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2023-2024学年黑龙江省大庆市大庆外国语学校高一上学期期中数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年黑龙江省大庆市大庆外国语学校高一上学期期中数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据交集的知识求得正确答案.
【详解】由题意，，所以.
故选：D
2．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据根式以及分式的性质即可列不等式求解.
【详解】由题意可得且，
故定义域为；，
故选：D
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可.
【详解】由，可得，
则是的必要不充分条件.
故选：B
4．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据全称命题的否定，一变量词，二否结论，可得答案.
【详解】根据全称命题的否定，可得.
故选：A.
5．为了保护水资源，提倡节约用水，六安市对居民生活用水实行“阶梯水价”.假设计费方法如下:
若某户居民本月交纳的水费为99元，求此户居民本月的用水量（ ）
A．11B．21C．22.5D．33
【答案】B
【分析】判断用水量超过18m3 ，列方程解得答案.
【详解】若用水量不超过12m3 ，交纳的水费最多为，不成立；
若用水量不超过18m3 ，交纳的水费最多为，不成立；
故用水量超过18m3 ，设用水量为，，
则，解得.
故选：B
6．一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，求出b、c与a的关系，代入所求不等式，求出解集即可．
【详解】一元二次不等式的解集为，
∴，且2，3是方程的两个实数根，
∴，解得，其中；
∴不等式化为，即，
解得或，因此所求不等式的解集为．
故选：D．
7．已知幂函数在区间上单调递增，则（ ）
A．-2B．1C．D．-1
【答案】B
【分析】根据幂函数的定义及性质分类讨论计算即可.
【详解】由题意有，解得或，
①当时，，在区间上单调递减，不合题意；
②当时，，在区间上单调递增，符合题意.
故选：B
8．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次函数和反比例函数的单调性，结合函数单调性的性质进行求解即可.
【详解】二次函数的对称轴为，
因为函数是R上的增函数，
所以有，
故选：D
【点睛】关键点睛：利用增函数的性质结合二次函数和反比例函数的单调性是解题的关键.
二、多选题
9．若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】根据①②知“理想函数”是定义域上的奇函数且在定义域内单调递减，依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】由①知：为定义域上的奇函数；由②知：在定义域内单调递减；
对于A，为上的奇函数且在上单调递减，符合“理想函数”定义，A正确；
对于B，为上的奇函数且在上单调递减，符合“理想函数”定义，B正确；
对于C，为上的奇函数且在上单调递增，不符合“理想函数”定义，C错误；
对于D，是上的非奇非偶函数，不符合“理想函数”定义，D错误.
故选：AB.
10．已知a>b，ab≠0，下列不等式恒成立的有（ ）
A． B．
C．·D．a【答案】ACD
【分析】利用指数函数，幂函数单调性结合不等式性质可判断选项正误；
【详解】A选项，因函数在R上单调递增，则时，，故A正确；
B选项，注意到当时，，故B错误；
C选项，因函数在R上单调递增，则时，，故C正确；
D选项，因函数在R上单调递减，则时，a故选：ACD
11．下列结论正确的是（ ）．
A．与是同一个函数
B．若，则
C．若函数的定义域为，则函数的定义域为
D．函数的值域为，则函数的值域为
【答案】BC
【分析】由两函数的定义域不相同，即可判断A，利用换元法求函数解析式，即可判断B，根据抽象函数的定义域的求法判断C，根据函数图象的变换判断D.
【详解】对于A：函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，故A错误；
对于B：因为，令，则，，
所以，
所以，故B正确；
对于C：因为函数的定义域为，则，即的定义域为，
对于函数，则，解得，
即函数的定义域为，故C正确；
对于D：函数的图象是由的图象向左平移一个单位而得到，
又函数的值域为，则函数的值域为，故D错误；
故选：BC
12．若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．有最小值8B．有最小值
C．的最小值是4D．的最小值是
【答案】ACD
【分析】变换，展开利用均值不等式计算得到A正确，直接利用均值不等式得到B错误C正确，消元利用二次函数性质计算得到D正确，得到答案.
【详解】对选项A：，
当且仅当，即，时等号成立，正确；
对选项B：，，
当且仅当，即，时等号成立，错误；
对选项C：，
当且仅当，即，时等号成立，正确；
对选项D：，当时有最小值为，正确；
故选：ACD
三、填空题
13．已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则 .
【答案】
【分析】根据奇函数的性质可得，，即可求解.
