2023-2024学年湖北省黄冈市浠水县第一中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年湖北省黄冈市浠水县第一中学高一上学期期中数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列关于0与说法不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据的定义与性质结合元素与集合的关系逐项分析判断.
【详解】因为是不含任何元素的集合，故A正确，C不正确；
对于选项B：，故B正确；
对于选项D：因为是任何集合的子集，所以，故D正确；
故选：C.
2．设是实数，使得不等式成立的一个充分而不必要的条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据等价于，由此可判断正确选项对应集合应为的一个真子集，即可判断出答案.
【详解】由得，，
由题意可知正确选项中的不等式所对应的集合应该是的一个真子集，
显然A，B，D中对应的集合不满足，而对应的集合是的真子集，
故选：C
3．函数满足若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】对的式子适当变形，即可直接求出.
【详解】因为，所以，则
.故选：A.
4．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】画出二次函数图象，结合对称轴和值域可判断取值范围.
【详解】的对称轴为，当时，，时，
故当时，设另一根为，解得，要使定义域为时，值域为，故.
故选：B
5．已知函数，则函数的图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由可知 图像与的图像关于轴对称，由 的图像即可得出结果.
【详解】因为，所以 图像与的图像关于轴对称，
由解析式，作出的图像如图
.
从而可得图像为D选项.
故选：D.
6．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如表格所示：若某户居民本月交纳的水费为48元，则此户居民本月用水量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先判断不同用水单价计算不同用水量用完水的缴费情况，然后看其本月交纳的水费在那个范围，就可以确定其本月用水量的范围，再根据价格计算用水量即可.
【详解】先计算本月用水量为，则需要缴纳水费36元，少于48元；如果本月用水量为，则前需要缴纳水费36元，超过但不超过的部分，需要缴纳水费36元，所以本月用水量为，需要缴纳水费72元，多于48元，则这该居民本月用水量超过但不超过，所以前需要缴纳水费36元，而超过但不超过的部分的水费为12元，因为其单价为6元，所以为，故本月用水量为.
故选：B
7．不等式对于，恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意分离参数得对于，恒成立，通过换元求最值即可求出的取值范围.
【详解】因为不等式对于，恒成立，
所以不等式对于，恒成立，
令，
由对勾函数的性质，函数在上单调递减，
所以，所以，.
故选：A
8．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：
①在区间上是单调的；
②当定义域是时，的值域也是，则称是函数的一个“黄金区间”.
如果可是函数的一个“黄金区间“，则的最大值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【分析】根据题意得到在上单调，从而得到为方程的两个同号实数根，然后化简，进而结合根与系数的关系得到答案.
【详解】由题意， 在和上均是增函数，而函数在“黄金区间” 上单调，所以或，且在上单调递增，故，即为方程的两个同号实数根，
即方程有两个同号的实数根，因为，所以只需要或，
又，所以，则当时，有最大值.
二、多选题
9．下列关于幂函数的性质，描述不正确的有（ ）
A．当时，函数在其定义域上为减函数B．当时，函数不是幂函数
C．当时，函数是偶函数D．当时，函数与x轴有且只有一个交点
【答案】AB
【分析】根据幂函数的性质、定义判断各项的正误.
【详解】A：由，在上递减，但整个定义域上不单调，错；
B：根据幂函数定义也是幂函数，错；
C：由，显然且定义域为R，故为偶函数，对；
D：由单调递增，仅当时，故与x轴有且只有一个交点，对.
故选：AB
10．已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A．B．
C．D．不等式的解集为
【答案】ACD
【分析】根据不等式解集与对应方程根的关系求出的关系，即可判断，根据一元二次不等式解法即可判断.
【详解】因为的不等式的解集为，
所以，故正确；
因为的两个根是
所以，，
所以，故错误；
，故正确；
将，代入得，
因为，得，
解得：，故正确.
故选：.
11．下列说法不正确的是（ ）.
A．函数在定义域内是减函数
B．若为偶函数，则关于对称
C．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是
D．若的定义域为，则的定义域为
【答案】AC
【分析】A选项，单调区间不能用号连接即可判断，选项B利用偶函数的性质判断即可，C选项，分段函数单调递增，则在每段上函数均单调递增，且在端点处，左边函数值小于等于右边函数的值；D选项，利用抽象函数求定义域的方法进行求解.
【详解】函数在和上都是减函数，
但在定义域上不是减函数，
故A不正确；
因为为偶函数，
所以函数关于对称，
又函数的图像向右平移1个单位长度得的函数图像，
故函数关于对称，
故B选项正确，
因为是增函数，
所以，
解得，
故C不正确；
因为的定义域为，所以，
解得，
即的定义域为，
故D正确.
故选：AC.
12．函数，以下四个结论正确的是（ ）
A．的值域是
B．对任意，都有
C．若规定，则对任意的
D．对任意的，若函数恒成立，则当时，或
【答案】ABC
【分析】由函数解析式可得函数图象即可知其值域；构造函数判断函数的奇偶性和单调性即可判断选项B；根据C中的描述结合归纳法可推得结论成立；由函数不等式恒成立，利用变换主元法、一元二次不等式的解法即可求参数范围.
【详解】由函数解析式可得，有如下函数图象：
∴的值域是，故该选项正确；
对于B，由题得，所以函数是奇函数.
因为，不妨设，只需证明，只需证明，设，只需证明函数单调递减.
所以，所以函数是上的奇函数.
所以只要证明函数在上单调递减. ,
由复合函数的单调性原理得函数在上单调递减.所以该选项正确.
对于C，有，若，
∴当时，，故有.所以该选项正确.
对于D，上，若函数恒成立，即有，恒成立，令，即上，
∴时，，有或（舍去）；
时，，故恒成立；
时，，有或（舍去）；
综上，有或或；所以该选项错误.
