大庆铁人中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份大庆铁人中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2、命题“,”的否定为( )
A.,B.,
C.,D.,
3、已知函数,若,则( )
A.-2B.-7C.1D.5
4、中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”,即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a､b､c,则三角形的面积可由公式求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦-秦九韶公式,现有一个三角形的边长满足,,则此三角形面积的最大值为( )
A.B.3C.D.
5、函数的大致图象是( )
A.B.
C.D.
6、已知, , ,则a,b,c的大小关系为( )
A.B.C.D.
7、已知a、b均为正数,不等式成立是不等式成立的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
8、已知函数是定义域为的奇函数,且,若对任意的,,且,都有成立,则不等式的解集为( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9、下列四组函数中,不表示同一函数的一组是( )
A.,
B.,
C.,
D,
10、下列命题正确的有( )
A.若,则
B.若,则有最小值,且最小值为4
C.若,且,则的最小值为4
D.若关于x的一元二次不等式恒成立,则实数a的取值范围为
11、若为函数图象上的一点,则下列选项正确的是( )
A.为函数图象上的点B.为函数图象上的点
C.为函数图象上的点D.为函数图象上的点
12、已知函数,则下列判断正确的是( )
A.函数是偶函数
B.函数的最小值是
C.函数的图象关于直线对称
D.函数与有三个交点
三、填空题
13、已知幂函数为非奇非偶函数,则实数__________．
14、某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数,k,b为常数）.若该食品在的保鲜时间为192小时,在的保鲜时间是48小时,则该食品在的保鲜时间是____________小时.
15、函数在区间上是单调递增,则实数a的取值范围是___________．
16、已知函数,,若任意,存在,使,则实数a的取值范围是__________.
四、解答题
17、已知全集,集合,集合.
（1）当时,求;
（2）若,求实数m的取值范围.
18、如图所示,将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求M在射线AB上,N在射线AD上,且对角线MN过C点.已知米,米,设AN的长为米.
（1）用来表示矩形花坛AMPN的面积;
（2）求当AM,AN的长度分别是多少时,矩形花坛AMPN的面积最小,并求出此最小值.
19、已知函数,．
（1）当时,求在区间上的最大值和最小值．
（2）解关于x的不等式．
20、已知定义在R上的函数满足：.
（1）求函数的表达式;
（2）当时,关于x的不等式的解集为,求的最小值和最大值.
21、已知函数满足,当时,,且.
（1）求,的值;
（2）判断的单调性并证明;
（3）当时,不等式恒成立,求实数a的取值范围.
22、函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数,设函数,且．
（1）利用上述结论,求函数的对称中心;
（2）若对于,不等式恒成立,求a的取值范围．
参考答案
1、答案：A
解析：解可得,,所以.
解可得或,所以不等式的解集,
即的解集为或,即或.
所以,.
故选：A.
2、答案：C
解析：命题的否定书写要求存在量词变全称量词,后续结论相反,
所以命题“,”的否定为“,”,
故选：C.
3、答案：B
解析：,,
则,得,解得.
故选：B.
4、答案：B
解析：由题意
,
当且仅当,即时等号成立﹐
此三角形面积的最大值为3.
故选：B．
5、答案：D
解析：由函数,
当时,根据函数与函数在上单调递增,
则函数在的单调递增,故排除BC;
当时,,故排除A,则D正确.
故选：D.
6、答案：A
解析：由函数在上单调递增,
所以,
由于函数在R上单调递减,
所以,
由于函数在上单调递增,
所以,
故.
故选：A.
7、答案：B
解析：当时,,
当且仅当,即,时取等号,
所以,
当,时,,此时,
所以不等式成立是不等式成立的必要不充分条件.
故选：B.
8、答案：C
解析：由题设,在上递减,又上有,
所以,即为偶函数,
根据偶函数的对称性知：在上递增,
由,即,则上,上,
由,则或,可得.
故选：C.
9、答案：ACD
解析：A.,这两个函数的定义域不相同,所以不表示同一函数.
B.,且定义域相同,两个函数表示同一函数.
C.对于,故,所以的定义域是,
而的定义域是R,所以不表示同一函数.
D.的定义域是,的定义域是R,所以不表示同一函数.
故选：ACD.
10、答案：CD
解析：A错误：取,则
B错误：,
当且仅当即或1时取等号,无法取等,
C正确：,当且仅当时取等,
D正确：原式,
时不是二次方程,不合题意,
若,则x趋于时原式不成立
若,则原式恒成立,而,最小值为-1,
故,解得,
综上,.