【详解】因为为定义在上的奇函数，所以.因为当时，，所以，
所以，故.
故答案为：.
14． ．
【答案】
【分析】运用指数幂的运算性质即可求解.
【详解】因为
故答案为：.
15．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】解：不等式对一切实数都成立，
当时，不等式为，显然成立；
当时，要使得对一切实数都成立，
则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围是.
故答案为：.
16．函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】根据指数函数图象的特点，求出点顶点，得到，再由，利用基本不等式即可求解.
【详解】令，可得，此时，
所以函数图象恒过定点，
因为点A在直线上，所以，所以，
所以，
当且仅当 ，即时等号成立.
综上，的最小值为.
故答案为：.
四、解答题
17．已知全集，集合，.
(1)当时，求；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)或；
(2).
【分析】（1）由题设有，应用集合的并补运算求集合；
（2）由题意，讨论、分别求出对应参数范围，即可得结果.
【详解】（1）时，而或，
所以或；
（2）由，
若时，，解得；
若时，，解得，
所以的取值范围为.
18．已知函数，且．
（1）证明函数在上是增函数；
（2）求函数在上的最大值和最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为，最小值为.
【解析】（1）由求出，利用定义证明单调性即可；
（2）由单调性确定最值即可.
【详解】（1），
设，
，即
则函数在上是增函数；
（2）由（1）可知，函数在上单调递增
，
则函数在上的最大值为，最小值为.
【点睛】本题主要考查了利用定义证明函数的单调性以及求最值，属于中档题.
19．已知幂函数在上为减函数.
(1)试求函数解析式；
(2)判断函数的奇偶性并写出其单调区间.
【答案】(1)
(2)奇函数，其单调减区间为，
【分析】（1）根据幂函数的定义，令，求解即可；
（2）根据幂函数的性质判断函数的单调性，继而可得其单调区间.
【详解】（1）由题意得，，解得或，
经检验当时，函数在区间上无意义，
所以，则.
（2），要使函数有意义，则，
即定义域为，其关于原点对称.
，
该幂函数为奇函数.
当时，根据幂函数的性质可知在上为减函数，
函数是奇函数，在上也为减函数，
故其单调减区间为，.
20．奇函数是定义在区间上的增函数，且．
（1）求解析式；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）先根据奇函数可求，再利用可求，进而可得解析式；
（2）根据奇函数和增函数把不等式进行转化，结合定义域可求答案.
【详解】（1）∵函数是定义在上的奇函数，
∴，即，
∵，∴，解得，
∴.
经验证知，是定义在上的奇函数，所以.
（2）∵函数在上为奇函数，且，∴，
又∵函数是定义在上的增函数，∴，解得.
故不等式的解集为.
21．2022年某企业整合资金投入研发高科技产品，并面向全球发布了首批17项科技创新重大技术需求榜单，吸引清华大学、北京大学等60余家高校院所参与，实现企业创新需求与国内知名科技创新团队的精准对接，最终该公司产品研发部决定将某项高新技术应用到某高科技产品的生产中，计划该技术全年需投入固定成本6200万元，每生产千件该产品，需另投入成本万元，且，假设该产品对外销售单价定为每件0.9万元，且全年内生产的该产品当年能全部售完．
(1)求出全年的利润万元关于年产量千件的函数关系式；
(2)试求该企业全年产量为多少千件时，所获利润最大，并求出最大利润．
【答案】(1)；
(2)该企业全年产量为90千件时，所获利润最大为15600万元
【分析】（1）利用分段函数即可求得全年的利润万元关于年产量千件的函数关系式；
（2）利用二次函数求值域和均值定理求值域即可求得该企业全年产量为90千件时，所获利润最大为15600万元.
【详解】（1）当时，，
当时，，
所以．
（2）若，则，当时，；
若，，
当且仅当，即时，等号成立，此时．
因为，所以该企业全年产量为90千件时，所获利润最大为15600万元．
22．已知函数.
(1)求的值域；
(2)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）换元法转化成二次函数在给定区间求值域即可解决；
（2）分离参数后，再构造函数，并求其值域，即可解决.
【详解】（1）令，当时，，
则可将原函数转化为，
当时，；当时，.
所以在上的值域为.
（2）令，当时，，
则关于x的不等式对恒成立，可化为
对恒成立，
所以，即，
又在上为减函数，在上为增函数，
在上的最大值为.
因此实数m的取值范围为.
