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2023-2024学年江苏省镇江市扬中市第二高级中学高一上学期期中考试数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年江苏省镇江市扬中市第二高级中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．集合，则中元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】解不等式，求出集合，再根据交集的运算性质，即可解题.
【详解】解不等式可得，所以，
又，所以，所以中元素的个数为3个.
故选：B
2．命题“”的否定为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“”的否定为：命题“”.
故选：C.
3．下列函数中，在区间上单调递增且是奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性与单调性逐一判断即可.
【详解】对于A，函数的定义域为，
故函数为非奇非偶函数，故A不符题意；
对于B，函数的定义域为，
因为，
所以函数为偶函数，故B不符题意；
对于C，函数的定义域为，
因为，
所以函数为偶函数，故C不符题意；
对于D，函数的定义域为，
因为，
所以函数为奇函数，
又因为函数在区间上都单调递增，
所以函数在区间上单调递增，故D符合题意.
故选：D.
4．已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据抽象函数定义域的对应特征分析求解.
【详解】对于函数：因为，则，
所以的定义域为.
故选：B.
5．设a＝，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>bB．a>b>c
C．c>a>bD．b>c>a
【答案】A
【详解】试题分析：∵函数是减函数，∴；又函数在上是增函数，故.从而选A
【解析】函数的单调性.
6．一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，求出b、c与a的关系，代入所求不等式，求出解集即可．
【详解】一元二次不等式的解集为，
∴，且2，3是方程的两个实数根，
∴，解得，其中；
∴不等式化为，即，
解得或，因此所求不等式的解集为．
故选：D．
7．已知偶函数在区间单调递增，则满足的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用为偶函数关于轴对称，故越靠近轴，函数值越小，从而解出不等式.
【详解】因为偶函数在区间上单调递增，
所以在区间上单调递减，故越靠近轴，函数值越小，
因为，
所以，解得：．
故选：A.
8．已知函数的定义域为，且，，则的值是（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】D
【分析】由赋值法先得，再由与关系列式求解．
【详解】中令，则，
中令，，则，
又中令，则，所以，
中，令，则，
再令，，则．
故选：D
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若且，则D．若且，则
【答案】BCD
【分析】取可判断A选项；利用不等式的基本性质可判断BC选项；利用作差法可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，，A错；
对于B选项，若，由不等式的性质可得，，则，B对；
对于C选项，若，则，则，
又因为，由不等式的性质可得，C对；
对于D选项，若且，则，所以，，D对.
故选：BCD.
10．已知函数是上的减函数，则实数的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】根据分段函数的单调性，结合反比例函数与一次函数的单调性得到关于的不等式，从而得解.
【详解】由题意可知：在上单调递减，即；
在上也单调递减，即；
又是上的减函数，则，
所以，解得，
显然，，，满足，不满足，故ABC正确，D错误.
故选：ABC.
11．设，且则下列关系式一定不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】作出的图象，由 ，可知，，不在同一单调区间上，且，，根据指数函数的单调性可判断A，B选项，再由即可判断C，D选项.
【详解】作出的图象如下：
由，得，所以B一定不成立，A成立；
又由可知，，，不在同一单调区间上，且，，
所以，，因为，
当时， ，
当时， ，所以，此时D正确，所以C一定不成立.
故选：BC
12．若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意，有；（2）对于定义域内的任意，，当时，有，则称函数为“理想函数”．给出下列四个函数是“理想函数”的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】先根据题目条件得到为奇函数，且在定义域内为单调递减函数，A选项，为偶函数，A错误；B选项，根据函数奇偶性得到为奇函数，且单调递减；C选项，在定义域内不是单调递减，C错误；D选项，根据函数奇偶性得到为奇函数，且由二次函数的单调性得到单调递减,D正确.
【详解】由（1）可知，为奇函数，由（2）可知，在定义域内为单调递减函数，
对于A，定义域为R，又，故为偶函数，故A错误；
对于B，定义域为R，又，故为奇函数，
又在R上单调递减，满足要求，B正确；
对于C，分别在区间和上单调递减，在定义域内不是单调递减，C错误；
对于D：，，
所以是奇函数；
根据二次函数的单调性，易知在和都是减函数，且在处连续，
所以在上是减函数，所以是“理想函数”，D正确.
