2023-2024学年江苏省扬州市邗江中学高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省扬州市邗江中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知，且，则集合的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，由条件分别列举出满足要求的集合，即可得到结果.
【详解】由题意可得，集合可能为，共4个.
故选：D
2．若命题p：，，则命题是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定.
【详解】，的否定是，.
故选：A
3．下列图象中，表示函数关系的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的概念逐一判断即可.
【详解】根据函数的概念知，对于定义域内任意，都有唯一确定的和它对应，由图象可看出，
对于A，当时，有两个值与其对应，不符合；
对于B，当时，有两个值与其对应，不符合；
对于C，符合定义域内任意，都有唯一确定的和它对应，可表示函数关系；
对于D，当时，有无数个值与其对应，不符合.
故选：C.
4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意列出不等式组，求解即可．
【详解】要使有意义，则，即，解得，
所以函数的定义域为．
故选：D．
5．若函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．，B．C．，D．
【答案】D
【分析】由题意是上的增函数，所以分段函数的每一段单调递增且分界点处单调递增，列出不等式组求出的取值范围即可.
【详解】根据题意，任意实数都有成立，
所以函数是上的增函数，则分段函数的每一段单调递增且分界点处单调递增，
所以，解得：，
所以实数的取值范围是：,.
故选：D.
6．若，且，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【分析】利用乘“1”法即可求解.
【详解】可变形为，
所以
，
当且仅当即，时取等号，
故选：C
7．“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（ ）（参考数据：）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】设该污染物排放前过滤的次数为，由题意，两边取以10为底的对数可得，根据参考数据即可求解.
【详解】解：设该污染物排放前过滤的次数为，
由题意，即，
两边取以10为底的对数可得，即，
所以，
因为，
所以，
所以，又，
所以，即该污染物排放前需要过滤的次数至少为8次.
故选：C.
8．已知函数,且,则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】将化简为,令新函数,判断的奇偶性和单调性,将不等式转化为关于的不等式,根据的函数性质转化为关于的不等式,解出即可.
【详解】解:由题意得,函数,
设,
则,
所以是上的奇函数,
因为,
由
则
即,
因为,
所以,
又有,
因为是上的增函数,
是上的增函数,
所以是上的增函数;
则有,整理得:,
解得:或,
所以的取值范围为.
故选:B
二、多选题
9．下列结论中，正确的是（ ）
A．函数的单调增区间是
B．命题“所有的素数都是奇数”的否定是假命题
C．“函数是奇函数”是“”的既不充分也不必要条件
D．函数（，）的图像必过定点
【答案】ACD
【分析】对于A，由复合函数单调性直接判断即可；对于B，根据原命题、命题的否定之间的真假关系判断即可；对于C，由充分条件、必要条件的定义判断即可；对于D，直接将点的坐标代入检验即可.
【详解】对于A，因为在上关于单调递减，当且仅当在上关于单调递减，
由复合函数单调性可知函数的单调增区间是，故A正确；
对于B，因为存在2是素数但不是奇数，故命题“所有的素数都是奇数”是假命题，命题“所有的素数都是奇数”的否定是真命题，故B错误；
对于C，一方面奇函数不满足，另外一方面满足的不是奇函数，
换言之，“函数是奇函数”是“”的既不充分也不必要条件，故C正确；
对于D，由题意当时，，即函数（，）的图像必过定点，故D正确.
故选：ACD.
10．下列函数中，既是偶函数又是区间上的增函数有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据指数函数，对数函数，二次函数和对勾函数的性质，逐一进行检验即可求解.
【详解】A．，定义域为，又．故函数为偶函数．
当时，单递增 ，故选项A正确；
B．要使函数有意义，则有，定义域不关于对称．故不为偶函数，故选项B错误；
C．，对称轴，函数在上单调递增，且为偶函数，故选项C正确；
D．，定义域关于原点对称，且，故不为偶函数，故选项D错误，
故选：AC.
11．已知，，则的值不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】利用对数运算的公式计算即可.
【详解】由换底公式得：，，，
其中，，故
故选：ABD.
12．已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A．的解集为
B．的最小值为
C．不等式的解集为
D．的最大值为
【答案】ABD
【分析】根据题意，将不等式化简可得其解集为，代入计算即可判断ABC，由基本不等式即可判断D.
【详解】因为，则，解集为，
则，则可化为，解得，
所以不等式解集为，故A正确；
因为，且，所以当时，取得最小值为，故B正确；
因为，则，则不等式的解集为，故C错误；
因为，
当且仅当时，即时取得等号，故D正确；
故选：ABD
三、填空题
13．已知函数满足，则解析式是 .
