2023-2024学年江苏省扬州市扬州中学高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省扬州市扬州中学高一上学期12月月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据对数型函数的定义域化简集合的表示，解一元二次不等式化简集合的表示，最后根据集合的补集和并集的定义，结合数轴进行求解即可.
【详解】因为或，所以
又因为
所以.
故选：D
【点睛】本题考查集合的补集与并集的定义，考查了数学运算能力，属于基础题.
2．命题有实数根，若是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．以上都不对
【答案】B
【分析】是假命题，则为真命题，即有实数根，分类讨论与时的情况即可.
【详解】当时，即有实数根，解得，故符合要求；
当时，即有，解得且；
综上所述，.
故选：B.
3．在平面直角坐标系中，角和的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，若角和的终边关于轴对称，则下列关系式一定正确的是（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
【答案】D
【分析】根据角与角的终边关于轴对称，即可确定与的关系．
【详解】是与关于轴对称的一个角，
与的终边相同，
即（），
，（）.
故选：D．
4．已知函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于的方程，则的最小值为（ ）
A．9B．24C．4D．6
【答案】C
【分析】由题意可得，利用基本不等式求最值即可.
【详解】因为函数图象恒过定点
又点A的坐标满足关于的方程，
所以，即
所以
，当且仅当即时取等号；
所以的最小值为4．
故选：C．
5．已知为锐角，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】注意到，利用同角三角函数的关系求角的正弦，再利用诱导公式求角的正弦、余弦，从而得到的正切.
【详解】因为为锐角，所以且，所以得，
由诱导公式得，.
所以.
故选:D
6．已知函数，当时，取得最小值，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次函数和指数函数的性质，及分段函数的最值即可得求解．
【详解】当时，单调递增，则；
当时，开口向上，且对称轴为，
又当时，取得最小值，
所以，解得，
所以m的取值范围为．
故选：B．
7．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，函数的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先判断函数的奇偶性，可排除D；当时，，可排除C；由，可排除B.
【详解】函数，由，即且且，
故函数的定义域为，
由，
所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，可排除D；
当时，，，所以，可排除C；
由，，，即，可排除B.
故选：A.
8．若函数同时满足：①定义域内任意实数，都有；②对于定义域内任意，，当时，恒有；则称函数为“DM函数”.若“DM函数”满足，则锐角的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题设知是上的增函数且，进而将不等式转化为，结合单调性及正切函数的性质求锐角的范围.
【详解】由，知：函数是上的增函数，
由，即，
由题设：，
∴，即有，
∴，即，
∵为锐角﹐则，
∴，则的取值范围是.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：根据已知条件确定的单调性，由已知函数的关系将不等式转化，并结合函数单调性、正切函数的性质求参数范围.
二、多选题
9．若，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】根据指数函数，幂函数及对数函数的性质逐一判断即可.
【详解】由于，
对于A：由于 ，所以函数 为减函数，所以 ，故A错误；
对于B：由于 ，所以函数 为减函数，
所以 ，故B错误；
对于C：由于，所以函数 在上为增函数，
所以 ，故C正确；
对于D：由于，所以 ，
所以 ，所以，故D正确.
故选：CD.
10．下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】直接利用函数的奇偶性和周期性即可逐一判断结果．
【详解】对于A，函数满足，
且的定义域为关于原点对称，即是奇函数，
且注意到其周期为，故A正确；
对于B：函数满足，
且的定义域为关于原点对称，
所以是偶函数，不是奇函数，故B错误；
对于C：，
由A选项分析易知是奇函数，
同时也是最小正周期是的周期函数，故C正确；
对于D：函数满足，
且的定义域为关于原点对称，
所以是偶函数，不是奇函数，故D错误．
故选：AC．
11．已知，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】根据已知条件，利用基本不等式可以证明A正确；根据已知条件，求得的取值范围，结合不等式的基本性质和指数函数的单调性判定BD；利用对数函数的单调性对C进行等价转化，通过举例可以否定C.
【详解】，
又故正确；
，，且，，故正确；
,故正确；
等价于，即，
等价于,但当时，满足条件，，且，,故C错误；
故选：.
【点睛】本题考查不等式的基本性质，基本不等式，涉及指数对数函数的单调性，属中档题.关键是要熟练掌握不等式的基本性质和基本不等式，掌握指数对数函数的单调性.注意使用等价分析法，举反例否定法进行判定.
12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数有4个零点，则实数k的取值范围为
B．关于x的方程有个不同的解
C．对于实数，不等式恒成立
D．当时，函数的图象与x轴围成的图形的面积为1
【答案】AC
【分析】根据函数的表达式，作出函数的图像，对于A，C利用数形结合进行判断，对于B，D利用特值法进行判断.
【详解】当时，；当 时，；
当，则， ；
当，则， ；
当，则， ；
当，则，；
依次类推，作出函数的图像：
对于A，函数有4个零点，即与有4个交点，如图，直线的斜率应该在直线m, n之间，又，，，故A正确；
对于B，当时，有3个交点，与不符合，故B错误；
对于C，对于实数，不等式恒成立，即恒成立，由图知函数的每一个上顶点都在曲线上，故恒成立，故C正确；
对于D， 取，，此时函数的图像与x轴围成的图形的面积为，故D错误；
故选：AC
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
三、填空题
13．已知幂函数在上单调递增，则的解析式是 .