故选：BD
三、填空题
13．设函数，且，则等于 .
【答案】
【分析】利用整体思想代入解析式计算求值即可.
【详解】因为，即，
则.
故答案为：
14．如果函数在区间上是增函数，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】先由函数解析式，确定二次函数对称轴，以及单调性，再由题意，即可得出结果.
【详解】因为的对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又函数在区间上是增函数，
因此.
故答案为
【点睛】本题主要考查由二次函数的单调性求参数的问题，熟记二次函数的性质即可，属于常考题型.
15．设定义在上的奇函数满足，则的解集为 ．
【答案】
【分析】分、和三种情况，结合奇函数定义解不等式.
【详解】当时，则，
令，解得；
当时，则，不合题意；
当时，则，
令，解得；
综上所述：的解集为.
故答案为：.
16．若关于的不等式在区间上恒成立，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】令，则不等式在区间上恒成立，所以，再根据二次函数最值得求法，求解即可.
【详解】令，由题可得不等式在区间上恒成立，
所以，令，则，
所以.
故答案为：
四、解答题
17．计算：
(1)；
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据指数运算公式直接化简计算；
（2）根据指数函数单调性解不等式.
【详解】（1）
；
（2），
即，
即，
因为函数在上单调递增，
所以，即，
，
解得，
所以不等式的解集为.
18．已知集合在①；②“”是“”的充分条件；③是的必要条件.这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.
(1)当；
(2)若_______，求实数的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)选①②③，答案均为.
【分析】（1）根据交集概念进行求解；
（2）选①②③，均得到，得到不等式组，求出实数的取值范围.
【详解】（1）由，解得，所以，
当时，，所以．
（2）若选①，则，所以，
解得，即，
若选②“”是“”的充分条件，所以，所以，
解得，即．
若选③“”是“”的必要条件，所以，
故，所以
解得，即．
19．设
(1)若不等式的解集是，求的值；
(2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据不等式的解集结合韦达定理求参；
（2）不等式恒成立，分和两种情况求解即可.
【详解】（1）由题意，不等式的解集是，
∴，1是关于x的方程的两实数根，且，
则，解得；
（2）由对一切实数x恒成立，
即对一切实数x恒成立，
当时，，不满足题意，
当时，则满足，解得
综上所述，实数m的取值范围是．
20．已知幂函数在上是减函数，.
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义，结合幂函数的单调性进行求解即可；
（2）根据幂函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1）由函数为幂函数得，
解得或，
又函数在上是减函数，则，即，
所以，；
（2）由（1）得，所以不等式为，
设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减，
所以解得，所以实数的取值范围是.
21．已知函数是奇函数．
(1)求b的值；
(2)证明在R上为减函数；
(3)若不等式成立，求实数t的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)或
【分析】（1）利用奇函数定义和奇函数中求b的值；
（2）按取点，作差，变形，判断的过程来即可；
（3）通过函数的单调性，然后结合奇函数的性质把转化为一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出t的取值范围．
【详解】（1）∵的定义域为R，
又∵为奇函数，∴由得，
此时，∴为奇函数，
所以．
（2）任取，，且，则，
∵，∴，∴．
又∵，∴，即，
故为R上的减函数．
（3）因为为奇函数，所以，
可化为，
又由（2）知为减函数，所以，所以或．
22．设函数（，且）.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若，且在上恒成立，求的最大值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由确定，从而可确定函数的单调性，又由奇函数定义证明函数为奇函数，这样不等式可化为，再由单调性可求解；
（2）由求得，然后对，令得 ，原问题转化为在上恒成立，用分离参数法又可转化为求函数的最值．
【详解】（1），又且，，
单调递增，单调递减，故在R上单调递增.
又且是R上的奇函数.
由，得，
解得或，∴不等式的解集为.
（2）由，解得（舍去）或，则，
.
令在上恒成立，
即在上恒成立，
亦即在上恒成立.
而，
的最大值为-2.