故选：CD
11、答案：ABC
解析：若为函数图象上的一点,
, ,则为函数图象上的点,故A正确;
, ,则为函数图象上的点,故B正确;
, ,则为函数图象上的点,故C正确;
, ,故D错误.
故选：ABC.
12、答案：ABD
解析：对于A中,由函数,可得,解得,
又由,所以是偶函数,所以A正确;
对于B中,因为函数是偶函数,图象关于y轴对称,所以可只考虑,
由时,可得;
当时,可得,则,
此时在区间上为减函数;
当时,可得,则,
此时在区间上为增函数,
所以,当时,函数取得最小值,最小值为,所以B正确;
对于C中,由,
所以函数的图象不关于对称,所以C不正确;
对于D中,如图所示,因为函数是偶函数,结合B项知：
函数在为减函数,在上为增函数,在为减函数,在为减函数,
且,当或时,,
所以函数与有三个交点,所以D正确.
故选：ABD.
13、答案：
解析：由题意函数是幂函数,所以,
即,解得或,
当时,是偶函数,不满足题意,
当时,,其定义域为,不关于原点对称,
即是非奇非偶函数,满足题意.
故答案为：.
14、答案：12
解析：由题意知,,
解得：,所以,
所以当时,.
故答案为：12.
15、答案：
解析：在上单调递减,
若在上单调递增,
则在上单调递减且在上恒成立,
,解得,
即实数a的取值范围为.
故答案为：.
16、答案：
解析： ,,
,
在上单调递增,;
根据题意可知存在,使得.
即能成立,令,
则要使在能成立,只需使,
又在上恒成立,
则函数在上单调递减,,
,即实数a的取值范围是.
故答案为：.
17、答案：（1）
（2）或
解析：（1）解可得,,所以集合.
又当时,,所以或,
所以,.
（2）由（1）知,,
所以,或.
由已知可得,,
由,可得或,
解得或.
18、答案：（1）
（2）米,米,最小面积为96平方米
解析：（1）设AN的长为x米（）,
ABCD是矩形,,
, ;
（2）令,,则,
当且仅当,即时,等号成立,
此时米,米,最小面积为96平方米
19、答案：（1）最大值为,最大值为.
（2）见解析
解析：（1）当时,,
所以在区间上单调递减,在上单调递增,
所以求在区间上的最大值为,最大值为.
（2）因为,
所以由可得：,即,
①当时,不等式变为,所以,
不等式的解集为;
当时,不等式化简为,
方程的两根为和,
②当时,不等式化简为,
所以,所以不等式的解集为或;
③当时,不等式化简为,
当时,,不等式解集为;
当时,,不等式的解集为;
当时,,不等式的解集为;
综上：,不等式的解集为;
,不等式的解集为或;
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为;
20、答案：（1）
（2）最小值为1,最大值
解析：（1）将的x替换为,
得,
联立
解得.
（2）由（1）结合已知可将不等式化为,
即.
又一元二次方程,
恒成立,
可得方程两根为.
又,所以,,
所以.
又,所以,
所以当时,的最小值为1,当时,最大值.
21、答案：（1）,
（2）增函数,证明见解析
（3）
解析：（1）令,得,得,
令,得,得;
（2）设,是任意两个不相等的实数,且,所以,
,
因为,所以,所以,
因此,即在R上为增函数;
（3）因为,,即,
又,所以,
又因在R上为增函数,所以在上恒成立,得在上恒成立,
即在上恒成立,
因为,当时,取最小值,
所以,即a的取值范围为.
22、答案：（1）
（2）
解析：（1）不妨设函数的对称中心为,
因为函数为奇函数,所以恒成立,
此时恒成立,
即恒成立,即恒成立,
所以恒成立,
则,
解得,,
所以函数的对称中心为.
（2）由（1）知函数的对称中心为,
所以,
因为当时,恒成立,
即,恒成立,
函数,在上单调递增,
当时,易知函数上单调递增,
此时,使得恒成立,
即,使得恒成立,
不妨令,,
此时,
设,则,
故当时,,在上单调递减,
当时,,在上单调递增,
又,,故的最大值为,
故
解得,因为,其不符合题意;
当时,已知函数在上单调递减,
此时,使得恒成立,
即,恒成立,
不妨令,,
此时,
当且仅当,即时等号成立,
解得,又,故,
综上,满足条件的a的取值范围为．