每户每月用水量
水价
不超过12m3的部分
3元/
超过12m3但不超过18m3的部分
6元/
超过18m3的部分
9元/
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据交集的知识求得正确答案.
【详解】由题意，，所以.
故选：D
2．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据根式以及分式的性质即可列不等式求解.
【详解】由题意可得且，
故定义域为；，
故选：D
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可.
【详解】由，可得，
则是的必要不充分条件.
故选：B
4．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据全称命题的否定，一变量词，二否结论，可得答案.
【详解】根据全称命题的否定，可得.
故选：A.
5．为了保护水资源，提倡节约用水，六安市对居民生活用水实行“阶梯水价”.假设计费方法如下:
若某户居民本月交纳的水费为99元，求此户居民本月的用水量（ ）
A．11B．21C．22.5D．33
【答案】B
【分析】判断用水量超过18m3 ，列方程解得答案.
【详解】若用水量不超过12m3 ，交纳的水费最多为，不成立；
若用水量不超过18m3 ，交纳的水费最多为，不成立；
故用水量超过18m3 ，设用水量为，，
则，解得.
故选：B
6．一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，求出b、c与a的关系，代入所求不等式，求出解集即可．
【详解】一元二次不等式的解集为，
∴，且2，3是方程的两个实数根，
∴，解得，其中；
∴不等式化为，即，
解得或，因此所求不等式的解集为．
故选：D．
7．已知幂函数在区间上单调递增，则（ ）
A．-2B．1C．D．-1
【答案】B
【分析】根据幂函数的定义及性质分类讨论计算即可.
【详解】由题意有，解得或，
①当时，，在区间上单调递减，不合题意；
②当时，，在区间上单调递增，符合题意.
故选：B
8．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次函数和反比例函数的单调性，结合函数单调性的性质进行求解即可.
【详解】二次函数的对称轴为，
因为函数是R上的增函数，
所以有，
故选：D
【点睛】关键点睛：利用增函数的性质结合二次函数和反比例函数的单调性是解题的关键.
二、多选题
9．若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】根据①②知“理想函数”是定义域上的奇函数且在定义域内单调递减，依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】由①知：为定义域上的奇函数；由②知：在定义域内单调递减；
对于A，为上的奇函数且在上单调递减，符合“理想函数”定义，A正确；
对于B，为上的奇函数且在上单调递减，符合“理想函数”定义，B正确；
对于C，为上的奇函数且在上单调递增，不符合“理想函数”定义，C错误；
对于D，是上的非奇非偶函数，不符合“理想函数”定义，D错误.
故选：AB.
10．已知a>b，ab≠0，下列不等式恒成立的有（ ）
A． B．
C．·D．a
【分析】利用指数函数，幂函数单调性结合不等式性质可判断选项正误；
【详解】A选项，因函数在R上单调递增，则时，，故A正确；
B选项，注意到当时，，故B错误；
C选项，因函数在R上单调递增，则时，，故C正确；
D选项，因函数在R上单调递减，则时，a
11．下列结论正确的是（ ）．
A．与是同一个函数
B．若，则
C．若函数的定义域为，则函数的定义域为
D．函数的值域为，则函数的值域为
【答案】BC
【分析】由两函数的定义域不相同，即可判断A，利用换元法求函数解析式，即可判断B，根据抽象函数的定义域的求法判断C，根据函数图象的变换判断D.
【详解】对于A：函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，故A错误；
对于B：因为，令，则，，
所以，
所以，故B正确；
对于C：因为函数的定义域为，则，即的定义域为，
对于函数，则，解得，
即函数的定义域为，故C正确；
对于D：函数的图象是由的图象向左平移一个单位而得到，
又函数的值域为，则函数的值域为，故D错误；
故选：BC
12．若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．有最小值8B．有最小值
C．的最小值是4D．的最小值是
【答案】ACD
【分析】变换，展开利用均值不等式计算得到A正确，直接利用均值不等式得到B错误C正确，消元利用二次函数性质计算得到D正确，得到答案.
【详解】对选项A：，
当且仅当，即，时等号成立，正确；
对选项B：，，
当且仅当，即，时等号成立，错误；
对选项C：，
当且仅当，即，时等号成立，正确；
对选项D：，当时有最小值为，正确；
故选：ACD
三、填空题
13．已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则 .
【答案】
【分析】根据奇函数的性质可得，，即可求解.
【详解】因为为定义在上的奇函数，所以.因为当时，，所以，
所以，故.
故答案为：.