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查不等式恒成立问题．考查转化与化归思想．首先不等式用换元法转化为二次不等式恒成立，分离参数后再转化为求函数的最值．
一、单选题
1．集合，则中元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】解不等式，求出集合，再根据交集的运算性质，即可解题.
【详解】解不等式可得，所以，
又，所以，所以中元素的个数为3个.
故选：B
2．命题“”的否定为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“”的否定为：命题“”.
故选：C.
3．下列函数中，在区间上单调递增且是奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性与单调性逐一判断即可.
【详解】对于A，函数的定义域为，
故函数为非奇非偶函数，故A不符题意；
对于B，函数的定义域为，
因为，
所以函数为偶函数，故B不符题意；
对于C，函数的定义域为，
因为，
所以函数为偶函数，故C不符题意；
对于D，函数的定义域为，
因为，
所以函数为奇函数，
又因为函数在区间上都单调递增，
所以函数在区间上单调递增，故D符合题意.
故选：D.
4．已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据抽象函数定义域的对应特征分析求解.
【详解】对于函数：因为，则，
所以的定义域为.
故选：B.
5．设a＝，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>bB．a>b>c
C．c>a>bD．b>c>a
【答案】A
【详解】试题分析：∵函数是减函数，∴；又函数在上是增函数，故.从而选A
【解析】函数的单调性.
6．一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，求出b、c与a的关系，代入所求不等式，求出解集即可．
【详解】一元二次不等式的解集为，
∴，且2，3是方程的两个实数根，
∴，解得，其中；
∴不等式化为，即，
解得或，因此所求不等式的解集为．
故选：D．
7．已知偶函数在区间单调递增，则满足的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用为偶函数关于轴对称，故越靠近轴，函数值越小，从而解出不等式.
【详解】因为偶函数在区间上单调递增，
所以在区间上单调递减，故越靠近轴，函数值越小，
因为，
所以，解得：．
故选：A.
8．已知函数的定义域为，且，，则的值是（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】D
【分析】由赋值法先得，再由与关系列式求解．
【详解】中令，则，
中令，，则，
又中令，则，所以，
中，令，则，
再令，，则．
故选：D
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若且，则D．若且，则
【答案】BCD
【分析】取可判断A选项；利用不等式的基本性质可判断BC选项；利用作差法可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，，A错；
对于B选项，若，由不等式的性质可得，，则，B对；
对于C选项，若，则，则，
又因为，由不等式的性质可得，C对；
对于D选项，若且，则，所以，，D对.
故选：BCD.
10．已知函数是上的减函数，则实数的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】根据分段函数的单调性，结合反比例函数与一次函数的单调性得到关于的不等式，从而得解.
【详解】由题意可知：在上单调递减，即；
在上也单调递减，即；
又是上的减函数，则，
所以，解得，
显然，，，满足，不满足，故ABC正确，D错误.
故选：ABC.
11．设，且则下列关系式一定不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】作出的图象，由 ，可知，，不在同一单调区间上，且，，根据指数函数的单调性可判断A，B选项，再由即可判断C，D选项.
【详解】作出的图象如下：
由，得，所以B一定不成立，A成立；
又由可知，，，不在同一单调区间上，且，，
所以，，因为，
当时， ，
当时， ，所以，此时D正确，所以C一定不成立.
故选：BC
12．若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意，有；（2）对于定义域内的任意，，当时，有，则称函数为“理想函数”．给出下列四个函数是“理想函数”的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】先根据题目条件得到为奇函数，且在定义域内为单调递减函数，A选项，为偶函数，A错误；B选项，根据函数奇偶性得到为奇函数，且单调递减；C选项，在定义域内不是单调递减，C错误；D选项，根据函数奇偶性得到为奇函数，且由二次函数的单调性得到单调递减,D正确.
【详解】由（1）可知，为奇函数，由（2）可知，在定义域内为单调递减函数，
对于A，定义域为R，又，故为偶函数，故A错误；
对于B，定义域为R，又，故为奇函数，
又在R上单调递减，满足要求，B正确；
对于C，分别在区间和上单调递减，在定义域内不是单调递减，C错误；
对于D：，，
所以是奇函数；
根据二次函数的单调性，易知在和都是减函数，且在处连续，
所以在上是减函数，所以是“理想函数”，D正确.