故选：ABC
【点睛】方法点睛：1、对于简单的分式型函数式画出函数图象草图判断其值域、单调性； 2、利用函数不等式恒成立，综合变换主元法、一次函数性质、一元二次不等式解法求参数范围.
三、填空题
13．已知集合，若，则 .
【答案】
【分析】由中有元素为0，注意元素的互异性即可．
【详解】因为，若，则，与集合中元素的互异性矛盾，因此，
若，则，此时，满足题意，
故答案为：．
14．已知命题“关于的不等式在上恒成立”为真命题，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据不等式恒成立得到，解得答案.
【详解】不等式在上恒成立，则，解得.
故答案为：
15．记表示实数a，b中最大的数，设函数，若存在，使不等式成立，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【分析】通过作差法比较的大小，分情况讨论，继而求得的范围，最后再处理能成立问题即可.
【详解】
所以当时
即，
则，
可得，即，
所以当或时
即，
则，
可得或，即，
综上可得，
又存在，使不等式成立
所以.
故答案为：.
16．已知，，是正实数，且，则最小值为 .
【答案】
【分析】首先变形为，再根据，变形为，展开后，利用基本不等式求最小值，最后再用基本不等式求最小值.
【详解】由题，，
其中
，
当且仅当，即时取等，
故
，
当且仅当时，即时取等.
故答案为：
四、解答题
17．设集合，，.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，可以求出，然后由补集、交集的概念即可得解.
（2）由题意，从而列出不等式组即可求解.
【详解】（1）由题意当时，，此时或，
又因为，
所以.
（2）由题意，
所以当且仅当，解不等式组得，
所以实数的取值范围为.
18．已知函数
(1)判断函数的奇偶性，并证明结论；
(2)求函数在上的最值．
【答案】(1)函数为奇函数，证明见解析
(2)最小值为，无最大值
【分析】（1）根据奇函数的定义分析证明；
（2）根据题意利用基本不等式求最值.
【详解】（1）函数为奇函数，证明如下：
因为的定义域为，
且，
所以函数为定义在上的奇函数.
（2）因为，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
即，可得，
所以函数在上的最小值为，无最大值.
19．如图，正方形的边长为1，，分别是和边上的点.沿折叠使与线段上的点重合（不在端点处），折叠后与交于点.
(1)证明：的周长为定值.
(2)求的面积的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设，利用对称性，找到之间的关系，再由相似三角形的性质，利用周长比等于相似比建立关系，得到的周长表达式，化简证明即可；
（2）由面积比等于相似比的平方建立关系，得到面积的表达式，消元后利用基本不等式求解最值.
【详解】（1）设，，则，
由勾股定理可得，
即，由题意，，
即，可知∽，
设的周长分别为，则.
又因为，
所以，
的周长为定值，且定值为.
（2）设的面积为，则，
因为，所以，.
因为，则，
因为，所以，
当且仅当，即 时，等号成立，满足.
故的面积的最大值为.
20．函数满足对一切有，且；当时，有.
(1)求的值;
(2)判断并证明在R上的单调性；
(3)解不等式
【答案】(1)
(2)在R上的单调递减，证明过程见解析
(3).
【分析】（1）赋值法求出和，进而赋值求出；
（2）先求出时，，进而得到时，，再利用定义法证明出函数的单调性；
（3）变形得到，求出，结合（2）中函数的单调性求出，从而求出答案.
【详解】（1）中，令，
则，
因为，所以，
令得，，解得，
令得，，即，
解得；
（2）设，则，
所以，
所以时，，
又因为时，有，且，
所以时，，
在R上的单调递减，证明过程如下：
设，且，则，
则，
因为时，，
所以，故，
故在R上的单调递减；
（3）由题意得，
因为，
所以，
即，
解得，
中，令得，，
故，
故，
由（2）可知，在R上的单调递减，
故，解得或，
所以原不等式的解集为.
【点睛】思路点睛：求解抽象函数的函数值或函数奇偶性，单调性，往往利用赋值法，结合题目中的条件进行求解.
21．已知是一元二次函数，满足且
(1)求函数的解析式．
(2)函数在数学史上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于x的最大整数，如，，，设若使成立的实数a，b，c有且仅有三个且互不相等．求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出二次函数解析式，由题意列出等式，用恒等思想即可求解；
（2）分类讨论再用数形结合思想即可得出结论.
【详解】（1）由题可设
所以得，
∴，，；
（2）当时，
当时，，所以，
当时，，所以，
不妨设，由题可得函数的大致图象，

由（1）可知函数的对称轴，，可得根据对称性知，
又由，可得，由，可得，
由图可知，
所以，
故.
22．已知函数，满足.
(1)设，求证：函数在区间上为减函数，在区间上为增函数；
(2)设.
①当时，求的最小值；
②若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)见解析
(2)①；②或
【分析】（1）按单调性的定义证明即可；
（2）①单调性结合基本不等式即可求解；②恒成立转化为最值关系，并分类讨论即可求解.
【详解】（1）由题意可得，
令，则
，
时，且，
故，故在区间上为减函数；
时，且，
故，故在区间上为增函数.
（2）①令，解得，
由中可知的定义域为，
且，
因为，则，可得，故，
令，则，
故，当且仅当时取等号，
故，
②因为恒成立，
故，即，
由①：时，
令，令，
由（1）知，在上为减函数，在上为增函数，
时，在上为减函数，
故，，
故，得，和矛盾，
时，在上为减函数，在上为增函数，
，即，
得，
时，在上为增函数，故，得，
即或，由得，
综上得：或.
每户每月用水量
水价
不超过的部分
3元
超过但不超过的部分
6元
超过的部分
9元