【答案】
【分析】利用换元法求函数解析式即可.
【详解】令，则，
所以，
即，
故答案为：
14．已知函数（且）为偶函数，则实数a的值为 ．
【答案】
【分析】根据偶函数的定义即可求解.
【详解】因为函数（且）为偶函数，
所以，则有，所以，
故答案为：.
15．若且，则的最小值为 .
【答案】
【分析】先由得到，把转化为利用基本不等式求最值.
【详解】因为，所以 ；
因为，所以
解得（舍去，因为） ，即，
因此，
当且仅当 时取等号.
故答案为：.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
四、双空题
16．设函数，则 ；若方程有且仅有1个实数根，则实数b的取值范围是 ．
【答案】 或
【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入x的值，可求得函数值；
（2）作出函数的图象，根据数形结合思想可求得实数b的取值范围.
【详解】（1），；
（2）方程有且仅有1个实数根，即与的图象有1个交点，
当时，，，
画出函数的图象，由图可知当与只有1个交点时，或
故答案为：；或.
【点睛】本题考查求分段函数的函数值，以及分段函数的图象，由分段函数的图象和方程的根的个数求参数的范围，属于中档题.
五、解答题
17．（1）
（2）
【答案】（1）；（2）0.
【分析】（1）根据指数的运算性质计算即可；
（2）根据指数与对数的运算性质计算即可.
【详解】解：原式
；
【点睛】解：原式
.
18．已知集合,
(1)当时，求， ；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）代入解出一元二次不等式，根据集合交并补即可得到答案；
（2）转化为判别式小于0即可.
【详解】（1），
当时，，
则，或，
则，
（2）因为，则，解得.
19．已知函数为幂函数，且为奇函数.
(1)求的值，并确定的解析式；
(2)令，求在的值域.
【答案】(1)的值为，函数的解析式为
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义及性质即可求解；
（2）由（1），得，令利用换元法得到，
，再根据二次函数的性质即可求解.
【详解】（1）因为函数为幂函数，
所以，解得或，
当时，函数是奇函数，符合题意，
当时，函数是偶函数，不符合题意，
综上所述，的值为，函数的解析式为.
（2）由（1）知，，
所以，
令，则，
，
所以，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，
，，
所以函数在的值域为.
20．某健身器材厂研制了一种足浴气血生机，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用．根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用．已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为4；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为
(1)求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式；
(2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得，当时，，代入上式，得，可得表达式．
（2）化简函数y，利用基本不等式求解最小值即可.
【详解】（1）由题意得，
当时，，代入上式，得
所以
（2）
，
当且仅当，即时取“=”．
所以臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值为
21．已知函数，为非零常数.
(1)当时，试判断函数的单调性，并用定义证明；
(2)当时，不等式有解，求实数的取值范围.
【答案】(1)单调递增，理由见解析
(2)
【分析】（1）利用定义法判断函数单调性步骤为，取点，作差，判号，下结论；
（2）先得到的奇偶性，结合（1）中函数的单调性，得到，即有解，求出，从而得到实数的取值范围.
【详解】（1）单调递增，理由如下：
因为，所以恒成立，故定义域为R，
且，
，且，
则，
因为在R上单调递增，故，
又，，故，
所以，故单调递增；
（2）当时，，
由（1）可知，单调递增，
又，
故为奇函数，
由可得，
因为单调递增，所以，
即有解，
其中，
因为，，，故，
所以，解得，
故实数的取值范围是.
22．已知函数.
(1)恒成立，求实数的取值范围；
(2)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，转化为恒成立，分和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解；
（2）由，令，求得，根据题意，转化为与有4个不同的交点，分、和，三种情况讨论，结合二次函数的图象与性质，即可求解.
【详解】（1）解：由函数，
因为不等式恒成立，即恒成立，
即恒成立，
当时，可得恒成立，符合题意；
当时，要使得恒成立，则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围.
（2）解：由，令，
当且仅当时，即时，等号成立，
因为方程有四个不同的实根，即与有4个不同的交点，
当时，显然与不能有4个不同的交点；
当时，作出函数的图象，如图所示，
由图象可得，显然与不能有4个不同的交点；
当时，作出函数的图象，如图所示，
由图象可得，当时，函数取得最大值为，
要使得与能有4个不同的交点，则且，
即且，所以，
综上可得，实数的取值范围为.