故选：BD
三、填空题
13．设函数，且，则等于 .
【答案】
【分析】利用整体思想代入解析式计算求值即可.
【详解】因为，即，
则.
故答案为：
14．如果函数在区间上是增函数，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】先由函数解析式，确定二次函数对称轴，以及单调性，再由题意，即可得出结果.
【详解】因为的对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又函数在区间上是增函数，
因此.
故答案为
【点睛】本题主要考查由二次函数的单调性求参数的问题，熟记二次函数的性质即可，属于常考题型.
15．设定义在上的奇函数满足，则的解集为 ．
【答案】
【分析】分、和三种情况，结合奇函数定义解不等式.
【详解】当时，则，
令，解得；
当时，则，不合题意；
当时，则，
令，解得；
综上所述：的解集为.
故答案为：.
16．若关于的不等式在区间上恒成立，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】令，则不等式在区间上恒成立，所以，再根据二次函数最值得求法，求解即可.
【详解】令，由题可得不等式在区间上恒成立，
所以，令，则，
所以.
故答案为：
四、解答题
17．计算：
(1)；
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据指数运算公式直接化简计算；
（2）根据指数函数单调性解不等式.
【详解】（1）
；
（2），
即，
即，
因为函数在上单调递增，
所以，即，
，
解得，
所以不等式的解集为.
18．已知集合在①；②“”是“”的充分条件；③是的必要条件.这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.
(1)当；
(2)若_______，求实数的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)选①②③，答案均为.
【分析】（1）根据交集概念进行求解；
（2）选①②③，均得到，得到不等式组，求出实数的取值范围.
【详解】（1）由，解得，所以，
当时，，所以．
（2）若选①，则，所以，
解得，即，
若选②“”是“”的充分条件，所以，所以，
解得，即．
若选③“”是“”的必要条件，所以，
故，所以
解得，即．
19．设
(1)若不等式的解集是，求的值；
(2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据不等式的解集结合韦达定理求参；
（2）不等式恒成立，分和两种情况求解即可.
【详解】（1）由题意，不等式的解集是，
∴，1是关于x的方程的两实数根，且，
则，解得；
（2）由对一切实数x恒成立，
即对一切实数x恒成立，
当时，，不满足题意，
当时，则满足，解得
综上所述，实数m的取值范围是．
20．已知幂函数在上是减函数，.
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义，结合幂函数的单调性进行求解即可；
（2）根据幂函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1）由函数为幂函数得，
解得或，
又函数在上是减函数，则，即，
所以，；
（2）由（1）得，所以不等式为，
设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减，
所以解得，所以实数的取值范围是.
21．已知函数是奇函数．
(1)求b的值；
(2)证明在R上为减函数；
(3)若不等式成立，求实数t的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)或
【分析】（1）利用奇函数定义和奇函数中求b的值；
（2）按取点，作差，变形，判断的过程来即可；
（3）通过函数的单调性，然后结合奇函数的性质把转化为一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出t的取值范围．
【详解】（1）∵的定义域为R，
又∵为奇函数，∴由得，
此时，∴为奇函数，
所以．
（2）任取，，且，则，
∵，∴，∴．
又∵，∴，即，
故为R上的减函数．
（3）因为为奇函数，所以，
可化为，
又由（2）知为减函数，所以，所以或．
22．设函数（，且）.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若，且在上恒成立，求的最大值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由确定，从而可确定函数的单调性，又由奇函数定义证明函数为奇函数，这样不等式可化为，再由单调性可求解；
（2）由求得，然后对，令得 ，原问题转化为在上恒成立，用分离参数法又可转化为求函数的最值．
【详解】（1），又且，，
单调递增，单调递减，故在R上单调递增.
又且是R上的奇函数.
由，得，
解得或，∴不等式的解集为.
（2）由，解得（舍去）或，则，
.
令在上恒成立，
即在上恒成立，
亦即在上恒成立.
而，
的最大值为-2.
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查不等式恒成立问题．考查转化与化归思想．首先不等式用换元法转化为二次不等式恒成立，分离参数后再转化为求函数的最值．
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