14． ．
【答案】
【分析】运用指数幂的运算性质即可求解.
【详解】因为
故答案为：.
15．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】解：不等式对一切实数都成立，
当时，不等式为，显然成立；
当时，要使得对一切实数都成立，
则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围是.
故答案为：.
16．函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】根据指数函数图象的特点，求出点顶点，得到，再由，利用基本不等式即可求解.
【详解】令，可得，此时，
所以函数图象恒过定点，
因为点A在直线上，所以，所以，
所以，
当且仅当 ，即时等号成立.
综上，的最小值为.
故答案为：.
四、解答题
17．已知全集，集合，.
(1)当时，求；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)或；
(2).
【分析】（1）由题设有，应用集合的并补运算求集合；
（2）由题意，讨论、分别求出对应参数范围，即可得结果.
【详解】（1）时，而或，
所以或；
（2）由，
若时，，解得；
若时，，解得，
所以的取值范围为.
18．已知函数，且．
（1）证明函数在上是增函数；
（2）求函数在上的最大值和最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为，最小值为.
【解析】（1）由求出，利用定义证明单调性即可；
（2）由单调性确定最值即可.
【详解】（1），
设，
，即
则函数在上是增函数；
（2）由（1）可知，函数在上单调递增
，
则函数在上的最大值为，最小值为.
【点睛】本题主要考查了利用定义证明函数的单调性以及求最值，属于中档题.
19．已知幂函数在上为减函数.
(1)试求函数解析式；
(2)判断函数的奇偶性并写出其单调区间.
【答案】(1)
(2)奇函数，其单调减区间为，
【分析】（1）根据幂函数的定义，令，求解即可；
（2）根据幂函数的性质判断函数的单调性，继而可得其单调区间.
【详解】（1）由题意得，，解得或，
经检验当时，函数在区间上无意义，
所以，则.
（2），要使函数有意义，则，
即定义域为，其关于原点对称.
，
该幂函数为奇函数.
当时，根据幂函数的性质可知在上为减函数，
函数是奇函数，在上也为减函数，
故其单调减区间为，.
20．奇函数是定义在区间上的增函数，且．
（1）求解析式；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）先根据奇函数可求，再利用可求，进而可得解析式；
（2）根据奇函数和增函数把不等式进行转化，结合定义域可求答案.
【详解】（1）∵函数是定义在上的奇函数，
∴，即，
∵，∴，解得，
∴.
经验证知，是定义在上的奇函数，所以.
（2）∵函数在上为奇函数，且，∴，
又∵函数是定义在上的增函数，∴，解得.
故不等式的解集为.
21．2022年某企业整合资金投入研发高科技产品，并面向全球发布了首批17项科技创新重大技术需求榜单，吸引清华大学、北京大学等60余家高校院所参与，实现企业创新需求与国内知名科技创新团队的精准对接，最终该公司产品研发部决定将某项高新技术应用到某高科技产品的生产中，计划该技术全年需投入固定成本6200万元，每生产千件该产品，需另投入成本万元，且，假设该产品对外销售单价定为每件0.9万元，且全年内生产的该产品当年能全部售完．
(1)求出全年的利润万元关于年产量千件的函数关系式；
(2)试求该企业全年产量为多少千件时，所获利润最大，并求出最大利润．
【答案】(1)；
(2)该企业全年产量为90千件时，所获利润最大为15600万元
【分析】（1）利用分段函数即可求得全年的利润万元关于年产量千件的函数关系式；
（2）利用二次函数求值域和均值定理求值域即可求得该企业全年产量为90千件时，所获利润最大为15600万元.
【详解】（1）当时，，
当时，，
所以．
（2）若，则，当时，；
若，，
当且仅当，即时，等号成立，此时．
因为，所以该企业全年产量为90千件时，所获利润最大为15600万元．
22．已知函数.
(1)求的值域；
(2)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）换元法转化成二次函数在给定区间求值域即可解决；
（2）分离参数后，再构造函数，并求其值域，即可解决.
【详解】（1）令，当时，，
则可将原函数转化为，
当时，；当时，.
所以在上的值域为.
（2）令，当时，，
则关于x的不等式对恒成立，可化为
对恒成立，
所以，即，
又在上为减函数，在上为增函数，
在上的最大值为.
因此实数m的取值范围为.
每户每月用水量
水价
不超过12m3的部分
3元/
超过12m3但不超过18m3的部分
6元/
超过18m3的部分
9元/
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