【答案】
【分析】根据幂函数的定义和性质求解.
【详解】解：是幂函数，
，解得或，
若，则，在上不单调递减，不满足条件；
若，则，在上单调递增，满足条件；
即.
故答案为：
14．函数的定义域为 .
【答案】
【分析】先将和分别解出来，然后求交集即可
【详解】要使，则有且
由得
由得
因为
所以原函数的定义域为
故答案为：
【点睛】解三角不等式的方法：1.在单位圆中利用三角函数线，2.利用三角函数的图像
15．数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）．若莱洛三角形的周长为，则其面积是 .
【答案】
【分析】根据图形分析，利用扇形面积和三角形的面积公式，即可求解.
【详解】莱洛三角形的周长为，可得弧长，
则等边三角形的边长，
分别以点A、B、C为圆心，圆弧所对的扇形面积均为，
等边的面积，
所以莱洛三角形的面积是.
故答案为：.
16．设函数，方程有四个不相等的实根，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据函数对称性作出图象，结合图象，得到且，求得，化简，结合换元法和二次函数的性质，即可求解.
【详解】当时，
所以在与上的图像关于对称.
作出图象如下图所示，不防令，
可得且
所以，
所以.
因为，令，则原式化为.
因为其对称轴为，开口向上，所以在上单调递增
所以
所以的取值范围是.
故答案为：．
【点睛】关键点睛：根据函数的对称性，作出函数的图象，结合函数的图象有，化简，利用换元法和二次函数的性质求解是解答的关键.
四、解答题
17．已知 ， .
（1）若m=3，求；
（2）若，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）代入m＝3求出集合，解出集合后可得.
（2）根据可得，列出关于的不等式组，从而可求实数m的取值范围.
【详解】（1）若m＝3，
，
，
所以A∩B＝(2，5].
（2）因为，
由题意得：，
，
因为A∪B＝B，
有A⊆B，
则有：，
解得：；
所以实数m的取值范围为.
【点睛】易错点睛：本题考查分式不等式的解、集合的并以及集合的包含关系，求分式不等式的解时，注意分母不为零，考虑集合的包含关系时，注意两个集合中的范围的端点是否可取.
18．化简或计算下列各式：
(1)；
(2).
【答案】(1)-45
(2)1
【分析】（1）根据幂指运算，可得答案；
（2）根据对数运算，可得答案.
【详解】（1）原式.
（2）原式＝
.
19．已知.
(1)若，且，求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式化简，然后代入条件可得答案；
（2）根据已知可得，令，整体代入目标式化简计算即可.
【详解】（1）由已知，
由题意，
则；
（2）由，可知，
令，则，
20．已知某公司生产的一新款手机的年固定成本为万元，设该公司一年内共生产这种手机万部并全部销售完，且每万部的销售收入为万元，生产这种手机每年需另投入成本万元，且当.时，，当时，.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式（年利润年销售收入年成本）
（2）年产量为多少万部时，该公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
【答案】（1）；（2）年产量为万部时，该公司所获年利润最大，最大年利润是万元.
【分析】（1）根据公式：年利润年销售收入年成本，分别求出和时的年利润，然后再写成分段函数的形式；
（2）分别求出和时的最大值，再比较两者的大小，取较大者为年利润的最大值.
【详解】（1）当时，，
当时，，
.
（2）若，，
当时，；
若，，
当且仅当，即时，，
年产量为万部时，该公司所获年利润最大，最大年利润是万元.
21．已知定义域为R的函数是奇函数．
(1)判断的单调性，并证明；
(2)解关于的不等式．
【答案】(1)在R上是递减函数，证明见解析
(2)
【分析】（1）利用奇函数性质求得，再由单调性定义判断函数单调性即可；
（2）根据函数奇偶性、单调性可得，再由对数函数性质求解集即可.
【详解】（1）因为是定义在R上的奇函数，则，
即
，解得，
所以，故在R上是递减函数．
证明：任取、，且，
，，
∴，即，故是定义在R上的递减函数；
（2）∵，∴，
是R上的奇函数，∴，
是R上的减函数，∴，
∴，解得，
∴不等式的解集为．
22．对于函数.
(1)若方程恰有一个实根，求实数a的取值范围；
(2)设，若对任意，当时，满足，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）原方程可转化为，分类讨论即可；
（2）将转化为，分别求最大值和最小值，再求a范围.
【详解】（1）方程恰有一个实根，
转化为方程恰有一个实根，
所以，
由①可得，，即，
当时，方程有唯一解，满足②，
所以符合条件；
判别式，
当时，方程有两相等根，满足②，
所以符合条件；
当且时，方程有两不等根，
若满足②，则，
若满足②，则，
所以当时方程恰有一个实根；
综上，实数的取值范围为；
（2）令，则在上为减函数，在上为增函数，
∴函数在上为减函数，
当时，满足，
则，
∴，即对任意的恒成立，
设，又，
所以函数在单调递增，
所以，
∴.