2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校高二上学期期中数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】确定，设直线的倾斜角为，，解得答案.
【详解】，即，设直线的倾斜角为，，
故，.
故选：C.
2．双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据双曲线方程直接写出渐近线方程即可.
【详解】由双曲线方程知：，，而渐近线方程为，
所以双曲线渐近线为.
故选：B
3．抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先将化为标准方程，再由准线方程为即可得解.
【详解】由化得，故物物线的标准方程为，
所以，则，
所以抛物线的准线方程为.
故选：D.
4．圆与直线相交所得弦长为（ ）
A．1B．C．2D．2
【答案】D
【解析】利用垂径定理可求弦长.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
故弦长为：，
故选：D.
5．点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到抛物线准线的距离之和的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据抛物线的性质进行求解即可.
【详解】由可知该抛物线的焦点坐标为，设，准线方程为，
设，垂足为，
因为点是抛物线上一动点，
所以点到抛物线准线的距离等于，当三点在同一条直线上时，点到点的距离与到抛物线准线的距离之和最小，最小值为，
故选：D
6．如图，在正方体中，点分别是的中点，直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设正方体棱长为2，以D为原点建立空间直角坐标系，写出向量，的坐标，利用数量积计算向量夹角的余弦值，其绝对值即直线与所成角的余弦值.
【详解】设正方体棱长为2，以D为原点，DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.
则，，，，所以，，设直线与所成角为，
则.
故选：B.
7．已知点M，N分别为圆与上一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】B
【分析】由题可得两圆的圆心及半径，然后根据圆的性质即得.
【详解】由题可知圆A的圆心坐标为，半径为1，圆B的圆心坐标为，半径为，
因为两圆的圆心距，
所以两圆外离，
所以．
故选：B.
8．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据点的轨迹方程可得，结合条件可得，即得.
【详解】设，，所以，
又，所以．
因为且，所以，
整理可得，
又动点M的轨迹是，
所以，解得，
所以，又，
所以，因为，
所以的最小值为．
故选：C．
二、多选题
9．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ）
A．的坐标为B．
C．D．
【答案】BD
【分析】由抛物线的方程求出焦点的坐标，可判断A选项；利用抛物线的定义可求得、的值，可判断BC选项；利用平面内两点间的距离公式可判断D选项.
【详解】对于抛物线，，可得，则点，A错；
由抛物线的定义可得，可得，则，可得，B对C错；
，D对.
故选：BD.
10．已知空间中三点A（0，1，0），B（1，2，0），C（﹣1，3，1），则正确的有（ ）
A．与是共线向量
B．的单位向量是（1，1，0）
C．与夹角的余弦值是
D．平面ABC的一个法向量是（1，﹣1，3）
【答案】CD
【分析】由，可判断选项A；的单位向量为±，可判断选项B；由，可判断选项C；设平面ABC的一个法向量为，由，求得，即可判断D．
【详解】解：由题意知，，，，
因为，所以与不是共线向量，即A错误；
的单位向量为，所以的单位向量为或，即B错误；
，所以与夹角的余弦值为，即C正确；
设平面ABC的一个法向量为，则，即，
令x＝1，则y＝﹣1，z＝3，所以，即D正确．
故选：CD．
11．已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．点到右焦点的距离的最大值为9
B．焦距为10
C．若，则的面积为9
D．的周长为20
【答案】AC
【分析】对于A选项，由椭圆性质知：当点为椭圆的左右顶点时，点到右焦点的距离分别最大，最小，即可求解；对于B，由椭圆方程可得焦距；对于C，由题意及椭圆定义，结合三角形面积公式即可求解；对于D，结合椭圆的性质可得．
【详解】解：由椭圆的方程得：
.
对A当点为椭圆的左顶点时，点到右焦点的距离的最大，且为9，故A正确；
对B.焦距为B错误；
对C.由题意得：，①
由椭圆定义得：，
即，②
②-①得：，
的面积为，故C正确
对D，的周长为，故D错误；
故选：AC
12．已知点，直线l：，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半．若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ）
A．点P的轨迹方程是
B．直线是“最远距离直线”
C．平面上有一点，则的最小值为5
D．点P的轨迹到直线距离的最大值为
【答案】BCD
【分析】设，根据条件得到轨迹方程为，A错误，联立方程计算B正确，，C正确，平行直线的距离即为所求，得到答案.
【详解】对选项A：设，则，化简得到，错误；
对选项B：，解得，正确；
对选项C：过点作于，则，
当三点共线且在线段上时等号成立，正确；
对选项D：由B选项知直线与椭圆相切，
又和平行，故最短距离为两平行线的距离，
即，正确；
故选：BCD.
