①，若，则，所以①错误.

②，若，则，所以②正确.

③，若，即同号，所以，所以③正确.

④，若，如，则，所以④错误.

所以正确的个数是个.

故选：B

7．法国罗浮宫玻璃金字塔外表呈正四棱锥形状（如图所示），已知塔高，底宽，则塔身的表面积（精确到是　　（可能用到的参考数据：，

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由题意可得正四棱锥的底面边长与高，代入棱锥表面积公式求解．

【详解】如图，正四棱锥，底面，，，

则，所以，

作，则

所以该塔身的表面积

故选：．

8．设向量满足，，若，，则向量与的夹角不等于（    ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

【答案】C

【分析】利用向量数量积的运算律将模长的平方写为向量的平方，结合一元二次不等式在实数集上有解求解即可.

【详解】设向量与的夹角为，，

由向量数量积的运算律可将原问题转化为，，

即，根据题意整理得有解，

所以，

解得，

故选：C

二、多选题

9．已知复数，则下列结论中正确的是（    ）

A．z对应的点位于第二象限 B．的虚部为2

C． D．

【答案】CD

【分析】利用复数的乘除运算、模运算，以及复数的几何意义求解.

【详解】，所以，

z对应的点位于第一象限，A错误；

的虚部为,B错误；

，C正确；

，D正确，

故选:CD.

10．已知函数则下列结论中正确的是（    ）

A． B．若，则

C．是奇函数 D．在上单调递减

【答案】CD

【分析】根据分段函数函数值的计算及性质分别判断.

【详解】A选项：，A选项错误；

B选项：当时，，无解，当时，，，B选项错误；

C选项：当时，，，当时，，，且，所以函数为奇函数，C选项正确；

D选项：当时，，在上单调递减，且，当时，，在上单调递减，且，所以在上单调递减，D选项正确；

故选：CD.

11．如图，在正方体中，E，F，G分别是棱，，的中点，则（    ）

A．点F在平面内 B．平面

C．点在平面内 D．点G在平面内

【答案】AB

【分析】连接、根据正方体的性质可得，即可得到平面，再根据中位线的性质及平行公理得到，即可得到、、、四点共面，从而得解；

【详解】连接、，在正方体中，且，

所以四边形是平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，故B正确；

又，所以，所以、、、四点共面，即点F在平面内，故A正确；

再连接，显然不在平面，故D错误；

由平面，可知点不在平面内，故C错误；

故选：AB.

12．已知向量，，记向量，的夹角为θ，则（    ）

A．λ>2时θ为锐角 B．λ<2时θ为钝角

C．λ＝2时θ为直角 D．无λ使θ为零角

【答案】ACD

【分析】根据向量的数量积的正负，结合向量共线的坐标运算，即可得答案.

【详解】，，

对A，，为锐角，故A正确；

对B，，当时，为平角，故B错误；

对C，，为直角，故C正确；

对D，因为 ，此时与夹角为平角，

故不存在，使得θ为零角.故D正确；

故选：ACD

三、填空题

13．计算：______．

【答案】

【分析】根据给定条件利用对数运算法则，二倍角的正弦公式、特殊角的三角函数值计算作答.

【详解】.

故答案为：

14．已知复平面内的向量对应的复数分别是－2＋i，3＋2i，则＝________．

【答案】

【分析】先利用向量运算求出对应的复数，然后求解模长可得答案.

【详解】

∴对应的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i，

故答案为：

15．已知三棱锥的每个顶点都在球O的球面上，两两互相垂直，且，若球O的表面积为 _____．

【答案】

【分析】把三棱锥补成成长方体，结合球的表面积公式进行求解即可.

【详解】如图，将三棱锥补全成如图的长方体，

则根据对称性可得：三棱锥的外接球的直径为长方体的体对角线，

设球的半径为R，又，

∴，故

∴球O的表面积为．

故答案为：

16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，则的最大值为______．

【答案】/

【分析】由正弦定理、余弦定理化简后求角B的值，再将化简为三角函数求最大值即可.

【详解】由余弦定理知：

又由正弦定理化简得：，即，即，又，

化简得，，则

又，，故当时，取最大值为.

故答案为:

四、解答题

17．已知复数，，其中为非零实数．

(1)若是实数，求的值；

(2)若，复数为纯虚数，求实数的值；

【答案】(1)；

(2)；

【分析】（1）运用复数乘法及若为实数则，计算可得结果.

（2）运用共轭复数及复数除法及若为纯虚数则，计算可得结果.

【详解】（1）∵为实数，

∴，

又∵为非零实数，

∴．

（2）∵，

∴，

∴为纯虚数，

∴

∴m的值为2.

18．已知向量满足，且．

(1)求与的夹角；

(2)求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据数量积的定义和运算律即可求解夹角.

    （2）根据模长公式即可求解.

【详解】（1）由，      

得，因为，所以．

（2）由题意得

19．已知是第四象限角．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)；

(2)，

【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系列方程组求解即可；

（2）由两角和的余弦、正切公式化简求解即可.

【详解】（1）因为，是第四象限角，

所以解得，

所以.

（2）；

.

20．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且．

(1)求A；

(2)若的面积为，a＝3，求的周长．

【答案】(1)；

(2)8.

【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再借助和角的正弦公式求解作答.

（2）由（1）的结论，利用三角形面积公式、余弦定理求出即可作答.

【详解】（1）在中，，由正弦定理得：，

而，

于是，即，

又C为三角形内角，有，解得，，

所以.

（2）依题意，，于是，

由余弦定理得，，

即，解得，

所以的周长为.

21．已知函数．从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．

(1)求a的值；

(2)求的最小值，以及取得最小值时x的值．

条件①：的最大值为6；

条件②：的零点为．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)若选条件①，则；若选条件②，则

(2)答案见解析.

【分析】（1）化简的解析式，根据条件①或②求得的值.

（2）利用三角函数最值的求法求得正确答案.

【详解】（1）

.

若选条件①，

则.

若选条件②，

则.

（2）若选条件①，由（1）得，

则当时，，则当时，取得最小值为.

若选条件②，由（1）得，

则当时，，则当时，取得最小值为.

22．如图所示正四棱锥，，P为侧棱上的点．且，求：

(1)正四棱锥的表面积；

(2)侧棱上是否存在一点E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．

【答案】(1)；

(2)在侧棱上存在一点，使平面，满足．

【分析】（1）根据棱锥的表面积的计算公式即可求出结果；

（2）分析可得在侧棱上存在一点，使平面，满足．证得平面平面，根据面面平行的性质定理即可证出结论.

【详解】（1）正四棱锥中，，，

侧面的高，

正四棱锥的表面积．

（2）

在侧棱上存在一点，使平面，满足．

理由如下：

取中点为，因为，则，

过作的平行线交于，连接，．

在中，有，

平面，平面，平面，

由于，．

又由于，

平面，平面，平面，

，平面平面，得平面，