三、填空题
13．已知向量若，则 .
【答案】1
【分析】由空间向量数量积的坐标运算求解
【详解】由题意得，则，
故答案为：1
14．圆心为，且过点的圆的方程是 ．
【答案】
【分析】首先确定圆的半径，进而得到圆的标准方程.
【详解】由题意知：圆的半径，圆的方程为：.
故答案为：.
15．已知平面的法向量为上一点，则点到的距离为 .
【答案】
【分析】利用空间向量坐标运算的求点到平面的方法即可求解.
【详解】由题意知，所以点到的距离．
故答案为：.
16．如图，双曲线：的左，右焦点分别为，，过作直线与交于点，且．若等腰三角形的底边的长等于的半焦距．则的离心率为 ．
【答案】
【分析】根据为等腰三角形且为的中点，得，再由得到．进而由双曲线的定义得到，然后在中利用勾股定理求解.
【详解】如图所示：
连接，由为等腰三角形且为的中点，得，
由，得：，
由双曲线的定义知：，
在中，，得：，
得：，解得：.
故答案为：
四、解答题
17．已知直线与直线．
(1)若，求m的值；
(2)若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由题意可知，所以可得，从而可求出m的值；
（2）将点的坐标代入直线的方程中，求出m的值，从而可得点的坐标，然后设出直线方程，利用两坐标轴上的截距之和为0，列方程可求出直线方程
【详解】（1）因为，所以，且，
由，得，解得或（舍去）
所以.
（2）因为点在直线上，
所以，得，所以点的坐标为，
所以设直线的方程为（），
令，则，令，则，
因为直线在两坐标轴上的截距之和为0，
所以，解得或，
所以直线的方程为或.
18．已知圆过三点，，．
(1)求圆的方程；
(2)设直线经过点，且与圆G相切，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】(1)利用三点坐标可确定圆方程;(2)利用直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径建立等式即可求解.
【详解】（1）设圆G的方程为，
因为圆过三点，，，
所以 ，解得,
圆G的方程为.
（2）由(1)知圆是以为圆心，以为半径的圆，
（i）若直线的斜率不存在，
则此时的方程为到圆心的距离为，满足与圆相切;
（ii）若直线的斜率存在，
则设直线方程为 即，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，
解得,所以切线方程为.
综上，切线方程为或.
19．已知椭圆E：（）的离心率为，焦距为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l：被椭圆E所截得的线段为AB，求线段AB的中点M的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件求解，即可求解椭圆方程；
（2）直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理和中点坐标公式，即可求解.
【详解】（1）由已知，，
∴，，
所以，
所以椭圆方程为．
（2）由题意可得消去x，得，
，
设，，，则，是方程的根，即，
所以，又，所以，
综上
20．已知点，圆.
(1)若直线l过点M，且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；
(2)设O为坐标原点，点N在圆C上运动，线段的中点为P，求点P的轨迹方程.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）由直线被圆C截得的弦长为，求得圆心到直线的距离为，分直线的斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解.
（2）设点，，根据线段的中点为，求得，结合在圆上，代入即可求解.
【详解】（1）解：由题意，圆，可得圆心，半径，
因为直线被圆C截得的弦长为，
则圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为，满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则，解得，即，
综上可得，所求直线的方程为或.
（2）解：设点，
因为点，线段的中点为，可得，解得，
又因为在圆上，可得，即，
即点的轨迹方程为.
21．已知抛物线的顶点在坐标原点，开口向右，焦点为，抛物线上一点的纵坐标为4，且.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点作直线交拋物线于两点，判断以为直径的圆是否过原点，并说明理由.
【答案】(1)
(2)过原点，理由见解析
【分析】（1）根据求得，从而求得抛物线的标准方程.
（2）设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，根据判断出以为直径的圆过原点.
【详解】（1）由题意，设抛物线的方程为：，
所以点的坐标为，点的坐标为，
因为，则,解得.
所以抛物线的方程为：.
（2）依题意可知直线与轴不平行，
设直线的方程为，
则联立方程得，
所以，，
因为，
所以
.
以为直径的圆过原点.
22．已知椭圆C:（）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求面积的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，求出即可作答.
（2）在直线l斜率存在时，设出其方程，再与C的方程联立，求出弦长最大值，验证直线l斜率不存在的情况作答.
【详解】（1）设椭圆的半焦距为，依题意，而，解得，
所以所求椭圆方程为．
（2）设，，当轴时，直线AB：，由得，，
当与轴不垂直时，设直线的方程为，依题意，，得，
把代入椭圆方程，整理得，
，，当时，
，
当且仅当，即时等号成立，当时，直线AB：，由得，，
综上得，面积，
所以面积的最大值.